TEMA 1: MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 Prof. Susana López Universidad Autónoma de Madrid TEMA : MATEMÁTICAS FINANCIERAS Capitales Financieros Empezaremos este tema con el principio más importante en nanzas: UN EURO HOY VALE MÁS QUE UN EURO EN EL FUTURO El tiempo es un elemento importante en la de nición del valor del dinero, ya que un euro hoy puede invertirse en determinada operación obteniendo un rendimiento por ello. Imaginemos que queremos realizar un master on-line en Administración y Dirección de Empresas, la duración del master es de un año, el importe del mismo supone un desembolso de 6000C= que actualmente no disponemos, pero tenemos una madrina soltera que vive bastante bien acomodada a la que se le da muy bien hacer negocios. Nos ofrece los 6000C= a cambio de que se los devolvamos al nalizar el master a un económico tipo de interés del 2% por ser familar. Es decir, al cabo de un año deberemos reembolsarle a nuestra madrina el importe de 620C=. Entendemos por capital nanciero al valor económico de cierto bien en el momento en el que lo tendremos disponible. En nuestro caso tenemos dos capitales nancieros, los 6000C= hoy y los 620C= dentro de un año, podemos ver que son cantidades de dinero referidas a momentos temporales distintos. Si nalmente accedemos a la proposición de nuestra madrina y aceptamos su préstamo acabaremos de realizar una operación nanciera, es decir, un intercambio no simultáneo de capitales nancieros. Esta claro que para nuestra madrina los 6000C= de hoy equivalen a 620C= dentro de un año, dichos capitales nancieros son nancieramente equivalentes. Una ley nanciera no es más que una fórmula matemática que nos permite cuanti car el efecto que supone dejar de disponer de cierta cuantía de dinero durante cierto periodo de tiempo. Toda operación nanciera está formada por dos partes, por una lado la parte inversora, la que presta el dinero y da lugar a una prestación, por otro lado esta la parte que necesita la nanciación, o parte deudora que da lugar a una contraprestación. Dependiendo de la ley nanciera que utilicemos se utilizará una fórmula adecuada que nos permite calcular el valor del dinero en el tiempo. Denominaremos por C 0 el capital inicial o capital hoy que da lugar a la prestación y C t el capital en el momento t, por ejemplo al cabo de t años, que da lugar a la contraprestación, según la ley nanciera empleada estableceremos una equivalencia nanciera entre C 0 y C t : Sólo hay dos movimientos que podemos realizar con el dinero, o bien llevarlo al futuro, hacia adelante o bien llevarlo al momento actual, moverlo hacia atrás. A la acción de calcular

2 Prof. Susana López 2 el valor equivalente de un capital incial C 0 en una fecha futura C t se le denomina capitalizar o diferir, a C t lo llamaremos valor futuro de C 0 : A la acción de calcular el valor equivalente de un capital en una fecha futura C t en el momento actual C 0 se le denomina descontar o actualizar, a C 0 lo llamaremos valor actual de C t : Capitalizar o diferir C 0 C t Descontar o actualizar C 0 C t. Leyes de capitalización y descuento. De nimos el interés de una operación nanciera como el rendimiento en tanto por ciento, que esperamos obtener con la operación de renunciar a disponer de cierta cantidad de capital durante cierto periodo. Rendimiento = C t C 0 C 0 En el caso del ejemplo de nuestra madrina el rendimiento de la operación sería = 0; 02 de manera que el interés de la operación es del 2%. Ya hemos dicho que capitalizar consiste en proyectar capitales nancieros hacia el futuro, la práctica nanciera utiliza dos leyes nancieras de capitalización: -capitalización simple, -capitalización compuesta. Por otro lado, el descuento o actualización consiste precisamente en lo contrario, proyectar capitales nancieros hacia el pasado. En el mercado se utilizar tres leyes nancieras de descuento: -descuento racional o matemático, -descuento comercial o simple, -descuento compuesto.

