Control Estadístico de Procesos Parte 1. María Guadalupe Russell Noriega. Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas Universidad Autónoma de Sinaloa.

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1 Control Estadístico de Procesos Parte María Guadalupe Russell Noriega. Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas Universidad Autónoma de Sinaloa. V Verano de Probabilidad y Estadística, CIMAT. Del al 6 de julio del 0.

2 Contenido Introducción al Control Estadístico de Procesos Por qué varían los procesos? Fundamentos Estadísticos Causas Comunes y Causas Especiales Capacidad de Procesos Monitoreo de Procesos Cartas de Control Tipo Shewhart Cartas de Control de Sumas Acumuladas

3 Introducción El Control Estadístico de Procesos nació a finales de los años 0 en los Bell Laboratories, como parte del Manejo de Calidad Total (TQM) o Control de la Calidad d Total (TQC). Shewhart, en su libro Economic Control of Quality of Manufactured Products (93) marcó la pauta que seguirían otros discípulos distinguidos (Juran, Deming, etc.). En 94 Shewhart desarrolló el concepto de carta de control estadístico, el cual suele considerarse como el inicio formal del control estadístico de calidad. La popularidad del uso de las cartas de control en la industria se debe a la facilidad de construcción e interpretación. Sin embargo su uso ha venido creciendo en áreas como salud y servicios.

4 Introducción Para entender los alcances del SPC (CEP), se entiende que un proceso es una red de componentes independientes que trabajan juntas, con el propósito o de lograr los objetivos os propuestos os por el sistema.

5 Por qué varían los procesos? Un proceso industrial está sometido a una serie de factores de carácter aleatorio que hacen imposible fabricar dos productos exactamente iguales. Las características del producto fabricado no son uniformes ypresentanvariabilidad. Esta variabilidad es no deseable y el objetivo es reducirla lo más posible o al menos mantenerla dentro de ciertos límites. El Control Estadístico de Procesos es una herramienta útil para alcanzar dicho objetivo. Dado que su aplicación es en el momento de la fabricación, puede decirse que esta herramienta contribuye a la mejora de la calidad de la fabricación. Permite también aumentar el conocimiento del proceso dando lugar a la mejora del mismo.

6 Por qué varían los procesos? Por que se ve afectado por factores que varían

7 Causas de variabilidad i i i i i i i i i i i i

8 Causas de variabilidad La estrategia básica para la mejora de la calidad pasa por la identificación de las causas que producen variabilidad, las cuales según Shewhart (93) se clasifican en: a) Causas comunes o aleatorias: Son las que provocan la llamada variabilidad natural del proceso, y obedecen a un comportamiento aleatorio. b) Causas especiales o atribuibles: Son aquellas que cuando están presentes tienen un efecto significativo en el desempeño del proceso. Este efecto se refleja eventualmente en el patrón que presentan los puntos graficados en la carta de control.

9 Causas de variabilidad La variabilidad de las causas comunes o aleatorias es el reflejo de cientos de causas pequeñas que actúan de manera conjunta, y que no es posible identificar alguna en especial. La variación excesiva debida a causas comunes se resuelve cambiando la tecnología, de modo que la eliminación de las causas comunes es responsabilidad de la empresa. La variabilidad de las causas especiales o atribuibles se deben típicamente a aspectos tales como: materiales, operadores, instrumentos de medición, máquinas, métodos. La eliminación de las causas especiales es más sencilla ya que básicamente son responsabilidad del operario.

10 Causas de variabilidad Por definición, se dice que un proceso está bajo control estadístico cuando no hay causas especiales presentes. O equivalentemente cuando únicamente actúa un sistema de causas de variabilidad común. El Control Estadístico de Procesos se basa en analizar la información que aporta el proceso para detectar la presencia de causas especiales y habitualmente t se realiza mediante una construcción gráfica denominada Gráfico o Carta de Control. Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar una p j p predicción del intervalo en el que se encontrarán las características de la pieza fabricada.

