Teoría de Lenguajes. Clase Teórica 7 Autómatas de Pila y Lenguajes Independientes del Contexto Primer cuartimestre 2014

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1 Teoría de Lenguajes Clase Teórica 7 Autómatas de Pila y Lenguajes Independientes del Contexto Primer cuartimestre 2014 aterial compilado por el Profesor Julio Jacobo, a lo largo de distintas ediciones de la materia Teoría de Lenguajes en el Departamento de Computación, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Bibliografía: Capítulos 6 y 7, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, J. Hopcroft, R. otwani, J. Ullman, Second Edition, Addison Wesley, Definición (Oettinger 1961, Schutzenberger 1963). Un autómata de pila está definido por xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y donde Q es el conjunto de estados, Σ es el alfabeto de entrada Γ es el alfabeto de la pila q 0 P Q es el estado inicial Z 0 P Γ es la configuración incial de la pila F P Q es el conjunto de estados finales δ : Q ˆ pσ Y tλuq ˆ Γ Ñ P pq ˆ Γq función de transición: δ pq, a, Zq tpp 1, γ 1 q, pp 2, γ 2 q,..., pp m, γ m qu La interpretación de δpq, a, Zq tpq 1, γ 1 q, pp 2, γ 2 q,..., pp n, γ n qu, con q, p 1,..., p n P Q, a P pσ Y tλuq, Z P Γ, y γ i P Γ es la siguiente: Cuando el estado del autómata es q, el símbolo que la cabeza lectora está inspeccionando en ese momento es a, y en la cima de la pila nos encontramos el símbolo Z, se realizan las siguientes acciones: Si a P Σ, es decir no es la cadena vacía, la cabeza lectora avanza una posición para inspeccionar el siguiente símbolo. Se elimina el símbolo Z de la pila del autómata. Se selecciona un par pq i, γ i q de entre los existentes en la definición de δpq, a, Zq, la función de transición del autómata. Se apila la cadena γ i c 1 c 2... c k, con c i P Γ en la pila del autómata, quedando el símbolo c 1 en la cima de la pila. Se cambia el control del autómata al estado p i. Ejemplo. Autómata de pila que acepta L ta n b n : n ě 1u: xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y donde Q tq 0, q 1, q 2, q 3 u Σ ta, bu, Γ tz 0, 1u F tq 3 u 1

2 Ejemplo. Autómata de pila que acepta L tαα R : α P Σu: xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y donde Q tq 0, q 1, q 2, q 3 u Σ ta, bu, Γ tz 0, a, bu F tq 0, q 3 u Definición (Configuración de un autómata de pila). Una configuración de un autómata de pila se define como un elemento del conjunto Q ˆ Σ ˆ Γ, donde Q es el estado actual, Σ es la parte de la cadena de entrada que falta procesar y Γ es el contenido de la pila. La configuración inicial del autómata será entonces pq 0, α, Z 0 q. Definición (Cambio de configuración). Consideremos un autómata de pila xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y. Para todo a P Σ, α P Σ,t P Γ, τ, π P Γ, q, r P Q Si pr, τq P δ pq, a, tq entonces pq, aα, tπq pr, α, τπq Si pr, τq P δ pq, λ, tq entonces pq, α, tπq pr, α, τπq Definición. Sea un autómata de pila. El lenguaje reconocido por por estado final es " L pq α P Σ : Dp P F * pq 0, α, Z 0 q pp, λ, γq El lenguaje reconocido por por pila vacía es " * L λ pq α P Σ : Dq P Q pq 0, α, Z 0 q pr, λ, λq Ejemplo. Sea AP xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, Hy donde Q tq 0, q 1, q 2 u Σ ta, bu, Γ tz 0, a, bu, donde δ está dada por el siguiente dibujo: Notar que δpq 0, a, Z 0 q tpq 1, 1qu, por lo tanto en la transición de q 0 a q 1 el símbolo Z 0 fue removido de la pila. El lenguaje reconocido por por pila vacía es L λ pq ta n b n : n ě 1u 2