3 Prof. Susana López 3.2 Capitalización Simple Supongamos que disponemos de cierto capital inicial C 0 y lo invertimos a un tipo de interés simple r durante t periodos. El interés simple se paga tan solo sobre el capital inicial invertido, en consecuencia el interés conseguido en cada periodo es siempre el mismo, es decir, los intereses recibidos en cada periodo no son reinvertidos. t periodos C 0 r C 0 r C 0 r C 0 r C 0 r C t t C t De manera que el capital incial al cabo de t periodos se transforma en: C t = C 0 + t r C 0 = C 0 ( + r t) Al factor ( + r t) se le denomina factor de capitalización simple. Esta ley naciera solo se utiliza a corto plazo (menos de un año) ya que en periodos cortos el efecto de la no reinversión de intereses no resulta muy gravoso. En la práctica se utiliza la capitalización simple en operaciones de liquidación de cuentas corrientes, cálculo del cupón devengados en los bonos (Renta ja), para valorar una letra del tesoro con plazo inferior a un año. Ejemplo La Caja de Ahorros Tacata ofrece la siguiente inversión a corto plazo, remunera capitales superiores a 3000e a el tipo de interés simple del 3% mensual durante un trimestre. Si disponemos de 5000e cuál sería el valor de nuestra inversión si decidimos invertirla en la dicha Caja de Ahorros? C 3 meses = 5000 ( + 0:03 3) = 5450e Ejemplo 2 Mariano le pide prestado 500e a Isabel durante 6 meses e Isabel acepta cobrándole a cambio un 5% anual de interés simple. De manera que al cabo de 6 meses Mariano deberá devolver a Isabel el siguente importe: C 6 meses = :05 6 = 52: 5e 2 Observesé en dicho ejemplo que si nos dicen que el tipo de interés es anual entonces el tiempo habrá que anualizarlo. Ejemplo 3 Si hemos invertido 2000e a un tipo de interés mensual simple del 4%. A qué plazo debemos ponerlo para que nuestra inversión se duplique? Deberemos resolver la siguiente ecuación: 4000 = 2000 ( + 0:04 t) t = = 25 meses :04 es decir, debemos invertir nuentro capital incial durante dos años y un mes.

4 Prof. Susana López 4.3 Capitalización Compuesta Con la ley de capitalización compuesta los interesen no se pagan tan solo sobre el capital principal sino que los intereses se reinvieten, con lo cual cada vez que se calculan los intereses se realiza sobre el capital acumulado. De esta manera con la capitalización compuesta, un inversor gana intereses sobre el capital inicial C 0 y sobre los intereses generados en periodos anteriores. Si se dipone de un capital incial C 0 y se invierte a lo largo de t años al tipo de interés r anual tendremos la siguiente tabla de interés obtenidos en cada periodo y capital acumulado: Año Intereses Capital acumulado 0 0 C 0 C 0 r C 0 ( + r) 2 C 0 ( + r) r C 0 ( + r) 2 3 C 0 ( + r) 2 r C 0 ( + r) 3... t C 0 ( + r) t r C 0 ( + r) t En esta tabla vemos como se reinvierten los intereses de manera que al nal de los t años el capital obtenido es C t = C 0 ( + r) t : t periodos C 0 r C 0 (+r)r C 0 (+r) 2 r C 0 (+r) t 2 r C 0 (+r) t r C t t C t Al factor ( + r) t se le denomina factor de capitalización compuesta.

5 Prof. Susana López 5 Ejemplo 4 Doña Luisa Martinez ha invertido 6000C= es un fondo de inversión que le ofrece un tipo de interés del 4% anual durante 5 años. Qué capital podrá retirar Doña Luisa al cabo de los 5 años? El fondo de inversión reinvierte los intereses en cada periodo, de manera que Doña Luisa tendrá los siguientes capitales acumulados en los 5 años siguientes: Año Intereses Capital Acumulado :04 = 240:0C= 6000 ( + 0:04) = 6240C= :04 = 249: 6C= 6000 ( + 0:04) 2 = 6489: 6C= : 6 0:04 = 259: 58C= 6000 ( + 0:04) 3 = 6749: 2C= : 2 0:04 = 269: 97C= 6000 ( + 0:04) 4 = 709: 2C= 5 709: 2 0:04 = 280: 77C= 6000 ( + 0:04) 5 = 7299: 9C= Ejemplo 5 Don Antonio Sinsal quiere invertir cierto capital en una cuenta de ahorro a plazo jo durante 3 años que le ofrece un tipo de interes de un 5,3% anual, para posteriormente poder costear los estudios de su hijo mayor que quiere estudiar un master en Business Administration en una prestigiosa universidad americana. Si prevee que necesitará cerca de unos 8500C= para nanciar el master, cuanto dinero deberá ingresar hoy en la cuenta de ahorro? Don Antonio necesita saber que capital inicial C 0 debe ingresar en la cuenta de ahorros para que al cabo de los 3 años se hayan convertido en 8500C= con los que podrá mandar a su hijo a esa maravillora universidad americana a estudiar. Como los intereses de la cuenta se reinvierten al 5.3% cada año entonces deberá resolver la siguiente ecuación: cuya solución es C 0 = 7280C=: 8500 = C 0 ( + 0:053) 3 Ejemplo 6 Nos pregunta nuestro padre durante cuánto tiempo deberá invertir unos ahorrillos de 5600C= en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual del 0%, de manera que el capital se duplique. En este caso deberemos resolver la siguiente ecuación: simpli cando y despejando t tenemos que: = 5600 ( + 0:0) t 2 = ( + 0:0) t ln 2 = t ln : t = ln 2 ln : = 7:27 De modo que tendrá que esperar un poco más de 7 años para poder duplicar su capital inicial..4 Descuento racional o matemático Como ya hemos mencionado anteriormente, la operación de descontar es la contraria a la de capitalizar. Se trata de actualizar un capital que recibiremos en un tiempo futuro. En

