Procesadores del Lenguaje I. Antonio Falcó

Transcripción

1 Procesdores del Lenguje I Antonio Flcó

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3 Índice generl I Preliminres 5 1. Alfbetos y Lengujes Cdens y Lengujes Operciones con lengujes II Autómts y Lengujes Lengujes Regulres Autómts Finitos Definición forml de un utómt finito Definición forml de computción Ls operciones regulres Autómts no determinists Definición forml del un Autómt Finito no Determinist Equivlenci entre AFNs y AFDs L propiedd de clusur bjo operciones regulres Expresiones Regulres Definición forml de un expresión regulr L equivlenci con los Autómts Finitos Lengujes no regulres El Lem del Bombeo pr Lengujes Regulres Lengujes Libres del Contexto Grmátics Libres del Contexto Definicición forml de un Grmátic Libre del Contexto Grmátics sin símbolos inútiles Diseño de Grmátics Libres del Contexto Ambiguedd en ls Grmátics L Form Norml de Chomsky Autómts Pil Definición forml de un Autómt Pil Equivlenci con ls Grmátics Libres del Contexto

4 ÍNDICE GENERAL 3.3. Lengujes No Libres del Contexto El Lem del bombeo pr Lengujes Libres del Contexto

5 Prte I Preliminres 5

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7 Cpítulo 1 Alfbetos y Lengujes El objetivo de est primer prte es el introducir l notción forml básic bsolutmente necesri pr l compresión del resto de tems Cdens y Lengujes Ls cdens de crcteres, tmbién llmds plbrs, son l piedr ngulr en l Cienci de l Computción. El lfbeto sobre el cul ls cdens o plbrs se definen puede vrir con respecto l plicción que se esté trtndo. Pr nuestros propósitos definiremos un lfbeto como un conjunto finito de símbolos que denotremos usulmente por letrs griegs myúsculs como Σ o Γ. Ejemplo 1. Σ 1 = {0, 1}. Σ 2 = {, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}. Γ = {0, 1, x, y, z}. Nótese que, puesto que un lfbeto es simplemente un conjunto finito no vcío, ddos dos lfbetos Σ 1 y Σ 2 se tiene: 1. Σ 1 Σ 2 = { Σ 1 o Σ 2 } es un lfbeto. 2. Σ 1 Σ 2 = { Σ 1 y Σ 2 } es un lfbeto si es distinto del conjunto vcío. 3. Σ 1 \ Σ 2 = { Σ 1 y / Σ 2 } es un lfbeto si es distinto del conjunto vcío. 4. Σ 2 \ Σ 1 = { Σ 2 y / Σ 1 } es un lfbeto si es distinto del conjunto vcío. Un cden o plbr sobre un lfbeto es un sucesión finit de símbolos sobre ese lfbeto, usulmente escritos uno l ldo de otros sin ningún tipo de seprción. Si considermos est es un cden pr los lfbetos Σ 1 y Γ. Del mismo modo brcdbr es un cden del lfbeto Σ 2. 7

8 CAPÍTULO 1. ALFABETOS Y LENGUAJES Si w es un cden en el lfbeto, Σ l longitud de w que denotmos por w es el número de símbolos que contiene. L cden de longitud 0 es llmd l cden vcí y se denot por ε. L cden vcí hce el ppel del cero en el sistem númerico. Ejemplo 2. Si w = 121 es un plbr sobre el lfbeto Σ = {1, 2, 3} entonces w = 3. Ejemplo 3. ε = 0. Si w tiene logitud n entonces podemos escribir w = w 1 w 2 w n donde cd w i Σ pr i = 1, 2,..., n. El inverso de w, que denotremos por w R, es l cden obtenid escribiendo w en el orden inverso, esto es, w R = w n w n 1 w 1. Ejemplo 4. Si w = brcdbr entonces w R = rbdcrb. Ejemplo 5. Si w = 1221 entonces w R = 1221 = w, cundo un cden o plbr cumple que w R = w se le llm plíndromo. L cden z es un subcden si prece incluid en w. Ejemplo 6. L cden cd es un subcden de brcdbr. Si tenemos un cden x = x 1 x 2 x m de longitud m y un cden y = y 1 y 2 y n de longitud n, l conctención de x e y, que escribiremos como xy es l cden obtenid ñdiendo y l finl de x, esto es, xy = x 1 x 2 x m y 1 y 2 y n Ejemplo 7. Consideremos x = 0101 e y = 1111 entonces xy = Observése que se cumple xy = x + y, Además, pr culquier cden x escribiremos por definición x = εx = xε. En prticulr se tiene que xε = εx = x. Nótese que l plbr vcí ε con hce con respecto l conctención el ppel del uno con respecto l multiplicción de números nturles. Pr conctenr un cden consigo mism empleremos l siguiente notción: Pr culquier cden x y cd k 1 escribiremos x k = k veces {}}{ xx x. 8

9 Procesdores del Lenguje I Empleremos, demás, el siguiente convenio notcionl: Pr culquier cden finit x escribiremos x 0 = ε. El orden lexicográfico de ls cdens es el mismo que el orden que prece en los diccionrios. Estblecemos en primer lugr un oden sobre el lfbeto Σ y después lo extendemos ls cdens formds por los símbolos de dicho lfbeto, de form que x < y, si existe un índice k mín{m, n} de form que x 1 x k = y 1 y k y x k+1 < y k+1. Estmos sumiendo que si k = m entonces x k+1 = ε. Ejemplo 8. Consideremos Σ = {0, 1}, donde sumimos que 0 < 1. Entonces Esto se ve mejor si lo escribrimos como sigue: < ε0ε111 < ε1ε. Ejemplo 9. Consideremos Σ = {, b, c}, donde sumimos que < b < c. Entonces bc < c, y y que podemos escribir cb < cbc, cbε < cbc. Un lenguje es un conjunto culquier de cdens o plbrs definids sobre un lfbeto finito. Los lengujes pueden ser conjuntos muy grndes, como el formdo por tods ls plbrs corrects en espñol o el lenguje {1, 11, 111, 1111,...} formdo por tods ls cdens finits de unos. Hy que destcr que este lenguje tiene tntos elementos como números nturles. Pr demostrrlo bst comprobr que l plicción definid como n 1 n estblece un relción biyectiv entre los números nturles N y ls plbrs de dicho lenguje. Cundo un lenguje es muy grnde es dificil especificr que cdens o plbrs lo componen. L especificción o crcterizción de ls misms es un de ls tres principles ls que le vmos dedicr grn prte de nuestro tiempo. Ddo que un lenguje es un conjunto de cdens, se puede tener el lenguje compuesto por ningun cden, el lenguje vcío, y que denotremos por. Este no es el mismo lenguje que el que const de l cden vcí {ε}. 9

10 CAPÍTULO 1. ALFABETOS Y LENGUAJES 1.2. Operciones con lengujes Los conceptos de conctención, potenci e inverso se pueden extender los lengujes en generl. Sen L 1 y L 2 dos lengujes sobre un lfbeto Σ. Se define el lenguje conctención de L 1 y L 2 como L 1 L 2 = L 1 L 2 = {wx w L 1 y x L 2 }. En consecuenci, L 1 L 2 está formdo por tods ls cdens que se formn conctenndo cd cden de L 1 con tods ls cdens de L 2 Ejemplo 10. Sen L 1 = {00, 11, 1} y L 2 = {10, 01}. Entonces L 1 L 2 = {0010, 0001, 1110, 1101, 110, 101}. Cbe destcr que pr formr el lenguje conctención no es necesrio que L 1 y L 2 sen lengujes sobre el mismo lfbeto. Si L 1 es un lenguje sobre Σ 1 y L 2 es un lenguje sobre Σ 2, entonces L 1 L 2 es un lenguje sobre Σ 1 Σ 2. Ejemplo 11. Sen Sen L 1 = {00, 11, 1} y L 2 = {b, b}. Entonces L 1 L 2 = {00b, 00b, 11b, 11b, 1b, 1b}, es un lenguje sobre {0, 1,, b} = {0, 1} {, b}. Nótese que pr culquier lenguje no vcío L se cumple: L = L {ε} = {ε} L Al igul que pr ls cdens, podemos definir l potenci de un lenguje L medinte l expresión L k = pr k 1. Si k = 0, escribiremos k veces k veces {}}{{}}{ LL L = L L L. L 0 = {ε}. Ejemplo 12. Si L = {b}, entonces L 0 L 1 L 2 L 3 = {ε} = {b} = L L = {bb} = L L 2 = {bbb} 10

