Introducción a la programación lineal

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1 Introducción a la programación lineal La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una amplia variedad de casos, en los campos de agricultura, industria, transporte, economía, salud, ciencias sociales y de la conducta, y militar. También produce algoritmos eficientes de cómputo para problemas con miles de restricciones y variables. En realidad, debido a su tremenda eficiencia de cálculo, la programación lineal forma la columna vertebral de los algoritmos de solución para otros modelos de investigación de operaciones, como las programaciones entera, estocástica y no lineal. Este capítulo comienza con el caso de un modelo de dos variables, y presenta su solución gráfica. Esta solución gráfica permite tener una perspectiva del desarrollo del método símplex, técnica algebraica general. También presenta ideas concretas para el desarrollo y la interpretación de análisis de sensibilidad en programación lineal. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES Esta sección explicará la solución gráfica de una programación lineal con dos variables. Aunque en la práctica casi no existen problemas con dos variables, la presentación aportará ideas concretas para el desarrollo del algoritmo de solución general que se presentará en el capítulo 3. Ejemplo (La compañía Reddy Mikks) Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema. Ton de materia prima de Pinturas para Pinturas para máxima exteriores interiores disponibilidad diaria Materia prima M Materia prima M Utilidad por Ton (miles de $) 5 4 Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy Mikks desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total. El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos. 1. Las variables de decisión que se trata de determinar. 2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar. 3. Las restricciones que se deben satisfacer. 1

2 La definición correcta de las variables de decisión es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez hecha, la tarea de construir la función objetivo y las restricciones se hace en forma más directa. Para el problema de Reddy Mikks, se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores. Así, las variables del modelo se definen como sigue: x 1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores x 2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue: Uso de una materia Prima Disponibilidad máxima para ambas pinturas de materia prima Según los datos del problema, Uso de la materia prima M1, por día = 6x 1 + 4x 2 toneladas Uso de la materia prima M2, por día = 1x 1 + 2x 2 toneladas Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue: 6x 1 + 4x 2 24 (Materia prima M1) x 1 + 2x 2 6 (Materia prima M2) La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x 2 x 1 no debe ser mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en x 2 x 1 1. La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como x 2 2. Una restricción implícita (o que se sobreentiende ) es que las variables x 1 y x 2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad, x 1 0 y x 2 0, expresan ese requisito. El modelo de Reddy Mikks completo es Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 s.a. 6x 1 + 4x 2 24 x 1 + 2x 2 6 2

3 x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1, x 2 0 Cualquier valor de x 1 y x 2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solución factible. Por ejemplo, la solución x 1 = 3 toneladas diarias y x 2 = 1 tonelada diaria es factible, porque no viola alguna de las restricciones, incluyendo las de no negatividad. Para comprobar este resultado se sustituye (x1 = 3, x 2 = 1) en el lado izquierdo de cada restricción. Por ejemplo, en la primera restricción, 6x 1 + 4x 2 = = 22, que es menor que 24 en el lado derecho. El valor de la función objetivo correspondiente a la solución (x 1 = 3, x 3 = 1) es z = = 19 (miles de dólares). Desde el punto de vista de todo el modelo, nos interesa determinar la solución óptima factible que produzca la utilidad total máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones. No se acepta enumerar las soluciones factibles, porque el modelo tiene una cantidad infinita de ellas. En su lugar, se necesita un procedimiento sistemático que ubique con eficiencia la solución óptima. El método gráfico de la sección 2.3, y su generalización algebraica en el capítulo 3, resuelven este punto. En el ejemplo anterior, las funciones objetivo y restricciones son lineales, todas. La linealidad implica que la programación lineal debe satisfacer dos propiedades: proporcionalidad y aditividad. 1. La proporcionalidad requiere que la contribución de cada variable de decisión en la función objetivo, y sus requerimientos en las restricciones, sea directamente proporcional al valor de la variable. Por ejemplo, en el modelo de Reddy Mikks, las cantidades 5x 1 y 4x 2 expresan las utilidades por producir x 1 y x 2 toneladas de pintura para exteriores y para interiores, respectivamente, y las utilidades unitarias por tonelada son 5 y 4, que definen las constantes de proporcionalidad. Si, por otra parte, Reddy Mikks ofrece alguna clase de descuentos por cantidad cuando las ventas son mayores que ciertas cantidades, la utilidad ya no será proporcional a las cantidades producidas x 1 y x La aditividad estipula que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y sus requerimientos en las restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable. En el modelo de Reddy Mikks, la utilidad total es igual a la suma de dos componentes individuales de utilidad. Sin embargo, si los dos productos compiten por la misma parte de mercado en forma tal que un aumento de ventas de uno afecte negativamente al otro, ya no se satisface la propiedad de aditividad. SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos: 1. Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo. 2. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones. Usaremos dos ejemplos en el procedimiento, para mostrar cómo se manejan las funciones objetivo de maximización y de minimización. 3