6 Prof. Susana López 6 las operaciones nancieras en las que se ha utilizado la ley de capitalización simple, cuando queremos calcular el capital equivalente de un capital futuro C t en el instante actual, C 0, hay dos formas de hacerlo, a través del descuento simple o racional o a través del descuento comercial. El descuento racional es muy sencillo, antes hemos visto que cuando queremos calcular el valor nal de una inversión incial C 0 ; al cabo de t periodos utilizando un tipo r de interés simple tenemos que: C t = C 0 ( + r t) Entonces para calcular el valor actual, C 0, de un capital cuando conocemos el capital nal, C t, y sabemos que se empleó una capitalización simple, basta con despejar C 0 de la expresión anterior: C t C 0 = ( + r t) Al factor (+rt) se denomina factor de descuento simple. Ejemplo 7 El señor Don Gato tiene que hacer frente a un pago de 700C= dentro de 6 meses por una compra ralizada en un gran almacén donde le aplican un tipo de intereses simple anual del 3%. De cuánto es la cuantía de la compra que ha realizado el señor Don Gato? En este ejemplo tenemos que calcular el valor actual de los 700C= que el señor Don Gato deberá abonar dentro de 6 meses, y como se ha aplicado un tipo de interés simple entonces deberemos efectuar un descuento racional o simple. El factor de descuento en este caso será: + 0: Debemos tener en cuenta que hay que anualizar los 6 meses si queremos aplicar correctamente la fórmula ya que el tipo de intereses que nos están aplicando es anual. Por tanto, el importe de la compra realizada en el gran almacén ha sido de: C 0 = : Descuento comercial o simple = 689: 66C= Es el utilizado cuando se negocia con letras de cambio. Supongamos que somos proveedores de determinado producto a una empresa que tiene un negocio de hostelería y nos han realizado una compra por valor de 7000C=. Como sabemos, dependiendo del sector de la actividad, muchas de las ventas se realizan a crédito, rmando entre ambas partes una letra de cambio que permitirá, en este caso, que la empresa hostelera nos reembolse los 7000C= al cabo de 90 días. En este caso nosostros seríamos el librador de la letra de cambio y la empresa hostelera sería el librado. Si debido a cualquier problema que nos pudiese sugir, necesitasemos tener el dinero de manera inmedita por falta de liquidez en ese momento, se podría negociar vender esa letra de cambio a un banco, de manera que éste se quedaría con los 7000C= al vencimiento de la letra. Ahora bien, el banco nos va a cobrar una pequeña cantidad por anticiparnos el dinero de la

7 Prof. Susana López 7 letra ahora, es lo que se conoce como tipo de descuento. Imaginemos que el banco nos aplica un tipo de descuento del 0% anual. Qué quiere decir esto? Pues que el banco nos va a cobrar un 0% sobre el capital a recibir dentro de 90 días, haciendo el cálculo :0 360 = 75C= Es decir, el banco nos va a cobrar 75C= por aceptar la letra de cambio, de manena que si estamos de acuerdo con estas condiciones, en lugar de los 7000C= hoy tendremos disponibles: = 6825C= Observar que cuando hemos calculado el coste de la letra hemos anualizado el periodo de 90 días dividiendo por 360. La ley de descuento comercial considera años de 360 días, es lo que se denomina como año comercial. Los 7000C= es lo que se denomina nominal de la letra, mientras que los 6825C= se denomina líquido. Sea C 0 el capital incial y C t el capital nal cuando aplicamos un tipo de descuento d: La ley de descuento comercial establece la siguiente relación: de manera que C 0 = C t ( d t) C t = C 0 ( d t) Vamos a seguir haciendo más cálculos con nuestro ejemplo. Hemos visto que aplicando el descuento comercial obtendríamos 6825C= por parte del banco. Ahora bien si hubiesemos aplicado el descuento racional pensaríamos que el banco nos iba a abonar: : = 6829: 3C= Esta claro que esta operación nos ha salido un poquito más cara de lo que pensabamos, realmente el tipo de interés de la operación es un poco mayor que el 0%. Vamos a calcular el tipo de interés efectivo de la operación. En principio recibimos un capital de 6825C= por parte del banco al que dentro de 90 días le abonaremos 7000C=, aplicando la ecuación de equivalencia nanciera entre prestación y contraprestación y utilizando un año comercial tenemos que: 7000 = r despejando r tenemos que, r = 0:025 es decir, el banco nos está cobrando un 0.25% por anticiparnos 6825C= durante 90 días. Acabamos de ver que un tipo de descuento comercial del 0% es equivalente a un 0.25% si el plazo de la operación es a 90 días.

