UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

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1 UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida.

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3 Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació, que tiee como propósito asigar persoas u objetos a tareas de tal forma que se optimice algú objetivo, por ejemplo: Históricamete el problema de asigació se resolvió utilizado las mismas técicas que se utilizaba para el modelo de trasporte, si embargo, resultaba tedioso hacerlo de esta maera debido a las características particulares del mismo. A partir del trabajo realizado por dos matemáticos húgaros, se obtiee u algoritmo eficiete para este modelo, el cual se cooce como método húgaro. Iiciamos la uidad plateado el problema geeral de asigació, hacemos hicapié e su estructura, como e el caso especial del modelo de trasporte y plateamos alguos problemas tipo. Cotiuamos resolviedo el modelo de asigació por el método húgaro. Termiamos la uidad estudiado alguos problemas de asigació desbalaceados Defiició del modelo de asigació Los problemas de asigació aparece e varios cotextos de la igeiería ecoómica, e dode se requiere asigar de maera óptima objetos o persoas idivisibles a ciertas tareas, por ejemplo: especializados e cada tipo de soldadura existetes (mig, tig, bajo el agua, eléctrica, oxiacetiléica, etc.). Si o se cueta co persoal especializado represeta u costo extra e gasto de material. Por lo tato, se debe asigar a la persoa óptima e cada puesto de trabajo para miimizar costos. e cada máquia (recta, zigzag, ojales, etc.) para miimizar tiempos de producció. grupo, pesado e optimizar los espacios dispoibles. 309

4 Uidad 8 El problema clásico de asigació cosiste e asigar objetos o persoas idivisibles a m tareas de ua maera óptima. Las propiedades que debe cumplir u coflicto para formularse como u problema de asigació so las siguietes: totales. C ij de asigació de la persoa i a la tarea j Costrucció del modelo de asigació Las variables que se utiliza e el modelo de asigació so variables biarias, es decir, variables que sólo puede tomar los valores 0 o 1. Matemáticamete se escribe: x ij 1 si el asigado i realiza la tarea 0 e caso cotrario para i=1, 2,... j=1, 2, 3,... j El costo total de la asigació es igual a la suma de los productos de cada variable x ij por el costo asigado C ij Z mí i 1 j 1 C ij x ij E las restriccioes se asiga ua persoa a cada ua de las tareas y cada tarea debe ser realizada por ua persoa. Esto lo represetamos como: j 1 i 1 x 1 para i 1, 2,... ij x 1 para j 1, 2,... ij El modelo completo de asigació se obtiee al añadir la restricció de o egatividad y la de variables biarias: 310

5 Ivestigació de operacioes j 1 i 1 Z mí j 1 i 1 Sujeto a: C x x 1 para i 1, 2,... ij x 1 para j 1, 2,... ij x biarias para toda i y j x ij ij 0 Vemos que el modelo de asigació es muy parecido al modelo de trasporte, la diferecia radica e que las variables del modelo de asigació so biarias, mietras que e el modelo de trasporte las variables so eteras. Etoces podemos tomar el modelo de asigació como u problema de trasporte dode cada ua de las persoas es el orige y cada ua de las tareas so los destios. La oferta y demada so igual a uo, es decir, cada orige tiee ua sola persoa y cada destio ecesita sólo ua persoa. Los costos de capacitació represeta el costo de trasportar ua uidad del orige i al destio j. Por lo tato, el objetivo es ecotrar la combiació que miimice los costos de asigació y cumpliedo las restriccioes de oferta y demada. Al fial de la uidad veremos problemas que auque o cumple la primera propiedad puede formularse como problemas de asigació. ij ij Ejemplo 1 Ua empresa cotrata a cuatro persoas para cubrir los siguietes puestos: supervisor de acabado, supervisor de empaque, supervisor de producció, supervisor de materia prima. A cada uo se aplica u exame de aptitudes para determiar sus habilidades. A partir del resultado de los exámees se determia el costo que tiee su capacitació para cada uo de los puestos. Los costos se preseta e la siguiete tabla. 311