11 Considere un proceso de producción de engranes en estado de control, para el cual la característica de calidad d es el diámetro de los engranes en mm. Medidas de variabilidad Se selecciona aleatoriamente una muestra de tamaño n de entre los engranes fabricados por el proceso, en un día de producción. Diámetros del engrane en mm Medida de variabilidad en una muestra. Proporción de engranes en la muestra que tienen un diámetro menor a 9.8 mm? Qué proporción p de engranes en la muestra cumple con la especificación de 0±0. mm? Histograma de los Diámetros de engranes en mm, para una muestra de tamaño n=00

12 Variabilidad en la Población f(x) n=0 n=00 n=000 n Función de densidad de Probabilidad (fdp) De la definición frecuentista de probabilidad, # de veces que A ocurre P ( A ) = lim n n Además de la relación entre histograma y fdp, se deduce que: b a f ( y ) dy = Pr ( a Y b ) En resumen una función f es fdp si cumple que: a ) f ( y ) 0 y R, b ) f ( y ) dy = R

13 Función de Distribución La fdp f(y) contiene toda la información sobre la variabilidad del proceso, es decir, si f(y) es conocida podemos contestar preguntas como:. Qué proporción de los diámetros de engranes producidos por el proceso estarán entre a y bmm? b f ( y ) dy. Qué proporción de los engranes tendrán diámetros inferiores a amm? a f ( y) dy 3. Qué proporción de engranes tendrán diámetros superiores a bmm? a b f ( y) dy

14 Función de distribución Dada una variable aleatoria Y, se llama función de distribución de la v.a. Y a la función F, de recta real R en el intervalo [0,], definida por: y ( y) = F f ( t) dt = Pr( Y y) Una función có de distribución ds bucó F es monótona no decreciente, continua por la derecha y cumple que: ( y) = 0 y lim F( y) lim F = y y

15 Primeros Momentos La variabilidad representada exhaustivamente por la fdp, puede caracterizarse parcialmente por los primeros dos momentos poblaciones, definidos por: dy y f y Y E Y Var y dy y yf Y E R R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = = = = μ μ σ μ μ y σ son la media y varianza poblacional, respectivamente. El parámetro μ se conoce como parámetro de localización y σ el á ó parámetro de dispersión. Parte de la variabilidad en una muestra puede caracterizarse a través de los primeros dos momentos muestrales identificados y definidos como: los primeros dos momentos muestrales, identificados y definidos como: ) ( Y Y S y Y Y n i n i = = ) ( n y n i i i i = =

16 Distribución Normal Se dice que una v.a. Y distribuye normal con parámetros μ y σ (Y~N(μ,σ)) si su fdp es: ( y μ ) f ( y ) = exp, < <, < <, > 0. y y σ πσ σ La fdp normal cumple las propiedades siguientes: a) f(y) es simétrica respecto del eje y=μ b) La gráfica de f(y) presenta un máximo relativo en el punto μ, πσ c) La gráfica de f(y) presenta puntos de inflexión en y=μ±σ.

17 Comportamiento de la fdp N(μ,σ) f(x) f(x) 0.4 μ= μ= μ=3 μ=4 μ= σ= σ= σ= σ=3 σ=4-4 6 x x f(x) F(x) μ=0,σ= μ=0,σ= μ=,σ= μ=,σ= μ=3,σ=3 0.6 μ=3,σ= x x

18 Teorema de Límite Central El teorema del límite central (TLC) establece que si una variable aleatoria se obtiene como una suma de muchas causas independientes, siendo cada una de ellas de poca importancia respecto al conjunto, entonces su distribución es asintóticamente normal. Si S n = de v.a. X + X + L+ X donde las { X } independientes con media μ y varianzaσ, para i =, entonces bajo ciertas condiciones generales, S n n n, μ i i= N n n i i= σ i ( 0, ) i i son una sucesión de i, K

