Prácticas de Ampliación de Métodos Numéricos con MATLAB

Transcripción

1 Prácticas de Ampliación de Métodos Numéricos con MATLAB Ion Zaballa

2 Índice general 1. Lo Básico Introducción Comienzo y Fin de una sesión de MATLAB Sistema de Ayuda Edición en la Línea de Comandos Matrices y Vectores Generación de matrices explícitamente Elementos de Matrices Formatos de Salida Manipulación de vectores y matrices Matrices a partir de funciones predefinidas en MATLAB Otras formas de generar matrices El Entorno de Trabajo de MATLAB El Espacio de Trabajo Comandos save y load El Comando diary Líneas de comentarios El Camino de búsqueda (SEARCH PATH) de MATLAB Manipulación de ficheros Ejecución de Programas Externos

3 3 4. Programación en MATLAB Empezando a programar en MATLAB Operadores relacionales y lógicos Bifurcaciones y Bucles Presentación de los resultados Scripts y Funciones Números complejos y polinomio Números Complejos Cálculo con Polinomios A. Funciones incorporadas en MATLAB 54 A.1. Funciones que actúan sobre escalares A.2. Funciones que actúan sobre vectores A.3. Funciones que actúan sobre matrices B. Consejos para el uso de Matlab en picasso 61 B.1. Transferencia de ficheros a picasso B.2. Primer uso de MATLAB

4 Capítulo 1 Lo Básico 1.1. Introducción Este documento pretende ser una guía básica para introducirse de forma personal en el uso de MATLAB y en relación con las asignaturas Análisis Matricial Aplicado y Ampliación de Métodos Numéricos. Por lo tanto, aquí sólo se cubrirán aquellos aspectos de MATLAB que tienen relación con la materia discutida en dichas asignaturas. En otros documentos, que se entregarán en clase, se plantearán ejercicios en base al contenido de esta guía y que deben ser resueltos personalmente. Si se quiere disponer de una buena y completa guía de MATLAB, mi recomendación es el libro MATLAB Guide de D. J. Higham y N. J. Higham, editado por SIAM. Aunque el origen de MATLAB estuvo íntimamente ligado a la manipulación y computación de y con matrices, durante los últimos años ha evolucionado de forma que hoy se puede considerar como un software de propósito general para todas las ramas de la matemática y la ingeniería desde el punto de vista numérico y computacional. También es posible el cálculo simbólico con MATLAB siempre que se disponga del toolbox apropiado; en este caso el Symbolic toolbox. Existen muchos otros toolboxes que, sobre la base del núcleo de MATLAB, proporcionan funciones específicas para el cálculo numérico de ciertas partes concretas de la matemática, la ingeniería y otras ciencias. Si se quiere información sobre los productos relacionados con MATLAB puede visitarse la página web de la empresa que lo desarrolla: Trabajando con MATLAB se debe tener muy claro que las unidades básicas son matrices (un escalar es, por lo tanto, una matriz 1 1), y que por lo tanto todas las operaciones se refieren a matrices. Se puede ejecutar MATLAB sobre cualquier sistema operativo. Se presupone que las prácticas se realizarán en la sala de informática del Departamento de Matemática Aplicada y EIO o en una 4

5 Lo Básico 5 de las aulas de ordenadores de la Facultad de Ciencias. En el primer caso, la sala está compuesta de una serie de terminales gráficos conectados a un servidor de SUN Microsystems dotado del sistema operativo UNIX Solaris y cuyo nombre en internet es picasso.lc.ehu.es. En lo sucesivo hablaremos de picasso para referirnos a él. En el segundo caso se trata de un aula de ordenadores personales con sistema operativo MSWindows (en alguna de sus versiones). A partir de la versión 6 los interfaces gráficos para los sistemas basados en MSWindows y UNIX son muy parecidos, así que hay muy pocas diferencias en el entorno de trabajo de MATLAB para ambos sistemas operativos. Además, las últimas versiones de MATLAB (desde Release 14 MATLAB 7) corrigen algunas deficiencias de edición con el teclado en castellano (como la ubicación del símbolo [ o el acento circunflejo ^) que tenían las versiones anteriores para los sistemas UNIX. Esto significa que las explicaciones que damos en estas notas son, en su mayoría, de aplicación para MATLAB bajo ambos sistemas Comienzo y Fin de una sesión de MATLAB Una sesión de MATLAB se comienza de forma diferente según la plataforma sobre la que lo ejecutemos. En un PC o Mac basta hacer doble click con el botón izquierdo del ratón sobre el icono de MATLAB. En picasso podemos ejecutar MATLAB en modo consola o utilizando un interfaz gráfico. En cualquier caso, se debe abrir primero una sesión X: Escribir el username y password. Abrir una ventana de comandos command tool. Para ejecutar MATLAB en modo consola se debe abrir una xterminal y en ella escribir matlab -nodesktop. Para utilizar MATLAB en modo gráfico, que es más sencillo, se debe escribir matlab y pulsar la tecla de entrada. Trabajando en picasso en modo gráfico, MATLAB puede consumir muchos recursos del sistema; principalmente si hay muchos usuarios conectados y dependiendo de la calidad de los terminales gráficos. Si este fuera el caso (que se nota por una excesiva ralentización del sistema) es recomendable trabajar en modo consola. En este modo hay una serie de reglas que se recomienda utilizar y que se exponen en el Apéndice B. Trabajando en modo gráfico, bien sea bajo UNIX o MSWindows, una vez ejecutadas las acciones mencionadas, aparecerá el logotipo de MATLAB y a continuación una ventana parecida la que se muestra en la Figura 1.1 (la figura mostrada corresponde al release 14. En las nuevas versiones la ventana es diferente, pero todavía guarda un cierto parecido). Si es la primera vez que se ejecuta MATLAB, la ventana principal puede estar compuesta de otras varias, por ejemplo Launch Pad, Command History y Command Window. De momento sólo nos interesa la última de ellas que es la ventana de comandos de MATLAB. Por ello, aunque no es estrictamente necesario, cerramos las demás con un click del ratón en el símbolo de cada ventana. En realidad hay otras ventanas ocultas que se pueden ir cerrando sucesivamente hasta que no quede más que la ventana Command Window. Todas estas ventanas tienen, de momento, un interés secundario y

