III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

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1 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES () INTRODUCCIÓN E cualquer proceso productvo resulta coveete coocer e todo mometo hasta qué puto uestros productos cumple co las especfcacoes preestablecdas. Como ya cometamos e el capítulo ateror, podemos decr que la caldad de u producto tee dos grades eemgos : () las desvacoes co respecto al objetvo especfcado (falta de exacttud), y () ua excesva varabldad respecto a los valores deseables (falta de precsó). La dea cosste e extraer muestras de u proceso productvo que se ecuetra actvo y, a partr de las msmas, geerar gráfcos que os permta tato estudar la varabldad del msmo como comprobar s los productos obtedos cumple o o co las especfcacoes preestablecdas. E caso de aprecar e tales gráfcos tedecas o aleatoras o be muestras que se stúe más allá de los límtes de cotrol cosderaremos que el proceso está fuera de cotrol. S así ocurre, estaremos teresados e averguar las causas especales que afecta al proceso. E u gráfco de cotrol se represeta gráfcamete ua característca de caldad T, medda o calculada a partr de muestras del producto, e fucó de las dferetes muestras. La gráfca tee ua líea cetral que smbolza el valor medo de la característca de caldad. Falmete, otras dos líeas (los límtes superor e feror de cotrol) flaquea a la ateror a ua dstaca determada. Estos límtes so escogdos de maera que s el proceso está bajo cotrol, cas la totaldad de los putos muestrales se halle etre ellos. Así, u puto que se ecuetra fuera de los límtes de cotrol se terpreta como ua evdeca de que el proceso está fuera de cotrol. Además, cluso s todos los putos se halla compreddos etre los límtes de cotrol, pero se comporta de maera sstemátca o o aleatora, també tedríamos u proceso fuera de cotrol (veremos cómo estudar la exsteca de tales patroes o aleatoros medate los llamados tests para causas especales). Varable T * σ T Límte superor (LSC) Líea cetral Límte feror (LIC) Número de muestra o tempo La determacó de los límtes de cotrol se basa e coceptos y resultados estadístcos: supogamos, p.e., que estamos teresados e cotrolar la meda µ de ua varable aleatora X cuya dstrbucó tee ua desvacó estádar σ (µ y σ costates durate el proceso). Sabemos (por el TCL) que, para u tamaño muestral grade, la dstrbucó de las medas muestrales será aproxmadamete ormal co meda gual a µ y desvacó estádar gual a σ/. De este hecho se deduce que aproxmadamete el 99,7% de las medas muestrales estará cotedas e el tervalo µ ± * σ/, tervalo que vee defdo por los límtes de cotrol. Este secllo razoameto es la base para la costruccó de todos los gráfcos de cotrol. Observar que, como el tervalo ateror depede de, s trabajamos co muestras de dsttos tamaños los límtes de cotrol o formará ua líea recta, pues la dstaca que les separa de la líea cetral aumetará coforme dsmuya (será límtes escaloados ). III -