11 En importnte tener en cuent que con est definición se tiene que 0 = {ε}. Procesdores del Lenguje I Puesto que un lenguje es un colección o subconjunto de cdens, se puede definir pr el mismo l unión, intersección y el concepto de sublenguje, l igul que se definen pr los conjuntos en generl. Si L 1 y L 2 dos lengujes sobre un lfbeto Σ. Se define el lenguje unión L 1 L 2 como el lenguje formdo por ls cdens que pertenecen l menos uno de los dos lengujes. Por lo tnto L 1 L 2 = {w w L 1 o w L 2 }. L intersección de dos lengujes L 1 y L 2 es el lenguje L 1 L 2 = {w w L 1 y w L 2 }. Es decir está formdo por ls cdens que son comunes mbos lengujes. Ejemplo 13. Consideremos L 1 = {ε, 0, 1, 10, 11} y L 2 = {ε, 1, 0110, 11010}. Entonces y L 1 L 2 = {ε, 0, 1, 10, 11, 0110, 11010} L 1 L 2 = {ε, 1}. Vmos hor introducir un notción que será muy útil pr describir lengujes como L 1 = {1, 11, 111, 1111,...} y L 2 = {ε, 1, 11, 111, 1111,...}. Nótese que podemos escribir L 1 = {1} {1} 2 {1} 3, y L 2 = {1} 0 {1} 1 {1} 2 {1} 3. En generl ddo culquier lenguje L sobre un lfbeto Σ definimos l clusur o producto estrell de L l lenguje L = n=0 Ln = {ε} L L 2 L 2, y L + = n=1l n = L L 2 L 2. Nótese que L = {ε} L +. Ejemplo 14. Podemos escibir entonces {1} = {ε, 1, 11, 111, 1111,...} y {1} + = {1, 11, 111, 1111,...}. 11

12 CAPÍTULO 1. ALFABETOS Y LENGUAJES Ejemplo 15. Consideremos Σ = {0, 1} y L = Σ. Entonces L = Σ = {0, 1} está formdo por tods ls cdens finits e infinits de ceros y unos y l plbr vcí ε. Ejemplo 16. Consideremos L = {ε}. Entonces, L = {ε} = {ε}. Si L es un lenguje sobre Σ, definimos el lenguje complemento de L sobre Σ como L C = Σ \ L = {w Σ w / L}. Ejemplo 17. Si L = {ε}, entonces L C = Σ + = Σ \ {ε}. Del mismo modo podemos definir pr dos lengujes L 1 y L 2 sobre el lfbeto Σ el lenguje L 1 \ L 2 = {w L 1 w / L 2 } = L 1 L c 2. Ejemplo 18. Sen L 1 = {, b, b, b} y L 2 = {b, b, bb, c}. Entonces L 1 \L 2 = {, b, b}. Tmbien podemos extender ddo un lenguje L el lenguje inverso L R medinte l siguiente definición L R = {w R w L}. Ejemplo 19. Se L = {0, 1, 01, 001, 0001}. Entonces L R = {0, 1, 10, 001, 1000}. Si L 1 y L 2 son dos lengujes sobre el lfbeto Σ y si tods ls cdens de L 1 son tmbién cdens de L 2, diremos que L 1 es un sublenguje de L 2 y lo denotremos como L 1 L 2. Ejemplo 20. Consideremos L 1 = {,,, } y L 2 = {}. Entonces L 1 L 2. Se dice que dos lengujes L 1 y L 2 son igules si contienen exctmente ls misms cdens, es decir son conjuntos igules y se denot como L 1 = L 2. Teorem 1. Sen L 1 y L 2 dos lengujes sobre un lfbeto Σ. Entonces L 1 = L 2 si y solo si L 1 L 2 y L 2 L 1. Demostrción. Supongmos en primer lugr que L 1 = L 2. Pr demostrr en primer lugr que se cumple que L 1 L 2, elijmos un cden genéric x de L 1, como L 1 = L 2 entonces x será su vez un cden de L 2, luego qued probdo que L 1 L 2. Vemos hor que tmbién se cumple que L 2 L 1. Elijmos, como ntes un cden genéric y de L 2, del mismo modo que ntes y será su vez un cden de L 1, lo que prueb que L 2 L 1. 12

13 Procesdores del Lenguje I Demostremos hor l implicción invers. Supongmos pues que se cumple que L 1 L 2 y L 2 L 1. Esto nos dice que culquier cden de L 1 es su vez un cden de L 2 y que culquier cden de L 2 es su vez un cden de L 1. En consecuenci mbos lengujes comprten tods sus cdens y por lo tnto deben de ser igules. El Teorem 1.2 nos proporcion un metodologí pr determinr si dos lengujes son igules. Ejemplo 21. Demostrr que ddos los lengujes L 1, L 2 y L 2 sobre un lfbeto Σ se cumple que L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ). Pr demostrr l iguldd necesitmos demostrr en virtud del Teorem 1.2 que 1. L 1 (L 2 L 3 ) (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ) y 2. (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ) L 1 (L 2 L 3 ). Vemos 1. Consideremos un elemento genérico x de L 1 (L 2 L 3 ) que tiene que ser de l form x = wz donde w L 1 y z = L 2 L 3. Luego o bien z L 2 o bien z L 3. En el primer cso x L 1 L 2 o bien en el segundo x L 1 L 3. Esto nos dice que x (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ). Esto prueb 1. Pr probr 2, consideremos un elemento genérico y de (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ). Entonces o bien y L 1 L 2 o bien y L 1 L 3. Podemos escribir entonces que que y = wz donde o bien w L 1 y z L 2 o bien w L 1 y z L 3. En resumen, y = wz siendo w L 1 y o bien z L 2 o bien z L 3. En consecuenci, y está en L 1 (L 1 L 3 ) qued demostrd l segund inclusión. Ejercicios propuestos 1. Se Σ = {1}. Se puede decir que pr todo número nturl n hy un plbr w Σ pr l cul w = n? Podemos firmr que dich cden es únic? Qué ocurrirí si Σ = {1, 2}. 2. Pr un cden finit w podemos firmr que w i+j = w i + w j? Encontrr un expresión pr w i+j en términos de i, j y w. 3. Demostrr pr culquier pr de cdens finits x e y que (xy) R = y R x R. 4. Demostrr que pr culquier lenguje L se cumple que L + = L L = L L. 13

