En la definición clásica [85], los autómatas a pila son considerados tuplas. movimientos o transiciones válidos del autómata.
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- Jesús Marín Soriano
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1 Cpítulo 5 Autómts pil Los utómts pil son máquins bstrcts que reconocen exctmente l clse de los lengujes independientes del contexto. En este cpítulo introducimos este tipo de utómts, que servirán de bse los modelos de utómt pr lengujes de djunción de árboles que serán presentdos en los cpítulos siguientes Definición Presentmos dos definiciones diferentes pero equivlentes de los utómts pil (Push- Down Automt, PDA) [85]. En primer lugr presentremos l definición clásic, que consider un utómt pil como un máquin bstrct que const de tres componentes: un cden de entrd, un control finito y un pil. Seguidmente presentremos un definición más modern en l cul se suprimen ls referencis l control finito pr centrse en el componente fundmentl de este tipo de utómts: l pil Definición con estdos En l definición clásic [85], los utómts pil son considerdos tupls (Q, V T, V S, δ, q 0, $ 0, Q F ), donde: Q es un conjunto finito de estdos. V T es un conjunto finito de símbolos terminles. V S es un conjunto finito de símbolos de pil. q 0 Q es el estdo inicil. $ 0 V S es el símbolo inicil de l pil. Q F Q es el conjunto de estdos finles. δ es un relción de Q (V T {ɛ}) V S en subconjuntos finitos de Q VS movimientos o trnsiciones válidos del utómt. Un trnsición que define los (q, β) δ(q,, Z) donde q, q Q, V T {ɛ}, Z V S {ɛ}, β VS, se interpret como sigue: si el utómt se encuentr en el estdo q, el siguiente terminl en l cden de entrd es y el símbolo en l cim de l pil es Z, entonces puede psr l estdo q y reemplzr l cim de l pil por β. 139
2 140 Autómts pil L configurción de un utómt pil en un momento ddo viene definid por el triple (q, α, w), donde q indic el estdo en el que se encuentr el utómt, α el contenido de l pil y w l prte de l cden de entrd que rest por leer. El cmbio de un configurción otr viene determindo por l plicción de un trnsición, de tl modo que si (q, αz, w) es un configurción y (q, β) δ(q,, Z), entonces el utómt psrá l nuev configurción (q, αβ, w), hecho que denotmos medinte (q, α, w) (q, αβ, w). Denotmos por el cierre reflexivo y trnsitivo de. El lenguje ceptdo por estdo finl por un utómt pil viene determindo por el conjunto de cdens w V T tl que (q 0, $ 0, w) (p, α, ɛ), donde p Q F y α V S. El lenguje ceptdo por pil vcí por un utómt pil viene determindo por el conjunto de cdens w V T tl que (q 0, $ 0, w) (p, ɛ, ɛ) pr culquier p Q. Ddo un utómt pil que reconoce un determindo lenguje por estdo finl, es posible construir otro utómt pil que reconoce el mismo lenguje por pil vcí y vicevers [85] Definición sin estdos El control finito de un utómt pil es un elemento prescindible, puesto que el estdo de un configurción dd puede lmcenrse en el elemento situdo en l cim de l pil [24]. Como consecuenci obtenemos un definición lterntiv equivlente [107, 24, 52], que juzgmos más simple y homogéne, según l cul un utómt pil es un tupl (V T, V S, Θ, $ 0, $ f ), donde V T es un conjunto finito de símbolos terminles. V S es un conjunto finito de símbolos de pil. $ 0 V S es el símbolo inicil de l pil. $ f V S es el símbolo finl de l pil. Θ es un conjunto de trnsiciones, cd un de ls cules pertenece uno de los tres tipos siguientes, donde C, F, G V S, ξ V S y V T {ɛ}: SWAP: Trnsiciones de l form C F que reemplzn el elemento C de l cim de l pil por el elemento F mientrs se lee de l cden de entrd. El resultdo de plicr un trnsición de este tipo un pil ξc es un pil ξf. PUSH: Trnsiciones de l form C CF que piln un nuevo elemento F en l pil mientrs se lee de l cden de entrd. El resultdo de plicr un trnsición de este tipo un pil ξc es un pil ξcf. POP: Trnsiciones de l form CF G que eliminn los dos elementos C y F de l cim de l pil y los sustituyen por G mientrs se lee de l cden de entrd. El resultdo de plicr un trnsición de este tipo un pil ξcf es un pil ξg, con lo cul el tmño de l pil decrece en un unidd. Según l nuev definición, l configurción de un utómt pil en un momento ddo viene determind por el pr (ξ, w), donde ξ es el contenido de l pil y w es l prte de l cden de entrd que rest por leer. Un configurción (ξ, w) deriv un configurción (ξ, w), hecho que denotmos medinte (ξ, w) (ξ, w), si y sólo si existe un trnsición que plicd ξ devuelve ξ y consume de l cden de entrd. En cso de ser necesrio identificr un derivción d concret, utilizremos l notción d. Denotmos por el cierre reflexivo y trnsitivo de.