8 Prof. Susana López 8 Generalicemos lo que acabamos de ver. Si actualizamos aplicando un descuento comercial cierto capital C t al que se le ha aplicado un descuento d durante cierto periodo t tenemos que el valor actual de este capital es: C 0 = C t ( d t) Si actualizamos utilizando descuento racional al tipo r entonces: C 0 = C t + r t igualando ambas identidades estableceremos una relación entre el tipo de descuento o interés vencido y el tipo de descuento racional o interés anticipado: r t = ( d t) C t ( d t) = C t + r t =) ( + r t) = + r t =) r t = + d t ( d t) d t = ( d t) =) r t = d t ( d t) de modo que la relación entre el tipo de interés vencido r y el tipo de interés anticipado d viene dada por la fórmula: d r = ( d t) Ejemplo 8 Un cliente debe pagar 45000C= dentro de 60 días a la empresa farmacéutica Pirulas S.A. Entre ambos establecen una letra de cambio. La empresa vende la letra a un banco y este rma un 3% de descuento. Cuál es el importe líquido que recibe la empresa a través del banco? Cuál es el tipo de interés vencido de esta operación de nanciación? 60 días C 0 C t =45000 t Aplicando la fórmula de descuento comercial tenemos que el líquido que recibirá la empresa farmacéutica será: C 0 = :3 60 = 44025C= 360 por otro lado el tipo de interés vencido es: es decir, r = 3:28%: r = 0:3 0: = 0:32 88

9 Prof. Susana López 9.6 Capitalización fraccionada Hasta ahora hemos visto que la capitalización compuesta se realiza anualmente, pero puede ocurrir que los intereses se capitalicen mensualmente, trimestralmente, semestralmente, semanalmente, diariamente o en cualquier otra periodicidad pactada. A este tipo de capitalización es lo que se conoce como capitalización fraccionada, de manera que en cada fracción n-ésima del año, se devengan intereses que se incorporan al principal o capital inicial para producir a su vez nuevos intereses. En este tipo de capitalización hay que distinguir entre tipo o tasa de interés nominal y el tipo o tasa efectiva. Una tasa nominal es la tasa que se pagará durante un periodo de inversión sin tener en cuenta la acumulación de intereses que se logra en el período y la forma de pago. Generalmente se re ere a una tasa anual que es fraccionada según el número de capitalizaciones, es decir, a partir del tipo nominal se pactan la forma de pago y los periodos de capitalización. La tasa efectiva es la que realmente se aplica en la operación nanciera y considera el efecto de capitalización de los intereses, es decir, re eja la rentabilidad verdadera de la inversión. Veamos estos conceptos de forma más clara a través de un ejemplo. Imaginemos que invertimos un capital de 6000C= en una cuenta bancaria que nos ofrece un tipo nominal anual del 2% capitalizable semestralmente durante un año. Lo que esto quiere decir, es que cada sementre nos pasarán intereses que se incorporarán al principal de nuestra inversión. Lo que ocurre es que cada semestre no nos pasaran un 2% de intereses sino la mitad, es decir, cada semestre nos pasarán un 6%. Supongamos ahora que la cuenta bancaria nos hubiese ofrecido un 2% anual pero capitalizable trimestralmente, en este caso cada trimestre nos pasarán la cuarta parte del interés nominal ofrecido, es decir, un 3%. De forma general, si nos ofrecen un tipo de interés nominal r capitalizable n veces al año, cada periodo nos ingresarán la n ésima parte del tipo nominal r n = r n donde r n es el tipo efectivo en cada uno de los n periodos. De esta manera, al nal de año nuestro capital se habrá transformado en: C = C 0 + r n n Si invertimos durante t años, entonces el valor futuro de la inversión será: C t = C 0 + r nt n Supongamos que invertimos 6000C= durante un año en una cuenta bancaria que ofrece un 2% capitalizable cuatrimestralmente, tendremos que el tipo efectivo cuatrimestral es: r 3 = 2% 3 = 4%