14 CAPÍTULO 1. ALFABETOS Y LENGUAJES 5. Demostrr que pr dos lengujes L 1 y L 2 se cumple (L 1 L 2 ) R = L R 2 LR Se L un lenguje. Qué tipo de lenguje es A? 7. Sen L 1 = {el, mi} y L 2 = {cbllo, cs, coche} sublengujes sobre el lfbeto espñol. Obtener L 1 L 2, L 1 L 1 y L 2 L Se L = {ε, }. Obtener L n pr n = 0, 1, 2, 3. Cuántos elementos tiene A n pr un vlor de n rbitrrio? Cuáles son ls cdens de L n pr un vlor de n rbitrrio? 9. Suponer que L = {ε}. Obtener L n pr un n rbitrrio. 10. Se L 1 = {ε, b} y L 2 = {cd}. Cuánts cdens hy en A n B pr un n rbitrrio? 11. Sen L 1 = {} y L 2 = {b}. Obtener A n B, A B n y (A B) n. 12. Sen L 1 = {ε}, L 2 = {, b, bb}, L 3 = {ε,, b} y L 4 =. Obtener L 1 L 2, L 1 L 3, L 2 L 3, y L 1 L 2, L 1 L 3, L 2 L 3. Suponer que L un lenguje culquier L L 4 y L L Si L y L i pr i = 1, 2, 3,... son lengujes sobre un lfbeto Σ, demostrr que ( ) L L i = (L L i ). 14. Bjo qué condiciones podemos firmr que L + = L? i=1 15. Conocemos que pr culquier lenguje L se tiene que ε L. Cuándo podemos firmr que ε A Demostrr que {ε} = {ε} = {ε} +. i=1 17. Sen L 1 y L 2 dos lengujes sobre un lfbeto Σ. Demostrr que (L 1 L 2 ) c = L c 1 L c 2 y (L 1 L 2 ) c = L c 1 Lc Se Σ = {, b, c} y se L = {c i xc j i, j 0}, donde x {ε, w, wb} pr lgún w Σ. Se cumple que L = Σ? Es cierto que L 2 = Σ? 19. Se Σ = {, b, c}. Lo siguiente es un definición recursiv de un lenguje L : i ε L. ii Si x L, entonces xb y bx están en L. iii Si x e y están en L, entonces xy está en L. 14

15 Procesdores del Lenguje I iv No hy nd más en L. Se pide: ) Demostrr que L = {w Σ wtiene el mismo numero de s que de b s}. b) Si b y ε están en L qué más plbrs hy en L? c) Dr un definición recursiv pr que L {, b} conteng tods ls cdens que tienen el doble de s que de b s. 20. Dr un definición recursiv de un plíndromo. (Obsérvese que ε es un plíndromo). 21. Se Σ = {} y x =. Definir ls siguientes plbrs : x, xx, xxx, x 3, x 8, x 0 Indicr sus longitudes. 22. Se Σ = {0, 1, 2}, x = 00, y = 1, z = 210. Definir ls siguientes plbrs : xy, xz, yz, xyz, (xy) R, x 3, x 2 y 2, (xy) 2, (zxx) 3. Indicr sus longitudes. 23. Describir ls plbrs pertenecientes L = {0 n 1 n n 1}. 24. Describir ls plbrs pertenecientes L = {0 i 1 j 0 i j}. 25. Describir formlmente el lenguje formdo por 0 s y 1 s, en el que hy el doble de 0 s que de 1 s y todos los 0 s vn delnte de los 1 s. 26. Describir formlmente el lenguje formdo por plbrs que comienzn y terminn en teniendo entre medis 3 o más b s. 27. Ddo el lenguje L = {, b, b}, enumere ls plbrs que pertenecen los lengujes L 0, L 1 yl Ddos el lfbeto Σ = {1, 2, 3,, b, c}, y los lengujes L 1 = {1, 2, 3} y L2 = {, b, c}, definir los lengujes L 1 L 2, L 1 L 2 y (L 1 L 2 ) Se L = {b,, b}. Indicr cuáles de ls siguientes plbrs pertenecen L + : b, bb, bbb, b, bbb, bb, ε. 30. Sen L 1 = { n b n+1 n 1} y L 2 = {w num. s = num. b s}. Es L 1 = L 1?. Y L2 = L 2? 31. Existe lgún lenguje tl que (L ) c = (L c )? 32. Demostrr o refutr l iguldd siguiente : pr todo lenguje L. (L ) R = (L R ), 15

16 CAPÍTULO 1. ALFABETOS Y LENGUAJES 33. Demostrr que pr todo lenguje L, se verific L L = L. 34. Ddo el lenguje L = {, bb, b, bbb, b}, especifique el conjunto de tods ls plbrs con un longitud menor que 3 en L. 16

17 Prte II Autómts y Lengujes 17

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19 Cpítulo 2 Lengujes Regulres En est primer cpítulo introduciremos ls máquins teórics cpces de procesr lengujes formles. En primer lugr definiremos los Autómts Finitos Determinists como máquins que procesn los llmdos Lengujes Regulres. Demostrremos que l clse de lengujes regulres es cerrd pr l operción de unión de lengujes. Sin embrgo, debido ls prticulres crcterístics de estos mecnismos nos es imposible demostrr que dich clse es cerrd pr ls operciones de conctención y clusur o producto estrell de lengujes. Pr superr este obstáculo definiremos los llmdos Autómts Finitos No Determinists. Este tipo de máquins más versátiles tienen l curios propiedd que procesn el mismo tipo de lengujes que los Autómts Finitos Determinists, los llmdos lengujes regulres. L verstilidd de los mismos nos permitirá demostrr que el lenguje que procesn es cerrdo pr ls operciones de conctención y clusur o producto estrell de lengujes. En un tercer fse, introduciremos uns expresiones de crácter lgebrico llmds expresiones regulres. Demostrremos en primer lugr que si un lenguje es crcterizdo por un de ests expresiones entonces podemos construir un Autómt Finito No Determinist que proces dicho lenguje, y en consecuenci es un lenguje regulr. Reciprocmente demostrremos que si un lenguje es regulr, entonces podemos construir lo que se conoce como Autómt Finito No Determinist Generlizdo que proces dicho lenguje. Finlmente, construiremos prtir de este un expresión regulr que crcteriz dicho lenguje. En resumen, Autómts Finitos Determinists, Autómts Finitos No Determinists y Expresiones Regulres crcterizn l mism clse de lengujes, los Lengujes Regulres. Pr concluir, emplendo el llmdo Lem del Bombeo, construiremos un mecnismo pr determinr si un lenguje ddo no es regulr. 19

20 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 2.1. Autómts Finitos Los utómts finitos son unos excelentes modelos pr representr computdors con un cntidd extremdmente limitd de memori. Qué podemos entender por un computdor de memori limitd? Ejemplo: Un puert utomátic El controldor de l puert se encuentr siempre en uno de los dos estdos ABIER- TA que denotremos por q 0 o CERRADA que será q 1. Del mismo modo existen cutro posibles efectos que hcen que el sistem cámbie de estdo: L lfombrill de entrd sufre un input que se denotremos por 0, en el cso de que se l lfombrill de slid por 1, si no existe ningun señl por 2 y si tenemos un señl en mbs lfombrills l señl l denotremos por 3. Grficmente el comportmiento de l puert utomátic lo podemos representr emplendo el grfo siguiente: 0 q 0 q 1 3 1,2,3 0,1,2 O bien se puede representr emplendo l tbl de trsición siguiente: δ q 0 q 1 q 0 q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 0 q 1 Los utómts finitos son mecnismos sin memori en consecuenci tienen propieddes muy similres ls llmds Cdens de Mrkov, reconocidos objetos pr el reconocimiento de ptrones. L figur siguiente represent lo que prtir de hor denominremos utómt finito y que denotremos por M 1 : q 0 q 1 q 2 0, 1 Figur 2.1: Un utómt finito llmdo M 1 con tres estdos diferentes. 20