19 Si X Teorema de Límite Central (TLC) Distribución de las medias muestrales es una va v.a.con distribución N ( μ, σ ) a partir de la cual se extraen muestras aleatorias de tamaño n, entonces la distribución de las medias muestrales, x se distribuye; x m σ ~ N μ, n ó x m μ ~ N σ / n ( 0,). m,

20 Teorema de Límite Central (TLC) Como consecuencia del TLC la distribución de las medias muestrales es asintóticamente normal, aún en el caso de que la distribución poblacional no lo sea; siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande n = 0, p = n = 0, p = n = 30, p = n = 50, p = n = 50, p = n = 50, p = 0.75

21 Teorema de Límite Central (TLC) Weibull( beta =.3, eta = 0 ) n = n = 0 n =

22 Teorema de Límite Central (TLC) Recapitulando, un proceso está afectado por un gran número de factores (por ejemplo oscilaciones de las características del material utilizado, variaciones de temperatura y humedad ambiental, variabilidad introducida por el operario, entre otras), que inciden en él y que inducen una variabilidad de las características del producto fabricado. Si el proceso está operando de manera que existen pequeñas oscilaciones de todos estos factores (causas comunes), pero de modo que ninguno de ellos tienen un efecto preponderante p frente a los demás, entonces por el TLC esperamos que la característica de calidad del producto fabricado se distribuya normal. Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar una Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar una predicción del intervalo en el que se encontrarán las características de la pieza fabricada y monitorear el proceso mediante un gráfico de control.

23 Capacidad de un Proceso Un análisis de capacidad evalúa la habilidad que tiene un proceso para producir artículos que se ajusten a especificaciones preestablecidas, y que por tanto satisfagan los requerimientos de los consumidores. Es decir, cuando un proceso está en estado de control, a la amplitud del intervalo de variabilidad de las observaciones individuales, se le denomina capacidad. Capacidad de máquina + Otras variaciones (Turnos, operadores, Materia prima, etc.) = Variabilidad causas comunes + Variabilidad causas especiales = Capacidad del proceso

24 Tres tipos de Límites Los límites LE definen los requerimientos de aceptabilidad para una unidad individual de un proceso de manufactura o de servicio. Los límites LN indican los puntos en donde varía la salida de un proceso.

25 Áreas bajo la Distribución Normal Si un proceso normal está en control estadístico, la característica de calidad del 99.73% de los elementos fabricados estarán comprendidos en μ ± 3σ.

26 Especificaciones y Ancho del Proceso Bajo normalidad el ancho del proceso se define como 6σ. LEI LES El ancho de especificaciones puede medir cualquier cantidad de sigmas. Lascurvasrepresentan lo observado. Las especificaciones lo deseado. LEI LES

27 Proceso con capacidad potencial y capacidad real. Capacidad de Procesos Dado un proceso y dadas unas especificaciones diremos que un proceso es capaz si puede producir dentro de la especificaciones exigidas, es decir, si su capacidad es menor que las tolerancias. LIE T Ancho del Proceso LSE Ancho de las Especificaciones Proceso con capacidad potencial, pero SIN capacidad real. LIE T LSE Ancho del Proceso Ancho de las Especificaciones

28 Capacidad de Procesos y Estabilidad Cumple con especificaciones y es predecible ya que esta bajo control Variables de salida inestables pero dentro de especificaciones Las variables de salida del proceso son estables pero baja capacidad de cumplir especificaciones. No cumple con especificaciones y causas especiales de variabilidad presentes

29 Índices de Capacidad de Procesos C p = Anchode Especificaciones Ancho dlp del Proceso = LES LEI 6σ C p < < es inaceptable C p <.33 marginal y C p >.33 es capacidad potencial adecuada C r = 6σ P ió d l t l i = ocuparía el proceso C LES LEI Proporción de la tolerancia que p

