1. Introducción: longitud de una curva

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1 1. Introducción: longitud de un curv Integrles de L ide pr clculr l longitud de un curv contenid en el plno o en el espcio consiste en dividirl en segmentos pequeños, escogiendo un fmili finit de puntos en C, y proximr l longitud medinte l longitud de l poligonl que ps por dichos puntos. Cuntos más puntos escojmos en C, mejor será el vlor obtenido como proximción de l longitud de C.

2 C

3 C

4 C Pr ello, escogemos un prmetrizción α : [, b] R n de C, y un prtición P = { = t 0 t 1 t 2 t k = b}, y clculmos proximdmente l longitud del rco α([t i, t i+1 ]) como l longitud del segmento [α(t i ), α(t i+1 )]. Utilizndo l norm eucĺıde en R n, y plicndo ls coordends de α el teorem del vlor medio en el intervlo [t i, t i+1 ],

5 y n L(α([t i, t i+1 ])) = α(t i+1 ) α(t i ) = α j (t i+1 ) α j (t i ) 2 α j (t i+1 ) α j (t i ) = α j(s i ) t i+1 t i j=1 con s i [t i, t i+1 ] Utilizmos hor que como α j es de clse C 1, su derivd es continu, por lo que si los intervlos [t i, t i+1 ] son suficientemente pequeños podemos suponer que α j(s i ) = α j(t i ), y sustituyendo en l fórmul nterior qued α(t i+1 ) α(t i ) = n α j (t i) 2 t i+1 t i 2 = j=1 = α (t i ) t i+1 t i Así l longitud totl de l curv es k 1 k 1 L(C) = L(α([t i, t i+1 ])) = α (t i ) t i+1 t i i=0 i=0

6 El vlor de este sumtorio está entre los vlores de l sum inferior y l sum superior de Riemnn de l función g(t) = α (t) socids l prtición P. Si tommos prticiones de [, b] cd vez más fins, y ddo que g(t) = α (t) es integrble por ser continu, ls sums superiores e inferiores tienden l integrl de Riemnn, y se obtiene l definición de l longitud de C como L(C) = b α (t) dt Sin embrgo, según est definición, prentemente l longitud de un curv dependerí de l prmetrizción α que se utilice pr representrl. El siguiente teorem muestr que grcis l equivlenci entre ls prmetrizciones de un curv regulr y simple, l fórmul nterior no depende de α.. Se C un curv regulr y simple en R n, y α : [, b] R n, β : [c, d] R n dos prmetrizciones de C. Se tiene que b α (t) dt = d c β (s) ds Demostrción: Se ψ : [, b] = [c, d] l función de cmbio de prámetro, biyectiv, de clse C 1 y regulr, de modo que α = β ψ. Entonces α (t) = β (ψ(t))ψ (t), y plicndo el teorem de cmbio de

7 vribles d c β (s) ds = ψ 1 ([c,d]) β(ψ(t)) ψ (t) dt = b α (t) dt Definición (Longitud de un Curv). Se C un curv regulr y simple en R n. Se α : [, b] R n un prmetrizción de C. Se define l longitud de C como l(c) = b α (t) dt Si C es un curv regulr trozos, se define su longitud como l sum de ls longitudes de cd trozo regulr. Si C es un curv cerrd simple, se puede dividir por tres puntos, y considerrl como un curv regulr trozos.

8 2. Integrl de line de un cmpo esclr Integrles de Se llm cmpo esclr en R n un función definid de R n en R, como por ejemplo l función que describe l tempertur en cd punto del espcio R 3. Pr entender el significdo de l definición de integrl de ĺıne de un cmpo esclr, consideremos el siguiente ejemplo: Supongmos que tenemos un curv C en R 2, prmetrizd medinte un función α : [, b] R 2, y un función esclr f : R 2 R, continu. Podemos representr gráficmente l función f sobre l curv C como un muro que levnt un ltur f(x, y) sobre cd punto (x, y) de C. Se trt hor de clculr el áre de ese muro entre l curv C y l gráfic de f sobre l curv.

9 f(x) x C α Repitiendo l ide de l construcción de l integrl de Riemnn en un intervlo, dividimos l curv C por un fmili finit de puntos, definiendo un prtición P de [, b], P = { = t 0 < t 1 < < t n = b} b

10 α(t i ) C i α(t i+1 ) C α t i t i+1 L curv qued dividid en un unión finit de rcos C i = α([t i 1, t i ]) Definimos ls sums inferiores y superiores S(f, C, P ) = n M Ci (f)l(c i ) i=1 b

