Fundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto Segundo Cuatrimestre de 2002

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1 Departamento de Cs. e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Ejercicios Fundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto Segundo Cuatrimestre de Proponer una gramática libre del contexto que genere al lenguaje {0 n 1 n n 1}. 2. El lenguaje {a i b i 3 i 100}, es regular o es libre del contexto? 3. Una palabra w Vt se dice palíndroma si, y sólo si, se verifica que w = w, donde w denota al reverso de w. Generalizando esta noción, se dice que un dado lenguaje es palíndromo si, y sólo si, está compuesto únicamente por palabras palíndromas. a) Proponer una gramática que en base al alfabeto {a, b} genere el conjunto de todas las palabras palíndromas posibles. b) Demostrar que para todo lenguaje palíndromo L se verifica que su reverso L, definido como { w w L}, también es un lenguaje palíndromo. 4. Definir una gramática que genere el conjunto de cadenas en las cuales cada aparición de la palabra reservada begin va acompañada de su correspondiente end. La gramática propuesta, se asemeja estructuralmente a la propuesta en el ejercicio 1? 5. Modelar mediante una gramática BNF al conjunto de las expresiones aritméticas válidas de Pascal. 6. Describir a través de una gramática libre del contexto alguna de las sentencias del lenguaje Pascal. Es posible describir esa misma sentencia a través de una gramática BNF? 7. Construir una gramática libre del contexto que genere el lenguaje {0 2n 1 n n 1}. 8. Proponer una gramática libre del contexto que genere el siguiente lenguaje: {a n b n c m n, m 1} {a n b m c m n, m 1} En la gramática postulada, qué árbol de derivación tendría la palabra a 3 b 3 c 3? 9. Sea G la gramática libre del contexto (V n, V t, S, P ), donde V n = {A, S}, V t = {0, 1} y P = {S A1A, A 0, A A1A}. Encontrar al menos dos árboles de derivación distintos para la palabra En consecuencia, qué se puede afirmar acerca de G? 10. Formular una gramática que genere el lenguaje L 1 L 2, donde: L 1 = {a n b n a m b m m, n 1} L 2 = {a n b m a m b n m, n 1} La gramática obtenida, debe ser necesariamente ambigua? 1

2 11. Encontrar algún autómata a pila que reconozca al lenguaje de las expresiones matemáticas infijas que resultan de combinar las variables x e y con las operaciones tradicionales. Pista: Apelar al teorema de equivalencia entre autómatas a pila no deterministas y gramáticas libre de contexto. 12. Definir un autómata a pila que sea capaz de reconocer al lenguaje {a n ba m ba n+m m, n 1}. 13. El lenguaje de programación Lisp fue específicamente diseñado para el procesamiento de datos simbólicos. En este lenguaje tanto los programas como las estructuras de datos se representan de la misma forma apelando a las denominadas S-expresiones. Las S- expresiones se componen de los símbolos (, ) y, combinados con un conjunto infinito de símbolos atómicos, donde los símbolos atómicos pueden a su vez ser valores numéricos o identificadores. En términos formalmente: i. Los símbolos atómicos son S-expresiones. ii. Si e 1 y e 2 son S-expresiones, (e 1 e 2 ), también lo es. iii. Sólo son S-expresiones las cadenas de símbolos que surjan de aplicar las reglas anteriores un número finito de veces. Teniendo en cuenta esta definición, encontrar una gramática libre del contexto que genere el conjunto de todas las S-expresiones posibles. 14. Proponer un autómata a pila que sea capaz de reconocer el siguiente lenguaje: {a i b j c k i j o j k, con i, j, k 0} 15. Sea G la gramática libre del contexto (V n, V t, P, S), donde V n = {S}, V t = {a, b, +, } y P = {S +SS, S SS, S a, S b}, la cual describe al conjunto de las expresiones aritméticas en notación prefija. a) Construir un autómata a pila que reconozca al lenguaje generado por G. b) Proveer una derivación a izquierda de la cadena + ab + ba. c) Proveer una derivación a derecha de la cadena + ab + ba. d) Cuál de las dos derivaciones refleja de forma más certera el proceso llevado a cabo por el autómata a pila al reconocer la esta cadena? 16. Qué otros problemas de la vida cotidiana pueden ser modelados a través de autómatas a pila? 17. [ ] 1 Encontrar sendas gramáticas que respetando la forma normal de Chomsky resulten equivalentes a las gramáticas indicadas a continuación: a) G 1 = (V n, V t, P, S), donde V n = {S, A, B}, V t = {a, b} y P = {S aab, S BA, A BBB, A a, B AS, B b}. b) G 2 = (V n, V t, P, S), donde V n = {S, A, B}, V t = {0, 1} y P = {S 1A, S 0B, A 1AA, A 0S, A 0, B 0BB, B 1S, B 1}. 1 los ejercicios denotados de esta manera son exclusivamente para los alumnos de Fundamentos de Ciencias de la Computación. 2