6 Uidad 8 Si se desea coocer la asigació de meor costo para la empresa, obteer la tabla iicial asociada al problema. La tabla iicial asociada al problema es: Ejemplo 2 Ua empresa dedicada a la compra y veta de equipo de cómputo adquirió seis máquias para ser vedidas, si embargo, el cliete pide ua prórroga de u mes para que le etregue las máquias. La empresa tiee que almacear las seis máquias durate este tiempo, se cotiza los precios de seis bodegas que puede almacear las máquias, los costos se muestra e la siguiete tabla. 312

7 Ivestigació de operacioes Nuevamete podemos ver este problema como u modelo de trasporte, dode los orígees so las máquias, los destios so las bodegas y el costo C ij es el costo de almaceaje. La oferta de cada uo de los orígees es uo, mietras que la demada de cada uo de los destios tambié es uo. Nuevamete, las variables sólo puede tomar el valor cero o uo. La tabla iicial de este problema es: Ejercicio 1 1. El objetivo e el problema de asigació es los costos. 2. Las variables e el problema de asigació so. 3. Ua persoa debe ser asigada a tarea. 4. El úmero de tareas y el úmero de persoas por asigar debe ser. 5. Costruir la tabla iicial del siguiete problema de asigació. Se abrirá 3 cetros de cómputo e diferetes ciudades de la República Mexicaa, por lo que se laza ua covocatoria para que se presete propuestas. Tres empresas iteresadas hace las siguietes ofertas: Empresa 1: $ 3 000, $ y $ por cada uo de los cetros. Empresa 2: $ 4 000, $ y $ por cada uo de los cetros. Empresa 3: $ 3 500, $ y $ por cada uo de los cetros. Se desea asigar de maera óptima cada uo de los proyectos a cada ua de las empresas. 313

8 Uidad Método húgaro o de matriz reducida Ua vez que obteemos el modelo de u problema de asigació, es coveiete desarrollar u procedimieto que os permita hallar la solució óptima del mismo. Dos matemáticos húgaros desarrollaro u algoritmo eficiete para el problema de asigació llamado método de matriz reducida o método húgaro, e hoor a sus creadores. A cotiuació describimos el algoritmo. Algoritmo geeral 1. Se costruye ua tabla de +1 por +1, la primera columa se utiliza para colocar las etiquetas de los cadidatos a asigar, mietras que la primera fila se utiliza para colocar las etiquetas de las tareas. E las iterseccioes se escribe el costo de asigació asociado. 2. Se idetifica el costo meor de cada ua de las filas y se resta a los costos de la misma fila (o regló). 3. Para la matriz que resulte del puto aterior, se idetifica el costo meor por columa y se resta a los costos de la misma columa. 4. Se busca los llamados ceros de asigació que so úicos e su regló y su columa, de maera que si existe dos o más ceros e u solo regló o e ua sola columa, éstos se marca co dos líeas cruzadas. Los ceros de asigació geera la solució óptima del problema. La posició de los ceros de asigació idica la tarea que correspode a cada persoa. Cuado el úmero de ceros de asigació sea igual al úmero de columas (o filas) hemos llegado a la solució óptima. Termia, si o, seguir co el algoritmo. 5. Si o es posible obteer todos los ceros de asigació co el proceso aterior, etoces se procede como sigue: a) Trazamos el meor úmero de líeas rectas horizotales y verticales, de tal maera que se cubra todas las etradas co u cero. b) Seleccioamos el costo meor o cubierto por líea de algua de las rectas trazadas e el iciso aterior y se lo restamos al resto de las etradas o cubiertas. 314