21 Procesdores del Lenguje I L Figur 2.1 represent el llmdo digrm de estdo de M 1. Tiene tres estdos etiquetdos por q 0, q 1 y q 2. El estdo inicil q 1 que se medinte un flech puntndo hci el y no etiquetd con ningún símbolo. El estdo de ceptción, q 1 que es el etiqueddo con un doble circunferenci. Ls flechs etiquetds entre estdos se les llm trnsiciones. Cundo este utómt recibe como input un cden, como por ejemplo, 1101 el utómt proces l cden y produce un respuest o output. L respuest es ceptr o rechzr. El proceso comienz en el estdo inicil de M 1 que es q 0. el utómt recibe el primer símbolo de l cden de entrd, en este cso 1 de 1101, un vez leido este símbolo M 1 se mueve lo lrgo de un estdo u otro según le indique el símbolo etiquetdo en l trnsición correspondiente. En el ejemplo que nos ocup, se moverá l estdo q 1 y que (q 0, 1) q 1. Emplendo recursivmente est regl seguimos hst finlizr los símbolos de l cden de entrd. Si el último estdo, es el estdo de ceptción, en nuestro ejemplo q 1, entonces ceptmos l cden y en cso contrrio est es rechzd. Pr nuestro ejemplo podemos escribir: 1. Comenzmos en el estdo q Leemos 1 nos desplzmos de q 0 q Leemos 1 nos desplzmos de q 1 q Leemos 0 nos desplzmos de q 1 q Leemos 0 nos desplzmos de q 2 q Aceptmos 1100 y que M 1 se encuentr en el estdo de ceptción q 1 l finl de l cden de entrd. Ejercicio 1. Comprobr que ls cdens 1. 1, 01, 11, son ceptds por M , 0100, , son ceptds por M , 10, son rechzds por M Podemos firmr que M 1 cept culquier cden que finliz con un número pr de 0 s que siguen l último 1? Definición forml de un utómt finito Vmos empler l llmd función de trnsición que denotremos por δ pr definir ls regls por ls que el utómt se mueve de un estdo otro en función del símbolo recibido. Como podemos ver en l Figur 2.2 si nos encontrmos en el estdo x y recibimos el sí).mbolo, entonces el utómt se desplz l estdo y. Esto lo representmos medinte l función δ como δ(x, ) = y (ver l Figur 2.2). 21

22 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES x y Figur 2.2: L función de trnsición δ(x, ) = y Definición 1. Un utómt finito es un 5 upl M = (Q, Σ, δ, q 0, F) donde: 1. Q un un conjunto finito llmdos los estdos. 2. Σ es un conjunto finito llmdo el lfbeto. 3. δ : Q Σ Q es l función de trnsición. 4. q 0 Q es el llmdo estdo inicil. 5. F Q es el conjunto de estdos de ceptción. Ahor podemos describir M 1 (ver l Figur 2.1) de mner mucho más fórml. 1. Q = {q 0, q 1, q 2 }. 2. Σ = {0, 1}. 3. δ viene determind por l tbl siguiente: 4. q 0 es el estdo inicil. δ 0 1 q 0 q 0 q 1 q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 q 1 5. F = {q 1 } es el conjunto de estdos de ceptción. Si A es el conjunto de cdens que el utómt M cept, diremos que A es el lenguje ceptdo o reconocido por el utómt M, y escribiremos L(M) = A. Un utómt puede reconocer o ceptr diferentes cdens, pero siempre reconoce o cept un único lenguje. Si el utómt no reconoce o cept ningun cden diremos que M reconoce el lenguje vcío. En el cso del utómt M 1 si definimos A = {w w contiene l menos un 1 y finliz con un numero pr de 0 s que siguen l ultimo 1}, tenemos que L(M 1 ) = A. 22

23 Procesdores del Lenguje I Definición forml de computción Se M = (Q, Σ, δ, q 0, F) un utómt finito y se w = w 1 w 2 w n un cden en el lfbeto Σ. Entonces M cept w si existe un sucesión de estdos r 0, r 1,..., r n en Q que cumplen ls siguientes tres condiciones: 1. r 0 = q 0, 2. δ(r i, w i+1 ) = r i+1 pr i = 0, 1,..., n 1, y 3. r n F. Diremos que M reconoce el lenguje A si A = {w M cept w}. Escribiremos entonces que L(M) = A. Definición 2. A un lenguje se le llm lenguje regulr si es ceptdo o reconocido por lgún utómt finito. Esto nos dice que pr culquier lenguje regulr A se puede construir un utómt finito M de form que A = L(M). Ejemplo: El diseño de un utómt finito Consideremos el lenguje formdo por tods ls cdens del lfbeto Σ = {0,1} que contienen l subcden 001. Pr determinr que es un lenguje regulr debemos construir un utómt finito que cepte o reconozc dicho lenguje. En principio mientrs vyn preciendo unos, no deberímos cmbir de estdo q. L situción cámbi en el momento que prece el primer cero, en este momento cmbímos q 0 si seguidmente prece un uno, volvemos encontrnos en l situción inicil, volvemos q y en cso contrrio nos desplzmos un nuevo estdo q 00. Si prece un uno, podemos finlizr en el estdo q 001, en cso contrrio permnecemos en q 00. En resumen obtenemos el utomát 1 0 0,1 q q 0 q 00 q Ls operciones regulres En ls dos secciones precedentes se hn introducido y definido los utómts finitos y los lengujes regulres. Vmos comenzr investigr sus propieddes. Pr ello 23

24 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES vmos necesitr l yud un pléyde de tećnics que empleremos pr diseñr utómts que puedn reconocer determindos tipos de lengujes. Ests herrmients incluirán técnics que nos permitirán demostrr que un determindo lenguje no es regulr (es decir, que están por encim de l cpcidd de cómputo de un utómt finito). Ests herrmients vn incluir tres operciones que y conocemos, l unión, l conctención y l clusur o producto estrell, de lengujes, que denominremos prtir de hor operciones regulres, y que serán empleds posteriormente pr el estudio de los lengujes regulres. El concepto de cerrdo bjo l operción Si considermos los números nturles N = {1,2,...}. Decimos que N es cerrdo bjo l operción de multiplicción, y que el resultdo de multiplicr dos números nturles es otro número nturl. Por el contrrio, dicho conjunto no es cerrdo pr l división, y que si, por ejemplo, dividimos 1 entre 3 el resultdo es un número rcionl, que evidentemente, no es un número nturl. Nuestro objetivo consistirá prtir de hor en demostrr que los lengujes regulres son cerrdos pr ls operciones regulres. Pr ello en primer lugr demostrremos: Teorem 2. L clse de lengujes regulres es cerrd pr l unión. En otrs plbrs, si L 1 y L 2 son lengujes regules, entonces L 1 L 2 en un lenguje regulr. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Prtimos de dos lengujes regulres L 1 y L 2 y tenemos que demostrr que l unión de mbos L 1 L 2 es un lenguje regulr. Como L 1 y L 2 son regulres conocemos que existen dos AFD M 1 y M 2 de form que M 1 reconoce el lenguje L 1 y M 2 reconoce el lenguje L 2. Pr demostrr que L 1 L 2 es un lenguje regulr tenemos que construir un AFD, que llmremos M de form que pued reconocer este lenguje. L demostrción del mismo es de crcter constructivo, y que M será construido prtir de M 1 y M 2 del siguiente modo. Dd un cden culquier de L 1 L 2 est será procesd en prlelo por M 1 y M 2 diremos M l cept si es ceptd o bien por M 1 o bien por M 2 o bien por mbos. Esto nos segur que M reconoce tods ls cdens del lenguje unión. Demostrción. Se M 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 1, F 1 ) que reconoce L 1 y se M 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2, F 2 ) que reconoce L 2. Vmos construir M = (Q, Σ, δ, q 0, F) que reconoce L 1 L 2. Sen: 1. Q = Q 1 Q 2 = {(r 1, r 2 ) : r 1 Q 1, r 2 Q 2 }, que es el producto crtesino de los conjuntos de estdos de los utómts. 24