3 5.2 Esquems de compilción 141 Decimos que un cden de entrd w es ceptd por un utómt pil si ($ 0, w) ($ 0 $ f, ɛ). El lenguje ceptdo por un utómt pil viene determindo por el conjunto de cdens w V T tl que ($ 0, w) ($ 0 $ f, ɛ) Esquems de compilción Un esquem de compilción es un conjunto de regls que permite, prtir de un grmátic independiente del contexto y de un estrtegi de nálisis sintáctico, construir un utómt pil que describ los cálculos que se pueden relizr con dich grmátic utilizndo l estrtegi de nálisis elegid. Los esquems de compilción que se vn mostrr se bsn en el prdigm de llmd/retorno [55], utilizndo pr ello los seis tipos de regls mostrdos en l tbl 5.1. A tod regl [CALL] le corresponde un regl [RET] y vicevers. Ls regls [INIT], [CALL] y [SEL] definen ls trnsiciones del utómt encrgds de l fse predictiv del lgoritmo de nálisis mientrs que ls regls [RET] y [PUB] definen ls trnsiciones encrgds de propgr l informción en l fse scendente. Por este motivo l fse descendente o predictiv de un estrtegi de nálisis cundo es implntd en un utómt pil recibe el nombre de fse de llmd, mientrs que l fse scendente recibe el nombre de fse de retorno. Regl [INIT] [CALL] [SEL] [PUB] [RET] [SCAN] Tre inici los cálculos prtir de l pil inicil. requiere el nálisis de un no-terminl de un producción. seleccion un producción. determin que un producción h sido completmente nlizd. continu el proceso de nálisis después de terminr un producción. reconoce los terminles que componen l cden de entrd. Tbl 5.1: Regls de los esquems de compilción de grmátics independientes del contexto En primer lugr definiremos el esquem de compilción correspondiente un estrtegi genéric bsd en el prdigm llmd/retorno, prmetrizd con respecto l informción que se predice y propg en ls fses de llmd y de retorno, respectivmente. Utilizremos l siguiente notción: A r,s pr referirnos l elemento de l producción r que ocup l posición s, de modo que pr un producción r tenemos que A r,0 A r,1... A r,nr. r,s pr indicr el reconocimiento prcil de un producción, notcionlmente equivlente un producción con punto A r,0 A r,1... A r,s A r,s+1... A r,nr. A r,s pr referirnos l predicción de informción con respecto A r,s. A r,s pr representr l informción propgd scendentemente con respecto A r,s.