9 Ivestigació de operacioes c) Se suma a los elemetos que se ecuetre e el cruce de dos líeas el elemeto meor seleccioado del i ciso aterior. d) Los elemetos cruzados por ua sola líea se copia e la ueva tabla. e) Regresa al paso 4. Hallar la solució óptima del siguiete problema de asigació: Ejemplo 3 Ua empresa compra 3 impresoras, ua de iyecció de tita, ua de puto matriz y ua láser. Las impresoras se debe asigar a los siguietes departametos: recursos humaos, facturació y direcció. Debido a la frecuecia de uso e cada departameto y al tipo de impresora se tiee u costo de asigació, el cual se muestra e la siguiete tabla: Paso 1. La tabla iicial del método húgaro es: Paso 2. El costo meor de cada ua de las filas es 5, 4 y 4 respectivamete. Al restar 5 a los elemetos de la primer fila, restar 4 a los de la seguda y 4 a los de la tercera, obteemos: 315

10 Uidad 8 Paso 3. El costo meor de cada ua de las columas es 0, 0 y 2 respectivamete. Al restar e su columa respectiva obteemos: Paso 4. Buscamos los ceros de asigació. E este caso, la etrada (1, 1) tiee asigado u cero, por lo tato la impresora de iyecció de tita va al departameto de recursos humaos. La celda (2, 2) tiee u cero de asigació, por lo tato, la impresora de puto matriz va al departameto de facturació. La celda (3, 3) tiee u cero de asigació, por lo tato, la impresora láser va a la direcció. El costo total míimo de esta asigació es: = $ 15. Ua maera de idetificar si se puede realizar ua asigació óptima es: si al permutar las filas podemos hacer que la diagoal pricipal de la tabla tega etradas cero. 316

11 Ivestigació de operacioes Retomado el ejemplo 1, cuya tabla de costos es: Ejemplo 4 Obteer la asigació de meor costo para la empresa. Paso 1. La tabla iicial del método húgaro es: Paso 2. El costo meor de cada ua de las filas es 100, 300, 250 y 150 respectivamete. Al restar el costo míimo de cada ua de las filas correspodietes obteemos: Paso 3. El costo meor por columa de esta ueva tabla es 50, 0, 0 y 0. Al restar este costo míimo a cada ua de las columas correspodietes obteemos: 317

12 Uidad 8 Paso 4. Para verificar si es posible realizar ua asigació factible óptima, itercambiamos las filas para ver si es posible obteer etradas ceros e la diagoal pricipal. Itercambiamos la fila cuatro por la fila uo y obteemos la siguiete tabla: El método asegura que la asigació óptima es: La persoa 4 supervisa el departameto de acabado, la persoa 2 al departameto de empaque, la persoa tres al departameto de producció y la persoa uo al departameto de materia prima, co u costo míimo de $ 850. Ejemplo 5 Se ecesita hacer trabajos de jardiería, pitura y plomería e ua casa. Se pide a Jua, Pedro y Luis que realice u presupuesto sobre cada uo de los trabajos de maera idepediete. A cotiuació se muestra el costo que presetaro para las diferetes tareas. 318

13 Ivestigació de operacioes Debemos asigar ua tarea a cada uo de ellos, de tal maera que se miimice el costo total. Paso 1. La tabla iicial es: Paso 2. Los costos míimos de cada ua de las filas so 15, 25 y 18 respectivamete. Al restar cada uo de ellos a cada ua de las filas respectivas obteemos: Paso 3. Los costos míimos de esta ueva tabla por columa so 0, 0 y 3. Al restar cada uo de estos valores a la columa respectiva obteemos la siguiete tabla: Paso 4. La celda (1, 2) y la (2, 2) tiee cero, pero o es cero de asigació por o ser úico e su columa. La celda (3, 1) tiee u cero, pero o es de asigació. La celda (3, 3) tiee u cero pero tampoco es de asigació ya que o es úico e su regló. Auque permutemos las filas o es posible colocar ceros e la diagoal pricipal, como fue el caso del ejemplo 1, por lo tato cotiuamos co el algoritmo: 319