3 18. Sea G la gramática libre del contexto (V n, V t, P, S), donde V n = {S, A}, V t = {a, b} y P = {S AA, A AAA, A ba, A Ab, A a}. a) Se trata de una gramática ambigua? b) Demostrar que G genera el lenguaje compuesto sólo por aquellas cadenas con un número par de símbolos a. Pista: Probar por inducción sobre la longitud de la derivación que la cantidad de símbolos A o a siempre es par. c) Comprobar que el lenguaje generado por G no es inherentemente ambiguo. 19. Sea Σ = {a, b}. Demostrar a través de las propiedades satisfechas por los lenguajes libres del contexto que los siguientes lenguajes sobre Σ resultan libres del contexto: a) L 1 = {a m b n m n}. b) L 2 = L((a + b) ) {a n b n n 0}. 20. [ ] Demostrar aplicando homomorfismos que los siguientes lenguajes son en efecto libres del contexto: a) El lenguaje de los begin y end balanceados. b) El lenguaje {a n b 2n n 1}. 21. Sea G una gramática (V n, V t, E, P ), donde V n = {E}, V t = {a, b, [, ],, +, &} y P = {E E&E, E E + E, &E λ, E [E], E E, E a, E b}. a) Analizando la estructuras de las producciones de G, de qué tipo de gramática se trata? b) A qué lenguaje conocido se asemeja el lenguaje generado por G? c) De qué tipo es el lenguaje generado por G? Justificar formalmente la respuesta ensayada. Pista: Intersectar el lenguaje generado por G con el lenguaje denotado por la expresión regular [ a]. 22. Encontrar un contraejemplo que refute la siguiente afimación: los lenguajes libres del contexto son cerrados bajo intersección 23. Sea L el lenguaje {a n b n c n n 1}. a) Suministrar una gramática G que genere a L. b) De qué tipo es la gramática propuesta? c) Demostrar formalmente que L no es libre del contexto. 24. Comprobar formalmente que los siguientes lenguajes no son libres del contexto: a) L 1 = {www w (a + b) } b) L 2 = {nha n n es un número en representación decimal}. 25. Determinar informalmente si cada uno de los siguientes lenguajes son libres del contexto: 3

4 a) L 1 = {a m b n c p m = n o n = p o m = p}. b) L 2 = {a m b n c p m n o n p o m p}. c) L 3 = {a m b n c p m n y n p y m p}. d) L 4 = {w w (a + b + c) y w no tiene el mismo número de a, b y c}. 26. Considerando cada una de las gramáticas indicadas a continuación, G 1 = (V n, V t, S, P ), donde V n = {A, B, C, S}, V t = {a} y P = {S A, A BC, B A, A a, ac λ} G 2 = (V n, V t, S, P ), donde V n = {A, B, S}, V t = {0, 1} y P = {S 0A, S 1A, A 1BB, B 01, B 11} G 3 = (V n, V t, S, P ), donde V n = {A, B, S}, V t = {0, 1} y P = {S 0A, S 11A, A 1A, A 1} G 4 = (V n, V t, S, P ), donde V n = {A, S}, V t = {0, 1} y P = {S 0A1, 0A 00A1, A 01} dilucidar los siguientes interrogantes: a) De qué tipo es cada una de estas gramáticas? b) Describir informalmente el lenguaje generado por cada una de éstas. c) Cuáles de estos lenguajes son regulares? Cuáles son libres del contexto? d) En los casos que sea posible, proponer sendas gramáticas regulares que generen cada uno de los lenguajes anteriores. 27. Qué aspectos del lenguajes Pascal pueden ser capturados sólo mediante lenguajes sensibles al contexto? 28. Los procesadores de texto de antaño permitían subrayar palabras sobreescribiendo cada caracter con el símbolo (underscore). Esto es, una palabra subrayada se representa como una secuencia de letras, seguidas por una secuencia de igual longitud de caracteres de retroceso (backspace), seguidos por una secuencia de igual longitud de caracteres de subrayado. Encontrar una representación abstracta para este lenguaje. 29. Demostrar que el lenguaje {xwywz w (0 + 1) no es libre de contexto, donde x, y y z son palabras tomadas del lenguaje (0 + 1) }. Sea L un lenguaje que contiene un subconjunto que no es libre del contexto. Es factible que L sea libre del contexto de todas formas? Justificar la respuesta suministrada. 30. Determinar formalmente si cada uno de los siguientes lenguajes son libres del contexto: a) L 1 = {w w (a + b + c) y w posee la misma cantidad de símbolos a, b y c}. b) L 2 = {a 3n n 0}. c) L 3 = {(a + b) n (b + c) n (c + d) n n 1}. d) L 4 = {ww r w (a + b) }. 31. Encontrar sendas gramáticas que generen cada uno de los siguientes lenguajes: a) L 1 = {a n b m c n d m n, m 1}. 4

5 b) L 2 = {ww w (a + b) }. c) L 3 = {a 2n n 0}. 32. Considerando que la demostración del teorema que asegura que todo lenguaje sensible al contexto es recursivo presenta un cariz constructivo, resulta sencillo diseñar a partir de ésta un algoritmo que permita decidir si una determinada cadena de símbolos pertenece a un dado lenguaje sensible al contexto. El siguiente fragmento de pseudocódigo captura la esencia de este algoritmo. Suponiendo que G = (V n, V t, P, S) es la gramática que genera a un dado lenguaje L, se desea determinar si una cierta cadena x pertenece a L, partiendo de que x Vt y x = k. if x = λ then if (S λ) P then x L else x L else NuevoConj := {S}; repeat ActualConj := NuevoConj ; NuevoConj := ActualConj el conjunto de aquellas formas sentenciales de long k que se puedan obtener a partir de ActualConj por virtud de la aplicación de una sola producción; until NuevoConj = ActualConj ; if x NuevoConj then x L else x L 33. Sea G la gramática (V n, V t, S, P ), donde V n = {A, B, S}, V t = {0, 1} y P = {S 0, S 1A, 1A 1B, B 0B1, B 1}. Aplicando el algoritmo anterior, determinar si la cadena 1010 pertenece a L(G). 34. Qué inconveniente se sucita al intentar aplicar el algoritmo anterior a lenguajes que no son recursivos? En otras palabras, qué característica de los lenguajes estructurados por frases invalida la estrategia implícita en este algoritmo? 5

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