6 Lo Básico 6 Figura 1.1: Ventana inicial de MATLAB. siempre se pueden volver a abrir seleccionándolas con el ratón en el menú view de la ventana principal. En la ventana de comandos de MATLAB aparece el símbolo >> (éste es el prompt de MATLAB) y el cursor parpadeando. El programa está preparado para recibir órdenes. Para finalizar la sesión en cualquier sistema basta escribir el comando quit. Alternativamente se puede elegir Exit MATLAB en el menú File del menú principal. Cuando hablamos de usar un comando (por ejemplo quit), nos referimos a escribir detrás del prompt de MATLAB la palabra correspondiente (en este caso quit) y pulsar la tecla de entrada Sistema de Ayuda El sistema de ayuda de MATLAB es muy completo. Hay varios niveles de ayuda: desde demos hasta ayuda especializada para saber lo que hace una determinada función o comando. Empezando por lo último, si se quiere saber, por ejemplo, lo que es y hace el comando lu se teclea en la ventana de comandos help lu o helpwin lu. MATLAB responde, en la propia ventana de comandos (en el primer caso) y en una ventana aparte en formato más bonito (en el segundo), explicando todo lo relativo a dicho comando. Lo anterior implica que se sabe lo que se busca. Hay niveles más generales de ayuda. Por ejemplo, tecleando helpwin aparece una relación de las carpetas de MATLAB que contienen ayuda y una breve descripción del contenido de cada carpeta. Pinchando en cada una de ellas se obtiene un listado con los comandos o funciones que hay en dicha carpeta. Al pinchar, de nuevo, en cada uno de ellos se obtiene una ayuda exhaustiva de lo que hace cada función. Los dos niveles de ayuda anteriores (help función y helpwin) están disponibles tanto en modo gráfico como en modo consola. Si se trabaja en modo gráfico hay, además, una tercera posibilidad de ayuda más general. Pinchando en Help en el menu principal de MATLAB y seleccionando Product Help aparecerá una nueva ventana como la de la Figura 1.2 con toda la ayuda de

7 Lo Básico 7 MATLAB. En la parte izquierda aparece un menú que se puede desplegar pinchando en el Figura 1.2: La ventana de ayuda de MATLAB. símbolo. A partir de aquí se puede ir de un sitio a otro pinchando en el lugar apropiado como en un navegador de internet Edición en la Línea de Comandos Si se comete algún error cuando se está introduciendo un comando de MATLAB, no es necesario volver a reescribir todo de nuevo. Las teclas de flechas o la combinación de la tecla ctrl y otra pueden ayudarte: ctrl-p Reescribe la línea anterior ctrl-n Reescribe la línea siguiente ctrl-b Mueve el cursor un carácter hacia atrás ctrl-f Mueve el cursor un carácter hacia adelante ctrl- ctrl-r Mueve el cursor una palabra a la derecha ctrl- ctrl-l Mueve el cursor una palabra a la izquierda Inicio ctrl-a Mueve el cursor al comienzo de la línea Fin ctrl-e Mueve el cursor al final de la línea Esc ctrl-u Borra la línea Supr ctrl-d Borra el carácter sobre el cursor Backspace ctrl-h Borra el carácter que está delante del cursor ctrl-k Borra todo desde el cursor hasta el fin de la línea No es necesario poner el cursor al final de la línea de comandos para que MATLAB reconozca la línea entera, se puede dar entrada estando el cursor en cualquier punto de dicha línea. Esto suele suceder cuando se ha observado un error al escribir y se mueve el cursor hacia atrás para corregir el fallo. Si se va a volver a utilizar un comando ya usado anteriormente (o parte de él), basta teclear unos pocos caracteres de dicho comando y entonces usar la tecla. MATLAB recordará el último

8 Lo Básico 8 comando que comenzaba con esos caracteres. Sucesivas pulsaciones de producen la aparición de los anteriores comandos que empiezan por las letras o símbolos escritos. También se puede utilizar el clásico sistema de copiar y pegar para producir órdenes en la línea de comandos.

9 Capítulo 2 Matrices y Vectores Vectores y matrices son para MATLAB la misma cosa. Se pueden introducir matrices en MATLAB de varias formas: Introduciendo una lista explícita de elementos. Generando matrices con funciones predefinidas en MATLAB. Cargando matrices desde un fichero de datos externo. Creando matrices con funciones definidas por el usuario/a a través de ficheros M. En este capítulo analizaremos cada una de estas formas de generar matrices y vectores Generación de matrices explícitamente La forma más sencilla de introducir matrices es escribiendo explícitamente los elementos de la matriz. Las otras formas de generar matrices las iremos viendo posteriormente. Para obtener una matriz escribiendo sus elementos sólo hay que tener en cuenta unas pocas reglas: Los elementos de la matriz hay que introducirlos fila a fila. Los elementos de cada fila deben estar separados por comas o espacios en blanco. Para indicar el final de una fila se debe escribir ;. La lista de todos los elementos debe estar encerrada entre corchetes, [ ]. 9