4 2.2.1 Solución de un modelo de maximización Ejemplo En este ejemplo se resolverá el modelo de Reddy Mikks, de la sección 2.1. Paso 1. Determinación del espacio de soluciones factibles: Primero, se tendrán en cuenta las restricciones de no negatividad x 1 0 y x 2 0. En la figura 2.1, el eje horizontal x 1 y el eje vertical x 2 representan las variables pintura para exteriores y pintura para interiores, respectivamente. En consecuencia, las restricciones de no negatividad limitan el área del espacio de soluciones al primer cuadrante: arriba del eje x 1 y a la derecha del eje x 2. Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones, primero se sustituye cada desigualdad con una ecuación, y a continuación se gráfica la recta resultante, ubicando dos puntos diferentes de ella. Por ejemplo, después de sustituir 6x 1 + 4x 2 24 con la recta 6x 1 + 4x 2 = 24, se pueden determinar dos puntos distintos, primero igualando x 1 = 0 para obtener x 2 = 24/4 = 6 y después igualando x 2 = 0 para obtener x 1 = 24/6 = 4. De este modo, la recta que pasa por los dos puntos (0, 6) y (4, 0) es la que se identifica con (1) en la figura 2.1. A continuación consideraremos el efecto de la desigualdad. Todo lo que hace la desigualdad es dividir al plano (x 1, x 2 ) en dos semiespacios que en este caso son semi-planos, uno a cada lado de la línea graficada. Sólo una de esas dos mitades satisface la desigualdad. Para determinar cuál es el lado correcto, se elige cualquier punto de referencia en el primer cuadrante. Si satisface la desigualdad, el lado en el que está es el semiplano factible. En caso contrario, quiere decir que es el otro lado. Desde el punto de vista de los cálculos, es cómodo seleccionar a (0,0) como el punto de referencia, a menos que la recta pase por el origen; si así fuera, se debería elegir otro punto. El uso del punto de referencia (0,0) se ilustra con la restricción 6x 1 + 4x Como = 0 es menor que 24, el semiplano que representa la desigualdad incluye al origen (lo que se indica con la flecha en la figura 2.1). Para demostrar el uso de otros puntos de referencia, investigaremos (6, 0). En este caso = 36, que es mayor que el lado derecho de la primera restricción, y eso indica que el lado en el que está (6,0) no es factible para la desigualdad. Este resultado es consistente con el que se obtuvo usando (0,0) como punto de referencia. Con la aplicación del procedimiento del punto de referencia a todas las restricciones del modelo se obtiene el espacio factible que se indica en la figura 2.1. Paso 2. Determinación de la solución óptima: El espacio factible de la figura 2.1 está delimitado por los segmentos de recta que unen a los vértices A, B, C, D, E y F. Todo punto dentro o en la frontera del espacio ABCDEF es factible, porque satisface todas las restricciones. Ya que el espacio factible ABCDEF está formado por una cantidad infinita de puntos, es obvio que se necesita un procedimiento sistemático para identificar la solución óptima. Para identificar la solución óptima se requiere identificar la dirección en la que aumenta la función utilidad z = 5x 1 + 4x 2 (recuérdese que se está maximizando a z). Para hacerlo se asignan valores arbitrarios crecientes a z. Por ejemplo, si z = 10 y z = 15 equivaldría a 4