10 Prof. Susana López 0 año 6000 (+4%) 6000 (+4%) 2 C 0 C año =6000 (+4%) 3 er trimestre 2º trimestre 3er trimestre Los ujos de caja que recibirá cada trimestre se calculan en la siguiente tabla: Periodo Capital acumulado er trimestre 6000 ( + 0:04) = 6240:0C= 2 o trimestre 6000 ( + 0:04) 2 = 6489: 6C= 3er trimestre 6000 ( + 0:04) 3 = 6749: 2C= De manera que a nal de año nuestro capital inicial se habrá transformado en 6749: 2C=: Ejemplo 9 Calcular el valor fururo de una inversión de 2500C= a un tipo nominal del 5% anual capitalizable cuatrimestralmente durante 3 años. Queremos saber la cuantía de dinero que tendremos al cabo de 3 años con este tipo de inversión, al ofrecernos un tipo del 5% anual pero capitalizable cuatrimestralmente. Entonces cada cuatrimestre nos pasarán la tercera parte del tipo nominal, es decir, un 5%. Con lo cual al cabo de los 3 años nuestro capital se habrá transformado en: C 3 a~nos = :5 9 = 9392C= 3 Ejemplo 0 Supongamos que voy a comprar un coche de segunda mano a través de una entidad nanciera que me permite pagarlo al contado por un importe de 5800C= o dentro de un año por 6200C=. Podría pagarlo al contado, pero tengo el dinero en una cuenta que me está pagando un 6% de interés cuatrimestral. Qué opción es más interesante, pagar el coche al contado o pagarlo dentro de un año? Si pago el coche hoy tendré que sacar los 5800C= de la cuenta, si no lo saco veamos cuanto dinero tendré disponible en la cuenta dentro de un año. Como la capitalización de intereses es cuatrimestral, capitalizaré el capital tres veces a lo largo del año, siendo el tipo de interés efectivo cada cuatrimestre la tercera parte del interés nominal anual, es decir, un 2%. Por tanto a nal de año el capital disponible en la cuenta será de: C = 5800 ( + 0:02) 3 = 655C= Vemos que a nal de año tendré en la cuenta 655C=, cifrá algo menor que el importe del coche dentro de un año, por tanto si realmente necesito el coche deberé abonarlo al contado, ya que dentro de un año no podré realizar el pago. Ejemplo Tenemos invertido un capital de 3200e en una cuenta fantástica que nos renta un interés nominal anual del 3% capitalizable mensualmente. Cuánto habremos acumulado dentro de 3 meses?

11 Prof. Susana López En este caso el tipo de interés mensual efectivo será de 3% 2 = : 08%; de manera que el valor de nuestro capital dentro de tres meses será de: C 3 meses = 3200 ( + 0:008) 3 = 3304: 8C= Ejemplo 2 Un cliente me debe 2800C= pero no puede pagarme hoy, me propone posponer el pago a seis meses por 3000C=. Actualmente yo podría invertir mi dinero en unas letras del tesoro que ofrecen un tipo anual del 8%. Debería aplazarle el pago? Si invirtiese mi dinero en esa cuenta, dentro de 6 meses tendría: C 6 meses = 2800 ( + 0:08) 6 2 = 3756: 6e que como podemos observar es bastante superior a lo que me ofrece el cliente, por tanto, no debería aplazarle el pago o hacerlo a cambio de 3756: 6e dentro de 6 meses. Vamos a ver este ejemplo de otra manera. Calculemos el valor actual de lo que el cliente me ofrece, como yo puedo invertir el dinero a un 8% anual entonces descontaremos el dinero que nos ofrece el cliente por el pago aplazado a ese tipo de interés. C 0 = 3000 ( + 0:8) 6 2 = 2236: C= de esta manera podemos ver de una manera más clara que el cliente es un listo y que intenta ahorrarse unos 563: 9C= con el pago aplazado..7 Tasas Equivalentes Las tasas o tipos de interés equivalentes son aquellos que referidos a distinta unidad de tiempo pero aplicados sobre la misma cuantía inicial durante el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital nal. Veamos de una forma más clara lo que son tasas o tipos equivalentes a través de un ejemplo. Imaginemos que tenemos la posibilidad de invertir 0000C= de diversas maneras: - a una tasa nominal anual del 2% capitalizable anualmente durante un año - a una tasa del.66% anual capitalizable semestralmente o - a una tasa del.387% anual capitalizable mensualmente Cuál de las tres opciones es la más rentable? Para ello veremos cúall es el valor futuro dentro de un año de los 0000C= con cada una de las alternativas. Si consideramos la primera de ellas el valor futuro dentro de un año será: con la segunda opción 0000 ( + 0:2) = 200C= :66 2 = 200C= 2 y por último a través de la tercera opción: :387 2 = 200C= 2

12 Prof. Susana López 2 de manera que somos indiferentes a cualquiera de las tres opciones ya que dan lugar a la misma cuantía nal al cabo de un año. Diremos entonces que una tasa nominal anual del 2% es equivalente a una tasa del.66% anual capitalizable semestralmente o a una tasa del.387% nominal anual capitalizable mensualmente. También podemos plantearnos la situación en la que queramos calcular la tasa equivalente a una tasa dada. Ejemplo 3 Calcular cuál es la tasa anual equivalente a una tasa que ofrece un tipo nominal del 2% capitalizable mensualmente. Sea r la tasa anual capitalizable anualmente. Si r y la tasa del 2% capitalizable mensualmente son ambas equivalentes, dado cierto capital incial, dentro de un año darán lugar al mismo capital nal. C 0 ( + r) = C 0 + 0:2 2 2 eliminamos C 0 de ambos miembros de la igualdad y resolvemos la ecuación ( + r) = + 0:2 2 ( + r) = : 26 8 r = 0: 26 8 de manera que el tipo anual equivalente a un tipo nominal del 2% capitalizable mensualmente es igual a r = 2:68%: Dados dos tipos de interés, r n el tipo de interés anual capitalizable n veces al año y r k el tipo de interés nominal capitalizable k veces al años, si son equivalentes debe de cumplirse la siguiente identidad: + r n n n = + r k k Ejemplo 4 Calcular el tipo de interés capitalizable semestralmente equivalente al tipo anual capitalizable bimestralmente del 0%. En este caso sea r 2 el tipo de interes anual capitalizable semestralmente, si es equivalente al 0% anual capitalizable bimestralmente entonces debe darse la siguientes identidad: + r = r 2 = 2 + 0:0 6 6 " + 0: k # = 0:0 68 por tanto el tipo de interés nominal anual para capitalizaciones semestrales equivalentes al 0% anual de capitalización semestral es r 2 = 0:68%:

13 Prof. Susana López 3 A continuación introducimos el concepto de la Tasa Anual Equivalente o Tanto Anual Efectivo más conocido a través de la publicidad de los productos nancieros como TAE. El TAE es una anualización del tipo de interés efectivo que ha sido realmente utilizado en determinada operación nanciera. A través del TAE podremos comparar distintos productos nancieros semenjantes ofrecidos por entidades distintas. El TAE es un tipo de interés anual y compuesto que se acerca más al tipo de interés real de la operación que se esté realizando, pero en general no coincide con él prácticamente nunca por la incidencia que tienen los gastos y comisiones que pagan acreedor y deudor (sobre todo el deudor). Si queremos conocer el TAE de una operación nanciera que ofrece un tipo r n anual capitalizable n veces al año, deberemos resolver la siguiente ecuación: + T AE = + r n n n n T AE = + rn n Ejemplo 5 Hemos recibido una herencia de 40000C= y tenemos distintas alternativas de inversión:. Ingresarlo en una cuenta de la entidad A que ofrece un tipo de interés del 8% nominal capitalizable semestralmente. 2. Ingresarlo en la entidad bancaria B que ofrece un tipo anual capitalizable mensualmente del 8.6% 3. Ingresarlo en la entidad bancaria C que ofrece un tipo anual capitalizable bimestralmente del 9.6% En que entidad bancaria deberíamos ingresar el dinero de la herencia? Podemos hacerlo de dos maneras, calculando el capital disponible con cada cuenta al nal de año o bien calculando el TAE de cada opción. En el caso de la segunda opción tenemos un TAE igual a: T AE = + 0:08 2 = 0: es decir, un TAE de 8.6%. La segunda opción ofrece el siguiente TAE: T AE = + 0:086 2 = 0: vemos que la segunda entidad ofrece un TAE del 8: 94%: Por último, calculamos el TAE de la tercera entidad bancaria: T AE = + 0:084 6 = 0: la tercera entidad bancaria ofrece entonces un TAE del 8.69%. Con esta información del TAE que ofrece cada una de las entidades ya sabemos cual de las tres entidades es la más rentable y en la que debemos invertir el dinero de la herencia, que en este caso es la entidad bancaria B.

14 Prof. Susana López 4.8 Capitalización continua Hemos visto que pueden darse situaciones donde la capitalización de intereses puede ser anual, sementral, semanal o inclusive diaria. Nos preguntamos a continuación qué ocurre cuando el intervalo de capitalización es muy pequeño de manera que se capitalizan intereses de forma continua. Sabemos que dado el tipo de interés nominal capitalizable n veces al año, r n ; tiene el siguiente TAE: T AE = + r n n n despejando r n de la anterior identidad tenemos que: r n = n h i ( + T AE) n Queremos calcular la tasa de capitalización continua o instantánea, r; equivalente al TAE. Para conseguir esta tasa habría que hacer n cada vez más grande, es decir, calcular el límite de la anterior expresión cuando n tiende a in nito: r = lim n! n h ( + T AE) n esta expresión da una indeterminación del tipo 0; para resolverla reescribiremos la expresión dentro del límite de la siguiente manera: ( + T AE) r = lim n! ahora ya tenemos una indeterminación del tipo 0 0 de manera que: r = lim n! de esta última expresión deducimos que: ln ( + T AE) n 2 n 2 n r = ln ( + T AE) T AE = e r n i y podemos aplicar L Hopital: = lim n! ln ( + T AE) De manera que utilizaremos el número e cuando realicemos operaciones tanto de capitalización como de descuento a tiempo continuo. Cuando invertimos cierto capital C 0 durante cierto periodo de tiempo t a la tasa anual instantánea r obtendremos el capital C t : donde t está anualizado. C t = C 0 e rt Ejemplo 6 Queremos calcular el valor futuro dentro de 4 meses de 2000C= cuando podemos invertirlo a un tipo anual instantáneo del.5%, por la fórmula anterior tenemos: C t = 2000e 0: = 2060C=