2 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB S dejamos mometáeamete al marge el estudo de posbles patroes o aleatoros e el gráfco de cotrol, podemos cosderar que éste o es más que u cotraste de hpótess e el que podemos cosderar como hpótess ula Ho el hecho de que el proceso está bajo cotrol estadístco. El que u puto se ubque etre los límtes de cotrol es equvalete a o poder rechazar la hpótess ula Ho; por el cotraro, el que u puto se ubque fuera de los límtes de cotrol equvale al rechazo de la hpótess del cotrol estadístco. Observar que la seleccó de los límtes de cotrol equvale pues a determar la regó crítca para probar la hpótess ula Ho de que el proceso está bajo cotrol estadístco: alejado dchos límtes de la líea cetral se reduce α (o probabldad de cometer u error de tpo I,.e.: que u puto caga fuera de los límtes de cotrol s que haya ua causa especal), s be també se eleva co ello β (o resgo de cometer u error tpo II,.e.: que u puto caga etre dchos límtes cuado el proceso se ecuetra e realdad fuera de cotrol). E geeral, para u α determado, cuato más grade sea el tamaño muestral, tato más sesble será el gráfco a la hora de detectar pequeños cambos e el proceso (.e., para α fjo, a mayor mayor será la poteca del cotraste -β). Podemos dstgur dos grades clases de gráfcos de cotrol: los gráfcos de cotrol por varables hace uso de estadístcos obtedos a partr de datos tales como la logtud o grosor de u elemeto, metras que los gráfcos de cotrol por atrbutos se basa e frecuecas tales como el úmero de udades defectuosas. Así, e los gráfcos de cotrol por varables es posble medr la característca de caldad a estudar. E estos casos covee descrbr la característca de caldad medate ua medda de tedeca cetral (usualmete la meda muestral) y ua medda de su varabldad (usualmete el rago o la desvacó estádar). Los gráfcos de cotrol por varables so más sesbles que los gráfcos de cotrol por atrbutos, razó por la cual so capaces de avsaros de posbles problemas de caldad cluso ates de que éstos sea ya relevates. Por su parte, los gráfcos de cotrol por atrbutos tee la vetaja de stetzar de forma rápda toda la formacó referda a dferetes aspectos de caldad de u producto, ya que permte clasfcar éste como aceptable o aceptable; además, o suele ecestar de sstemas de medcó muy complejos y so más fáclmete etedbles por los o especalstas. A cotuacó se agrupa los gráfcos de cotrol por varables segú el tpo de datos de que dspogamos: TIPO DE DATOS ESTADÍSTICOS A REPRESENTAR NOMBRE DEL GRÁFICO Datos e subgrupos Medas de subgrupos, X-barra Ragos de subgrupos, R Desvacoes estádar de subgrupos, S X-barra y R X-barra y S X-barra R S X-barra y R X-barra y S Observacoes dvduales Observacoes dvduales Ragos móvles Obs. Idvduales y ragos móvles Idvdual Ragos móvles I MR Combacoes de subgrupos Medas móvles co peso expoecal Medas móvles Sumas acumuladas Obs. Idvduales o medas de subgrupos segú su dstaca a la líea cetral EWMA Medas móvles CUSUM Zoa Seres cortas Obs. Idvduales estadarzadas y ragos móvles Z - MR III -

3 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () TRANSFORMACIÓN BOX-COX PARA DATOS NO NORMALES A f de poder terpretar correctamete los gráfcos, resulta mprescdble que las observacoes provega de ua dstrbucó aproxmadamete ormal. S uestros datos provee de ua dstrbucó otablemete asmétrca, podemos aplcarles la trasformacó Box-Cox para ducr ormaldad. Dada ua varable aleatora Y asocada a ua dstrbucó asmétrca, pretedemos trasformarla e otra varable Y, dode Y = Y λ ó Y = L Y. El método de Box-Cox estma aquel valor para λ el cual mmza la desvacó estádar de Y. S λ, etoces Y = Y λ ; e caso cotraro, Y = L Y. Observar que s el valor obtedo para λ es próxmo a la udad el trasformar la varable o os supodrá ua gra vetaja. Ejemplo Box-Cox: Los datos cotedos e el archvo BoxCox.mtw provee de ua dstrbucó sesblemete sesgada a la derecha. Cosste e subgrupos de tamaño. Los datos se ecuetra e la columa C. Seleccoar Stat > Cotrol Charts > Box-Cox Trasformato : Rellear los campos como se dca e la sguete mage: III -

4 Box-Cox Plot for Datos Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB 9% Cof dece Iterv al Last Iterato Ifo Lambda StDev Low -,6,86 Est,,86 9 Up,6,8 StDev , -,,,, Lambda,,,, La Tabla de Iformacó correspodete a la últma teracó cotee el mejor estmador para λ, el cual resulta ser de,. Otros dos bueos estmadores sería,6 y,6. Las dos líeas rojas del gráfco determa u tervalo de cofaza a vel del 9% para el verdadero valor de λ. Dcho tervalo cotee a todos los posbles valores de λ cuya desvacó estádar es meor o gual a la dcada por la líea horzotal dscotua, e este caso sería el tervalo de extremos, y,4. Dado que el mejor estmador para λ es el cero, la trasformacó que tomaríamos sería Y = L Y. MODELO DE SHEWART PARA GRÁFICOS DE CONTROL Sea T u estadístco muestral que mde algua característca de caldad, y supogamos que T se dstrbuye de forma aproxmadamete ormal, co meda µ T y desvacó estádar σ T. Etoces, la líea cetral y los límtes superor e feror del gráfco de cotrol vedrá dados, segú el modelo de Shewart, por: LSC = µ Líea cetral = µ LIC = µ T T + σ σ T T T U método alteratvo al de Shewart sería el modelo probablístco: e vez de especfcar los límtes de cotrol como u múltplo de la desvacó estádar, se hubera poddo escoger drectamete la probabldad de u error de tpo I y calcular el límte (probablístco) de cotrol correspodete. Por ejemplo, s se hubera tomado α =,, etoces el múltplo adecuado de la desvacó estádar habría sdo,9. Observar que s la dstrbucó de T es aproxmadamete ormal, habrá poca dfereca etre los límtes de tres sgma y los probablístcos de,. III - 4