5 Figure 1: graficar las dos rectas 5x 1 + 4x 2 = 10 y 5x 1 + 4x 2 = 15. En consecuencia, la dirección de aumento en z es la que se ve en la figura 2.2. La solución óptima se encuentra en C, que es el punto, en el espacio de soluciones, más allá del cual cualquier aumento en z saca a uno de las fronteras de ABCDEF. Los valores de x 1 y x 2, correspondientes al punto óptimo C se calculan resolviendo las ecuaciones asociadas a las rectas (1) y (2), esto es, resolviendo 6x 1 + 4x 2 = 24 x 1 + 2x 2 = 6 La solución es x 1 = 3 y x 2 = 1.5 y en ese caso z = = 21. Eso equivale a una mezcla de productos de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores. La utilidad diaria correspondiente es $ No es por accidente que la solución óptima se encuentre en un punto de esquina (vértice) del espacio de soluciones, donde se cruzan dos líneas. En realidad, si se cambia la pendiente de la función utilidad z (cambiando sus coeficientes), se verá que la solución óptima siempre se encuentra en esos puntos de esquina. Esta observación es clave para desarrollar el algoritmo símplex general 5

6 Figure 2: que se presenta en el capítulo Solución de un modelo de minimización Ejemplo (Problema de la dieta) En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (Ib) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes: lb por lb de alimento Alimento Proteínas Fibras Costo ($/lb) Maíz Soya Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo. Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya, las variables de decisión del modelo se definen como sigue: x 1 = lb de maíz en la mezcla diaria x 2 = lb de soya en la mezcla diaria 6

7 La función objetivo trata de minimizar el costo (en dólares) diario total de la mezcla de alimentos, y en consecuencia se expresa como sigue: Minimizar z = 0.3x x 2 Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dietéticos. Como Granjas Modelo necesita un mínimo de 800 Ib diarias de alimento, la restricción correspondiente se puede expresar como sigue: x 1 + x En cuanto a la restricción dietética de necesidades de proteína, la cantidad de proteína que contienen x 1 lb de maíz y x 2 lb de soya es (0.09x x 2 ) lb. Esta cantidad debe ser cuando menos igual al 30% de la mezcla total de alimentos, (x 1 + x 2 ) lb; esto es 0.09x x 2 0.3(x 1 + x 2 ) De manera similar, la restricción de la fibra se define como 0.02x x (x 1 + x 2 ) Las restricciones se simplifican agrupando todos los términos en x 1 y x 2 y pasándolos al lado izquierdo de cada desigualdad, para que sólo quede una constante en el lado derecho. Así, el modelo completo viene a ser Minimizar z = 0.3x x 2 s.a. x 1 + x x x x x 2 0 x 1, x 2 0 La figura 2.3 muestra la solución gráfica del modelo. A diferencia del modelo de Reddy Mikks (Ejemplo 2.2-1), la segunda y la tercera restricciones pasan por el origen. Para graficar las rectas correspondientes sólo se necesita un punto adicional, que se puede obtener asignando un valor a una de las variables y despejando la otra. Por ejemplo, en la segunda restricción x 1 = 200 produce x 2 = 0, es decir, x 2 = 140. Eso quiere decir que la recta 0.21x 1 0.3x 2 = 0 pasa por (0,0) y (200, 140). También obsérvese que no se puede usar (0,0) como punto de referencia en las restricciones 2 y 3, porque ambas rectas pasan por el origen. En lugar de ellos se puede usar cualquier otro punto, por ejemplo (100, 0) o (0, 100) para ese propósito. Ya que en este modelo se busca minimizar la función objetivo, necesitamos reducir todo lo posible el valor de z, en la dirección que muestra la figura 2.3. La solución óptima es la intersección de las dos rectas, x 1 + x 2 = 800 y 0.21x 1 0.3x 2 = 0; así se obtienen x 1 = lb y x 2 = lb. El costo mínimo correspondiente, de la mezcla de alimentos, es z = = $ diarios. 7

8 Figure 3: 8

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