30 Índice Cp Procesos con Cp= Procesos con Cp= Ancho del Proceso Ancho de las Especificaciones El índice Cp no toma en cuenta el centrado del proceso. % de artículos defectuosos

31 Índices ZU, ZL, CPU, CPL y CPK μ LEI LES μ LEI μ LES Z U = LES μ σ C PU = LES μ = 3σ Z 3 U Toma en cuenta el centrado del proceso μ LEI μ LEI Z L Z L = CPL = = σ 3σ 3 μ LEI LES μ C PK = min, = min CPL, C 3σ 3σ { } PU

32 Índice CPK El Cpk no puede distinguir entre los tres procesos representados en la figura. C PK = Distancia de la media al límite de tolerancia Semicapacidad del proceso más ajustado CPK=CPC si el proceso esta centrado

33 Relación entre los Índices CP y CPK Elfactorquemideelgradoenqueelprocesosedesvíadelvalor nominal (T) expresado en unidades de ½ de la tolerancia, digamos k, se expresa como: T μ k = LSE LIE LIE μ LSE 0 k Si se cumple que La relación entre los índices CP y CPK es: C = ( k) PK C P Esta relación implica que el CPK esmenoroigualalcp, y la igualdad se dá cuando la media del proceso coincide con el valor nominal ( ). μ=t

34 Índice Cpm Cpm = Cpm = 0.63 Cpm = 0.44 C pm = + C P ( μ T ) σ El índice Cpm sí distingue entre los tres procesos de la figura. Se cumple que: LES LEI C < pm 6 μ T Esta relación implica que para que Cpm=, se debe cumplir μ T LES LEI < 6 Es decir, la media del proceso no se puede alejar del valor objetivo más allá de un sexto de la tolerancia. Cpm coincide con el Cp y el Cpk cuando el proceso está centrado en el valor nominal (T).

35 Comparación de Índices LEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm LEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm LEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm LEI LES Cp CPL CPU Cpk Cpm

36 Índices del Desempeño del Proceso P p σ global Toma LSE LIE LSE T T LIE = P 6σ pk = min, global 3σ global 3σ global Desviación estándar Global en cuenta la variación dentro y entre subgrupos CP > Pp y CPK> Ppk Ya que los Pp toman en cuenta la variabilidad a largo plazo.

37 Métrica 6 sigma σ σ 6σ 6σ 7.5σ 4.5σ ppm ppm 0 ppm 3.4 ppm Ancho de las Especificaciones Ancho de las Especificaciones 6σ 6σ Z corto plazo C p = C pk = = 6 ; Zlargo plazo 0.00 ppm = 6 Z corto plazo C p = ; C pk =.5 = 6 ; Zlargo plazo 3.4 ppm = 4.5

38 Qué es la calidad? Procesos en Estado de Control Definición tradicional: Calidad significa adecuación para uso. Definición moderna: La calidad es inversamente proporcional a la variabilidad. Definición. El mejoramiento de calidad es la reducción de la variabilidad en procesos y productos. Un proceso en estado de control es aquel que sólo está afectado por causas comunes de variación. Es posible modelar matemáticamente la variabilidad de las causas comunes, considerando la función de distribución de la característica de interés (Normal, Binomial, Poisson).

39 Cartas de Control Las cartas de control son una herramienta estadística que permite conocer si un proceso dado se encuentra en estado de estabilidad o control Son gráficas cronológicas de los datos del proceso de interés, quenos ayudan a entender, e controlar o y mejorar los procesos. pocesos.