25 Procesdores del Lenguje I 2. Σ es el mismo lfbeto que el de M 1 y M 2. En este resultdo estmos sumiendo que mbos lengujes tienen el mismo lfbeto. Esto en generl no tiene por que ser cierto y en generl tendrímos que suponer que M 1 tiene un lfbeto Σ 1 y M 2 un lfbeto Σ 2. En este cso tomrímos como Σ = Σ 1 Σ L función de trnsición δ se define como 4. q 0 = (q 1, q 2 ) y 5. F = {(r 1, r 2 ) : r 1 F 1 o r 2 F 2 } δ ((r 1, r 2 ), ) = (δ 1 (r 1, ), δ 2 (r 2, )). Necesitmos demostrr hor que l clse de lenguje regulres es cerrd pr l conctención y l clusur o producto estrell. Pr l conctención y como en el resultdo nterior comenzrímos con dos AFD M 1 y M 2 de form que L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ). Pero no podemos construir tn fácilmente un utómt M de form que L(M) = L(M 1 M 2 ) y que dd un cden, no es tn inmedito el construir un mecnismo que detecte pr un cden que prte está en M 1 y que prte en M 2. Pr ello, vmos introducir, en l sección siguiente, un nuev clse de utómts finitos, equivlentes los AFD y que generrn l mism clse de lengujes, más versátiles y que nos permitirán demostrr de form sencill que l clse de los lengujes regulres es cerrd pr ls operciones regulres Autómts no determinists En un utómt determinist cundo se encuentr en un estdo determindo y lee el śimbolo siguiente conocemos cuál v ser el estdo l que nos vmos mover. En un utómt no determinist, podemos tener diferentes estdos donde movermos (ver l Figur 2.3). Esto, nos proporcion un mecnismo mucho más generl, que en prticulr englob l modelo determinist. Podemos pues firmr que todo utómt determinist es no determinist. A prtir de hor considerremos Autómts Finitos Determinists, AFD pr simplificr y Autómts Finitos No Determinists, AFN. En primer lugr culquier estdo de un AFN tiene exctmente un trnsición pr cd símbolo del lfbeto. El AFN como el de l Figur 2.3 viol est propiedd, el estdo q 0 tiene un únic trnsición pr el símbolo 0 y dos trnsiciones pr el símbolo 1. Esto se denotrí como δ(q 0, 1) = {q 0, q 1 }. En segundo lugr el AFD etiquet sus trnsciones con símbolos del lfbeto. Como podemos ver en l Figur 2.3 existe un únic trnsición entre q 1 y q 2 etiquetd con l plbr vcí ε. Cómo comput entonces un AFN? 25

26 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 0, 1 0, 1 1 0, ε 1 q 0 q 1 q 2 q 3 Figur 2.3: Un ejemplo de AFN. Supongmos que un AFN comienz procesr un cden y lleg un estdo en el que tenemos diferentes forms de movernos. Por ejemplo, supongmos que nos encontrmos en el estdo q 0 de l Figur 2.3, que denotremos prtir de hor por N 1, y el símbolo que nos lleg pr procesr es un 1. Después de leer el símbolo el utómt proces diferentes copis de si mismo y sigue todos los posibles cminos en prlelo. En l Figur 2.4 podemos comprobr como procesrí N 1 l cden Consideremos un AFN definido sobre el lfbeto {0}. Un lfbeto conteniendo un único símbolo se le llm lfbeto unitrio. Si nos fijmos en el AFN l Figur 2.5 este cept tods ls cdens de l form 0 k donde k es un múltiplo de 2 o 3. Como podemos observr l presenci de flechs etiquetds con ε es esencil Definición forml del un Autómt Finito no Determinist Pr culquier conjunto Q denotremos por P(Q) l colección de todos los subconjuntos posibles de Q, incluido el conjunto vcío. Al conjunto P(Q) se le conoce como conjunto potenci de Q. Pr culquier lfbeto Σ denotremos por Σ ε l conjunto Σ {ε}. Con todo ello podemos escribir l descripción forml de l función de trnsición pr un AFN como sigue. Definición 3. Un utómt finito no determinist es un 5 upl N = (Q, Σ, δ, q 0, F) donde: 1. Q un un conjunto finito llmdos los estdos. 2. Σ es un conjunto finito llmdo el lfbeto. 3. δ : Q Σ ε P(Q) es l función de trnsición. 4. q 0 Q es el llmdo estdo inicil. 5. F Q es el conjunto de estdos de ceptción. Pr el AFN de l Figur 2.3 se tiene 1. Q = {q 0, q 1, q 2, q 3 }. 2. Σ = {0, 1}. 26

27 Procesdores del Lenguje I q 0 0 q 0 1 q 0 q 1 q q 0 q 0 q 1 q 2 q 2 q 3 0 q 0 q 1 q 2 q 3 q 3 q 0 q 2 q 3 q 3 Figur 2.4: El cómputo de l cden por N 1 0 ε 0 ε Figur 2.5: Un AFN sobre un lfbeto unitrio. 27

28 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 3. δ viene determind por l tbl siguiente: 4. q 0 es el estdo inicil. δ 0 1 ε q 0 {q 0 } {q 0, q 1 } q 1 {q 2 } {q 2 } q 2 {q 3 } q 3 {q 3 } {q 3 } 5. F = {q 3 } es el conjunto de estdos de ceptción. L definición forml de computción pr un AFN es similr l de un AFD. Se N = (Q, Σ, δ, q 0, F) un AFN y se w un cden sobre el lfbeto Σ. Entonces diremos N cept w si podemos escribir w = y 1 y 2 y m, donde cd y i es un elemento del lfbeto Σ ε, y existe un sucesión finit de estdos r 0, r 1,...,r m en Q pr los que se cumplen ls tres siguientes condiciones: 1. r 0 = q 0, 2. r i+1 δ(r i, y i+1 ) pr i = 0, 1,..., m 1, y 3. r m F Equivlenci entre AFNs y AFDs Los utómts finitos determinists y no determinists reconocen l mism clse de lengujes. Esto puede precer sorprendente, y que priori prece que los AFN sen más potentes que los AFD. Est crcterístic es de much utilidd y que en muchs ocsiones es más fácil describir un lenguje emplendo un AFN que su contrprtid determinist. Diremos que dos utómts son equivlentes si mbos reconocen o ceptn el mismo lenguje. Teorem 3. Culquier AFN tiene un AFD equivlente. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Si un lenguje es reconocido por un AFN, entonces tenemos que demostrr l existenci de un AFD que lo reconoce su vez. L ide es convertir un AFN en un AFD equivlente que lo simul. Cómo podemos entoncer simulr un AFN si pretendemos que se comporte como un AFD? El problem rdic en que de cd cd estdo pueden slir diferentes flechs con el mismo símbolo del lfbeto, esto es lo que provoc que l imgen de l función de trnsición se un conjunto de estdos. En consecuenci, tenemos que trnsformr los conjuntos de estdos del AFN en los estdos del AFD que tiene que simulr. Si por ejemplo el AFN tiene k estdos sbemos que el conjunto potenci de todos los estdos del AFN tiene 28

