14327,, = 238, 47,, 14327,, = 238, 47,, = 3º 58, 47,,

Transcripción

1 MEDID DE LS ÁNGULS Y SU CLSIFICCIÓN. El ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas reciben el nombre de lados. Los ángulos se pueden designar por una letra mayúscula (,, C, D, etc.) situada en el vértice, a veces se usa una letra griega dentro del ángulo (θ, α, β, etc.), también podemos usar tres letras mayúsculas de manera que quede en medio la letra que está situada en el vértice del ángulo. θ C Medidas de ángulos. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad de medida; existen tres formas de medirlo las cuales se explican a continuación. SISTEM SEXGESIML. Si consideramos a una circunferencia y la dividimos en 0 partes iguales, de tal manera que un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. Cada división de la circunferencia se llama grado. Un grado a su vez se puede dividir en sesenta partes iguales llamadas minuto, cada minuto se puede dividir en sesenta partes iguales llamada segundos. Los símbolos para estas unidades son: Grados Minutos Segundos Para pasar de una magnitud superior a una magnitud inferior multiplicamos por 0 y para pasar de una magnitud inferior a una superior dividimos entre 0, como se muestra en la siguiente figura. Grados º Multiplicar X 0 Minutos, Segundos,, Dividir entre 0

2 Ejemplos resueltos de ángulos en el sistema sexagesimal. 1. Expresar 5º en minutos (, ). 5º = (5)(0)= 00, 2. Expresar 28º en segundos (,, ). 28º = ( 28)(0)(0) = ,,. Expresar 4º 7, a (, ). 4º = (4)(0) = 240, 240, + 7, = 277, 4. Expresar 20º 5, a segundos (,, ). 20º = (20)(0) = 1200, + 5, = 125, 125, = (125)(0) = 74100,, 5. Expresar 1250,, a minutos ,, = 20, 50,,,. Expresar 5 a grados , = º 5, 7. Expresar 1250,, a º ,, = 208, 50,, y 1250,, = 28, 50,, 8. Expresar 1427,, a º ,, = 28, 47,, 1427,, = 28, 47,, = º 58, 47,, 9. Expresar 48.54º a º,,, (0.54)*(0) = 9.240, 48.54º = 48º 9.240, (0.240)*(0) = 14.4,, 48.54º = 48º 9.240, = 48º 9, 14.4,, SISTEM CENTESIML. También se puede considerar a la circunferencia dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales. Cada grado se divide en 100 partes iguales llamadas minutos centesimales y cada minuto se divide en 100 partes iguales llamada segundo centesimales. Este sistema es el que menos se utiliza por eso sólo lo mencionamos.

3 SISTEM CIRCULR. En este sistema se utiliza como unidad de medida el ángulo llamado radián. Un radián es el ángulo cuyos lados comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. sí, si la longitud del arco C de la siguiente figura es igual a r, entonces C = 1 radián. r r r C Como el perímetro de cualquier circunferencia es 2π r, resulta entonces que un ángulo de 0º equivale a 2π r, es decir, si a π se le asigna un valor de.141 entonces 0º =.28 radianes, por lo que 1 radián = 0 /.28, quedando que 1radián = 57.º Relación entre los grados sexagesimales y el radián. Si representamos a los grados con la letra G y a los radianes con la letra R, se establece la siguiente proporción. G R 2πG = Por lo que simplificando 0º 2π 0º ( π )( G) y Ejemplos resueltos de ángulos en el sistema circular. G = ( )( R) π 1. Expresar 0º a radianes. ( π )( 0º ) ( π ). Expresar 120º a radianes. ( π )( 120º ) = ( π )( 0º ) = ( π )( 20º ) ( )( ) 2 π 90º 0º 2. Expresar 45º a radianes. ( π )( 45º ) 4. Expresar ( π ) 4 π a grado sexagesimal. π ( ) = G cancelamos π π ( ) G = G= 0º

4 CLSIFICCIÓN DE LS ÁNGULS. Los ángulos se pueden clasificar en dos categorías; de acuerdo al valor de su medida y a su relación como pares de ángulos. CLSIFICCIÓN DE LS ÁNGULS SEGÚN SU MEDID. a) Ángulo nulo. Si su medida es 0º, que es el definido por dos semirrectas que coinciden. = 0º b) Ángulo agudo. Si su medida es mayor de 0º y menor de 90º. = Ángulo agudo c) Ángulo recto. Es el ángulo que su medida es de 90º = Ángulo recto d) Ángulo obtuso. Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de. = Ángulo obtuso e) Ángulo llano. Es aquel ángulo que mide. = Ángulo llano.

5 f ) Ángulo entrante: es un ángulo mayor de y menor de 0º. = Ángulo entrante g ) Ángulo Perígono. Es el ángulo cuya medida es 0º. = Ángulo perígono h) Ángulo cóncavo. Es aquel ángulo cuya medida es menor de y comprende los ángulos agudos, rectos y obtusos. i) Ángulo convexo. Es aquel ángulo cuya medida es mayor de y comprende los ángulos entrante y perígono. CLSIFICCIÓN CM PRES DE ÁNGULS. a) Ángulos adyacentes. Son dos ángulos consecutivos que tienen el mismo vértice y tienen un lado común. θ α

6 θ b) Ángulos complementarios. Son los ángulos que sumados forman un ángulo recto ( 90º). θ α θ + α = 90º c) Ángulos suplementarios. Son los ángulos que sumados valen. θ α θ + α = 180 d) Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro, estos ángulos son iguales en valor. C En la figura de la izquierda los ángulos que son opuestos por el vértice son: D y CD C y D Ejemplos resueltos de ángulos complementarios. 1. Hallar el complemento del siguiente ángulo. θ α =22 2. Hallar el complemento del siguiente ángulo. θ = 57º α θ + α = 90º por ser complementarios. θ = 90º - α θ = 90º - 22º θ = 8º θ + α = 90º por ser complementarios. α = 90º - θ α = 90º - 57º α = º

7 Ejemplos resueltos de ángulos suplementarios. 1. Hallar el suplemento del siguiente ángulo. 2. Hallar El valor de los dos ángulos θ y el. θ = 55º θ = 2x = 4x θ + = = - θ = - 55º = 125º θ + = 180 2x + 4x = x = x = x = 0º = 4x = 4(0º) = 120º θ = 2x θ = 2(0º) θ = 0º