15 Prof. Susana López 5 Ejercicios. Cuál es la inversión inicial que realizamos si hemos obtenido 3.200e después de 8 meses al tipo de interés simple del 3% anual? 2. Calcular el valor actual de.900c= que recibiremos dentro de 90 días al 5% de interés simple anual. 3. Modas Taranilla es una empresa familiar que se dedica a la decoración de camisetas. Le hemos hecho un pedido de 200 camisetas a 0e cada una. Hemos pactado realizar el pago dentro de 60 días a un 0,25% de interés anual simple y año comercial. Cuánto deberemos desembolsar dentro de 60 días? 4. Marcela quiere dar una sorpresa a su marido con un viaje a Cuba para celebrar sus Bodas de Plata dentro de 3 meses. Ha decidico colocar parte de sus ahorros en una cuenta que le facilita un 2% de interés anual. Calcular que cantidad de dinero debe invertir en dicha cuenta si dentro de 3 meses necesita 2.500C= para pagar el viaje. 5. La empresa Trogloditas S.A. debe a uno de sus proveedores 2.500e con vencimiento dentro de 30 días, y otro capital de 3.600e dentro de 80 días Esta empresa ha decidido liquidar la deuda en un único pago dentro de 90 días Cuál será el importe del pago si han pactado un interés del 8% anual? 6. Mi hermano pequeño es trabajador autónomo, ha decidido llevar al banco una letra girada contra un cliente de 5.000C= que vence dento de 90 días. El banco le aplica un tipo de descuento del 7,5% anual. Cuánto pagará el banco por la letra de mi hermano? Cuál es el tipo de interés vencido de la operación? 7. Negociamos contra un cliente una letra por importe de 2.800C= con vencimiento dentro de 30 días. El banco nos ofrece un tipo de descuento del 8% anual. Calcular cuanto dinero recibiríamos por la letra del banco y a qué tipo de interés nos resultaría tal nanciación. 8. Laura Pozuelo ha decidido invertir e en una empresa de placas solares y cree que obtendrá por su inversión un rendimiento del 8% anual, cuánto dinero tendrá dentro de 3 años? Y si el rendimiento fuese del 7,5%? 9. Andrés Calambra tiene una empresa de transportes, desea renovar parte de su parque de coches dentro de 4 años, para ello decide ingresar en una cuenta de ahorros que le ofrece un 6,5% anual C= durante esos cuatro años. Cuánto dinero habrá en la cuenta en el momento de la renovación del parque? Cuánto dinero tendrá al cabo de los 4 años si decide realizar un ingreso adicional de 5.000C= dentro de un año y otros 0.000C= dentro de 2? 0. Hemos ganado un premio de e en la Lotería Nacional, hemos decidido invertirlo en una cuenta que nos ofrece un tipo anual de 6%. Cuanto tiempo ha de pasar para disponer en la cuenta de e?

16 Prof. Susana López 6. Rigoberta ha retirado de su fondo de inversión C=. Qué capital invirtió hace 5 años Rigoberta en dicho fondo si este le ofrecía un rendimiento del 2% anual? 2. Invertimos.200C= en un fondo de inversión que nos ofrece una rentabilidad del 5% anual el primer año, un 5,25% el segundo año y un 5,5% el tercer año. Cuánto dinero dispondremos al nal del tercer año? 3. Hemos invertido 5.000C= al 7% de interés anual durante dos años. Unos primos lejanos me ofrecen un proyecto de inversión por el que recibiré al cabo de dos años C=. Me gustaría saber si es rentable la proposición de mis primos. 4. Mis tios tienen un solar en el pueblo por el que pueden obtener hoy C= e invertirlos en una cuenta de ahorro al 0% anual o bien pueden edi car 4 chalets adosados que podrían vender por C= cada uno dentro de un año. Las obras les costarían cerca de unos C= que abonarían al nal de la obra. Qué opción es más rentable? 5. Mi amiga Sandrá vende su apartamento y no puedo perder la oportunidad de hacerme con el precioso ático que tiene en pleno centro de la ciudad. Me pide por el apartamento C=, pero me hace un 5% de descuento si lo pago al contado, o puedo pagarle una entrada hoy de C=, C= dentro de un año y los otros C= dentro de dos años. Qué opción es la más rentable al % de interés anual? 6. Tengo 2.500e disponibles, puedo invertirlos en la cuenta bancaria A que me ofrece un 2% nominal anual capitalizable trimestralmente o invertirlos en otra cuenta bancaria B que me ofrece un 2,5% de interés nominal pero capitalizable semestralmente. Qué cuenta en más rentable? 7. Cual es el tipo mensual efectivo equivalente a un tipo trimestral efectivo del 2%? 8. Andrea Lafuente recibirá cuatro pagos trimestrales de 240C= cada uno de ellos. Cuál es el valor actual de estos cuatro pagos si el tipo nominal para capitalizaciones trimestrales actualmente está al 8%? 9. Un capital de 5.000C= se capitaliza durante 5 años a un tipo de interés trimestral efectivo del 4%. Calcular la cuantía nal. 20. Calcular el tipo de interés anual equivalente al capitalizar.000e durante 4 años y medio al 0,25% de interés mensual efectivo. 2. El Señor Rodriguez del Campo ha recibido un premio hoy de C=. Desea invertir este dinero durante 0 años. Se le presentan dos alternativas posibles. (a) Depositar el capital en una entidad nanciera que le proporciona unos intereses del 5% anual durante los tres primeros años, un 6% durante los tres siguientes y un 7% los cuatro últimos años. (b) Colocar el capital en otra entidad nanciera que le proporciona un interés del 0,75% bimestral.