11 S(f, C, P ) = n m Ci (f)l(c i ) i=1 donde M Ci (f) es el ínfimo de f en C i, m Ci (f) es el supremo de f en C i, y l(c i ) es l longitud de C i. y M Ci (f) = sup{f(x), x C i } = sup{f α(t), t [t i 1, t i ]} = M [ti 1,t i ](f α) m Ci (f) = inf{f(x), x C i } = inf{f α(t), t [t i 1, t i ]} = m [ti 1,t i ](f α) l(c i ) = de modo que ti t i 1 α (t) dt

12 S(f, C, P ) = = y nálogmente S(f, C, P ) = = n ti M [ti 1,t i ](f α) i=1 ti n i=1 ti n i=1 n i=1 ti n t i 1 α (t) dt = t i 1 M [ti 1,t i ](f α) α (t) dt t i 1 f α(t) α (t) dt = ti m [ti 1,t i ](f α) i=1 ti n i=1 b t i 1 α (t) dt = t i 1 m [ti 1,t i ](f α) α (t) dt t i 1 f α(t) α (t) dt = b f α(t) α (t) dt f α(t) α (t) dt

13 Al vrir ls prticiones de [, b], y suponiendo condiciones de continuidd pr el cmpo f, ls sums superiores y ls sums inferiores se proximn un mismo vlor, que será justmente l integrl en el intervlo [, b] de l función (f α) α. En generl diremos que f es integrble lo lrgo de α si el supremo de ls sums inferiores coincide con el ínfimo de ls sums superiores, l vrir ls prticiones de [, b] Aprentemente el resultdo de est integrl depende entonces de l prmetrizción α escogid pr representr l curv C, sin embrgo, grcis l equivlenci entre tods ls prmetrizciones de un curv regulr y simple, esto no es sí:. Se C un curv regulr y simple en R n. Se α : [, b] R n y β : [c, d] R n dos prmetrizciones de C. Se f un función esclr continu en un bierto que conteng C. Entonces b d f α(t) α (t) dt = f β(s) β (s) ds Esto nos permite definir l integrl como un propiedd de l curv C, y no de sus prmetrizciones: Definición (Integrl de un cmpo esclr lo lrgo de un curv). Se C un curv regulr y simple en R n, y α : [, b] R n un prmetrizción de C. Se f un cmpo esclr continuo en un bierto que conteng C. Se define l integrl de f lo lrgo de C como C f = b f α(t) α (t) dt c

14 Si C es un curv regulr trozos, se define l integrl de f lo lrgo de C como l sum de ls integrles en cd trozo regulr. Si C es un curv cerrd, se puede dividir por tres puntos, y considerrl como un curv regulr trozos.

15 Ejemplo 1. Integrles de Se C = α[0, 2π], donde α(t) = (cos t, sen t, t). Clculr x 2 + y 2 + z 2 C α (t) = ( sen t, cos t, 1), luego α (t) = sen 2 t + cos 2 t + 1 = 2 y C f = 2π 0 f α(t) α (t) dt = 2π 0 = 2 (cos 2 t + sen 2 t + t 2 ) 2dt = 2π 0 (1 + t 2 )dt = 2(2π + 8π3 3 )

16 3. Integrl de line de un cmpo vectoril Integrles de Un cmpo vectoril en R n es un función F : R n R n, que soci cd punto del espcio un vector del mismo espcio. Por ejemplo, un cmpo vectoril puede ser l cmpo grvittorio generdo por un ms: si tenemos un ms M situdo en el origen de coordends, sobre un cuerpo de ms m situdo en un punto x del espcio ctú un fuerz F (x) que tiene l dirección del vector x, pero sentido opuesto (de x l origen de coordends), y mgnitud F (x) = GMm x 2 Utilizndo el lenguje vectoril, el cmpo de grvedd qued definido por l función F (x) = GMm x 2 x x

17 Un cmpo vectoril se suele representr gráficmente dibujndo en el mismo espcio (R 2 o R 3 ) lgunos puntos x, y el vector socido F (x) con origen en el punto x Integrles de M F ( x) x F ( x) = GMm x x 3 F (x 1 ) x 2 F (x 2 ) x 1 F (x, y) =( y, x) F (x 4 ) F (x 3 ) Pr entender el significdo de l integrl de un cmpo vectoril lo lrgo de un curv, considermos el ejemplo del cálculo del trbjo generdo por un cmpo de fuerzs sobre un móvil que se desplz dentro de él. x 3 x 4

18 El cso más sencillo es el del trbjo generdo por l cíd de un cuerpo por el efecto de l grvedd: F x 0 x d = x x 0 En principio el trbjo generdo se clcul como el producto de l fuerz por el desplzmiento, T = F d Este concepto se concret un poco más, ñdiendo un signo que interprete si el trbjo se gener (cundo l fuerz tiene el mismo sentido que el desplzmiento) o se consume (cundo l fuerz tiene sentido opuesto l desplzmiento, por ejemplo pr levntr otr vez el objeto). En lenguje vectoril, d = x x 0, y T = ± F x x 0