14 Uidad 8 Trazamos el meor úmero de líeas rectas que cubra todas las celdas co etradas cero a) El costo meor o cubierto es $ 2, que se resta de las etradas o cubiertas por líea algua: b) Le sumamos el costo meor $ 2 a las celdas dode se itersecta dos rectas: c) La tabla que obteemos es: Regresamos al paso 4. Paso 4. Si itercambiamos la fila tres co la fila uo, obteemos los ceros de asigació e la diagoal pricipal: 320

15 Ivestigació de operacioes Como el úmero de ceros de asigació es igual al úmero de columas (filas), por lo tato la asigació óptima es: A Luis el trabajo de jardiería co u costo de $ 18, a Pedro el trabajo de pitura co u costo de $ 25 y a Jua el trabajo de plomería co u costo de $ 20. El costo total míimo es de $ 63. Ejemplo 6 Hallar la solució óptima del problema del ejemplo 3, pero co la codició de que Jua o realiza trabajos de plomería. Paso 1. La tabla iicial del modelo es: Paso 2. Los costos míimos por fila so 15, 25 y 18, se resta a los valores e la f ila correspodiete: 321

16 Uidad 8 Paso 3. Los costos míimos por columa so 0, 0 y 12, se resta a los valores de su columa correspodiete: Paso 4. Se busca los ceros de asigació. E la celda (2, 1) se tiee u cero de asigació ya que es úico e su fila y columa. Si e la celda (1, 2) elegimos el cero como de asigació etoces el cero de su misma columa se aula y por tato el cero e la celda (3, 3) tambié será de asigació. Cocluimos que: Pedro realiza el trabajo de jardiería, Jua el de pitura y Luis el de plomería co u costo míimo de $ 25 + $ 15 + $ 30 = $ 70. Ejercicio 2 1. El método de matriz reducida fue desarrollado por dos matemáticos: a) Igleses. b) Rusos. c) Estadouideses. d) Húgaros. 2. El tamaño de la tabla iicial del método de matriz reducida es de: a) m b) m c) d)

17 Ivestigació de operacioes 3. Para comezar el algoritmo se seleccioa el costo por fila y se resta del resto de las etradas de la fila. 4. Para poder llevar acabo ua asigació óptima, debemos escribir la matriz reducida co e la diagoal pricipal. 5. Si o es posible realizar ua asigació óptima, debemos trazar el úmero de líeas posibles que cubra todas las celdas co etrada cero. 6. Ua empresa compra 3 computadoras, ua Petium I, ua Petium II y ua Petium III. Las computadoras se debe asigar a los siguietes departametos: recursos humaos, facturació y direcció. Debido a la frecuecia de uso e cada departameto y al tipo de computadora se tiee u costo de asigació, el cual se muestra e la siguiete tabla: Hallar la asigació óptima y el costo míimo Algoritmo de solució Ua vez que apredimos a utilizar el método húgaro para la solució de problemas de asigació, es importarte que ahora estudiemos el porqué fucioa. E la primera secció de la uidad ecotramos que el modelo de P. L. de asigació es el siguiete: Z mí j 1 i 1 C x ij ij 323

18 Uidad 8 j 1 i 1 Sujeto a: x 1 para i 1, 2,... ij x 1 para j 1, 2,... ij x biarias para toda i y j x ij ij 0 Vamos a demostrar que la solució óptima de este modelo permaece si cambios si se suma o resta ua costate a cualquier fila o columa de la matriz de costos. Supogamos que la matriz de costos es la siguiete: Sea p i el costo meor de cada fila, al restar esta catidad de cada fila os queda u uevo costo, dado por: C ij = C ij p i La tabla actualizada es: Sea q j el costo meor por columa de la tabla aterior, al restar esta catidad de cada columa os queda u uevo costo, dado por: C ij = C ij p i q j. La tabla actualizada es: 324