40 Comportamiento esperado de las observaciones individuales en un proceso en estado de control Considere un proceso de llenado de botellas de agua que, en estado de control, sigue una distribución normal con media μ=00 cm3 y desviación s=0.7cm3. = μ + 3s = μ = μ + 3s El proceso se desajusta en cm3 pasando a rellenar con media 0 cm3 e igual dispersión. El proceso se desajusta provoca un aumento en la variabilidad del proceso de relleno, pasando de s=0.7 a s =. = μ + 3s = μ + 3s = μ = μ = μ + 3s = μ + 3s

41 Cartas de Control Proceso

42 Comportamiento de la media de un proceso en estado de control La figura contiene el contenido medio de 4 botellas Observaciones de la a la 0 con μ=00 y s=0.7 Observaciones de la a la 40 con μ=0 y s=0.7 Observaciones 4 a la 60 con μ=00 y s=.

43 Cambios en la media m= σ m= m=3 m=.5σ m=6 m=5 m=4 m=5 m=7 m=8 m=8 m=6 m=5 σ 05σ 0.5σ m=7 m= 8 m=30 m es el número de muestras de tamaño n que se han de tomar para que exista una probabilidad de al menos 95% de detectar el cambio en el proceso.

44 Gráfico o diagrama de control Gráfico de control: Representa el comportamiento de los datos ordenados en el tiempo de un proceso. Objetivo principal: Detectar lo antes posible cambios en el proceso. Se busca minimizar el tiempo que transcurre desde que se produce un desajuste hasta que se detecta. Falsas alarmas: Observaciones de un proceso en estado de control interpretadas erróneamente como señales de que en el proceso actúan causas especiales.

45 Cartas de Control tipo Shewhart W i Señal de fuera de control E( ) + 3σ W i W i E( Wi ) Probabilidad de falsas alarmas del orden del 3%. E( ) 3σ W i W i Costos de producir fuera de control. T() y T() frecuencias de muestreo para un proceso en el que se monitorealamedia

46 Cartas de control para variables Construcción de los Límites de Control Considere una muestra aleatoria de tamaño n, Sean las estadísticas de orden: X. ( ) X () L X ( n) X, X, L, X n. Funciones lineales de las estadísticas de orden, denominadas usualmente L-estimadores, son de la forma Los límites de control se calculan a partir de los valores esperados Los límites de control se calculan a partir de los valores esperados y varianzas de las funciones usadas:

47 Construcción de los Límites de Control Por ejemplo, si es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño, donde, entonces, E Var n = n i = n ( X ) E X = ( n ( X ) = Var i μ ) = μ n σ X i = ( n σ ) = n i = n n Si T = X representa la línea central de una carta de control para la medida de localización T = X, los límites son: T ± 3σ T

48 Carta X La carta X muestra las variaciones en los promedios de las muestras. Si las X i ~ N( μ, σ ) con μ, σ conocidos, los límites de control son; μ ± z α σ n probabilidad de una falsa alarma. z α n tamaño de subgrupo que se toma en cada tiempo. cuantil de la normal e igual a 3, si tenemos una carta de límites tres sigmas.. En la práctica μ, σ desconocidos y deben estimarse de un conjunto de datos históricos, Fase I (construcción de la carta de control), hasta que el proceso se considere estable. En la Fase II el proceso se monitorea en línea.

49 Carta X, si μ y σ desconocidos Se estima μ y σ a partir de la media de las medias X, y σ apartirde rango, R, o bien a partir de la desviación estándar muestral, S, de k muestras iniciales. El estadístico R = X ( n ) X () población de la que procede. da una estimación de la dispersión de la Se calcula muy fácilmente y para valores muestrales pequeños, n 8, se comporta bien. Para valores mayores da una estimación sobrevalorada de la dispersión de la población. Para el estadístico S, se tiene dos definiciones: S n = n i= ( X X ) i n E( S ) σ n Estimador sesgado * n S = n ( ) * = E S = σ i= ( ) X X i Estimador insesgado

