Lección 2: Notación exponencial

Transcripción

1 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 2: Notación exponencial En la lección anterior hemos visto cómo trabajar con números reales y cómo para facilitar el trabajo con ellos es conveniente utilizar aproximaciones, usando el redondeo o el truncamiento. En esta lección estudiaremos otra manera de trabajar con números reales. Para ello utilizaremos lo que se conoce como notación exponencial. Esta notación permite escribir abreviadamente números muy grandes o muy pequeños, o sus aproximaciones. Para ello se escribe el número como un número con una cifra entera, multiplicado por una potencia de 0. Abordaremos este tema, dividiendo la discusión en dos casos: Números grandes Consideremos la velocidad de la luz: Km/seg. (es decir, la luz viaja kilómetros cada segundo). Este número es grande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5 ceros, de hecho es igual a 3 x y como = 0 5, tenemos que = 3 x

2 LECCIÓN 2 La regla general es que un número que termina en ceros puede expresarse como el producto del número sin ceros multiplicado por 0 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del número original. Veamos otros ejemplos: = x 0 6 (seis ceros en el número original) = 87 x 0 0 (diez ceros en el número original) Algunas calculadoras dan sus resultados en forma exponencial, sólo que por lo general usan una sola cifra entera. En los ejemplos anteriores nosotros hemos usado enteros con más de una cifra; sin embargo, con potencias de 0 también podemos expresarlos usando una sola cifra entera y las demás en decimal. Así: = x 0 6 = 2.3 x 0 x 0 6 = 2.3 x = 87 x 0 0 =.87 x 0 2 x 0 0 =.87 x 0 2 2

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS III De estos ejemplos podemos obtener la regla general para expresar un número grande en notación exponencial: Se cuenta cuántas cifras tiene el número. Al resultado se le resta uno y se usa como el exponente de 0. Entonces el número que va a multiplicar a la potencia de 0 es un número que se forma quitando los ceros del número original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto. Por ejemplo, tiene ocho cifras. Como 8 = 7, éste es el exponente que debe llevar el 0 y quitando los ceros queda, a le dejamos una cifra entera y da 2.3. De modo que = 2.3 x 0 7. Observe que con esta notación estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7 lugares a la izquierda: = 2.3 x lugares Análogamente, tiene trece cifras. Como 3 = 2, ése es el exponente que llevará el 0. El número original sin ceros es 87, con una cifra entera queda.87. Así, se tiene que =.87 x =.87 x lugares 22

4 LECCIÓN 2 Cuando los números no aparecen en notación exponencial, decimos que están en forma desarrollada. En el último ejemplo es la forma desarrollada de.87 x 0 2. También podemos pasar de la notación exponencial a la forma desarrollada:.87 x 0 2 = lugares Ejercicio Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) b) c).4508 d) e) 3.64 f) g) h) 999 Ejercicio 2 Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a).00 x 0 3 c) x 0 3 b) 7.9 x 0 7 d) x 0 2 e) 6.3 x 0 4 g) 5.8 x 0 2 f).000 x 0 8 h) 2.33 x 0

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Números pequeños Cuando decimos aquí números pequeños nos referimos a números menores a. Consideremos para empezar 0.: este número se lee un décimo, pero ya sabemos que un décimo se escribe como fracción, así: ; también sabemos que 0.0 se lee un centésimo 0 y la fracción que lo representa es y así sucesivamente. Si ahora tenemos 0.020, este número se lee ciento veinte 20 diezmilésimos, lo que se escribe, 0000 mientras que a le corresponde la fracción. En todos estos ejemplos tenemos fracciones cuyos denominadores son potencias de 0, así que pueden escribirse así: = 0.0 = = = = = = Estas fracciones se pueden escribir también como divisiones: 0. = = = = = = = = = = =