3 Teorema 1. Sea xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y. Existe 1 tal que L pq L λ p 1 q. Demostración. Definimos 1 de la siguiente manera: Q Y ( q λ, q0 1, Σ, Γ Y tx0 u, δ 1, q0, 1 X 0, H D donde 1. δ 1 pq 1 0, λ, X 0 q tpq 0, Z 0 X 0 qu P P Σ Y P Γ, δ 1 pq, a, Zq δ 1 pq, a, Zq. P P Γ Y tx 0 u, pq λ, λq P δ 1 pq, λ, Zq P Γ Y tx 0 u, pq λ, λq P δ 1 pq λ, λ, Zq Por la regla 1 el autómata 1 entra al estado inicial del autómata : q 0, con Z 0 X 0 en la pila, de manera que si para una cadena cualquiera, el autómata intentara vaciar la pila retirando Z 0, esta no quedará vacía ya que existe X 0. La regla 2 implica que el autómata 1 simula al autómata. De las reglas 3 y 4, si entra en un estado final, siempre puede elegir entre ir al estado q λ y vaciar la pila o continuar simulando. Veamos que L pq Ď L λ p 1 q. Si x P L pq entonces pq 0, x, Z 0 q Por la regla 1 Por la regla 2 entonces Por las reglas 3 y 4 es cierto que Por lo tanto, Entonces, si x P L pq entonces x P L λ p 1 q. `q1 0, x, X 0 1 pq 0, x, Z 0 X 0 q. pq 0, x, Z 0 q pq, λ, γq, `q1 0, x, X 0 pq 0, x, Z 0 X 0 q pq, λ, γx 0 q. 1 1 pq, λ, γx 0 q 1 pq λ, λ, λq. `q1 0, x, X 0 1 pq λ, λ, λq. pq, λ, γq, con q P F, por definición de L pq. 3

4 Veamos que L pq Ě L λ p 1 q. Si x P L λ p 1 q, entonces existirá la secuencia de movimientos dada por `q1 0, x, X 0 pq 0, x, Z 0 X 0 q pq, λ, γx 0 q pq λ, λ, λq, 1 looooooooooooooooomooooooooooooooooon 1 1 por las reglas 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Pero de A se puede ver que Por lo tanto, si x P L λ p 1 q entonces x P L pq. A pq 0, x, Z 0 q pq, λ, γq. Teorema 2. Sea 1 xq 1, Σ, Γ 1, δ 1, q 1 0, X 0, Hy. Existe tal que L λ p 1 q L pq. Demostración. Definimos de la siguiente manera: donde 1. δ pq 0, λ, Z 0 q tpq1 0, X 0 Z 0 Q 1 Y tq 0, q f u, Σ, Γ 1 Y tz 0 u, δ, q 0, Z 0, tq f u D P Q P Σ Y P Γ 1, δ pq, a, Zq δ 1 pq, a, Zq P Q 1, pq f, λq P δ pq, λ, Z 0 q Por la regla 1, desde un principio entra en 1, con X 0 Z 0 en la pila. Por la regla 2, recorre el autómata 1. La regla 3 le permite, en cualquier momento que vacíe la pila, saltar al estado final q f. Definición. Una gramática xv N, V T, P, Sy es independiente del contexto sii las producciones en P son de la forma A Ñ α, con A P V N y α P pv N Y V T q. Si en particular α P pv N Y V T q` la gramática se denomina propia. Demostraremos que para cada gramática independiente del contexto, puede definirse un autómata de pila que acepta el lenguaje generado por dicha gramática y viceversa. 4