17 Prof. Susana López 7 Determinar cual es la arternativa más conveniente. 22. Qué es más conveniente para un inversor, invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital invertido en 5 añós ó depositar el capital disponible del inversor en un fondo de inversión que ofrece un 5% anual capitalizable cuatrimestralmente? 23. Una entidad nanciera abona a sus depósitos un interés del 5% nominal anual pagando intereses cada cuatrimestre. Una persona coloca el capital necesario para disponer de e dentro de cuatro años. A los dos años, la entidad cambia de tipo de interés que a ser del 4,25% compuesto anual capitalizable trimestralmente. Determinar: (a) Cuánto invirtió inicialmente la persona si no considero cambios en los tipos de interés. (b) El capital disponible al nal de los cuatro años. 24. Calcular el valor futuro dentro de 4 meses de 2.300C= capitalizado a un tipo de interés continuo anual del 7%. 25. Calcular el valor actual si dentro de 8 meses recibiremos 3.500C= y ha sido capitalizado al 5% de interés continuo anual. 26. Una empresa tiene que realizar un pago de 3.000e dentro de 8 meses, 4.500e dentro de 6 meses y otro de 5.000e dentro de 28 meses. La empresa tiene la posibilidad de cancelar la deuda con un único pago dentro de 2 años. Calcular cual es la cuantía de ese único pago si el TAE es del 2%. 27. Calcular el valor nal de C= colocados al 4 % de interés semestral con capitalización mensual durante cuatro años. 28. Cuál será el interés efectivo trimestral y mensual si la TAE es del 6,5 %? 29. La sociedad Con sca, S.A., tiene tres capitales de , y de euros, con vencimiento a los dos, tres y cuatro años, respectivamente que desea sustituir por un único capital con vencimiento a los seis años, cuál deberá ser el importe del mismo si el tipo de interés aplicado es del 8 % compuesto anual?

18 Prof. Susana López 8 2 Series Aritmética y Geométrica 2. Progresión Aritmética Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad ja predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión a n, que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a. a n = a + (n )d: 2.2 Serie Aritmética La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética se denomina serie aritmética. S n = a + a 2 + a a n Para determinar la suma de un número nito de términos de una progresión aritmética, basta con considerar el principio de que los pares de términos a y a n, a 2 y a n, a 3 y a n 2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad. a + a n = a 2 + a n = a 3 + a n 2 = = 2a + (n )d 2.3 Progresión Geométrica S n = a + a 2 + a a n S n = a n + a n + a n a 2S n = n (a + a n ) S n = n (a + a n ) 2 Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se de nen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor jo prede nido que se conoce como razón. El término general a n de una progresión geométrica puede escribirse como: 2.4 Serie Geométrica a n = a r n La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica se denomina serie geométrica. S n = a + a 2 + a a n = S n = a + a r + a r a r n

19 Prof. Susana López 9 multiplicando a S n por la razón r obenemos: de manera que por tanto rs n = a r + a r 2 + a r a r n S n rs n = a a r n S n ( r) = a ( r n ) S n = a ( r n ) ( r) Cuando r >, la progresión crece inde nidamente y la suma de sus términos tiende a in nito. En cambio, si r <, cada término será menor que el anterior, y los términos de la progresión se irán acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando jrj <, puede demostrarse que la suma se convierte en: S n = a r

20 Prof. Susana López 20 3 Rentas Financieras Las rentas se de nen como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. Para que exista una renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: Existencia de varios capitales, al menos dos. Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea). 3. Elementos A la hora de estudiar una renta nanciera debemos considerar los siguientes elementos: Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta. Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital. Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el nal de la renta. Término: cada uno de los capitales que componen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta. C 3 C C 2 C n t 0 t t 2 t 3 t n t n Origen Duración = t n t 0 Final 3.2 Valor nanciero de una renta en el momento t (V t ) Es el resultado de llevar nancieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t. Casos particulares Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero. Si t = n (siendo n el nal de la renta) se de ne como el valor nal, resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n. 3.3 Clases 3.3. Según la cuantía de los términos Constante: cuando todos los capitales son iguales.

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