5 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES Como djmos e la troduccó, cuado alguo de los estadístcos muestrales cae fuera de los límtes de cotrol, hay razoes para pesar que el proceso está fuera de cotrol. Además, també es mportate estudar la posble exsteca de patroes o aleatoros e la represetacó de dchos estadístcos muestrales, ya que tales patroes suele ser u sítoma de que la los parámetros del proceso está cambado. A tal efecto se utlza los tests para causas especales o asgables, térmo que se cotrapoe al de causas comues o aleatoras (heretes a todo proceso). Al gual que los límtes de cotrol, los tests para causas especales tee u fudameto estadístco. Así, por ejemplo, la probabldad de que u estadístco muestral caga por ecma de la líea cetral será de, bajo los sguetes supuestos: () que el proceso esté bajo cotrol, () que estadístcos muestrales cosecutvos sea depedetes, y () que la dstrbucó de los estadístcos muestrales sea aproxmadamete ormal. Por tato, e tales codcoes, la probabldad de que dos estadístcos cosecutvos caga por ecma de la líea cetral será de,*, =,, y la probabldad de que 9 estadístcos cosecutvos caga e el msmo lado de la líea cetral será de,^9 =,9. Este últmo valor se aproxma mucho a la probabldad de u estadístco muestral caga más allá de los límtes de cotrol de sgma (supoedo ua dstrbucó ormal y u proceso bajo cotrol), por lo que la exsteca de estos 9 estadístcos podría terpretarse como otro dcatvo de que el proceso está fuera de cotrol. La fraja compredda etre dos y tres sgmas respecto a la líea cetral se deoma zoa A, la compredda etre y sgmas se llama zoa B, y la fraja stuada a meos de sgma se deoma zoa C. El programa Mtab permte realzar varos tests para determar la posble exsteca de causas especales que fluya sobre la varabldad de las observacoes (comportameto o aleatoro de los datos): Cada uo de los tests detecta u determado comportameto o aleatoro e los datos. Cuado alguo de los tests resulta postvo etoces hay dcos de que la varabldad de las observacoes se debe a causas especales, las cuales deberá vestgarse. Es mportate otar que para realzar estos tests todas las muestras ha de ser del msmo tamaño. III -

6 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB Test : u puto stuado más allá de los límtes de cotrol sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A úmero de muestra 8 9 Test : ueve putos cosecutvos e el msmo lado sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A Test : ses putos cosecutvos ascedetes o descedetes muestra sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A úmero de muestra 8 9 Test 4: catorce putos cosecutvos alterado arrba y abajo sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A muestra III - 6

7 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () Test : dos de tres putos cosecutvos stuados más allá de sgmas (msmo lado) sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A úmero de muestra Test 6: cuatro de cco putos cosecutvos stuados a más de u sgma (msmo lado) sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A úmero de muestra Test 7: quce putos cosecutvos stuados a meos de u sgma (ambos lados) sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A muestra Test 8: ocho putos cosecutvos stuados a más de u sgma (ambos lados) sgma Zoa A Zoa B Zoa C Zoa C Zoa B Zoa A muestra III - 7