19 Ivestigació de operacioes Ahora calculemos la fució objetivo, e térmio de estos uevos costos: Z=(C 11 p 1 q 1 )x 11 +(C 12 p 1 q 2 )x 12 +(C 21 p 2 q 1 )x 21 +(C 22 p 2 q 2 )x 22 Realizado alguos cambios algebraicos, podemos llegar a la siguiete expresió equivalete: Z=C 11 x 11 + C 12 x 12 + C 21 x 21 + C 22 x 22 (p 1 +q 1 ) x 11 (p 1 +q 2 )x 12 (p 2 +q 1 )x 21 (p 2 +q 2 )x 22 Esta expresió la podemos rescribir como: Z C x ( p q ) x ij ij i 1 j 1 i 1 j 1 i j ij Por restriccioes del problema de asigació, sólo ua de las variables de cada fila puede ser igual a uo y el resto debe ser igual a cero, por lo tato, la suma del segudo térmi o es: ( p q ) x p q i j ij i i 1 j 1 i 1 j 1 j Fialmete la f ució objetivo la podemos escribir como: Z C x p q C x ij ij i j i 1 j 1 i 1 j 1 i i j 1 ij ij costate Debido a que esta fució objetivo difiere de la origial por sólo ua costate, ambas debe teer los mismos valores de x ij, por lo tato tiee la misma solució. Co esto demostramos que los pasos realizados e el algoritmo húgaro so válidos. 325

20 Uidad 8 Ejemplo 7 Ua empresa compra 3 compresoras de diferetes capacidades, ua grade, ua mediaa y ua chica. Las compresoras se debe asigar a los siguietes departametos: pitura de iteriores, pitura de exteriores y pitura de detalle. Debido a la frecuecia de uso e cada departameto y al tipo de compresora se tiee u costo de asigació, el cual se muestra e la siguiete tabla: Obteer la asigació de compresoras a los diferetes departametos de tal maera que se miimice los costos. Paso 1. Al resolver el modelo, obteemos la tabla iicial: Paso 2. Las catidades míimas de cada fila so 10, 2 y 5 respectivamete, se resta a cada valor e la fila correspodiete: 326

21 Ivestigació de operacioes Paso 3. Las catidades míimas por columa so 0, 0 y 2 respectivamete, se resta a cada valor e la columa correspodiete: Paso 4. Los ceros de asigació está e la diagoal pricipal de la tabla, por tato, la solució óptima del problema es: la compresora grade a pitura de exteriores, la compresora mediaa a pitura de iteriores y la compresora chica a pitura de detalle (solució óptima: x 11 =1, x 22 =1, x 33 =1) co u costo míimo de asigació de Z=$ 19. Ahora, si los costos se icremeta e 10% la tabla co los uevos costos es: Al resolver obteemos: Paso 2. Los costos meores por fila so 11, 2.20 y 5.50, respectivamete, se resta de los costos e su fila correspodiete: 327

22 Uidad 8 Paso 3. Los costos meores por columa so 0, 0 y 2.20, respectivamete, se resta de los costos e su columa correspodiete: La solució óptima del problema es: x 11 =1, x 22 =1, x 33 =1 co u costo míimo de asigació de Z=$ Observamos que la solució es la misma, es decir, teemos las mismas variables co valor uo, lo úico que cambia es el valor de Z, el cual se icremeta e $ Problemas o balaceados La primera codició que debe cumplir u problema de asigació es que el úmero de persoas a asigar sea igual al úmero de tareas, si embargo, e ocasioes alguos problemas o lo cumple. E esta secció vamos a apreder cómo podemos modificar este tipo de problemas para aplicar el algoritmo de asigació. Ejemplo 8 Ua empresa de trasportes tiee cuatro diferetes modelos de camioes. Depediedo de la pericia del coductor para maejar los cambios de la caja de velocidades, el camió cosume más o meos combustible. E la actualidad la plata cueta co tres coductores. Los costos por uso adicioal de combustible se muestra e la siguiete tabla: 328