4 142 Autómts pil Con el fin de simplificr l máximo l definición de los esquems de compilción y sin pérdid de generlidd, supondremos que se cumplen ls siguientes condiciones sobre l grmátic independiente del contexto: El xiom sólo prece en el ldo izquierdo de l producción unitri 0, que tiene l form S X, con X V N V T Los terminles sólo precen en producciones unitris de l form A r,0 V T {ɛ}., donde Esquem de compilción 5.1 El esquem de compilción genérico de un grmátic independiente del contexto en un utómt pil qued definido por el conjunto de regls mostrdo continución y por los elementos inicil $ 0 y finl S. L primer column indic el nombre de l regl, l segund ls trnsiciones generds por l mism y l tercer ls condiciones, generlmente referids l form de ls producciones, que se deben cumplir pr que l regl se plicble. [INIT] $ 0 $ 0 0,0 [CALL] r,s r,s A r,s+1 [SEL] A r,0 r,0 r 0 [PUB] r,nr A r,0 [RET] r,s A r,s+1 r,s+1 [SCAN] A r,0 A r,0 A r,0 A continución presentmos tres versiones concrets del esquem de compilción genérico. L primer se corresponde con un estrtegi de nálisis descendente en l cul los no-terminles se predicen en l fse de llmd pero no se propgn en l fse scendente. L segund se corresponde con un estrtegi mixt de tipo Erley [69] en l que los no-terminles se predicen en l fse de llmd y se propgn en l fse de retorno. L tercer y últim se corresponde con un estrtegi scendente en l cul no hy ningún tipo de predicción en l fse de llmd mientrs que en l fse de retorno se propgn los no-terminles nlizdos. En l tbl 5.2 se muestrn los vlores que deben tomr los prámetros de predicción y propgción de informción pr trnsformr el esquem de compilción genérico en esquems correspondientes ls tres estrtegis de nálisis citds, donde represent un símbolo de pil nuevo. En el cso de estrtegis Erley es necesrio distinguir l llmd de un no-terminl A r,s+1 de su retorno, pr lo cul utilizmos los símbolos A r,s+1 y A r,s+1, respectivmente Estrtegi descendente Esquem de compilción 5.2 El esquem de compilción descendente de un grmátic independiente del contexto en un utómt pil qued definido por el conjunto de regls mostrdo en l tbl 5.3 y por los elementos inicil $ 0 y finl.
5 5.2 Esquems de compilción 143 Estrtegi A r,s+1 A r,s+1 Ascendente A r,s+1 Erley A r,s+1 A r,s+1 Descendente A r,s+1 Tbl 5.2: Prámetros del esquem de compilción genérico de CFG en PDA Ejemplo 5.1 Consideremos l grmátic independiente del contexto definid por ls producciones: (0) S X (1) X AXB (2) X ɛ (3) A (4) B b que gener el lenguje { n b n n 0}. En l tbl 5.4 se muestr el conjunto de trnsiciones del utómt pil que se obtiene l plicr el esquem de compilción descendente. En l tbl 5.5 se muestr l secuenci de configurciones que sigue el utómt pr nlizr correctmente l cden de entrd bb. L primer column muestr l trnsición plicd, l segund el tipo de l regl que generó dich trnsición, l tercer el contenido de l pil y l curt l prte que rest por leer de l cden de entrd. Ls configurciones mrcds con son quells en ls que hy más de un opción pr proseguir el nálisis. Se trt de configurciones resultdo de plicr un trnsición de tipo [CALL]. Si el elemento pildo coincide con el ldo izquierdo de vris producciones, debe proseguirse el nálisis por cd un de ells. En l tbl 5.5 sólo se muestrn ls configurciones que llevn l reconocimiento de l cden de entrd. El resto de ls posibles configurciones llevn l utómt detenerse en configurciones que no son finles Estrtegi Erley Esquem de compilción 5.3 El esquem de compilción pr un estrtegi de tipo Erley de un grmátic independiente del contexto en un utómt pil qued definido por el conjunto de regls mostrdo en l tbl 5.6 y por los elementos inicil $ 0 y finl S Estrtegi scendente Esquem de compilción 5.4 El esquem de compilción scendente de un grmátic independiente del contexto en un utómt pil qued definido por el conjunto de regls mostrdo en l tbl 5.7 y por los elementos inicil $ 0 y finl S.