8 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB GRÁFICOS X-BARRA Y R E la troduccó cometamos que los gráfcos por varables se utlza para cotrolar ua característca mesurable del producto, como puede ser la logtud, el peso, la altura, etc. U gráfco X-barra cotee las medas muestrales de la característca que se pretede estudar, por lo que medate él podremos detectar posbles varacoes e el valor medo de dcha característca durate el proceso (desvacoes co respecto al objetvo). U gráfco R es u gráfco de cotrol para ragos muestrales. Se utlza para medr la varacó del proceso y detectar la posble exsteca de causas especales. Es habtual usar los gráfcos R para estudar la varacó e muestras de tamaño o superor a, recurredo a los gráfcos S para muestras mayores. Sea X la característca de caldad que os teresa medr, dode X N(µ,σ). Tomaremos muestras, cada ua de ellas de tamaño. Deotaremos por X, X,..., X a las observacoes que forma la muestra -ésma, dode =,,...,. Veamos cómo costrur u gráfco X-barra: Por el Teorema de Dstrbucó Muestra, sabemos que: µ x = µ y σ Por el Teorema Cetral del Límte, X N µ, Segú el modelo de Shewart tedremos que: σ = x σ σ LSC = µ + Líea cetral = µ LIC = µ σ S µ es descoocda, la podemos estmar (observar que tal estmacó se realzará a partr de las muestras obtedas, >, tomadas cuado se cosdera que el proceso está bajo cotrol): ˆµ = X = X dode X = = X j j= Observar que µˆ es estmador sesgado de µ ya que E[ X ] = E[ X ] = µ x = µ. = S σ es descoocda, la podemos estmar a partr de los ragos R (observar que tal estmacó se realzará a partr de las muestras obtedas, >, tomadas cuado se cosdera que el proceso está bajo cotrol): - =,,...,, sea R = Max{ X j } M{ X / j } µ j /. Se cumple que = d ( R ), dode d() es u valor tabulado que depede de. - Notar que R / d () es u estmador sesgado de σ, ya que: [ R ] R E d ( ) E = = = σ d ( ) d ( ) d ( ) j III - 8

9 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () Así, es buea dea tomar como estmador de σ el promedo de los R / d () : R R ˆ σ = = ( σˆ es estmador sesgado de σ) d ( ) d ( ) = E caso de que el tamaño muestral ( ) sea dferete para cada subgrupo, a la hora de calcular los límtes segú el modelo de Shewart, podemos optar por:. Obteer los límtes usado el asocado a cada muestra, co lo que las líeas de cotrol o será rectas (dará saltos arrba y abajo segú dsmuya o aumete),. S los o dfere mucho uos de otros, podríamos tomar = =. E esta stuacó de tamaños muestrales dferetes, los estmadores para µ y σ será: X R µˆ = y ˆ σ = d ( ) Ejemplo gráfco X-barra: Supogamos que trabajamos e ua plata de motaje de coches. A la hora de motar los motores, partes de la cadea de motaje se mueve vertcalmete arrba y abajo a certa dstaca del vel horzotal de refereca. A f de asegurar la caldad de la produccó, realzamos cco medcoes cada día laborable desde el 8 de septembre hasta el de octubre, y dez medcoes daras desde el 8 hasta el de octubre. Los datos está cotedos e el archvo Motores.mtw. Seleccoar Stat > Cotrol Charts > Xbar Rellear los campos como se dca a cotuacó: III - 9

10 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB X-bar Chart for Dstac 4 6,SL=4,7,SL=,8 Sample Mea ,SL=,86 X=,447 -,SL=-,9778 -,SL=-,97 -,SL=-,87 - Sample Number Test Results for Xbar Chart TEST 6. 4 out of pots more tha sgma from ceter le (o oe sde of CL). Test Faled at pots: Observamos que el subgrupo o ha superado el Test 6 ya que es el cuarto puto stuado e la zoa B (etre y desvacoes estádar de la líea cetral), lo cual sugere la exsteca de causas especales e el proceso. III -

11 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () Veamos ahora cómo costrur u gráfco R. Recordemos que X era la característca de caldad que os teresa medr, dode X N(µ,σ), y que deotamos por X, X,..., X a las observacoes que formaba la muestra -ésma, dode =,,...,. =,,...,, sea R = Max{ X / j } M{ X / j } µ = d (, y = d ) ( ), dode d j j. Se cumple que R σ R (), d () so valores tabulados que depede de. Se cumple que: R N( d ), d ( ) ( ) Por tato, segú el modelo de Shewart, tedremos que: LSC = d LIC = d ( ) + d Líea cetral = d ( ) d ( ) ( ) ( ) S σ es descoocda, la podemos estmar a partr de los ragos R como vmos para el gráfco X-barra. Asmsmo, la observacó que vmos e los dagramas X-barra para el caso e que el tamaño muestral ( ) sea dferete para cada muestra es gualmete aplcable aquí. Ejemplo gráfco R: A f de estudar la varacó e el proceso, realzaremos ahora el gráfco R de los datos del ejemplo ateror (archvo Motores.mtw): Seleccoar Stat > Cotrol Charts > R Completamos los campos: III -

