Tema IX: TOPOLOGÍA. Tema IX: TOPOLOGÍA

Transcripción

1 Tema IX: TOPOLOGÍA

2 IX.1. Distancia euclídea en R n. Propiedades Definición DEF. Dados x, y R n, se define la distancia euclídea como: d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 = xy n = 1: d(x, y) = x y n = 2: d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 n = 2: d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2

3 IX.1. Distancia euclídea en R n. Propiedades Propiedades 1 d(x, y) 0 x, y R n d(x, y) = 0 x = y 2 d(x, y) = d(y, x) x, y R n (Simetría) 3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z R n (Desigualdad Triangular) DEF. Una distancia en R n es una aplicación d : R n R n R + {0} que verifica las propiedades anteriores.

4 IX.1. Distancia euclídea en R n. Propiedades Bolas abiertas y cerradas DEF. Sea a R n y r R +, se define la bola abierta de centro a y radio r como el conjunto de los puntos cuya distancia al centro es estrictamente menor que el radio: B(a, r) = {x R n : d(x, a) < r} DEF. Sea a R n y r R +, se define la bola cerrada de centro a y radio r como el conjunto de los puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio: B(a, r) = {x R n : d(x, a) r}

5 IX.1. Distancia euclídea en R n. Propiedades Bolas abiertas y cerradas (II) n = 1: B(a, r) = (a r, a + r) B(a, r) = [a r, a + r] n = 2: B(a, r) = { (x, y) R 2 : (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 < r } B(a, r) = { (x, y) R 2 : (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 r } n = 3: B(a, r) = { (x, y, z) R 3 : (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 + (z a 3 ) 2 < r } B(a, r) = { (x, y, z) R 3 : (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 + (z a 3 ) 2 r }

6 IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto Puntos interiores Sea A R n y a R n. DEF. Se dice que a A es un punto interior de A si existe alguna bola abierta centrada en a y contenida en A: r > 0/B(a, r) A Denotamos por Int(A) al conjunto de los puntos interiores de A. Observación: Los puntos interiores de A pertenecen a A.

7 IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto Puntos adherentes DEF. Se dice que a R n es un punto adherente de A cuando toda bola abierta centrada en a contiene algún punto de A: r > 0, B(a, r) A El conjunto de todos los puntos adherentes a A se denomina clausura o adherencia de A y se denota por Ā

8 IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto Puntos de acumulación DEF. Se dice que a R n es un punto de acumulación de A cuando toda bola abierta centrada en a contiene algún punto de A distinto de a: r > 0,(B(a, r) {a}) A El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se denomina conjunto derivado de A y se denota por A Observaciones: No tiene porqué suceder que A A ni A A. A Ā

9 IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto Puntos aislados DEF. Se dice que a A es un punto aislado de A si existe alguna bola abierta centrada en a cuyo único punto de A es el centro (a): r > 0/B(a, r) A = {a} El conjunto de todos los puntos aislados de A se denota por Ais(A) Observación: Ais(A) A

10 IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto Puntos frontera DEF. Se dice que a R n es un punto frontera de A cuando toda bola abierta centrada en a contiene al menos un punto de A y un punto que no es de A: r > 0, B(a, r) A, B(a, r) (R n A) El conjunto de todos los puntos frontera de A se denota por Fr(A) o A

11 IX.2. Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto Relaciones 1 Int(A) A Ā 2 Ā = A A 3 Ā =Int(A) A 4 Ā = A Ais(A) Observación: En las igualdades 3 y 4 las uniones son disjuntas: Int(A) A = A Ais(A) =

12 IX.3. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos Conjuntos abiertos y cerrados DEF. Un conjunto A R n se dice que es abierto si todos sus puntos son interiores: A =Int(A). El interior de cualquier conjunto es siempre un conjunto abierto. DEF. Un conjunto A R n se dice que es cerrado si coincide con su clausura: A = Ā. Caracterizaciones de los conjuntos cerrados A es cerrado si y sólo si: 1 A A 2 A A 3 R n A es abierto.

13 IX.3. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos Conjuntos cerrados, acotados y compactos La clausura de un conjunto cualquiera es un conjunto cerrado. Los únicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez en R n son y R n. DEF. Un conjunto A R n se dice que es acotado cuando existe una bola que lo contiene. DEF. Un conjunto A R n se dice que es compacto cuando es cerrado y acotado. PROP. Un conjunto compacto en R siempre tiene máximo y mínimo.