5 Ejemplo. Sea xv N, V T, P, Sy la gramática independiente del contexto tal que V N teu, V T t`,, id, p, qu, S E y tiene una única producción E Ñ E ` E E E peq id Definimos xtq 0 u, t`,, id, p, qu, te, `,, id, p, qu, δ, q 0, E, Hy, La idea general es la siguiente. Dada una gramática xv N, V T, P, Sy independiente del contexto podemos definir un autómata de pila xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, Hy tal que Lpq L λ pq. Definimos Q tq 0 u,σ V T,Γ V N Y V T y Z 0 S. Si en el tope de la pila hay un símbolo no-terminal t, el autómata lo reemplazará por el lado derecho α de alguna producción del mismo de tal manera que el símbolo más a la izquierda en el lado derecho de dicha producción quede en el tope de la pila. Si en el tope de la pila hay un símbolo terminal t, el autómata constatará que es igual al próximo símbolo en la cadena de entrada y lo desapilará. Este autómata acepta L por pila vacía. Teorema 3. Sea xv N, V T, P, Sy una gramática independiente del contexto. Existe AP tal que L pq L λ pq. Demostración. Definamos el AP xtqu, V T, V N Y V T, δ, q, S, φy donde la función de transición δ está dada por: 1. Si A Ñ α P P, entonces pq, αq P δ pq, λ, Aq P V T, δ pq, a, aq tpq, λqu. Como resultado intermedio, demostremos que A ñ w si y solo si pq, w, Aq pq, λ, λq Probemos primero que Si A ñ w entonces pq, w, Aq pq, λ, λq. Usamos inducción en la cantidad de derivaciones, a las que llamaremos m. Caso base, m 1. Supongamos A 1 ñ w. Entonces w a 1... a k, con k ą 0 (o sea, A 1 ñ a 1... a k ) Por lo tanto, pq, a 1... a k, Aq pq, a 1... a k, a 1... a k q k pq, λ, λq. Caso inductivo, m ą 1. Asumimos la hipótesis inductiva, para todo j ă m phiq si A j ñ x entonces pq, x, Aq pq, λ, λq. Supongamos ahora que A ñ m m i w. El primer paso de la derivación será de la forma A ñ X 1... X k, con X i ñ xi, para algún m i ă m, con 1 ď i ď k, y donde x 1... x k w. Entonces, Si X i P V N, entonces por hipótesis inductiva es cierto que pq, w, Aq pq, w, X 1... X k q. pq, x i, X i q pq, λ, λq. Si X i x i P V T, entonces pq, x i, X i q pq, λ, λq. 5

6 Por lo tanto, Probemos ahora que pq, w, Aq pq, x 1... x k, X 1... X k q pq, x 2... x k, X 2... X k q... pq, x k, X k q pq, λ, λq Si pq, w, Aq pq, λ, λq entoncesa ñ w. Usamos inducción en la cantidad de cambios de configuración, a la que llamaremos n. Caso base, n 1. Necesariamente w λ y A Ñ λ P P. Caso inductivo, n ą 1. Asumimos la hipótesis inductiva, para todo j ă n phiq Si pq, x, Aq j pq, λ, λq entoncesa ñ x. Supongamos pq, w, Aq n pq, λ, λq. La primera transición efectuada por el AP será de la forma pq, w, Aq pq, w, X 1... X k q, y además será cierto que pq, x i, X i q ni pq, λ, λq para 1 ď i ď k, con w x 1... x k. Entonces, A Ñ X 1... X k P P y, 0 por hipótesis inductiva tenemos que, si X i P V N entonces X i `ñ xi, y si X i P V T entonces X i ñ xi. Por lo tanto, A ñ X 1... X k ñ x 1 X 2... X k... ñ x 1... x k 1 X k ñ x 1... x k 1 x k w Ahora, utilizando lo anterior, haciendo A S concluimos por lo tanto L pq L λ pq. S `ñ w sii pq, w, Sq ` pq, λ, λq Teorema 4. Si xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y es un autómata de pila entonces L λ pq es un lenguaje independiente del contexto. Demostración. Definamos la gramática xv N, V T, P, Sy de la siguiente manera el conjunto de no terminales es V N trq, A, ps : q P Q, A P Γ y p P Q Y Su. V T es el conjunto de terminales es Σ S, el símbolo distinguido, es tal que S R Γ el conjunto de producciones P está dado por 1. S Ñ rq 0, Z 0, qs para cada q P Q. 2. rq, A, q m`1 s Ñ arq 1, B 1, q 2 s... rq m, B m, q m`1 s sii pq 1, B 1... B m q P δpq, a, Aq. 3. rq, A, q m`1 s Ñ rq 1, B 1, q 2 s... rq m, B m, q m`1 s sii pq 1, B 1... B m q P δpq, λ, Aq. 4. rq, A, q 1 s Ñ a sii pq 1, λq P δpq, a, Aq. 5. rq, A, q 1 s Ñ λ sii pq 1, λq P δpq, λ, Aq. para cada q, q 1,..., q m P Q, cada a P Σ y cada A, B 1,..., B m P Γ. 6