6 LECCIÓN 2 Para seguir con el modelo de notación exponencial de los números grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos. Los exponentes negativos sirven para expresar como producto potencias que están dividiendo. Por ejemplo 0 2 puede escribirse como x 0 2. Esto es, un divisor con exponente positivo se puede escribir como factor con exponente negativo. Así, los ejemplos con los que hemos venido trabajando quedan: 0. = = x = = = x = = = 20 x = = = x Los dos últimos ejemplos tienen la parte entera con dos cifras, pero también podemos escribirlos con una cifra entera Notemos que 20 es igual a.2 x Entonces = = 20 x 0-4 =.2 x 0 2 x Pero por otra parte, tenemos que 0 2 x 0-4 = = =0 2. Entonces, podemos escribir como.2 x 0 2. En el otro ejemplo, tenemos que = = x 0 5 = x 0 x Pero como 0 x 0 5 = = =0 4, entonces = 2.3 x

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Para escribir en forma exponencial números pequeños seguimos esta regla: Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede después de la primera cifra que sea distinta de 0. Contamos cuántos lugares recorrimos el punto y esa cantidad será el exponente negativo de 0. Por ejemplo, para escribir con notación exponencial los números y , hacemos lo siguiente: = 3.4 x lugares =.76 x lugares Como en el caso de los números grandes, también se puede pasar de notación exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo:.583 x 0 6 = lugares x 0 2 = lugares Ejercicio 3 Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) 0.24 c) e) g) b) d) f) h)

8 LECCIÓN 2 Ejercicio 4 Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a) 6.3 x 0 4 c).82 x 0 0 b) 3.2 x 0 6 d) 3 x 0 5 e) x 0 7 g) 4.00 x 0 2 f) 0.03 x 0 4 h) 6687 x 0 2 Operaciones con números en notación exponencial Una de las ventajas de usar la notación exponencial es que facilita la realización de algunos cálculos con números reales, especialmente el producto y la división. Esto es lo que veremos enseguida. Para multiplicar dos números con notación exponencial, por ejemplo 2.07 x 0 7 y.02 x 0 4, escribimos el producto: (2.07 x 0 7 ) x (.02 x 0 4 ) Por la propiedad conmutativa del producto de números reales, que se puede expresar como "el orden de los factores no altera el producto", escribimos: (2.07 x.02) x (0 7 x 0 4 ) 27

9 GUÍA DE MATEMÁTICAS III El producto de la izquierda se efectúa como ya hemos aprendido y nos da 2.07 x.02 = El producto de la derecha indica que multipliquemos 0 elevado a la 7, o sea 0 multiplicado 7 veces por sí mismo, por 0 multiplicado 4 veces por sí mismo, en total tenemos 0 multiplicado veces por sí mismo. Es decir, 0 7 x 0 4 = 0. El resultado de la operación es entonces: (2.07 x.02) x (0 7 x 0 4 ) = 2.34 x 0 En general lo que se hace es que se multiplican los números dados sin contar la potencia de 0 y el resultado se multiplica por 0 elevado a la suma de los exponentes de los números iniciales. En el ejemplo 2.07 x.02 = 2.34 y al sumar los exponentes tenemos = que es el exponente de 0 en el resultado final. Es decir: (2.07 x 0 7 ) x (.02 x 0 4 ) = (2.07 x.02) x = 2.34 x 0 Esta forma de realizar las multiplicaciones se aplica también cuando los exponentes son negativos, o cuando hay una mezcla de exponentes positivos y negativos. Por ejemplo: (.45 x 0 6 ) x (.2 x 0 2 ) = (.45 x.2) x 0 6+( 2) =.624 x 0 8 (2.7 x 0 4 ) x (3. x 0 7 ) = (2.7 x 3.) x = 8.37 x 0 3 (6.6 x 0 4 ) x (2.2 x 0 3 ) = (6.6 x 2.2) x 0 4+( 3) = 4.52 x 0 (2.4 x 0 3 ) x (.3 x 0 3 ) = (2.4 x.3) x 0 3+ ( 3) = 6.2 x 0 0 Vale la pena hacer un par de comentarios acerca de los últimos dos ejemplos. En el primero de los dos aparece 0. Como hemos visto: 28 0 = 0