12 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB R Chart for Dstac,SL=,98 Sample Rage R=7,9 -,SL=,E+ Sample Number Test Results for R Chart TEST 6. 4 out of pots more tha sgma from ceter le (o oe sde of CL). Test Faled at pots: Vemos e el gráfco ateror que los putos se ecuetra aleatoramete dstrbudos e la zoa compredda por los límtes de cotrol, lo que sgfca que el proceso es estable. Resulta també mportate comparar los putos del gráfco R co los del gráfco X-barra para ver s sgue las msmas tedecas. E la práctca se suele cosderar los dagramas Xbarra-R, que o so otra cosa so la presetacó cojuta de u dagrama X-barra y otro R. La razó de usar dcho dagrama cojuto es la sguete: S la dstrbucó de la v.a. X es ormal (como hemos supuesto), etoces las v.a. X-barra y R so depedetes (Teorema de Cochra). Por tato, s exstese ua correlacó etre los valores de X-barra y R (es decr, s los putos e ambas gráfcas presetase gráfcos paralelos), ello dcaría que la dstrbucó subyacete sería sesgada (o ormal), co lo que los aálss posterores podría estar equvocados. III -

13 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () Ejemplo gráfco Xbarra-R: E uestra plata de motaje de vehículos, sabemos que ua de las pezas del motor debe teer ua logtud de 6 ± mm a f de satsfacer las especfcacoes téccas. Durate u mes hemos efectuado u total de medcoes ( muestras de pezas cada ua) de pezas usadas e la plata, y otras por cada uo de uestros dos proveedores. Las observacoes está cotedas e el archvo Motores.mtw. Queremos aalzar las pezas que os ha sumstrado el segudo de los proveedores: Seleccoar Stat > Cotrol Charts > Xbar-R Completamos los campos: Xbar/R Chart for Proveedor Sample Mea ,SL=6,4 X=6, -,SL=98, Subgroup Sample Rage ,SL=7,866 R=,7 -,SL=,E+ III -

14 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB La líea cetral del gráfco X-barra está stuada al vel 6,, lo que sgfca que uestro proceso está stuado detro de los límtes establecdos, pero dos de los putos cae fuera de los límtes de cotrol, por lo que el proceso es estable. Por su parte, la líea cetral e el gráfco R está stuada e el vel,7, valor que parece excesvo s teemos e cueta que la máxma varacó permtda era de ± mm, por lo que es muy probable que uestro proceso sufra de ua varacó excesva. GRÁFICOS X-BARRA Y S Ya sabemos que sempre que se tete cotrolar ua característca de caldad cuattatva, es ua práctca habtual cotrolar el valor medo de la característca de caldad y su varabldad. Esta últma se estuda medate u gráfco R (como ya vmos), o medate u gráfco S, el cual es u gráfco de cotrol para desvacoes estádar muestrales. Por tato, podemos usar los gráfcos S para estudar la varabldad del proceso y detectar la posble exsteca de causas especales. Resulta habtual utlzar los gráfcos S para muestras de tamaño superor a, utlzado los gráfcos R e caso cotraro. Sea X la característca de caldad que os teresa medr, dode X N(µ,σ). Tomaremos muestras, cada ua de ellas de tamaño. Deotaremos por X, X,..., X a las observacoes que forma la muestra -ésma, dode =,,...,. Ya vmos cómo costrur u gráfco X-barra: Por el Teorema de Dstrbucó Muestra, sabemos que: µ x = µ y σ Por el Teorema Cetral del Límte, X N µ, Segú el modelo de Shewart tedremos que: σ = x σ σ LSC = µ + Líea cetral = µ LIC = µ σ S µ es descoocda, la podemos estmar (observar que tal estmacó se realzará a partr de las muestras obtedas, >, tomadas cuado se cosdera que el proceso está bajo cotrol): ˆµ = X = X dode X = = X j j= Observar que µˆ es estmador sesgado de µ ya que E[ X ] = E[ X ] = µ x = µ. = S σ es descoocda, la podemos estmar a partr de las desvacoes estádar S (observar que tal estmacó se realzará a partr de las muestras obtedas, >, tomadas cuado se cosdera que el proceso está bajo cotrol): III - 4

