LEY DE SENOS. Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales.

Transcripción

1 LEY DE SENOS Ya hemos visto omo resolver triángulos retángulos ahora veremos todas las ténias para resolver triángulos generales a γ α Este es un triángulo el ángulo α se esrie en el vértie de, el ángulo se esrie en el vértie de y el ángulo γ se esrie en el vértie de Los lados que están opuestos al los vérties y los esriimos on una letra minúsula a Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de osenos La fórmula para la ley de senos es: sinα sin sin γ no hay diferenia si la tomas así: a no las puedes mezlar a sinα sin sin γ pero El primer aso es de dos ángulos y un lado Determina las partes restantes del triángulo si 20 Proedimiento: α 130 a γ , 130 α y 6 ordena los datos del prolema omo se te india a ontinuaión 1) La suma de los ángulos internos de ualquier triángulo 180 ( ) γ esrie la respuesta en nuestro uadro 2) Oservamos que tenemos los valores de y por lo que las oloamos en nuestra fórmula y usamos el lado a a sin130 sin 20 a 6 sin130 6 a sin 20 despejamos a a oloamos nuestra respuesta en el uadro 3) Tomamos de nuevo los datos que tenemos seguros del prolema que son y, porque pude haerme equivoado en la respuesta anterior y tener esta mala tamién sin 30 sin 20 6 sin 30 6 sin

2 Segundo aso: dos lados y un ángulo opuesto alguno de los lados En este aso pueden derivarse uatro asos diferentes: Supongamos que los lados, y el ángulo se nos espeifian, diujamos el ángulo y el lado para loalizar los vérties y, luego tomamos la medida de on un ompás lo ual orresponde al radio y lo trazamos desde el vértie formando un aro quí pueden surgir uatro posiilidades: NO EXISTE TRINGULO 1 2 SE FORMN 2 TRINGULOS SE FORM UN SOLO TRINGULO SE FORM UN TRINGULO RETNGULO Ejemplo: enuentra las partes restantes del triángulo γ 6

3 Primero: tomo on y para hallar γ sin 50 sin γ sin 50 6 sin γ sin γ En este momento razono si existe triángulo o no el seno existe si se enuentra entre 1 y -1 1) mi resultado es mayor que 1? no 2) mi resultado es menor que -1? no Entones EXISTE TRINGULO Si el resultado fuera mayor ó menor que 1 ó -1 entones NO EXISTE TRINGULO y solamente esrio no existe triángulo sin γ sin γ γ En este momento razono si hay 1 ó 2 triángulos 1) Tomo el resultado del ángulo que me dio 6682 y lo resto de ) Tomo los datos iniiales y los opio omo posile segundo triángulo Primer triángulo γ 6 Posile segundo triángulo γ 6

4 1) El primer resultado 6682 lo esrio en el uadro de datos del iniio del prolema Primer triángulo γ Posile segundo triángulo γ 6 2) opio de nuevo el uadro iniial de datos y esrio el segundo resultado Primer triángulo γ Posile segundo triángulo γ ) Reuerda que la suma de los ángulos internos de ualquier triángulo es 180 hora enontramos el valor de α en el primer triángulo 180 ( ) oloa el resultado en el uadro del primer triángulo hora enontramos el valor de α en el posile segundo triángulo ( ) omo el resultado es positivo y la sumatoria no no es mayor de 180 entones HY DOS TRINGULOS Primer triángulo α 6318 a γ Segundo triángulo α 1682 a γ Por último resuelvo el lado a para el primero y segundo triángulo y on esto harás finalizado sin 6318 sin 50 sin1682 sin 50 a 5 a sin a sin 50 1 sin a sin a1 189 a2

5 LEY DEL OSENO: La ley de los oseno es un término que permite onoer ualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que onozas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres onoer La ley de los osenos ayuda a resolver iertos tipos de prolemas de triángulos, omo los triángulos oliuángulos, los uales areen de un ángulo de 90 La ley del oseno die así: En todo triángulo el uadrado de un lado es igual a la suma de los uadrados de los otros dos lados menos el dole produto de ellos, por el oseno del ángulo que forman Pero si tienes los lados, y quieres saer el ángulo que haen los lados y, entones realizaras la siguiente formula:, y son los lados del triángulo, y a, y son los ángulos del triángulo: Las letras minúsulas y mayúsulas del mismo tipo no se enuentran juntas, es deir, la a está en el ángulo opuesto de, la está en el ángulo opuesto de y la está en el ángulo opuesto de Esto siempre dee ser así uando resuelvas un triángulo Si no lo haes así, el resultado seguramente te saldrá erróneo Oserva que la ley del oseno sólo será uando tienes los dos lados y el ángulo que haen los lados, porque si no te dan el ángulo que haen los lados, tendrás que usar la ley de senos rria se muestran las araterístias que tiene que tener el triángulo para resolverlo por la ley de osenos, es deir, los tres datos neesarios Reuerda que para saar el ángulo interno la suma de los tres ángulos internos dará 180 y te quedara la formulita de la manera siguiente: a -

6 Ejemplos de resoluión de triángulos oliuángulos Primer aso: onoidos los tres lados Ejemplo Resolver el triángulo uyos datos son: a 34, 40, 28 Se aplia la ley de oseno álulo de a2 2 + ² - 2 os Despejando os : os ² + ² - a² 2 os 40² + 28² - 40² x 40 x ' álulo de nálogamente: a² + ² - ² os 2a os 34² + 28² 40² (2) (34) (28) ' álulo de nálogamente: os a² + ² - ²

7 2a os 34² + 40² 28² (2) (34) (40) Es deir: 56 45" 79 43' 43 32' ' 180 Segundo aso Se resolverá un triángulo onoidos dos lados y el ángulo omprendido Resolver el triangulo uyos datos son: 68 18'; 6; 10 Datos Fórmulas 68 18', a "² + ² 2 os 6, os a² + ² - ² 2a 10, os a² + ² - ² 2a álulo de a a "² + ² 2 os "6² + 10² (2) (6) (10) (os 68 18',) a " (120) (036975) " "9163 a 957

8 álulo de os a² + ² ² 957² + 10² 6² a 2 x 957 x ' os álulo de os a² + ² - ² ² - 10² a (2) (957) (6) (12) (9 57) ` os Ejemplo no 3 a álulo de os a2 2a os (1952) +(32482) - (412) (195) (3248)

9 os os álulo de os a a os (412) + (32482) - (1952) (195) (3248) os os álulo de os a a os (412) + (1952) - (32482) 2(41) (195) os os Ley de las tangentes: Teorema según el ual en todo triángulo la tangente de uno de sus ángulos es igual a su seno dividido por su oseno: tg sen /os