10 Matrices y Vectores 10 Debe observarse que el número de elementos en cada fila debe ser el mismo; en caso contrario, MATLAB produciría un mensaje de error. Por ejemplo para introduir la matriz escribiríamos: A = >> A=[ ; ; ; ] La respuesta de MATLAB, una vez pulsada la tecla de retorno, sería: A = A veces el número de elementos en cada fila es muy grande y es preferible introducir una fila en cada línea, lo único que hay que hacer es terminar la línea con tres puntos:... y teclear retorno. Por ejemplo >> A=[ ; ; ; ] produce la misma matriz. De cualquiera de las formas la matriz introducida queda asignada a la variable A. Debe observarse que con MATLAB no hay que declarar las variables. Se podría haber introducido la matriz sin asignársela de forma específica a una variable. Por ejemplo, si escribimos >> [ ; ; ; ] MATLAB responde:

11 Matrices y Vectores 11 Aunque nosotros no hemos asignado la matriz a ninguna variable, MATLAB se la asigna a la variable ans, que es una variable predefinida en el sistema. Esta variable es como las demás. Dado que A y ans son dos variables a las que les hemos asignado el mismo valor, el resultado de multiplicar A por sí misma debe ser el mismo que el de multiplicar ans por sí misma: >> A*A >> ans*ans MATLAB distingue entre mayúsculas y minúsculas de forma que a y A son dos variables distintas. Para saber las variables que tienes definidas puedes usar el comand who. Éstas también aparecen en la ventana workspace. En el siguiente capítulo se explica cómo acceder a esta ventana y lo que significa Elementos de Matrices En el ejemplo anterior los elementos de la matriz eran números enteros, pero en realidad los elementos de una matriz pueden ser cualquier expersión válida de MATLAB. Por ejemplo >> x=[ -1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5] produce x = MATLAB dispone de un gran número de funciones elementales matemáticas, incluyendo valor absoluto abs, raíz cuadrada sqrt, exponencial exp, seno sin, etc. Todas ellas se usan más o menos igual. Así, para calcular 3 escribiríamos sqrt(3). MATLAB no produce un error si se le pide la raíz cuadrada o el logaritmo de un número negativo, sino que devuelve el correspondiente número complejo. También proporciona muchas funciones matemáticas avanzadas como las funciones de Bessel o la función Gamma. Una lista de todas las funciones elementales con su uso se puede obtener utilizando la ayuda interactiva:

12 Matrices y Vectores 12 >> helpwin y haciendo doble click en /matlab/elfun y /matlab/specfun. En el Apéndice A se resumen algunas de la funciones más importantes de MATLAB. También hay una serie de constantes predefinidas: pi i la unidad imaginaria, 1. j lo mismo que i. eps precisión relativa de los números en coma flotante, 2 52 = 2,204e 16. Es decir distancia de 1.0 al siguiente número más próximo en coma flotante. realmin número en coma flotante más pequeño, realmax número en coma flotante más grande, (2 eps) inf infinito. Se produce al dividir un número distinto de cero por cero. nan Not-A-Number. Se produce al evaluar expresiones como 0/0 o inf-inf Formatos de Salida En el ejemplo de más arriba hemos podido observar que aparentemente MATLAB siempre responde redondeando los resultados de las operaciones correspondientes a cuatro cifras decimales. En realidad, los resultados puede presentarlos de diversas formas. Para ello se dispone del comando format. Estos son los posible formatos format short format long format hex format bank format short e format short g format long e format loose format compact format rat coma fija con 4 decimales(formato por defecto) coma fija con 15 decimales cifras hexadecimales números con dos cifras decimales notación científica con 4 decimales notación científica o decimal, dependiendo del valor notación científica con 15 decimales intercala algunas líneas en blanco en las salida para facilitar la lectura (por defecto) elimina las líneas en blanco del fomat loose aproxima los números a cocientes de enteros; i.e. números racionales MATLAB aplica un factor de escala general a las matrices cuando los elementos más grandes o más pequeños son superiores o inferiores, respectivamente, a una determinada cantidad (10 3 y 10 3 ).

13 Matrices y Vectores 13 Las expresiones se pueden construir con números (reales o complejos) y utilizando los operadores aritméticos y las reglas de precedencia habituales (en caso de duda siempre se pueden utilizar paréntesis): + adición sustracción multiplicación / división por la derecha \ división por la izquierda ˆ potenciación transposición Estos mismos operadores se utilizan con matrices, por eso se incluye la transposición y la división por la izquierda. Si A y B son matrices y A es invertible entonces A\B = A 1 B y B/A = BA 1. Ambas producen lo mismo cuando son aplicadas a números. Así 1/4 y 1 \ 4 producen el mismo valor numérico: 0,25. De la misma forma A es la transpuesta de A y si a es un número a = a. Si A no es invertible A \ B es una matriz C tal que A C es aproximadamente B (en cierto sentido que estudiaremos en teoría). De la misma forma B/A es una matriz C tal que C A es aproximadamente B. En otras palabras A \ B y B/A son soluciones (únicas si A es invertible) de las ecuaciones AX = B y XA = B, respectivamente. Hay otras operaciones especiales para matrices:. multiplicación término a término./ división a la derecha término a término.\ división a la izquierda término a término.ˆ potenciación término a término Dadas dos matrices A y B no es lo mismo A*B que A.*B, ni A/B que A./B. Los primeros son el producto y la división (en el sentido de más arriba) habituales. Cuando estos operadores están precedidos por un punto, la operación se realiza elemento a elemento. Así >> [1 2; 3 4]*[0 1; 2 3] >> [1 2; 3 4].*[0 1; 2 3] Cuando la operación se hace entre una matriz y un escalar el resultado es el mismo:

14 Matrices y Vectores 14 >> 2\[1 2; 3 4] >> 2.\[1 2; 3 4] Qué responderá MATLAB a la siguiente orden? >> 2/[1 2; 3 4] Para una matriz A tampoco es lo mismo A^3 que A.^3. Lo primero es el resultado de multiplicar A por sí misma tres veces; sólo es aplicable a matrices cuadradas. Lo segundo es la matriz cuyos elementos son los cubos de los elementos de A; es aplicable a cualquier matriz. En algunos sistemas UNIX puede haber problemas para escribir el signo de potenciación ˆ en MATLAB. Para evitar el uso de este símbolo tenemos la siguiente alternativa: A.^3=power(A,3) A^3=mpower(A,3) 2.2. Manipulación de vectores y matrices Puesto que las unidades básicas de MATLAB son las matrices, dispone de varias formas de crear vectores y matrices de forma casi automática, y de manipular los elementos de una matriz. El operador dos puntos, :, es uno de los más importantes. Sirve para generar vectores y matrices cuyos elementos están igualmente espaciados. Así >> x=1:5 produce un vector cuyas componentes van de 1 a 5 en incrementos de 1: x = Mientras que >> y=0:pi/4:pi proporciona un vector entre 0 y π con incrementos de π/4:

15 Matrices y Vectores 15 y = También son posibles incrementos negativos: >> z=6:-.5:3 z = El comando linspace se puede utilizar para generar un vector en el que se especifica las componentes primera y última y el número de ellas: >> k=linspace(-sqrt(3),pi,5) k = El número de componentes por defecto es 100. Esto significa que una sentencia del tipo >> k=linspace(-sqrt(3),pi); asignaría a la variable k un vector de 100 componentes igualmente espaciadas entre 3 y π (hemos escrito ; al final del comando para que el resultado no sea mostrado). Por otra parte, dada una matriz A, el elemento de la fila i y la columna j, se denota por A(i,j). Así, con la matriz A de más arriba (que utilizaremos a lo largo de esta sección): >>A=[ ; ; ; ] A = el elemento en la posición (2, 4) es 8. Si escribimos >> A(2,4) MATLAB nos devuelve: 8 Se puede modificar el elemento de cualquier posición sin más que cambiar su valor. La respuesta de MATLAB es toda la matriz con el nuevo valor en dicha posición. Para seguir manteniendo, para los siguientes ejemplos, la misma matriz A, primero almacenamos en c el elemento que vamos a cambiar y a continuación recuperamos la matriz original::

16 Matrices y Vectores 16 >> c=a(2,4),a(2,4)= 3*sqrt(A(1,4))-1/log10(A(3,4)) c = 8 A = >> A(2,4)=c A = En la primera línea de comandos hemos puesto dos órdenes: c=a(2,4),a(2,4)= 3*sqrt(A(1,4)) -1/log10(A(3,4)). Tal y como se ha mencionado más arriba escribir ; después de una orden produce el efecto de que el resultado no se escribe en la pantalla. En cada línea de comandos podemos poner cuantas órdenes queramos separadas bien sea por comas (en cuyo caso los resultados correspondientes aparecerán sucesivamente en la pantalla) o bien por ; para que los resultados no aparezcan en la pantalla. (Más abajo hay un ejemplo). Por otra parte, si pedimos el valor del elemento en la posición (4, 5), MATLAB nos devuelve un mensaje de error porque el tamaño de A es 4 4: >> A(4,5)??? Index exceeds matrix dimensions. Desde la versión 5 de MATLAB se puede usar end para indicar el último elemento de una matriz, respecto de una dimensión dada. Así: >> a=4:10 a = >> a(end) 10 >> A(end,end) 1 >> A(2,end) 15 >> A(end,2) 8

17 Matrices y Vectores 17 No sólo se puede extraer cada elemento de una matriz sino cualquier submatriz. Para ello basta expresar la submatriz deseada en notación vectorial. Así, para obtener el subvector de a formado por los últimos 5 primeros elementos escribiríamos: >> a(1:5) y el formado por los últimos 4: >> a(end-3:end) Para obtener la submatriz formada por los elementos que ocupan las posiciones donde se interceptan las filas 1 y 3 y las columnas 3 y 4 escribiríamos: >> C=A([1 3],[3 4]) C = Si queremos la submatriz formada por las dos primeras filas podemos utilizar el comando dos puntos: >> A([1 2],:) O, utilizando el comando end: >> A(end-2:end, end-1:end) Podemos hacer uso de esta técnica para generar submatrices correspondientes a filas o columnas igualmente espaciadas. Por ejemplo, si A fuera una matriz 10 15, el comando A(2:2:10,1:3:15) nos devolvería la submatriz formada por las filas pares y las columnas 1,4,7,10 y 13. Si a una matriz le especificamos un solo subíndice, MATLAB cuenta los elementos por columnas y nos devuelve el elemento correspondiente:

18 Matrices y Vectores 18 >> A(7) 6 >> A(12) 14 Por el mismo motivo la orden A(:) nos devuelve el vector columna formado por los elementos de la matriz colocados columna tras columna: >> A(:) La notación vectorial para los subíndices de una matriz puede utilizarse para permutar filas o columnas de una matriz. Así para obtener una matriz B con las filas primera y segunda, y las columnas segunda y cuarta de A permutadas, haríamos lo siguiente: >> B=A([ ],[ ]) B = Y si sólo queremos permutar las dos primeras filas: >> B=A([ ],:) B =

19 Matrices y Vectores Dada una matriz A podemos añadirle filas y columnas sin más que especificar el vector con los elementos que se quiere añadir. Por ejemplo, si a nuestra matriz A le queremos añadir la fila [ ] haríamos lo siguiente: >> C=[A;[ ]] C = Claro que también podríamos definir primero el vector fila que vamos a añadir y luego añadirlo: >> r=1:2:7; C=[A;r] C = Si lo que queremos es añadir una columna actuaríamos por transposición (recordemos que r es la transpuesta de r): >> [A r ] Esta forma de crear matrices a partir de otras más pequeñas nos permite ir creando matrices sobre la marcha empezando desde una matriz vacía. En efecto, la orden >> B=[] nos devuelve una matriz sin elementos a la que podemos ir añadiéndole filas o columnas como hemos hecho más arriba: >> B=[]