29 Procesdores del Lenguje I 2 k elementos que constituyen todos los subconjuntos posibles que podemos construir prtir de los estdos del AFN originl. A prtir de esto tendremos que construir un nuev función de trnsición que nos permit simulr el AFD prtir del AFN. Demostrción. Se N = (Q, Σ, δ, q 0, F) el AFN que reconoce un lenguje regulr ddo L. Construymos el AFD M que reconoce L. Considerremos en primer lugr el cso en el que N no tiene flechs etiquetds con ε. Construimos M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) como sigue: 1. Q = 2 Q = P(Q). Culquier estdo de M está formdo por un subconjunto de estdos de N. 2. Pr R Q, esto es R Q, y Σ se otr form de escribir est expresión es δ (R, ) = {q Q q δ(r, ) pr r R}, δ (R, ) = r R δ(r, ). 3. q 0 = {q 0}. 4. F = {R Q R F } Vemos hor el cso en el que existn flechs etiquetds con ε, pr ello necesitmos notción dicionl. Pr cd estdo R de M vmos definir ε(r) como l colección de estdos que se lcnzn prtir de R trvés de trnsiciones etiquetds con ε, incluyendo los elementos de R. De mner forml, pr R Q definimos ε(r) = {q Q q se lcnz prtir de R con 0 o ms flechs ε}. Entonces modificmos l función de trnsición de M ñdiendo flechs dicionles sobre todos los estdos que son lcnzdos trvés de trnsiciones ε trvés de cd pso. Reemplzndo δ(r, ) por ε(δ(r, )) hce que esto se efectivo. Por lo tnto δ (R, ) = {q Q q ε(δ(r, )) pr r R}. De form dicionl necesitremos modificr el estdo inicil de M de q 0 ε(q 0). Con esto completmos l construcción del AFD M que simul l AFN N. Corolrio 1. Un lenguje es regulr si y solo si lgún AFN lo reconoce. 29

30 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES Ejemplo: De un AFN un AFD Consideremos un AFN N = (Q, {, b}, δ, 1, {1}), siendo Q = {1, 2, 3}, ddo por l Figur 2.6. Pr construir el AFD equivlente, conocemos que N tiene 3 estdos, en consecuenci P(Q) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3}} que es el número de estdos del AFD equivlente que denotremos por D. Ahor determinremos el estdo inicil y los estdos de ceptción. El estdo inicil el ε({1}) compuesto por los estdos ccesibles trvés de {1} emplendo trnsiciones ε. A prtir de l Figur 2.6 obtenemos que ε({1}) = {1, 3}. Además, los estdos de ceptción están formdos por todos quellos que contienen el estdo de ceptción {1}, luego F = {, {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Determinemos hor l función de trnsición. Conocemos que el estdo {2} v l estdo {2, 3} cundo se recibe como input el crácter y no podemos ir más llá de 2 y 3 emplendo flechs etiquetds con ε. El estdo {1} v con y que ningun flech sle de el. V hci {2} con el crcter b. El estdo {3} v hci {1, 3} con, y que el estdo 3 v 1 y el 1 v 3 con un flech con etiquet ε. El estdo {3} con b v. El estdo {1, 2} v {1, 3} con, y que 3 con v 1 y 1 v 3 con un flech con etiquet ε. El estdo {1, 2} con b v {2, 3} Continundo obtenemos el digrm de l Figur 2.9. Finlmente podemos simplificr l Figur 2.9 observndo que no existen flechs puntndo l los estdos {1} y {1, 2}, en consecuenci podemos eliminrlos del digrm sin que fecten l funcionmiento del utómt. Esto viene representdo en l Figur L propiedd de clusur bjo operciones regulres Teorem 4. L clse de lengujes regulres es cerrd bjo l operción de l unión. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Supongmos que tenemos dos lengujes regulres L 1 y L 2 y desemos demostrr que L 1 L 2 es regulr. L ide es tomr dos AFN N 1 y N 2 que cepte cd uno de los lengujes y combinr mbos pr construir un AFN N que combine mbos. L máquin N tiene que ceptr cdens de mbos lengujes. Pr ello introduciremos un nuevo estdo inicil del que prtirán dos flechs un l estdo inicil de N 1 y otr l correspondiente de N 2 con l etiquet ε. 30

31 Procesdores del Lenguje I 1 ε b, b 2 3 Figur 2.6: El AFN N., b {1} b {2} {1, 2} b, b b b {3} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} b b Figur 2.7: El AFD D en este cso mrcmos los estdos finles con un flech verticl sin etiquetr. 31

32 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES, b {1, 3} {3} b b b b {2} {2, 3} {1, 2, 3} b Figur 2.8: El AFD D elimindos los estdos que son innecesrios. Demostrción. Se N 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 1, F 1 ) que reconoce L 1 y N 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2, F 2 ) que reconoce L 2. El siguiente utómt N = (Q, Σ, δ, q 0, F) reconoce L 1 L Q = {q 0 } Q 1 Q 2, donde q 0 es un nuevo estdo que introducimos. 2. q 0 es el estdo inicil de N. 3. F = F 1 F Definimos δ pr cd q Q y Σ del modo siguiente δ 1 (q, ) si q Q 1 δ δ(q, ) = 2 (q, ) si q Q 2 {q 1, q 2 } si q = q 0 y = ε si q = q 0 y ε Teorem 5. L clse de lengujes regulres es cerrd bjo l operción de l conctención. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Supongmos que tenemos hor dos lengujes regulres L 1 y L 2 y desemos probr que L 1 L 2 es regulr. L ide es tomr dos AFN N 1 y N 2 pr cd uno de estos lengujes y combinrlos pr obtener un nuevo AFN N que reconozc L 1 L 2. Pr ello vmos considerr que primero procesmos trves de N 1 y ligmos todos los estdos finles de este utómt l estdo inicil de N 2 medinte flechs etiquetds con ε. El utómt resultnte será N que reconocerá ls cdens de L 1 L 2. Demostrción. Se N 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 1, F 1 ) que reconoce L 1 y N 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2, F 2 ) que reconoce L 2. El siguiente utómt N = (Q, Σ, δ, q 0, F) reconoce L 1 L 2. 32

33 Procesdores del Lenguje I 1. Q = Q 1 Q q 0 = q F = F Definimos δ pr cd q Q y Σ del modo siguiente δ 1 (q, ) si q Q 1 y q / F 1 δ δ(q, ) = 1 (q, ) si q F 1 y ε δ 1 (q, ) {q 2 } si q F 1 y = ε δ 2 (q, ) si q Q 2. Teorem 6. L clse de lengujes regulres es cerrd bjo l operción de l clusur o producto estrell. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Vmos considerr que tenemos un lenguje regulr L 1 y tenemos que demostrr que su clusur de Kleene o producto estrell L es un lenguje regulr. Pr ello vmos considerr un AFN N 1 que reconoce l lenguje y vmos modificrlo convenientemente, obteniendo un nuev máquin N pr que reconozc L. Hy que tener en cuent que N tiene que reconocer l plbr vcí ε. En consecuenci el estdo inicil tiene que ser un estdo de ceptción. Esto nos v llev ñdir un nuevo estdo, que será el estdo inicil de N del que prtirá un flech etiquetd con ε l estdo inicil de N 1. Pr ceptr cdens de L de cd estdo finl de N 1 prtirá un flech etiquetd con l plbr vcí hci el estdo inicil de N 1. Demostrción. Se N 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 1, F 1 ) que reconoce L 1. El siguiente utómt N = (Q, Σ, δ, q 0, F) reconoce L Q = {q 0 } Q q 0 es el nuevo estdo inicil. 3. F = {q 0 } F Definimos δ pr cd q Q y Σ del modo siguiente δ 1 (q, ) si q Q 1 y q / F 1 δ 1 (q, ) si q F 1 y ε δ(q, ) = δ 1 (q, ) {q 1 } si q F 1 y = ε {q 1 } si q = q 0 y = ε si q = q 0 y ε 33