23 Ivestigació de operacioes Hallar la asigació que miimiza los costos de combustible adicioal. El problema tiee tres persoas para asigar, pero el úmero de tareas (camioes) es de cuatro, por lo tato teemos u problema o balaceado. Para poder utilizar el método húgaro, lo primero que debemos hacer es balacear el problema. Para hacerlo debemos agregar u coductor ficticio, el costo para este coductor e todos los casos es cero, para que de esta maera o afecte el resultado de la fució objetivo. Al agregar u uevo coductor, la tabla iicial del problema queda de la siguiete forma: Ahora aplicamos el método húgaro. Paso 1. La tabla iicial del modelo es: Paso 2. Los costos míimos por fila so 150, 250, 100, 0, respectivamete, al restar este valor de cada ua de las filas obteemos la siguiete tabla: 329

24 Uidad 8 Paso 3. El paso tres o es ecesario, debido a que todas las columas cotiee al meos u cero que proviee de la fila de la persoa ficticia. Paso 4. Itercambiamos las filas 1 co la 2 y la 3 co la 4 para obteer los ceros de asigació e la diagoal pricipal: La asigació óptima es: El coductor 2 al camió 1, el coductor 1 al camió 2 y el coductor 3 al camió 4. La asigació del coductor 4 al camió 3 o es posible, debido a que el coductor 4 es ficticio, por lo tato, el camió 3 es el que o se ocupa. El costo míimo es de $ 500. Ejemplo 9 E u cetro de cómputo se tiee tres lugares libres, el de programador, el de aalista y el de supervisor. La empresa tiee a cuatro cadidatos para ocupar los puestos; el salario de cada uo de ellos depede del puesto e dode se les coloque. E la siguiete tabla se resume esta iformació. Programador Aalista Supervisor Cadidato 1 $ $ $ Cadidato 2 $ $ $ Cadidato 3 $ $ $ Cadidato 4 $ $ $ E este caso, teemos cuatro persoas para tres tareas, por lo tato el problema es desbalaceado. Teemos que agregar u puesto ficticio para balacear el problema, co u costo de cero para todos los cadidatos: 330

25 Ivestigació de operacioes Utilizamos el método húgaro. Paso 1. La tabla iicial es: Paso 2. Este paso o tiee igú setido aplicarlo, porque el costo meor por fila es cero, por lo tato la tabla queda igual al paso uo. Paso 3. Las catidades míimas por columa so , , , 0, respectivamete, se resta a cada valor e la columa correspodiete: 331

26 Uidad 8 Paso 4. No es posible obteer la matriz co ceros e la diagoal, sólo teemos 3 ceros de asigació y existe 4 columas, por lo tato debemos cotiuar co el algoritmo. Paso 5. a) b) El costo meor o tachado es 1 600, lo restamos al resto de las etradas libres. c) Sumamos el costo meor (1 600) a las celdas dode se itersecta dos rectas. Regresamos al paso 4. Paso 4. Buscamos los ceros de asigació: 332

27 Ivestigació de operacioes Itercambiamos la fila 3 por la 4. Por lo tato la asigació óptima es cadidato 1 a programador, cadidato 2 a aalista y cadidato 4 a supervisor. El cadidato 3 o se emplea. El costo de esta asigació es $ Ejercicio 3 1. Decimos que u problema de asigació es o balaceado si el úmero de persoas a asigar y el úmero de tareas a ocupar so: a) Diferetes. b) Positivas. c) Negativas. d) Iguales. 2. Si teemos ua tarea más que persoas para asigar debemos crear: a) Ua tarea ficticia. b) Ua persoa f icticia. c) Dos tareas f icticias. d) Asigar dos persoas a ua tarea. 333