20 Matrices y Vectores 20 B = [] >> c1=1:3:7; c2=2:3:8; c3=3:3:9; B1=[B c1 c2 c3 ], B2=[B;c1;c2;c3] B1 = B2 = Tambien podemos eliminar filas y/o columnas con ayuda de la matriz vacía. Simplemente igualamos a [] la submatriz que queramos eliminar: >> B2(:,2)=[] B2 = nos devuelve la submatriz de B2 que se obtiene al suprimir la segunda columna Matrices a partir de funciones predefinidas en MATLAB Hay un buen número de funciones de matrices predefinidas en MATLAB. Una relación de todas ellas con la descripción de su uso la puedes encontar escribiendo helpwin y en la ventana que aparece haciendo doble click en matlab/elmat. Describimos aquí las funciones para generar las matrices más elementales: zeros(m,n) Crea una matriz de tamaño m n cuyos elementos son todos 0. ones(m,n) Crea una matriz de tamaño m n cuyos elementos son todos 1. rand(m,n) Crea una matriz de tamaño m n con elementos aleatorios distribuídos uniformemente entre 0 y 1 randn(m,n) Crea una matriz de tamaño m n con elementos aleatorios elegidos con una distribución normal de media 0 y varianza y desviación standrad 1 eye(m,n) Crea una matriz de tamaño m n con 1 s en la diagonal principal diag(v,k) El argumento v es un vector y el argumento k es opcional pero si se da, debe ser un número entero. MATLAB crea una matriz cuadrada de tamaño n + k, con todos lo elementos cero excepto los de la k-ésima diagonal que son los elementos del vector v. Poner k = 0 o no dar un valor explícito produce el mismo resultado: una matriz diagonal con el vector v en la diagonal principal. Si k > 0 el vector v aparece en la k-ésima

21 Matrices y Vectores 21 diag(a,k) supradiagonal y si k < 0 en la k-ésima subdiagonal. El argumento A es una matriz y el agumento k es opcional pero si se da, debe ser un número entero. MATLAB produce un vector: la k-esima diagonal de la matriz A. Algunos ejemplos: >> Z=zeros(2,4) Z = >> F=5*ones(3,3) F = >> N=10*rand(2,5) N = >> I=2*eye(2,4) I = >> G=diag(-3:3) + diag(ones(6,1),1) + diag(-1*ones(6,1),-1) G = >> diag(g),diag(g,1),diag(g,-1)

22 Matrices y Vectores Otras formas de generar matrices Hay otras formas de producir matrices. Comentamos a continuación cómo generar matrices a partir de ficheros externos. Estos son ficheros almacenados en el disco duro y que han sido producidos bien por MATLAB o bien por nosotros mismos. En cualquier caso, conviene tener un directorio específico donde almacenar estos y otros posibles ficheros. Hablaremos más extensamente sobre este tema y otros relacionados cuando estudiemos el entorno de trabajo de MATLAB. Ahora comentamos sólo lo necesario para crear matrices a partir de ficheros externos. Me referiré a matlabdir como el directorio donde se guardarán todos los ficheros de MATLAB creados por nosotros mismos. El nombre real de este directorio para cada cuál puede ser diferente. En primer lugar se debe crear. Para ello conviene comprobar primero en qué directorio del sistema de archivos nos encontramos. Esto se hace con el comando pwd. Se puede cambiar al directorio que se desee con el comando cd y crear entonces el directorio matlabdir con la orden habitual: mkdir matlabdir. Hay otras órdenes correspondientes al sistema operativo que se verán más adelante. También se pueden consultar con el sistema de ayuda: helpwin y entonces matlab/general. Lo siguiente que tenemos que hacer es posibilitar que MATLAB reconozca el directorio matlabdir. Es decir, que sepa de su existencia para que pueda encontrar los ficheros allí depositados. Para ello debemos añadirlo al path de MATLAB con el comando addpath. Por ejemplo: addpath /ruta completa/matlabdir. Si ahora tecleamos path, en la primera línea deberá aparecer la ruta completa hasta nuestro directorio matlabdir. Analizamos ahora la forma de generar matrices desde ficheros externos: Con el comando load. Este comando puede leer ficheros externos binarios, producidos por sesiones anteriores de MATLAB, o de texto. Para obtener matrices de ficheros de texto externos éstos deben estar organizados como una tabla rectangular de números, separados

23 Matrices y Vectores 23 por espacios en blanco, con una fila por línea y con igual número de elementos en cada fila. Por ejemplo, con un editor de texto (textedit en picasso o notepad en MSWindows) podemos crear un fichero de texto que contenga estas cuatro líneas: 16,0 3,0 2,0 13,0 5,0 10,0 11,0 8,0 9,0 6,0 7,0 12,0 4,0 15,0 14,0 1,0 Guardamos este fichero bajo el nombre de magico.dat en el directorio matlabdir. El comando >> load magico.dat lee el fichero y asigna a la variable magico la matriz contenida en el fichero. >> magico magico = Creando un fichero M con el contenido de una o más matrices. Los ficheros M son parte fundamental de MATLAB y los analizaremos posteriormente. Por ahora sólo necesitamos saber que si con nuestro editor creamos un fichero de texto que contenga las siguientes 5 filas: A = [... 16,0 3,0 2,0 13,0 5,0 10,0 11,0 8,0 9,0 6,0 7,0 12,0 4,0 15,0 14,0 1,0 ]; y salvamos este fichero como magico.m, entonces el comando magico en MATLAB lee el fichero y crea la variable A que contiene la matriz del fichero. Por supuesto, el fichero debe estar en el directorio matalbdir.

