Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano

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1 (VSHFLILFDFLRQHVHQHOGRPLQLRGHOWLHPSR E capítulos ateriores se ha estudiado la respuesta de estado estable de los sistemas lieales ( cuado tæ ), estudiaremos ahora la respuesta trasitoria. La respuesta trasitoria es importate pues tato la amplitud como la duració de dicha respuesta debe de mateerse detro de límites tolerables o prescritos. La respuesta trasitoria geeralmete se caracteríza co ua señal escaló uitario r(t)=σ(t) como etrada y la respuesta del sistema lieal se llama respuesta al escaló uitario h(t). Figura 9.1: Respuesta típica al escaló uitario de u sistema de cotrol Aálisis de Sistemas Lieales 95

2 &ULWHULRV GH GHVHPSHxR GH XQ VLVWHPD GH FRQWURO UHIHULGRV D OD UHVSXHVWDDOHVFDOyQXQLWDULR 6REUHSDVRPi[LPR0 Sea y(t)=h(t) la respuesta de u sistema al escaló uitario. El sobrepaso máximo M es: M = Máx(y(t)) - lim y(t) t (1) Asumiedo que el máximo de y(t) es mayor que el valor de estado estacioario Ks = lim y(t). Como porcetaje se defie el porcetaje t máximo de sobrepaso: porcetaje máx. de sobrepaso = M K s 100% () U sobrepaso grade es geeralmete ideseable. Para fies de diseño el sobrepaso se da como ua especificació e el domiio del tiempo; pero se covierte comúmete al domiio de la frecuecia. 7LHPSRGHUHWDUGRW G Es el tiempo que tarda la respuesta al escaló e alcazar el 50% de su valor fial. 7LHPSRGHVXELGDW U Se defie como el tiempo que tarda la respuesta al escaló e cambiar desde el 10% al 90% de su valor fial. 7LHPSRGHHVWDELOL]DFLyQW V Es el tiempo requerido para que la respuesta al escaló dismiuya y se matega detro de u porcetaje específico de su valor fial. Cifras de uso corriete so 5% y %. Aálisis de Sistemas Lieales 96

3 5HVSXHVWDWUDQVLWRULDGHXQVLVWHPDSURWRWLSRGHVHJXQGRRUGHQ Sea T(s) La fució de trasferecia de u sistema prototipo de segudo orde, dode ω y ξ so costates reales. T(s) = Ys ( ) ω = Rs ( ) s + ξω s+ ω (3) La salida Y(s) ate ua etrada escaló uitario, R(s) = 1 s será: () Ys = ( + ξωs+ ω ) ss ω (4) y e el domiio del tiempo y(t) será: ξω t e 1 () = 1 ( ω ξ ξ) yt 1 ξ se 1 t + cos ; t 0 (5) )DFWRUGHDPRUWLJXDPLHQWRUHODWLYR\IDFWRUGHDPRUWLJXDPLHQWR Las raíces del poliomio característico so: s, s = ξω ± jω 1 ξ 1 = α± jβ dode (6) α = ξω β= ω 1 ξ (7) co β = ω : frecuecia de amortiguamieto ω : frecuecia atural o amortiguada α : factor de amortiguamieto o costate de amortiguamieto ξ : factor de amortiguamieto relativo = α ω Aálisis de Sistemas Lieales 97

4 Figura 9.: Respuesta al escaló uitario del sistema prototipo de segudo orde para diferetes valores de ξ Aálisis de Sistemas Lieales 98

5 &DVRV a) Raíces iguales : sistema críticamete amortiguado 1 ξ = 0 Î s 1 = s = -ξω y como ξ=1 etoces s 1 = s = -ω Im ω Re Figura 9.3: Sistema críticamete amortiguado b) Las raíces so complejas cojugadas: subamortiguado s, s = ξω ± jω 1 ξ 1 ξ<1 Im Re Figura 9.4: Sistema subamortiguado Aálisis de Sistemas Lieales 99

6 c) Las raíces so reales y diferetes: sobreamortiguado,ξ>1 Im Re Figura 9.5: Sistema sobreamortiguado )UHFXHQFLDQDWXUDOQRDPRUWLJXDGDZ Q Cuado ξ=0 Î α=0 y las raíces de la ecuació característica so imagiarias (se ecuetra sobre el eje imagiario). La respuesta segú (5) es seoidal. Figura 9.6: Relació etre las raíces de la ecuació característica del sistema prototipo de º orde y los parámetros α, ξ, ω, ω. α : Parte real de las raíces. α = ξω ω : Parte imagiaria de las raíces ω : Distacia radial del orige del plao s a las raíces ξ : Coseo del águlo formado etre la parte egativa del eje real y la líea radial de las raíces. ξ = cos θ (8) Aálisis de Sistemas Lieales 100

7 Figura 9.7 Lugar de las raíces para el prototipo de segudo orde, cuado ω se matiee costate y se varía ξ de - a + 6REUHSDVRPi[LPR Es coveiete e sistemas de cotrol poder defiir los parámetros de fucioamieto del sistema para poder dimesioar el cotrolador. Uo de los parámetros e el domiio del tiempo más usado es el sobrepaso máximo. Para relacioar el sobrepaso máximo co los valores de ξ y ω se deriva la ecuació (5) respecto al tiempo para ecotrar los valores de t e los cuales se produce el máximo, obteiédose: t max π ω ξ 1 (9) evaluado la ecuació (5) para t máx -1 y(t) = 1 + (-1) e max o mi -πξ 1-ξ ; =1,,... (10) y asumiedo que el máximo se produce cuado =1 se tiee: Aálisis de Sistemas Lieales 101

8 sobrepaso máximo = e πξ 1 ξ (11) y el porcetaje de sobrepaso máximo es: porcetaje de sobrepaso máximo = e πξ 1 ξ *100% (1) De (11) se tiee que el sobrepaso máximo es fució úicamete del factor de amortiguamieto relativo ξ. La ecuació (1) se muestra e la figura 9.8 para ua referecia rápida. Figura 9.8: Porcetaje de sobrepaso e fució de ξ para el sistema prototipo de º orde. 7LHPSRGHHVWDELOL]DFLyQRWLHPSRGHDVHQWDPLHQWR E la figura 9. se puede observar que para cuado 0< ξ< 0.69, la respuesta al escaló tiee u sobrepaso máximo mayor al 5%, y la respuesta puede etrar e la bada de 0.95 a 1.05 ya sea desde lo alto o desde el fodo. Cuado ξ> 0.69 el sobrepaso es meor del 5% y la respuesta puede etrar e la bada de 0.95 a 1.05 sólo desde el fodo. El Aálisis de Sistemas Lieales 10

9 tiempo de asetamieto tiee ua discotiuidad e ξ= Es dificil obteer ua solució aalítica para exacta para el tiempo de estabilizació t s ; por ello se aproxima t s para los dos casos co las ecuacioes (13 ) y (14) a cotiuació: t s 3. ; 0 < ξ < 0.69 (13) ξω t s 45. ξ ; ξ > 0.69 (14) ω E la figura 9.9 se muestra los valores reales de ω t s e fució de ξ así como las aproximacioes dadas por las ecuacioes (13) y (14). Figura 9.9: Tiempo de estabilizació e fució de ξ para el sistema prototipo de º orde. Aálisis de Sistemas Lieales 103

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