28 Uidad 8 3. El costo de asigació para ua columa ficticia debe ser igual a: a) 10 b) 5 c) 0 d) Negativa. 4. E u laboratorio farmacéutico se tiee tres puestos libres, el de cotrol de calidad, el de producció y el de supervisor. La empresa tiee a cuatro cadidatos para ocupar los puestos. El salario de cada uo de ellos depede del puesto e dode se les coloque. E la siguiete tabla se resume esta iformació. Hallar la asigació que optimiza los recursos. Resolver el siguiete problema de asigació: Ejercicios propuestos 1. Los tres hijos del sr. Rodrigo Uribe: Miguel, Pedro y Luis quiere obteer recursos para asistir a ua fiesta. Su padre les ofrece pagarles si realiza alguas mejoras a su automóvil. Las mejoras posibles so: lavar el exterior, lavar el iterior y cambiar el aceite. Las reglas so que cada uo sólo puede realizar ua tarea y cada uo debe hacer ua oferta secreta de cuáto cobraría por cada ua de las tareas. E la siguiete tabla se muestra estos costos. 334

29 Ivestigació de operacioes Hallar la asigació óptima. 2. Resolver el problema de asigació, cuya matriz de costos se muestra a cotiuació. 3. E u cetro de cómputo se tiee tres lugares libres, el de programador, el de aalista y el de supervisor. La empresa tiee a cuatro cadidatos para ocupar los puestos; el salario de cada uo de ellos depede del puesto e dode se les coloque. E la siguiete tabla se resume esta iformació: Además el cadidato 1 o puede ocupar el puesto de aalista y el cadidato 3 o puede ocupar el puesto de programador. Hallar la asigació óptima y el costo total míimo. 335

30 Uidad 8 1. El problema de asigació balaceado tiee fuetes y: a) +1 destios. b) destios. c) 1 destios. d) 2 destios. Autoevaluació 2. El método óptimo para resolver problemas de asigació es: a) Símplex. b) Símplex dual. c) Modi. d) Húgaro. 3. Las variables e el modelo de asigació so: a) Fraccioarias. b) Negativas. c) No restrigidas. d) Biarias. 4. El objetivo del modelo de asigació es: a) Miimizar costos. b) Maximizar costos. c) Miimizar gaacias. d) Miimizar utilidades. 5. El paso 2 del método húgaro cosiste e restar el costo meor de cada fila al resto de los elemetos de: a) La columa. b) De toda la matriz. c) De la diagoal. d) La misma fila. 336

31 Ivestigació de operacioes 6. Si o es posible obteer ua asigació factible, debemos trazar el meor úmero de rectas que cubra todas las etradas co valor: a) Cero. b) Negativo. c) Positivo. d) Mayor a La solució óptima del siguiete problema de asigació es: a) x 12 =1, x 21 =1, x 33 =1 b) x 13 =1, x 21 =1, x 33 =1 c) x 11 =1, x 22 =1, x 33 =1 d) x 12 =1, x 33 =1, x 31 =1 8. El costo de la asigació óptima del siguiete problema es: a) $ 630 b) $ 520 c) $ 360 d) $

32 Uidad 8 9. El costo de la asigació óptima del siguiete problema es: a) $ 630 b) $ 520 c) $ 640 d) $ El úmero de variables distitas de cero e u problema balaceado de asigació es: a) +1 b) c) +m 1 d)

33 Ivestigació de operacioes Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. Miimizar. 2. Biarias. 3. Ua. 4. Iguales. 5. Ejercicio 2 1. d) 2. a) 3. Meor. 4. Ceros. 5. Meor. 6. x 11 =1, x 22 =1, x 33 =1 co Z mí =15 1. a) 2. b) 3. c) 4. x 11 =1, x 22 =1, x 43 =1 Z mí =$ Ejercicio 3 339

34 Uidad 8 1. x 12 =1, x 21 =1, x 33 =1 Z mí =$ x 11 =1, x 23 =1, x 32 =1, x 44 =1 Z mí =$ x 11 =1, x 22 =1, x 43 =1 Z mí = $ Respuestas a los ejercicios propuestos 1. b) 2. d) 3. d) 4. a) 5. d) 6. a) 7. c) 8. a) 9. c) 10. b) Respuestas a la autoevaluació 340

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