34 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 2.3. Expresiones Regulres En ritmétic emplemos ls operciones + y pr construir expresiones del tipo (5 + 3) 4. Del mismo modo, podemos empler operciones regulres pr construir expresiones que describn lengujes, este tipo de expresiones ls denominremos expresiones regulres. Un ejemplo es (0 1)0. El vlor de l expresión ritmétic es 32. El vlor de l expresión regulr es un lenguje. En este cso se trtrí de cdens que comienzn con 0 o 1 y vn seguids de un cden de 0 s que puede ser incluso l cden vcí ε Definición forml de un expresión regulr Diremos que R es un expresión regulr si R es: 1. pr lgún de un lfbeto Σ. 2. ε, 3., 4. (R 1 R 2 ), donde R 1 y R 2 son expresiones regulres, 5. (R 1 R 2 ) = (R 1 R 2 ), donde R 1 y R 2 son expresiones regulres, 6. (R 1 ) donde R 1 es un expresión regulr. Los puntos 1,2 y 3 representn los lengujes {}, {ε} y respectivmente. No hy que confundir {ε} y y que el primer lenguje solo tiene un cden, l vcí y el segundo no tiene ningun cden, por eso es el lenguje vcío L equivlenci con los Autómts Finitos Teorem 7. Un lenguje es regulr si y solo si existe un expresión regulr que lo describe. Este teorem tiene dos direcciones, probremos cd un de ells por seprdo. Lem 1. Si un lenguje es descrito por un expresión regulr entonces es un lenguje regulr. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Supongmos que tenemos un expresión regulr R que describe un lenguje L = L(R). Tenemos entonces que convertir R en un AFN N de form que L = L(M). Demostrción. Pr convertir R en N considerremos seis csos dentro de l definición forml de un expresión regulr: 34

35 Procesdores del Lenguje I 1. Si R = pr lgún Σ, entonces L(R) = {} y el siguiente AFN reconoce L(R) q 1 q 2 De mner forml N = {{q 1, q 2 }, Σ, δ, q 1, {q 2 }}, donde δ(q 1, ) = {q 2 } y δ(r, b) = pr r q 1 o b. 2. R = ε. Entonces L(R) = {ε} y el AFN siguiente reconoce L(R) : q 1 De mner forml N = ({q 1 }, Σ, δ, q 1, {q 1 }), donde δ(r, b) = pr culquier r y b. 3. R =. Entonces L(R) = y el siguiente AFN reconoce L(R) : q De mner forml N = ({q}, Σ, δ, q, ), donde δ(r, b) = pr culquier r y b. 4. R = R 1 R R = R 1 R R = R 1. Pr los csos 4,5 y 6 empleremos ls construcciones dds en ls demostrciones de los Teorems 2, 6 y 7 respectivmente. Lem 2. Si un lenguje es regulr, entonces se puede describir emplendo un expresión regulr. IDEA DE LA DEMOSTRACIÓN. Vmos prtir l prueb de este resultdo en dos prtes, emplendo un nuevo tipo de máquin llmdo Automát Finito No Determinist Generlizdo AFNG. En primer lugr mostrremos como convertir un AFD en un AFNG, y en segundo lugr convertiremos un AFNG en un expresión regulr. Los AFNG s son AFN s en ls que ls etiquets de ls flechs de su digrm de trnsición están formds por expresiones regulres, en lugr de elementos del lfbeto o l plbr vcí ε. Por convenienci, eligiremos siempre un AFNG que tiene l form especil siguiente: El estdo inicil q strt tiene flechs hci culquier otro estdo, pero culquier otro estdo no tiene ningun flech sobre el estdo inicil. 35

36 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES Existe unicmente un estdo de ceptción q ccept y tiene flechs que llegn de culquier otro estdo, pero no existe ningun que slg hci culquier otro estdo. El estdo inicil es distinto del estdo de ceptción. Excepto pr el estdo inicil y de ceptción un sol flech v pr culquier otro estdo y un tmbién de cd estdo en si mismo. Podemos convertir fcilmente un AFD un AFGN descrito en l form especil como sigue: Añdimos un nuevo estdo inicil con un flech etiquetd con ε sobre el ntiguo estdo inicil, y un nuevo estdo de ceptción, l que le lleg un fech etiquetd con ε de cd uno de los ntiguos estdos de ceptción. Si culquier flech tiene multiples etiquets (o si hy multiples flechs que tienen l mism dirección entre los mismos estdos) reemplzmos cd un de ells por un flech cuy etiquet es l unión de tods ls etiquets previs. Finlmente, ñdimos flechs etiquetds entre estdos que no tengn flechs. Vemos hor como convertir un AFNG en un expresión regulr. Digmos que el AFNG tiene k estdos. Como q strt y q ccept tienen que ser diferentes se tiene que k 2. Si k > 2, construimos el AFNG en su form equivlente con k 1 estdos. Este pso se repite hst reducir un AFNG con dos estdos. Si k = 2, el AFNG tiene un únic flech que v de q strt q ccept. L etiquet de est flech es un expresión regulr equivlente l lenguje que gener el AFD. El pso crucil es l construcción del AFNG equivlente cundo k > 2. Pr relizr este pso seleccionremos un estdo, que será el que desprezc, pr reducir k 1 estdos, y tendremos que prcher l máquin pr que el lenguje que reconozc sig siendo el mismo. Pr ello culquier estdo vldrá, siempre y cundo no se trte de q strt y q ccept. Esto qued grntizdo y que k > 2. Al estdo selecciondo lo denotremos por q rip. Después de eliminr q rip reprremos l máquin lterndo ls expresiones regulres que etiquetn cd un de ls flechs. Ls nuevs etiquets deberán compensr l usenci de q rip, ñdiendo ls expresiones perdids. L nuev etiquet del estdo q i l estdo q j es un expresión regulr que describe tods ls cdens de q i q j vi q rip. Ver el gráfico djunto: q R 4 i q j R 1 R q 4 (R 1 R R 3 = i 2R 3 ) g j q rip R 2 Demostrción. Vmos escribir formlmente l ide expresd nteriormente. Pr fcilitr l demostrción vmos introducir l definición forml del tipo de utómt y introducido. Un AFNG es similr l un AFN excepto en l definición de l función de trnsición 36

37 Procesdores del Lenguje I que en este cso se escribe como δ : (Q \ {q ccept }) (Q \ {q strt }) R. El símbolo R denot l colección de tods ls expresiones regulres sobre el lfbeto Σ, y q strt y q ccept son el estdo inicil y de ceptción, respectivmente. Si δ(q i, q j ) = l etiquet de l flech que v del estdo q i l estdo q j es l expresión regulr R. El dominio de l función de trnsición es (Q \ {q ccept }) (Q \ {q strt }) y que un flech conect culquier estdo con culquier estdo, excepto que no hy flechs que vyn q strt o que slgn de q ccept. Definición 4. Un Autómt Finito No Determinist Generlizdo es un 5 upl donde 1. Q es el conjunto finito de estdos. 2. Σ es el lfbeto de entrd. G = (Q, σ, δ, q strt, q ccept ) 3. δ : (Q \ {q ccept }) (Q \ {q strt }) R es l función de trnsición. 4. q strt es el estdo inicil. 5. q ccept es el estdo de ceptción. Un AFNG cept l cden w en Σ si w = w 1 w 2 w k donde cd w i Σ y un sucesión de estdos q 0, q 1,...,q k existe de form que 1. q 0 = q strt, 2. q k = q ccept y 3. pr cd i, se tiene que w i L(R i ) donde R i = δ(q i 1, q i ); en otrs plbrs R i es l expresión que etiquet l flech entre q i y q j Retornndo l ide de demostrción, se M el AFD pr el lenguje L. Entonces vmos trnsformr M un AFNG N ñdiendo un nuevo estdo y un nuevo estdo de ceptción y nuevs flechs trnscionles si fuese necesrio. Vmos empler el procedimiento CONVERT(G), que tom un AFNG y devuelve un expresión regulr equivlente. Este procedimiento emple un rgumento recursivo, que emple llmds si mismo. No puede drse un bucle infinito y que el procedimiento se llm si mismo solo pr procesr un AFNG que tiene un estdo menos. El cso en el que AFNG tiene exclusivmente dos estdos se trt sin empler el rgumento recursivo. CONVERT(G) : 37