6 144 Autómts pil [INIT] $ 0 $ 0 0,0 [CALL] r,s r,s A r,s+1 [SEL] A r,0 r,0 r 0 [PUB] r,nr [RET] r,s r,s+1 [SCAN] A r,0 A r,0 Tbl 5.3: Regls del esquem de compilción descendente de CFG en PDA () [INIT] $ 0 $ 0 0,0 (b) [CALL] 0,0 0,0 X (c) [RET] 0,0 0,1 (d) [PUB] 0,1 (e) [SEL] X 1,0 (f) [CALL] 1,0 1,0 A (g) [RET] 1,0 1,1 (h) [CALL] 1,1 1,1 X (i) [RET] 1,1 1,2 (j) [CALL] 1,2 1,2 B (k) [RET] 1,2 1,3 (l) [PUB] 1,3 (m) [SCAN] X ɛ (n) [SCAN] A (p) [SCAN] B b Tbl 5.4: Trnsiciones del utómt pil con estrtegi descendente
7 5.2 Esquems de compilción 145 $ 0 bb () [INIT] $ 0 0,0 bb (b) [CALL] $ 0 0,0 X bb * (e) [SEL] $ 0 0,0 1,0 bb (f) [CALL] $ 0 0,0 1,0 A bb (n) [SCAN] $ 0 0,0 1,0 bb (g) [RET] $ 0 0,0 1,1 bb (h) [CALL] $ 0 0,0 1,1 X bb * (e) [SEL] $ 0 0,0 1,1 1,0 bb (f) [CALL] $ 0 0,0 1,1 1,0 A bb (n) [SCAN] $ 0 0,0 1,1 1,0 bb (g) [RET] $ 0 0,0 1,1 1,1 bb (h) [CALL] $ 0 0,0 1,1 1,1 X bb * (m) [SCAN] $ 0 0,0 1,1 1,1 bb (i) [RET] $ 0 0,0 1,1 1,2 bb (j) [CALL] $ 0 0,0 1,1 1,2 B bb (p) [SCAN] $ 0 0,0 1,1 1,2 b (k) [RET] $ 0 0,0 1,1 1,3 b (l) [PUB] $ 0 0,0 1,1 b (i) [RET] $ 0 0,0 1,2 b (j) [CALL] $ 0 0,0 1,2 B b (p) [SCAN] $ 0 0,0 1,2 (k) [RET] $ 0 0,0 1,3 (l) [PUB] $ 0 0,0 (c) [RET] $ 0 0,1 (d) [PUB] $ 0 Tbl 5.5: Configurciones del utómt pil descendente durnte el nálisis de bb
8 146 Autómts pil [INIT] $ 0 $ 0 0,0 [CALL] r,s r,s A r,s+1 [SEL] A r,0 r,0 r 0 [PUB] r,nr A r,0 [RET] r,s A r,s+1 r,s+1 [SCAN] A r,0 A r,0 A r,0 Tbl 5.6: Regls del esquem de compilción Erley de CFG en PDA [INIT] $ 0 $ 0 0,0 [CALL] r,s r,s [SEL] r,0 r 0 [PUB] r,nr A r,0 [RET] r,s A r,s+1 r,s+1 [SCAN] A r,0 A r,0 Tbl 5.7: Regls del esquem de compilción scendente de CFG en PDA 5.3. Tbulción L independenci del contexto de ls trnsiciones de los utómts pil permite tbulr l ejecución de los mismos. En est sección presentmos dos técnics diferentes pr l tbulción de los utómts pil, un propuest por Lng [104, 107] y l otr propuest por Nederhof [126] L técnic de Lng En un grmátic independiente del contexto, si B δ entonces αbβ αδβ pr todo α, β (V N V T ). Est mism independenci del contexto se trsld los utómts pil, de tl modo que si entonces tmbién se cumple que (B, i+1... j... n ) (BC, j+1... n ) (ξb, i+1... j... n ) (ξbc, j+1... n ) pr todo ξ V S. Denominremos derivciones independientes del contexto este tipo de derivciones. Observmos que este tipo de derivciones present grn semejnz con ls trnsiciones PUSH. Pr representr un derivción independiente del contexto sólo precismos lmcenr los símbolos de pil B y C más ls posiciones de l cden de entrd i y j, puesto que l derivción es independiente de ξ. L técnic de tbulción de utómts pil propuest por Lng [104, 107]
9 5.3 Tbulción 147 se bs precismente en reemplzr l mnipulción de pils por l mnipulción de ítems de l form que representn de form compct el conjunto de derivciones independientes del contexto que comprten los elementos de l cim de l pil. Los ítems se combinn medinte regls de combinción de l form nts cons trns, donde cons es el ítem consecuente que se obtiene l plicr l trnsición trns sobre los ítems ntecedentes nts. A continución mostrmos ls regls de combinción de ítems pr los tres tipos de trnsiciones: Trnsiciones SWAP: l plicción de un trnsición C F produce l derivción (ξc, j... n ) (ξf, k... n ) en un utómt pil, donde k = j si = ɛ y k = j+1 si = j+1. Dd l derivción independiente del contexto (ξ B, i+1... n ) (ξ BC, j+1... n ) que d lugr l configurción (ξ BC, j+1... n ), trs l plicción de l trnsición obtendremos l derivción independiente del contexto (ξ B, i+1... n ) (ξ BF, k+1... n ). L