24 Capítulo 3 El Entorno de Trabajo de MATLAB 3.1. El Espacio de Trabajo El espacio de trabajo (workspace en inglés) es el área de memoria accesible desde la línea de comandos de MATLAB. Si estamos trabajando en modo gráfico hay dos formas de acceder a él: abriendo la ventana correspondiente o mediante los comandos who y whos. Empezando por lo segundo, estos dos comandos muestran el contenido del espacio de trabajo en cada momento. El comando who proporciona una lista corta, mientras que whos da, además, el tamaño y alguna información adicional sobre almacenamiento de las variables que se han utilizado. He aquí un ejemplo: >> who Your variables are: A a b >> whos Name Size Bytes Class A 3x4 96 double array a 1x7 56 double array b 1x double array Grand total is 119 elements using 952 bytes Para abrir la ventana correspondiente al espacio de trabajo procedemos de la siguiente manera: desplegamos el menú Desktop (versión 7) o View (versiones anteriores a la 7), que está en el 24

25 El Entorno de Trabajo de MATLAB 25 menú principal de MATLAB, y allí seleccionamos workspace. Cualquier otra ventana de las disponibles en Desktop (View) se abre igual. Puede suceder que la ventana workspace, o cualquier otra que se desee abrir, ya esté abierta aunque no se vea. Ello es debido a que puede estar oculta por alguna otra ventana. Para saberlo hay que ir a Window en el menú principal y ver si está allí relacionada. Si no lo está se abre como se ha mencionado más arriba. Y si lo está y no se ve es que está abierta pero oculta. En este caso, basta pinchar en el nombre de la ventana que se quiere consultar (en nuestro caso workspace) para que pase a primer plano. Pegada a la ventana de comandos nos aparecerá la ventana del espacio de trabajo con la información que proporciona el comando whos(ver la figura 3.1) Figura 3.1: Ventana del Espacio de Trabajo. Esta información puede ser interesante cuando se están consumiendo grandes recursos para saber la cantidad de memoria que se utiliza o, sobre todo, cuando se quieren conocer los nombres de las variables que ya se han usado a fin de no sobreescribir alguna que pueda ser importante. Para cerrar la ventana del espacio de trabajo basta seleccionar, de nuevo, Workspace en el menú Desktop (o View para versiones anteriores a la 7) o pinchar en el símbolo. Para borrar todas las variables del espacio de trabajo se utiliza el comando clear Comandos save y load En muchas ocasiones puede resultar interesante interrumpir el trabajo con MATLAB y poderlo recuperar más tarde en el mismo punto en el que se dejó (con las mismas variables definidas, con los mismos resultados intermedios, etc.). Hay que tener en cuenta que al salir del programa todo el contenido de la memoria se borra automáticamente. También en este caso tenemos dos formas de hacerlo: mediante los comandos save y load o eligiendo Save Workspace As... (para salvar el trabajo) o Import Data (para recuperarlo) en el menú File. Esta segunda forma de hacerlo es muy intuitiva y no requiere comentarios. Los comandos save y load apenas los usaremos en estas prácticas y se puede encontrar todo lo relativo a ellos usando helpwin

26 El Entorno de Trabajo de MATLAB 26 matlab/general El Comando diary Los comandos save y load crean ficheros binarios o ASCII con el estado de la sesión, pero no sirven para guardar todo lo que hemos ido tecleando y ha ido saliendo en la ventana de comandos. Existe una forma sencilla de almacenar todos estos datos en un fichero de texto. Esto se hace con el comando diary. El uso general es de la forma siguiente: >> diary filename.txt De esta forma se va escribiendo en el fichero filename.txt todo lo que aparece, línea tras línea, en la ventana de comandos de MATLAB con posterioridad a la utilización del comando. Esto significa que si se quiere guardar todo lo que vaya apareciendo en la ventana de comandos desde el principio, se debe utilizar este comando en cuanto se empieza la sesión. Ojo! si se quieren salvar distintas sesiones se deben guardar en archivos con nombres diferentes. Salvo que se especifique el path completo en el que se quiere guardar el fichero, éste se salva (en Windows) en el subdirectorio work del directorio principal de MATLAB (es decir, en la subcarpeta work de la carpeta de instalación de MATLAB) y en un sistema UNIX en el directorio home de cada usuario. Si se quiere interrumpir el proceso basta escribir >> diary off y para reanudarlo de nuevo >> diary on El simple comando diary pasa de on a off y viceversa. Para poder acceder al fichero filename.txt con un editor de texto es necesario que diary esté en off porque si no MATLAB mantiene abierto el fichero y no es accesible desde el exterior. No obstante, en la ventana Command History que se puede abrir desde el menú Desktop se guardan las sesiones anteriores (hasta cierto punto) especificadas por el día y la hora en que se comenzaron Líneas de comentarios Para MATLAB el carácter tanto por ciento ( %) indica comienzo de comentario. Cuando aparece en una línea de comandos, el programa supone que todo lo que va desde ese carácter hasta el fin de la línea es un comentario y por lo tanto no lo lee. Raramente se usan en la ventana de comandos, pero son muy útiles cuando se escriben programas (ficheros M) tal y como veremos más adelante.