10 L 2 Y en el último ejemplo aparece 0 0. Este número es igual a : 0 0 = Por lo tanto, los resultados de los últimos dos ejemplos se pueden expresar como: (6.6 x 0 4 ) x (2.2 x 0 3 ) = (6.6 x 2.2) x 0 4+( 3) =4.52 x 0 = 4.52 x 0 (2.4 x 0 3 ) x (.3 x 0 3 ) = (2.4 x.3) x 0 3+( 3) = 6.2 x 0 0 = 6.2 En el caso de la división se procede de manera parecida, sólo que ahora en lugar de sumar los exponentes, se restan. Es decir, se dividen los números sin considerar la potencia de 0, y el resultado se multiplica por 0 elevado a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Veamos algunos ejemplos: (2.5 x 0 4 ) (2 x 0 2 ) = (2.5 2) x ( ) = 6.25 x = 6.25 x 0 2 (8.6 x 0 4 ) (3 x 0 5 ) = (8.6 3) x = 3.2 x 0 (5.3 x 0 2 ) (3 x 0 5 ) = (5.3 3) x 0 2 ( 5) = 5. x 0 3 (0.92 x 0 3 ) (2. x 0 7 ) = ( ) x = 5.2 x 0 0 ( 2.4 x 0 7 ) (4 x 0 7 ) = ( 2.4 4) x = 3. x 0 0 = 3. En el caso de la suma y la resta de números reales expresados en notación exponencial no se pueden aplicar estas reglas. La única manera de realizar estas operaciones es expresar ambos números con el mismo exponente, sumarlos o restarlos sin considerar la potencia de 0 y al resultado multiplicarlo por 0 elevado al exponente común. 29

11 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Por ejemplo, para sumar 2.07 x 0 3 y 3.9 x 0 2, podemos empezar expresando el primer sumando de la siguiente manera: 2.07 x 0 3 = 20.7 x 0 2. Después sumamos =.89, y a ese resultado lo multiplicamos por 0 2. Entonces tenemos que: (2.07 x 0 3 ) + (3.9 x 0 2 ) =.89 x 0 2 Otra manera de realizar esta misma operación es expresando el segundo sumando multiplicado por 0 3, así: 3.9 x 0 2 = 0.39 x 0 3. Entonces se puede sumar = 2.389, y a ese resultado se le multiplica por 0 3. Entonces el resultado es: (2.07 x 0 3 ) + (3.9 x 0 2 ) = x 0 3 Una tercera forma de hacer la operación es transformando los dos números a su forma desarrollada. Así, hacemos 2.07 x 0 3 = 2070, y 3.9 x 0 2 = 39, y luego sumamos = 89. Tenemos entonces que: (2.07 x 0 3 ) + (3.9 x 0 2 ) = 89 Los tres resultados son equivalentes, puesto que:.89 x 0 2 = x 0 3 = 89 30

12 LECCIÓN 2 Ejercicio 5 Realice las siguientes operaciones: a) (.85 x 0 6 ) x (3.2 x 0 5 ) b) (8.5 x 0 2 ) x (5.7 x 0 4 ) c) (8.06 x 0 3 ) x (.3 x 0 2 ) d) (4.33 x 0 7 ) x (6. x 0 6 ) e) (2.4 x 0 5 ) (4 x 0 7 ) f) (3.64 x 0 6 ) (.4 x 0 4 ) g) (3.25 x 0 ) (.3 x 0 7 ) h) (3.02 x 0 4 ) (4.2 x 0 4 ) Ejercicio 6 Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada: a) ( x 0 3 ) + (3.7 x 0 2 ) b) (5.47 x 0 2 ) + (.2 x 0 ) c) (5.47 x 0 2 ) + (.2 x 0 ) d) ( x 0 4 ) ( x 0 2 ) e) ( 5.06 x 0 4 ) (4.7x 0 ) f) (. x 0 3 ) (. x 0 3 ) 3