50 Carta X, si μ y σ desconocidos Las varianzas de ambos estadísticos son, para procesos normales: ( n ) 4 * 4 ( ) ( ) S = σ σ = Var S σ = n = Var S S * S ( n ) σ n n Γ Γ E = n n ( n ) n Γ Γ * ( ) σ ( ) S = = c E S = σ c σ σ 4 En este caso ambos estadísticos son estimadores segados de σ. σ S = Var ( S) = E ( S ) ( E(S) ) n = σ σ n c σ = c n σ S * = VarS = σ c ( * * * S ) ( ) = E S ( E(S ( ) ) 4 σ = σ ( ) c 4 σ S =σ c n σ * =σ c S 4

51 Carta X R La carta X monitorea las variaciones en los promedios de las muestras. La carta R monitorea la variabilidad de un proceso. Es decir, muestra las variaciones de los rangos de las muestras. Lo más conveniente es empezar con la construcción de la carta R. Si la carta R muestra que la variabilidad del proceso esta fuera de control, lo mejor es controlar la variabilidad antes que construir la carta X. A partir de X y R se trazan los límites provisionales de la manera siguiente. En el gráfico de Medias: En el gráfico de Rangos: R = = d LCS X + 3 X + A 3 R LCS = n d + 3 R D R d = 4 LC = X LC = R R LCI = X 3 = X 33 A R d LCI = 3 R D n d 3 = R 3 d

52 Carta X Estimación de las constantes d y d3, por simulación, utilizadas en la construcción de la carta X R d d3 Programa en R #Estimación de d y d3. El estadístico W = Rango/sigma, denominado # recorrido relativo, con E(W) = d y raiz(varianza) = d3. W <-0; W<-0; nn<-00000; n <- as.matrix(seq(,5,)); nl<-length(n); d<-matrix(0,nl,);d3<-matrix(0,nl,) for (j in :nl) { W<-0; W<-0; for(i in :nn) { rdatos <-rnorm(n[j],0,); #Se simulan datos de una normal estándar rango <-range(rdatos)#función que obtiene el rango de los datos W <-W + (rango[]-rango[])/ W <-W + ( (rango[]-rango[])/)^ } d[j] <-W/nn # E(W)=d d3[j]<-sqrt((w/(nn-))-*(d[j])*(w/(nn-))+ (nn/(nn-))*( (d[j])^))# sigmaw=d3; j<-j+; } cbind(d,d3) R

53 Carta X S La carta S monitorea la variabilidad de un proceso, es similar a la carta R, solo que ahora se calculan y grafican las desviaciones estándar para cada grupo. Carta X S Carta * X S

54 Carta X S Estimación de las constantes c y c4 involucradas en la obtención de los límites de control de las cartas por medio de simulación. X S, Programa en R #Estimación de c y c4 C <-0; W<-0; nn<-00000; n <- as.matrix(seq(,5,)) )) nl<-length(n); c<-matrix(0,nl,); c4<-matrix(0,nl,) for (j in :nl) { C<-0; CC<-0; for(i in :nn) { rdatos <-rnorm(n[j],0,); #Se simulan datos de una normal estándar C <- C + sd(rdatos) CC <- CC +( sd(rdatos) * sqrt((n[j]-)/n[j]) ) } c4[j] <-C/nn; c[j]<-cc/nn; j<-j+ } cbind(c[-],c4[-]) C C

55 Carta para n grande X S En muestras pequeñas, el rango y la desviación estándar tienen un comportamiento similar. Sin embargo, en muestras grandes la ocurrencia de un valor extremo produce un rango grande, pero tiene un efecto menor sobre la desviación estándar. Como la distribución de S es no simétrica, se puede construir una carta S, con límites de probabilidad en lugar de los límites 3σ con límites de probabilidad en lugar de los límites 3σ. ( ) ) ( ~ n S n χ σ ( ) α χ σ χ α α = < < ), ( ), ( S n P n n Entonces, ), ( = n LCI n α χ σ α χ σ χ σ α α = < < ), ( ), ( n S n P n n ), ( = n LCS n α χ σ