correspondiente regl de combinción de ítems es [B, i, F, k] C F Trnsiciones PUSH: l plicción de un trnsición C CF produce l derivción (ξc, j+1... n ) (ξcf, k+1... n ), donde k = j si = ɛ y k = j + 1 si = j+1. Est derivción es por sí mism un derivción independiente del contexto, por lo que l correspondiente regl de combinción de ítems es [C, j, F, k] C CF Trnsiciones POP: l plicción de un trnsición CF G produce l derivción (ξcf, k+1... n ) (ξg, l+1... n ). L configurción (ξcf, k+1... n ) reflej un derivción independiente del contexto (ξc, j+1... n ) (ξcf, k+1... n ), pero demás necesitmos l derivción independiente del contexto (ξ B, i+1... n ) (ξ BC, j+1... n ) que colocó C en l cim de l pil pr obtener l derivción independiente del contexto (ξ B, i+1... n ) (ξ BG, l+1... n ) resultnte de l plicción de l trnsición, donde l = k si = ɛ y l = k + 1 si = k+1. L correspondiente regl de combinción de ítems es [C, j, F, k] [B, i, G, l] CF G L mnipulción de configurciones medinte l plicción de trnsiciones es equivlente l mnipulción de ítems medinte ls regls de combinción correspondientes cd trnsición [104, 107] L técnic de Nederhof Aunque Nederhof no h presentdo un técnic específic pr l tbulción de utómts pil, l mism se obtiene como un cso especil de l técnic de tbulción propuest por dicho utor pr los utómts lineles de índices [126].
10 148 Autómts pil A diferenci de l técnic de Lng, que trsld l propiedd de independenci del contexto de ls grmátics independientes del contexto derivciones con l form de trnsiciones de PUSH, l técnic de tbulción de Nederhof trsld dich propiedd derivciones con l form de trnsiciones SWAP, puesto que si tenemos un derivción entonces tmbién se cumple que (B, i... j... n ) (C, j... n ) (ξb, i... j... n ) (ξc, j... n ) pr todo ξ VS. Al igul que en l técnic de Lng, ests derivciones tmbién se denominn derivciones independientes del contexto. Pr representr un derivción independiente del contexto sólo precismos lmcenr B, C y ls posiciones i y j, por lo que se utilizrán ítems de l form Estos ítems se mnipuln medinte regls de combinción, un pr cd tipo de trnsición: Trnsiciones SWAP: l plicción de un trnsición C F produce un derivción (ξc, j... n ) (ξf, k... n ) en un utómt pil, donde k = j si = ɛ y k = j + 1 si = j+1. Dd l derivción independiente del contexto (ξb, i... n ) (ξc, j... n ), trs l plicción de l trnsición obtendremos l derivción independiente del contexto (ξb, i... n ) (ξf, k... n ). L correspondiente regl de combinción de ítems es [B, i, F, k] C F Trnsiciones PUSH: l plicción de un trnsición C CF produce l derivción (ξc, j+1... n ) (ξcf, k+1... n ), donde k = j si = ɛ y k = j + 1 si = j+1. Dd l derivción independiente del contexto (ξb, i... n ) (ξc, j... n ), trs l plicción de l trnsición obtendremos l derivción independiente del contexto (ξf, k+1... n ) 0 (ξf, k+1... n ). L correspondiente regl de combinción de ítems es [F, k, F, k] C CF Trnsiciones POP: l plicción de un trnsición CF G produce un derivción (ξcf, k+1... n ) (ξg, l+1... n ), donde l = k si = ɛ y l = k + 1 si = k+1. L configurción (ξcf, k+1... n ) reflej un derivción constituid por 1. un derivción independiente del contexto (ξb, i+1... n ) (ξc, j+1... n ); 2. un pso de derivción (ξc, j+1... n ) (ξcf, k n ) resultdo de l plicción de un trnsición C b CF, donde k = j si b = ɛ y k = j + 1 si b = j+1 ; 3. un derivción independiente del contexto (ξcf, k n ) (ξcf, k+1... n ). En consecuenci, l regl de combinción tendrá l form: [F, k, F, k] [B, i, G, l] b C CF CF G
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