7 Queremos probar que: rq, A, ps ñ x si y solo si pq, x, Aq pp, λ, λq. Para esto probemos primero que para todo i ě 1, Si pq, x, Aq i pp, λ, λq entonces rq, A, ps ñ x Caso i 1. Tenemos x a o x λ, por lo que pq, x, Aq i pp, λ, λq se transforma en por lo tanto Y por las reglas 4 y 5 tenemos que respectivamente. Concluimos pq, a, Aq 1 pp, λ, λq o pq, λ, Aq 1 pp, λ, λq pp, λq P δpq, a, Aq o pp, λq P δpq, λ, Aq rq, A, ps Ñ a o rq, A, ps Ñ λ pq, a, Aq 1 pp, λ, λq ñ rq, A, ps ñ a o pq, λ, Aq 1 pp, λ, λq ñ rq, A, ps ñ λ. Caso i ą 1. Tenemos x ay o x y con y P Σ, para considerar los casos en los que la primera transición consume un caracter o no, respectivamente. Como hay más de una transición, entonces existen B 1,..., B n tales que pq, ay, Aq pq, y, Aq pq 1, y, B 1,..., B n q i 1 pq 1, y, B 1,..., B n q i 1 pp, λ, λq ó pp, λ, λq donde los B 1,..., B n son los símbolos de pila que reemplazan a A cuando se pasa del estado q al estado q 1 consumiendo a. 7

8 Descompongamos ahora la cadena y haciendo y y 1... y n, donde la cadena y j es tal que y 1... y j hace que el símbolo B j quede en el tope de pila por primera vez. Entonces, existen estados q 2,..., q n`1 tales que pq j, y j, B j q pq j`1, λ, λq, para 1 ď j ď n, en menos de i transiciones. Entonces, por por hipótesis inductiva, tenemos que para 1 ď j ď n. O sea que, para 1 ď j ď n, pq 1, y, B 1,..., B n q i 1 rq j, B j, q j`1 s ñ y j pp, λ, λq ñ rq j, B j, q j`1 s ñ y j. Ahora hagamos uso de que por las reglas 2 y 3 tenemos que que junto con para 1 ď j ď n, nos permite decir que pq, ay, Aq pq 1, y, B 1,..., B n q ó pq, y, Aq pq 1, y, B 1,..., B n q rq, A, q m`1 s ñ arq 1, B 1, q 2 s... rq m, B m, q m`1 s ó rq, A, q m`1 s ñ rq 1, B 1, q 2 s... rq m, B m, q m`1 s rq j, B j, q j`1 s ñ y j rq, A, q m`1 s ñ ay 1... y n x ó rq, A, q m`1 s ñ y 1... y n x Probemos ahora que, para todo i ě 1 Si rq, A, ps ñ i x entonces pq, x, Aq pp, λ, λq. 8