56 Carta X S para n grande Como antes tomamos como estimación de σ a Finalmente, la carta S con límites de probabilidad queda definida como LCI LC = LCS = S = S c 4 χ α (, n ) n α (, n ) 4 n S c χ

57 Ejemplos n=4 #tamaño de subgrupo subgrupos=0 #cantidad de subgrupos datos<-matrix(nrow=subgrupos,ncol=n).00 Normal Q-Q Plot.98 Carta de Medias LCS=.995 datos[,]<-c(.88,.93,.98,.88) datos[,]<-c(.93,.97,.89,.94) datos[3,]<-c(.9,.95,.90,.98) datos[4,]<-c(.89,.89,.90,.94) datos[5,]<-c(.95 c(95,.93, 93.90, 90.93) 93) datos[6,]<-c(.00,.95,.94,.89) datos[7,]<-c(.95,.93,.97,.85) datos[8,]<-c(.87,.98,.96,.04) datos[9,]<-c(.96,.9,.98,.88) datos[0,]<-c(.99,.93,.0,.0) datos[,]<-c(.93,.95,.90,.93) datos[,]<-c(.95,.98,.89,.90) datos[3,]<-c(.88,.93,.88,.90) datos[4,]< ]<-c(97 c(.97,.88, 88.9, 9.96) 96) datos[5,]<-c(.9,.9,.96,.93) datos[6,]<-c(.98,.90,.9,.9) datos[7,]<-c(.93,.94,.95,.90) datos[8,]<-c(.8,.9,.95,.94) datos[9,]<-c(.00, ( , 99.99, 95).95) datos[0,]<-c(.98,.94,.96,.88) Carta de Medias 6 78 LCS LC LC Medias R Subgrupo LC=.933 LCI= Carta de Rangos 7 89 LCS= 0.9 LC= LCI= Subgrupo

58 Ejemplos En el departamento de ensamble de motores de una planta automotriz, se tiene que una de las partes del motor, el árbol de levas, debe tener una longitud de 600mm(+/-)mm para cumplir con las especificaciones de ingeniería. Un árbol de levas es un mecanismo formado por un eje en el que se colocan distintas levas, que pueden tener distintas formas y tamaños y estar orientadas de diferente manera, para activar diferentes mecanismos a intervalos repetitivos, como por ejemplo unas válvulas, es decir constituye un temporizador mecánico cíclico. Hay un problema crónico con la longitud del árbol de levas, ya que se sale de especificaciones, y crea un problema de reducción del rendimiento de la línea de producción y altas tasas de re trabajo y desperdicio. El supervisor del departamento quiere correr cartas de medias y p p q y rangos para monitorear esta característica, durante un mes. Para esto recibe 0 muestras de tamaño 5 del proveedor.

59 Ejemplos (Árbol de levas) Muestras de longitudes (en mm) de árboles de levas.

60 Normal Q-Q Plot Ejemplos (Árbol de levas) Carta de Medias Carta de Medias LCS LC LC as Medi R Subgrupo LCS= Los promedios de las medias y los rangos son y 3.7 resp. LC= 600. LCI= Carta de Rangos 7 89 LCS= 7.86 LC= 3.7 LCI= El promedio de las medias se encuentra dentro de las especificaciones, i lo mismo ocurre con las medias excepto para las muestras y 4, que están por arriba dl del LCS y la muestra 9, queestáenellci. El promedio de los rangos es algo grande, considerando que la máxima variación permitida es de ± mm., hay un exceso de variación en el proceso. Subgrupo

61 Normal Q-Q Plot Ejemplos (Árbol de levas) Sin subgrupos y 4 Carta de Medias Medias Subgrupo Después de una LCS= 60.4 investigación con el responsable del proceso, LC= se llegó a la identificación de causas LCI= asignables para las muestras (falla de maquina) y 4 (error del operador), más no para la nueve Carta de Medias LCS LC LC R Carta de Rangos Luego se eliminaron las LCS= 8.0 muestras y 4, obteniendo nuevamente las cartas de medias y LC= rangos. LCI=