27 El Entorno de Trabajo de MATLAB El Camino de búsqueda (SEARCH PATH) de MATLAB El search path de MATLAB es una lista de directorios que se puede ver y modificar a partir de la línea de comandos. El comando path hace que se escriba el search path de MATLAB (el resultado depende de en qué directorio está instalado MATLAB): >> path MATLABPATH /home/ion/matlab /home/ion/matlab/prog /home/ion/matlab/prog/clase/anal_matr /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/general /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/ops /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/lang /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/elmat /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/elfun /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/specfun /usr/local/share/matlab6/toolbox/matlab/matfun Para ver cómo MATLAB utiliza el search path supóngase que se utiliza la palabra nombre1 en un comando. El proceso que sigue MATLAB para tratar de conocer qué es nombre1 es el siguiente: 1. Comprueba si nombre1 es una variable previamente definida por el usuario. 2. Comprueba si nombre1 es una función del usuario (hablaremos más adelante de las funciones en MATLAB). 3. Comprueba si nombre1 es una función interna o intrínseca de MATLAB. 4. Comprueba si hay un fichero llamado nombre1.mex o nombre1.m en el directorio actual (de los ficheros M hablaremos más adelante, los ficheros.mex tienen un significado especial para MATLAB del que no hablaremos aquí). 5. Comprueba si hay ficheros llamados nombre1.mex o nombre1.m en los directorios incluidos en el search path de MATLAB. Estos pasos se realizan en el orden indicado. En cuanto se encuentra lo que se está buscando se detiene la búsqueda y se utiliza el fichero que se ha encontrado. Si no se encuentra en todo el proceso MATLAB produce un error: >> nombre1??? Undefined function or variable nombre1.

28 El Entorno de Trabajo de MATLAB 28 El Path Browser es el programa que ayuda a definir la lista de directorios donde MATLAB debe buscar los ficheros de comandos y las funciones, tanto del sistema como de usuario. Para abrir el Path Browser se elige Set Path en el menú File. Una vez seleccionado se abre otra nueva ventana en la que se muestra la lista de directorios en la que MATLAB buscará (MATLAB search path) (ver Figura 3.2. Seleccionando Add Folder se pueden añadir nuevos directorios. Figura 3.2: Ventana con el path de MATLAB. Se puede especificar, además que se incorporen al search path todos los subdirectorios del directorio seleccionado. También se pueden quitar directorios con la opción Remove (es mejor que ni lo intentes salvo que estés seguro/a de lo que haces). El nuevo directorio se puede añadir al comienzo o final de la lista. Tal y como hemos mencionado, el orden de la lista es muy importante porque refleja el orden de la búsqueda: si una función está en dos directorios, se utilizará la que primero se encuentre. Las operaciones realizadas se pueden salvar utilizando Save. En MATLAB bajo Windows el listado de directorios salvado se hace permanente, de forma que la próxima vez que se empieza una sesión de MATLAB las carpetas añadidas aparecerán en el path browser. Este no es el caso en sistemas UNIX porque la posibilidad de escribir de forma permanente en el directorio donde está instalado MATLAB es exclusiva del administrador del sistema. Para añadir permanentemente unos directorios al search path en UNIX hay que hacerlo a través del fichero startup.m del que hablaremos enseguida. También se puede incluir un directorio de búsqueda desde la línea de comandos de MATLAB. La forma de hacerlo depende del sistema operativo sobre el que esté instalado MATLAB. Lo mejor es utilizar el comando helpwin y consultar en matlab/general lo relativo a los comandos path, addpath y rmpath. El fichero responsable de los parámetros con los que se inicia cada sesión de MATLAB es matlabrc.m que se encuentra en el subdirectorio toolbox/local de la instalación de MATLAB (en sistemas UNIX). En sistemas multiusuario, como picasso, sólo puede modificarlo el administrador. En Windows puede hacerlo cualquiera, pero es altamente recomendable que no lo hagas. Ahora bien, cada usuario puede escribir un fichero para que cada vez que se empiece una sesión de MATLAB, éste se inicie con los parámetros que cada cual desee. Este fichero se debe llamar startup.m y debe estar, en sistemas UNIX, en el subdirectorio home/izaballa/matlab del correspondiente ususario. Bajo Windows este fichero se debe colocar en la subcarpeta work de la carpeta donde está instalado MATLAB (posiblemente C:\matlabr14 o algo así). Por ejemplo, un fichero startup.m que contenga las siguientes líneas:

29 El Entorno de Trabajo de MATLAB 29 cd \$HOME/matlab format compact addpath /usr/alu/julen/matlab/practicas -end!texedit disp( Kaixo ) hará lo siguiente cuando el usuario correspondiente (en este caso posiblemente Julen) empiece una sesión de MATLAB en picasso: Cambiará al directorio matlab, donde posiblemente se encuentren los trabajos de MATLAB de Julen. Utilizará el formato compact para exponer las salidas producidas por MATLAB (este formato, como ya se dijo en el Capítulo 2, suprime algunos saltos de línea y presenta las salidas más compactas). Añadirá el directorio /usr/alu/julen/matlab al final del search path. Abriría el editor de openxt y Escibirá Kaixo como primera línea en la ventana de comandos de MATLAB. Bajo Windows el fichero que produciría algo parecido sería cd c:\matlabr14\programas format compact addpath c:\matlabr14\programas -end edit disp( Kaixo ) De forma análoga, al abandonar la ejecución de MATLAB con el comando quit se ejecuta automáticamente el fichero finish.m, siempre que se encuentre en alguno de los directorios del search path. Este fichero se puede utilizar por ejemplo para guardar el espacio de trabajo de MATLAB (recuerda el comando save) Manipulación de ficheros Los comandos dir, type, delete y cd implementan un conjunto de comandos del sistema operativo que corre por debajo de MATLAB. Los nombres con los que se corresponden en los sistemas operativos MS-DOS-Windows y Unix se muestran en la siguiente tabla MATLAB Windows UNIX dir dir ls type type cat delete del o erase rm cd cd cd pwd pwd