15 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () - =,,...,, sea S = ( X j X ) j= c4() es u valor tabulado que depede de.. Se cumple que µ = c ( 4 ), dode S - Notar que S / c 4 () es u estmador sesgado de σ, ya que: [ S ] S E c4 ( ) E = = = σ c4 ( ) c4 ( ) c4 ( ) Así, es buea dea tomar como estmador de σ el promedo de los S / c 4 () : S S ˆ σ = = ( σˆ es estmador sesgado de σ) c ( ) c ( ) = 4 4 E caso de que el tamaño muestral ( ) sea dferete para cada subgrupo, a la hora de calcular los límtes segú el modelo de Shewart, podemos optar por:. Obteer los límtes usado el asocado a cada muestra, co lo que las líeas de cotrol o será rectas (dará saltos arrba y abajo segú dsmuya o aumete),. S los o dfere mucho uos de otros, podríamos tomar = =. E esta stuacó de tamaños muestrales dferetes, los estmadores para µ y σ será: X S µˆ = y ˆ σ = c ( ) Veamos ahora cómo costrur u gráfco S. Recordemos que X era la característca de caldad que os teresa medr, dode X N(µ,σ), y que deotamos por X, X,..., X a las observacoes que formaba la muestra -ésma, dode =,,...,. =,,...,, se cumple que µ = c ( 4 ), y valor tabulado que depede de. 4 S ( ) S = σ c4 ( ) Se cumple que: ( ) S N c4 ( ), σ c4 ( ) Por tato, segú el modelo de Shewart, tedremos que: LSC = c ( ) + σ 4 4 Líea cetral = c 4 ( ) LIC = c ( ) σ σ, dode c 4 () es u ( c ( ) ) ( c ( ) ) 4 4 S σ es descoocda, la podemos estmar a partr de las desvacoes estádar S como vmos para el gráfco X-barra. Asmsmo, la observacó que vmos e los dagramas X-barra para el caso e que el tamaño muestral ( ) sea dferete para cada muestra es gualmete aplcable aquí. III -

16 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB GRÁFICOS INDIVIDUAL Y MR-BARRA Los gráfcos de cotrol por varables puede també costrurse para observacoes dvduales procedetes de la líea de produccó. Esto puede resultar ecesaro cuado el cosderar muestras de tamaño mayor que resulte demasado caro, coveete, o mposble. E este procedmeto de cotrol se emplea el rago móvl de dos observacoes sucesvas para estmar la varabldad del proceso. Sea X la característca de caldad que os teresa medr, dode X N(µ,σ). Deotaremos por X, X,..., X K a las observacoes. Veamos cómo costrur u gráfco Idvdual: Observar que =,,...,, X N(µ,σ). Segú el modelo de Shewart tedremos que: LSC = µ + σ Líea cetral = µ LIC = µ σ S µ es descoocda, la podemos estmar (observar que tal estmacó se realzará a partr de las observacoes obtedas, >, tomadas cuado se cosdera que el proceso está bajo cotrol): ˆµ = X = X = Observar que µˆ es estmador sesgado de µ ya que E[ X ] = E[ X ] = µ. = S σ es descoocda, la podemos estmar a partr del rago móvl MR (observar que tal estmacó se realzará a partr de las observacoes obtedas, >, tomadas cuado se cosdera que el proceso está bajo cotrol): - =,...,, sea MR Max X X M X X }. Se cumple que µ = () MR d, dode d() es u valor tabulado. { } { =, - Notar que MR / d () es u estmador sesgado de σ, ya que: [ MR ] MR E d () E = = = σ d ( ) d () d () Así, es buea dea tomar como estmador de σ el promedo de los MR / d () : MR MR ˆ σ = = ( σˆ es estmador sesgado de σ) d () () = d III - 6

17 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () Como hemos cometado, juto a los gráfcos de cotrol dvduales podemos cosderar també los gráfcos de cotrol para los ragos móvles asocados, gráfcos que os ayudará a cotrolar la varabldad de las observacoes regstradas. Veamos cómo costrur u gráfco MR-barra. Recordemos que X era la característca de caldad que os teresa medr, dode X N(µ,σ), y que deotamos por X, X,..., X a las observacoes. =,...,, sea MR Max X X M X X. Se cumple que µ = (), y σ MR = d () { } { =, dode d(), d () so valores tabulados. } σ MR d Se cumple que: MR N( d ), d ( ) ( ) Por tato, segú el modelo de Shewart, tedremos que: LSC = d LIC = d () + d Líea cetral = d () d () () () S σ es descoocda, la podemos estmar a partr de los ragos móvles MR segú ya vmos. Ejemplo gráfco I: Hemos regstrado e la columa C del archvo Mat_Prma.mtw el peso de cada lote de ua determada matera prma. Seleccoar Stat > Cotrol Charts > Idvduals Completamos los campos: III - 7