38 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 1. Se K el número de estdos de G. 2. Si k = 2, entonces G tiene que tener unicmente un estdo de inicio, un estdo de ceptción y un flech uniendólos etiquetds con un expresión regulr R. Delvolver l expresión regulr R. 3. Si k > 2, seleccionr culquier estdo q rip Q \ {q strt, q ccept } y se G es AFNG (Q, σ, δ, q strt, q ccept ) donde Q = Q \ {q rip } y pr culquier q i Q \ {q ccept } y culquier q j Q \ {q strt } se δ (q i, q j ) = (R 1 R 2 R 3) R 4 pr R 1 = δ(q i, q rip ), R 2 = δ(q rip, q rip ), R 3 = δ(q rip, q j ) y R 4 = δ(q i, q j ). 4. Clculr CONVERT(G ) y devolver su vlor. Vmos demostrr que el procedimiento nterior devuelve el vlor decudo Enuncido 1. Pr culquier AFNG G, CONVERT(G ) es equivlente G. Demostrremos este enuncido por inducción en k el número de estdos del AFNG. Bse: Demostremos el enuncido pr k = 2. Si G tiene exclusivmente dos estdos, ellos deben de estr unidos por un únic flech, que llev el estdo inicil l estdo de ceptción. L expresión regulr que etiquet est flech describe tods ls cdens que pr G llegn l estdo de ceptción. En consecuenci, est expresión es equivlente G. Pso inductivo: Supongmos el enuncido cierto pr k 1 estdos y empleemos est hipótesis pr demostrr que el enuncido es cierto pr k estdos. En primer lugr demostrremos que G y G reconocen el mismo lenguje. Supongmos en primer lugr que G cept l cden w. Entonces un rm del proceso de w por G viene determind por l sucesión finit de estdos: q strt, q 1, q 2,...,q ccept. Si niguno de ellos es el estdo eliminr q rip, de form clr G cept w. L rzón es que cd un de ls nuevs expresiones regulres etiquetndo ls flechs de G contiene l ntigu expresión regulr como prte de l unión. Si q rip, prece eliminndo cd ejecución de q rip estdo prece un form de procesmiento ceptd por G Los estdos q i y q j que nos dn un pso de procesdo tienen un nuev expresión regulr que los lig y que describe tods ls cdens que vn de q i q j psndo por q rip. En l otr dirección, supongmos que G cept l cden w. Como cd flech entre dos estdos q i y q j en G describe l colección de cdens que vn de q i q j 38

39 Procesdores del Lenguje I directmente o vi q rip, G debe de ceptr w. En consecuenci G y G son equivlentes, esto es, L(G) = L(G ). L hipótesis de inducción enunci que cundo el lgoritmo se llm si mismo recursivmente sobre un input G el resultdo es un expresión regulr que es equivlente G y que G tiene k 1 estdos. Luego l expresión regulr es equivlente G y se h demostrdo que el lgoritmo funcion correctmente. Con esto concluimos l demostrción del Enuncido 1, del Lem 2 y, finlmente del Teorem 7. Ejemplo 22. Construir l expresión regulr que crcteriz el lenguje ceptdo por el siguiente AFD: b 1 2 b b 3 Pso 1: s ε b 1 2 b b ε ε 3 Pso 2: b s b b 2 b ε ε 3 bb Pso 3: 39

40 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES s ( b) ( b) b b 3 (b )( b) ε (b )( b) b bb Pso 4: s (( b) b b)((b )( b) b bb) (b )( b) ε) ( b) 2.4. Lengujes no regulres Pr comprender l potenci de cálculo de un utómt finito hy que comprender bien sus limitciones. En est sección mostrremos como se puede probr que determindos lengujes no pueden ser reconocidos por un utómt finito. Consideremos el lenguje L B = {0 n 1 n n 0}. Si intentmos construir un AFD que reconozc L B, descubriremos que l máquin necesitrá recordr el número de ceros que h leido previmente. Debido que el número de ceros que puede leer en primer lugr es ilimitdo, l máquin tendrá que preveer un número ilimitdo de posibiliddes. Esto qued fuer de un máquin con un número finito de estdos. Ahor, presentremos un método pr probr que lengujes como L B no son regulres. Podrímos pensr que el nterior rgumento es suficiente pr ello y que el número de ceros no está limitdo. Esto no es un rgumento riguroso y que l necesidd de necesitr cntiddes no cotds de memori no v ser suficiente pr ello. Puede serlo pr L B, pero existen otros lengujes que precen necesitr un cntidd ilimitd de memori pero ún si son regulres. Por ejemplo consideremos los siguientes lengujes sobre el lfbeto Σ = {0, 1} : L C = {w wtiene el mismo numero de 0 s y 1 s} L D = {w wtiene el mismo numero de ocurrencis de 01 y 10 como subcdens} En un primer mird ninguno de estos lengujes prece ser regulr. Como esperábmos L C lo es, pero sorprendentemente L D es regulr! Por lo tnto, nuestr intuición 40

41 Procesdores del Lenguje I puede, en lguns ocsiones, llevrnos equivocción. Est es l rzón por l que necesitmos l yud de ls demostrciones mtemátics pr segurr los resultdos. En est sección mostrremos como probr que determindos lengujes no son regulres El Lem del Bombeo pr Lengujes Regulres L técnic pr probr no regulridd es consecuenci de un resultdo cerc de los lengujes regulres, conocido con el nombre del Lem del Bombeo. Este teorem nos dice que todos los lengujes regulres tienen un propiedd especil. Si podemos demostrr que un lenguje no l posee, entonces podemos segurr que dicho lenguje no es regulr. L propiedd en cuestión es que tods ls cdens del lenguje se pueden bomber si tienen como mínimo un determind longitud llmd longitud de bombeo. Est quiere decir que cd un de ests cdens contiene un sección que puede ser repetid culquier número de veces con el resultdo de que l cden resultnte sig perteneciendo l lenguje. Teorem 8 (Lem del Bombeo). Si A es un lenguje regulr, entonces existe un número p (llmd longitud del bombeo) donde, si s es culquier cden de A de form que s p entonces s puede dividirse en tres piezs, s = xyz que stifcen ls condiciones siguientes: 1. pr cd i 0, xy i z A, 2. y > 0, y 3. xy p. i veces Not 1. Recordr l notción donde s denot l longitud de l cden s, y i {}}{ = yy y, e y 0 = ε. Cundo s es dividid en xyz o bien x o bien z pueden ser ε, pero l condición 2 impone que y ε. Observemos que sin dich condición el Teorem es cierto de form trivil. L condición 3 nos dice que ls subcdens x e y junts hn de tener longitud como máximo de p. Est es un condición extr de crcter técnico, que ocsionlmente puede resultr útil pr demostrr que ciertos tipos de lengujes no son regulres. Ejercicios propuestos 1. Considerr los siguientes digrms de estdo de l Figur 2.9 pr dos AFD M 1 y M 2. Responder ls cuestiones siguientes: ) Cuál es el estdo inicil de M 1? b) Cuál es el conjunto de estdos de ceptción pr M 1? c) Cuál es el estdo inicil de M 2? d) Cuál es el conjunto de estdos de ceptción pr M 2? 41