30 El Entorno de Trabajo de MATLAB 30 Como en todos los sistemas operativos se pueden utilizar los caracteres comodín, pathnames y nombres de los discos o directorios en la forma habitual. Así los comandos >> cd c:\matlab >> delete *.dos producirían, bajo MS-DOS o Windows, un cambio al directorio matlab que se encuentra en el disco C (en caso de que tal directorio exista; si no, produce un mensaje de error). Y a continuación se borrarían todos los ficheros cuya extensión es dos en dicho directorio. En un sistema UNIX los discos habitualmente no se designan con las letras a, c, etc..., sino que todos los directorios cuelgan del directorio raíz: /. Por lo tanto, para cambiar al directiorio /usr/alu/julen/matlab deberemos utilizar el comando: cd /usr/alu/julen/matlab Desde la ventana de comandos de MATLAB siempre se puede utilizar el comando pwd (como en UNIX) para conocer en qué directorio nos encontramos trabajando Ejecución de Programas Externos El cierre de exclamación,!, indica que el resto de la línea es un comando del sistema operativo. Esto puede ser útil porque permite ejecutar programas o invocar utilidades del sistema operativo sin salir de MATLAB aunque rara vez se utiliza cuando el sistema operativo es Windows. Por ejemplo, en UNIX de Solaris (que es el sistema operativo de picasso) >>!textedit parabola.m & es una orden para abrir el editor de ficheros Text Editor que trae por defecto el sistema Open windows de Solaris y cargar en él el fichero parabola.m. El símbolo & le pide al sistema operativo que lo ejecute en background; es decir, que deje la ventana de comandos de MATLAB libre para seguir tecleando nuevas órdenes.

31 Capítulo 4 Programación en MATLAB 4.1. Empezando a programar en MATLAB Lo interesante de MATLAB no es que realiza operaciones individuales sobre matrices y vectores, sino que es un verdadero lenguaje de programación con cantidad de funciones primitivas que facilitan mucho la tarea de programar. Un ejemplo muy simple es el siguiente: supongamos que queremos dibujar la parábola x = t 2 en el intervalo [ 2, 2]. El comando para dibujar curvas en el plano es plot. Este comando admite muchos argumentos incluyendo la posibilidad de dibujar varias curvas al mismo tiempo. Nosotros sólo lo usaremos de la forma más sencilla, pero si quieres saber todo lo que puede hacer, puedes usar el comando helpwin graph2d plot. Por ahora la única información pertinente es que plot(t,x) dibuja el vector t versus el vector x. Esto quiere decir que si el vector t es t = [t 1 t 2 t 3...] y x = [x 1 x 2 x 3...] entonces plot(t,x) dibuja una poligonal que une los puntos (t 1, x 1 ), (t 2, x 2 ), t 3, x 3 ), etc. Si estos puntos están suficientemente próximos el efecto visual es una curva. Así pues, para dibujar la curva x = t 2 tenemos que dar tres pasos: definir el vector t, definir el vector x = t 2, y ordenar a MATLAB que dibuje; i.e. teclear plot(t,x). En este caso tan simple, se pueden dar las tres órdenes en la misma línea de comando (recuerda las dificultades que hay para usar ˆ en picasso y que este operador se puede sustituir por power): 31

32 Programación en MATLAB 32 >> t=-2:0.1:2; x=t.^2; plot(t,x) o preferiblemente >> t=linspace(-2,2);x=t.^2; plot(t,x) Recuerda también que linspace(a,b) forma un vector de 100 componentes igualmente espaciadas entre a y b. Si estos puntos no están muy alejados entre sí, cada componente del vector está muy próxima a la siguiente. Otra posibilidad es escribir cada orden en una línea: >> t=linspace(-2,2); >> x=t.^2; >> plot(t,x) Y hay una tercera posibilidad que es la más interesante: escribir el conjunto de órdenes en un fichero, mediante un editor. Ya se ha dicho más arriba cómo hacerlo tanto en picasso (mediante!texedit) como en Windows (con edit) (ver Figura4.1 Esto es lo que se llama un script, un Figura 4.1: Ventanas de comando y de edición para escribir programas de MATLAB programa (en este caso pequeño) con código ejecutable por MATLAB. La traducción de script en castellano es algo así como guión pero seguiremos utilizando el original en inglés. Una vez escrito, se salvaría con el nombre que se desee, por ejemplo parabola.m (la extensión.m es obligatoria, es la forma en que MATLAB sabe que es un fichero con código ejecutable). Para ejecutar las órdenes contenidas en este fichero basta escribir su nombre en la ventana de comandos; en este caso parabola: >> parabola El resultado es una nueva ventana, como la de la figura 4.2, que contiene la gráfica de la parábola. Si a = (a 1,..., a n ) es un vector de n componentes plot(a) dibuja una poligonal uniendo los

33 Programación en MATLAB 33 Figura 4.2: Ventana gráfica con la parábola producida por el script parabola.m puntos (1, a 1 ), (2, a 2 ),.... Si lo que se quiere es señalar con el símbolo los puntos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) pero sin unirlos a través de una poligonal basta crear los vectores x e y y usar el comando plot(x,y, * ) Operadores relacionales y lógicos Para programar en MATLAB se pueden usar bucles de la forma for... end, o bifurcaciones de la forma while... end, if... end y switch... case Su sintaxis es como en cualquier otro lenguaje de programación. La idea es que cierta acción se realice dependiendo de si una condición es verdadera o no. La verdad o falsedad de estas condiciones se suele evaluar comparando dos expresiones. Para ello existen operadores relacionales y lógicos. MATLAB dispone de los siguiente operadores relacionales: < menor que > mayor que <= menor o igual que >= mayor o igual que == igual que ~= distinto que En MATLAB los operadores relacionales pueden aplicarse a vectores y matrices, y eso hace que tengan un significado especial. Por ejemplo, dada una matriz A la comparación abs(a)<eps genera una matriz de 0 s y 1 s con el mismo tamaño de A. El elemento (i, j) de dicha matriz es 1 si A ij < eps, siendo eps el epsilon de la máquina (=2.204e-16). >> A=[-1 2 0; ; 1-1 0] A =