18 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB I Chart for Peso Idvdual Value ,SL= X=96,9 -,SL=86,8 Observato Number 4 TEST. Oe pot more tha, sgmas from ceter le. Test Faled at pots: TEST. 9 pots a row o same sde of ceter le. Test Faled at pots: TEST. out of pots more tha sgmas from ceter le (o oe sde of CL). Test Faled at pots: 4 4 TEST 6. 4 out of pots more tha sgma from ceter le (o oe sde of CL). Test Faled at pots: El gráfco os muestra 6 putos stuados fuera de los límtes de cotrol, así como 7 putos localzados detro de los msmos pero que o ha cumpldo el segudo de los tests, lo que sugere la exsteca de causas especales de varacó. III - 8

19 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo : E u proceso de maufactura se mde las presoes de rotura del alambre metálco e muestras de tamaño varable tomadas e días cosecutvos. Los datos está cotedos e el archvo presoes.mtw. Para aalzar s el proceso está bajo cotrol usaremos gráfcos X-barra y R. El programa os proporcoa el sguete gráfco X-barra: 64, X-bar Chart for preso 6, 6,,SL=6,89 Sample Mea 6, 6, 9, 8, 7, 6, X=9,98 -,SL=7,6, Sample Number El gráfco ateror dca la exsteca de cotrol estadístco (o hay putos fuera de los límtes de cotrol, tedecas, cclos, patroes e los datos, etc.). A cotuacó realzaremos u gráfco X-barra/R: Xbar/R Chart for preso Sample Mea ,SL=6,8 X=9,98 -,SL=7,4 Subgroup Sample Rage,SL=,9 R=4,9 -,SL=,E+ III - 9

20 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB E los gráfcos aterores se observa la preseca de cotrol estadístco e el proceso. Tato la meda como la desvacó típca varía detro de los límtes de cotrol y o se observa problemas de tedecas, de patroes e los datos, de cclos, de estratfcacó, de cambos bruscos e el proceso, etc. Dada la stuacó clara de proceso bajo cotrol, forzaremos a que el programa cosdere tamaños de subgrupos guales a su valor medo. Así podremos comprobar la exsteca de cotrol a través de los tests para causas especales: Xbar/R Chart for preso Sample Mea ,SL=6,7 X=9,98 -,SL=7,4 Subgroup Sample Rage,SL=, R=4,74 -,SL=,E+ Test Results for Xbar Chart Test Results for R Chart Observamos que guo de los tests ha dado postvo, y que los gráfcos muestra u proceso aparetemete bajo cotrol. III -

21 III. Gráfcos de Cotrol por Varables () Ejemplo : E u proceso de fabrcacó de motores de avoes se cotrola el peso de de ellos. Los resultados se guarda e el archvo avoes.mtw. Pretedemos comprobar s el proceso se ecuetra bajo cotrol. Dado que estamos ate u proceso e el que dspoemos de ua úca muestra de observacoes dvduales, usaremos el gráfco I-MR. Gráfco de Medas y Ragos Móvles Idvdual Value ,SL=89 X=6 -,SL= Subgroup Movg Rage 4,SL=4,6 R=,9 -,SL=,E+ Test Results for I Chart TEST. Oe pot more tha, sgmas from ceter le. Test Faled at pots: Test Results for MR Chart TEST. Oe pot more tha, sgmas from ceter le. Test Faled at pots: 4 E el output ateror se observa la exsteca de u puto fuera de cotrol, e correspodete a la observacó úmero. Vamos a elmar dcho puto del aálss usado la opcó Estmate: III -

22 Cotrol Estadístco de la Caldad co MINITAB El uevo output que obteemos es: Gráfco de Medas y Ragos Móvles Idvdual Value Subgroup,SL=8 X=4 -,SL=7 Movg Rage 4,SL=,7 R=, -,SL=,E+ Vemos que segumos teedo u problema de falta de cotrol, por lo que deberemos aalzar a fodo las causas atrbubles y realzar u estudo exhaustvo de materales, mao de obra y crcustacas que pudera cdr e el proceso de fabrcacó. III -

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