62 Ejemplos (Árbol de levas) Al eliminar los subgrupos y 4, ya no tenemos señales de fuera de control, en ambas cartas. Observamos ahora que el promedio de las medias ha disminuido, pero el promedio de los rangos ha aumentado. Esto se debe a las magnitudes de las observaciones eliminadas, los subgrupos tenían poca variabilidad pero valores grandes. Como ya no hay señales de fuera de control, el proceso es estable y podemos ahora iniciar el monitoreo del proceso (Fase II), tomando periódicamente muestras de 5 arboles de levas.

63 Chenet al. (00) presentan un conjunto de medidas de los diámetros interiores de cilindros de un tipo de motor. El conjunto de datos esta formado por 35 muestras de tamaño n=5 recolectadas cada media hora. Los datos corresponden a los tres últimos dígitos de los valores reales medidos de la forma 3.505, 3.50, 3.504, y así sucesivamente. El interés es establecer un control estadístico de este proceso mediante cartas de control. Ejemplo diametros de cilindros

64 Ejemplo diámetros de cilindros Normal Q-Q Plot Carta de Medias LCS= as 0 06 LC= 00.5 La carta de medias muestra que los subgrupos y Medi LCI= exceden el límite de control superior Subgrupo Carta de Medias Carta de Rangos * * LCS LC LCI LCS= 6.3 La carta de Rangos muestra que los R LC= subgrupos 6 y 6 exceden el límite de control superior LCI= 0 p Subgrupo

65 Ejemplo diámetros de cilindros Normal Q-Q Plot Carta de Medias Una investigación ió Carta de Medias Media s Sin 6 y Subgrupo LCS= LC= LCI= Carta de Rangos mostró que los dos valores de rangos de los subgrupos 6 y 6 correspondían a tiempos en que el operador regular se ausentaba y dejaba un reemplazo con menos experiencia, a cargo de la producción LCS LC LCI R LCS= 4.88 LC= LCI= 0 Se observa que la variabilidad ha sido controlada, así que se pasa ahora a controlar la media del proceso Subgrupo

66 Ejemplo diámetros de cilindros Normal Q-Q Q Plot Carta de Medias LCS Medias Sin y 5 Carta de Medias Subgrupo LCS= LC= LCI= Carta de Rangos LCS= El subgrupo ocurre a las 8:00 a.m. y corresponde al arranque de la producción, cuando las maquinas están frías. El subgrupo ocurre a la :00 p.m. y corresponde al arranque de la línea de producción inmediatamente después del descanso del lunch y cuando las maquinas han sido apagadas por cambio de herramienta LC LCI R LC= LCI= Como se encontraron causas asignables, estos puntos se eliminan y las cartas se vuelven a calcular. Subgrupo

67 Ejemplo diámetros de cilindros Se observa en estas últimas gráficas que tanto las cartas de medias como de rangos están en control estadístico. Se puede concluir que el proceso esta bajo control respecto de su variabilidad y valor medio, finalizando el análisis de la Fase I. Se retienen estos últimos límites de control para utilizarlos en el control del proceso en línea, es decir durante la Fase II

68 Subgrupos racionales El primer paso en el establecimiento de cartas de medias y rangos, es la selección de las muestras. Es importante que todas las muestras sean muestras racionales (o subgrupos racionales). Esto es, grupos de observaciones cuya variación, solo es atribuible a las causas comunes. Cuando tomamos las muestras, minimizando la ocurrencia de causas especiales dentro de ellas, maximizamos la oportunidad de detectar causas especiales cuando estas ocurren entre las muestras. Muestrear de: o Diferentes máquinas o Durante períodos extendidos de tiempo o Productos combinados de diferentes fuentes No son métodos racionales de muestreo y deben evitarse.

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