9 Para i 1 tenemos que rq, A, ps i ñ a ó rq, A, ps i ñ λ esto implica que rq, A, ps i Ñ a o rq, A, ps ß Ñ λ deben ser producciones de la gramática. Entonces por 4 y 5 es cierto que pp, λq P δpq, a, Aq ó pp, λq P δpq, λ, Aq Para i ą 1 tenemos que rq, A, ps ñ arq 1, B 1, Q 2 s... rq n, B n, ps i 1 ñ rq, A, ps ñ rq 1, B 1, Q 2 s... rq n, B n, ps i 1 ñ podemos entonces descomponer x como x ax 1... x n de tal manera que x x ó rq j, B j, q j 1 s ñ x j con 1 ď j ď n y donde cada derivación toma menos de i pasos. Por esto último, utilizando hipótesis inductiva podemos decir que pq j, x j, B j q pq j`1, λ, λq para 1 ď j ď n lo que implica que para 1 ď j ď n. Ahora, como entonces Usando con 1 ď j ď n y q j`1 p, y usando pq j, x j, B j... B n q pq j`1, λ, B j`1... B n q rq, A, ps ñ arq 1, B 1, Q 2 s... rq n, B n, ps ó rq, A, ps ñ rq 1, B 1, Q 2 s... rq n, B n, ps pq, a, Aq pq, λ, B 1... B n q ó pq, λ, Aq pq, λ, B 1... B n q. pq j, x j, B j... B n q pq j`1, λ, B j`1... B n q tenemos que pq, a, Aq pq, λ, B 1... B n q ó pq, λ, Aq pq, λ, B 1... B n q pq, ax 1... x n, Aq pq, x 1... x n, Aq pq 1, x 1... x n, B 1... B n q pp, λ, λq ó pq 1, x 1... x n, B 1... B n q pp, λ, λq. Hemos demostrado que: rq, A, ps ñ x si y solo si pq, x, Aq pp, λ, λq 9

10 Tomado q q 0 y A Z 0, lo anterior nos queda rq 0, Z 0, ps ñ x si y solo si pq 0, x, Z 0 q pp, λ, λq teniendo en cuenta la regla 1 tenemos la producción S Ñ rq 0, Z 0, ps, por lo que la anterior se transforma en o, lo que es lo mismo S ñ x si y solo si pq 0, x, Z 0 q pp, λ, λq, x P L pq si y solo si x P L λ pq. Definición. Un autómata de pila xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y es determinístico P P P Γ, 1. #δ pq, a, Aq ď 1 2. #δ pq, λ, Aq ď 1 3. si #δ pq, λ, Aq 1 entonces #δ pq, a, Aq 0 Ejemplo. El siguiente autómata de pila es determinístico y L pq α α R : α P pσz t 1 1uq( Ejercicios 1. Indicar Verdadeo o Falso y justificar. a) Si un autómata de pila no opera con la pila, es en realidad un autómata finito. b) Si xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, Hy es un autómata de pila entonces cada palabra w P L λ pq es reconocida por en a los sumo w #Q #Γ transiciones; es decir, existe n ď w #Q #Γ, existe p P Q, tal que pq 0, w, Z 0 q n pp, λ, λq. 2. Dado un autómata finito xq, Σ, δ, q 0, F y dar un autómata de pila 1 xq 1, Σ, Γ 1, δ 1, q 1 0, Z 1 0, Hy tal que L λ pq L λ p 1 q 3. El Teorema 1 afirma que para cada autómata xq, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F y. existe 1 tal que L pq L λ p 1 q. Si es determinístico, el autómata 1 construido en la demostración también lo es? 4. El Teorema 2 afirma que dado 1 xq 1, Σ, Γ 1, δ 1, q 1 0, X 0, Hy. existe tal que L λ p 1 q L pq. Si 1 es determinístico, el autómata construido en la demostración también lo es? 5. El Teorema 4 afirma que para cada autómata de pila, L λ pq es independiente del contexto. Por qué gramática dada en la demostración no es regular? 10

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