19 Un cso un poco más complicdo es el del trbjo generdo por el desplzmiento de un móvil por un plno inclindo, sujeto sólo l efecto de l fuerz de l grvedd. Integrles de F x 0 θ F t x El vector F se puede descomponer como sum de dos vectores, uno en l dirección del desplzmiento y otro perpendiculr l plno inclindo. Sólo l componente del vector F en l dirección del desplzmiento, F t gener trbjo. T = ± F t x x 0 Utilizndo un poco de trigonometrí y el producto esclr, se tiene y por tnto F t = F cos θ = < F, x x 0 > x x 0 T = ± < F, x x 0 > x x 0 x x 0 =< F, x x 0 >

20 Por último, consideremos el cso generl, en el que hy un cmpo vectoril continuo pero que no es constnte, y un movimiento que no es rectiĺıneo. Integrles de F (x) x L ide entonces es dividir l curv C tryectori del móvil en segmentos lo bstnte pequeños como pr poder suponer que son rectos y que en cd uno el cmpo sí es constnte (grcis l continuidd). Pr ello escogemos un prmetrizción α : [, b] R n de C, y un prtición P = { = t 0 t 1 t k = b}

21 α(t 1 ) α t 1 t 2 t 3 α(t 2 α(t 3 ) b Clculmos el trbjo generdo en cd rco de curv C i = α([t i, t i+1 ]) como si fuer un segmento recto, y el cmpo fuer constntemente F (α(t i )). L componente tngencil de F (α(t i )) en l dirección de l curv l podemos clculr utilizndo el vector director de l rect tngente l curv en el punto α(t i ), α (t i ); como tmbién α (t) es continu, podemos suponer que si C i es bstnte pequeño α (t) es constnte. De este modo F t (α(t i )) = < F (α(t i)), α (t i ) > α (t i ) Así, si llmmos L(C i ) l longitud de C i, el trbjo generdo en C i es proximdmente

22 T i = < F (α(t i)), α (t i ) > L(C α i ) (t i ) = < F (α(t i)), α (t i ) > ti+1 α (t) dt α (t i ) t i < F (α(t i)), α (t i ) > α (t α i ) t i+1 t i (t i ) = < F (α(t i )), α (t i ) > t i+1 t i El trbjo totl generdo lo lrgo de l curv C será l sum de estos vlores T i k 1 k 1 T = T i = < F (α(t i )), α (t i ) > t i+1 t i i=0 i=0 Si tommos hor prticiones del intervlo [, b] cd vez con más puntos, ests sums tienden l vlor de l integrl T = b < F α(t), α (t) > dt

23 Est expresión es l que se v utilizr como definición de l integrl de F lo lrgo de l curv C. Aprentemente el resultdo de l integrl depende de l función α que se utilice pr prmetrizr l curv C. El siguiente resultdo muestr que relmente sólo depende de l orientción que α define sobre l curv, lo que er de esperr si pensmos en l interpretción del problem físico en el que nos hemos bsdo: si recorriendo l curv en un sentido se gener trbjo, l volver sobre l mism en sentido contrrio se consumirá l mism cntidd de trbjo. L demostrción del resultdo se bs en l equivlenci de ls prmetrizciones de un curv regulr y simple, y en el teorem de cmbio de vrible. Recordemos que dos prmetrizciones de l mism curv tienen l mism orientción si y sólo si l función de cmbio de prámetro es creciente, o lo que es lo mismo, si su derivd es positiv en todos los puntos; y tienen orientciones opuests si el cmbio de prámetro es decreciente, o su derivd es negtiv.. Se C un curv regulr y simple en R n, U un bierto que conteng C, y F : U R n un cmpo vectoril continuo. Sen α : [, b] R n y β : [c, d] R n dos prmetrizciones de C. Si α y β tienen l mism orientción en C, entonces b < F α(t), α (t) > dt = g c < F β(t), β (t) > dt Y si α y β tienen orientciones opuests en C, entonces b < F α(t), α (t) > dt = d c < F β(t), β (t) > dt

24 Definición (Integrl de ĺıne de un cmpo vectoril). Se C + un curv regulr y simple orientd en R n, U un bierto de R n que conteng C, y F : U R n un cmpo vectoril continuo. Se α : [, b] R n un prmetrizción culquier de C +. Se define l integrl de F lo lrgo de C + como b F = < F α(t), α (t) > dt C + Si C + es regulr trozos, se define l integrl de F lo lrgo de C + como l sum de ls integrles sobre cd trozo regulr, orientdos de form comptible con l definición de C +. y nálogmente si C + es un curv cerrd simple regulr trozos y orientd. Si llmmos C l curv C con l orientción opuest, se tiene F = F C + C Notciones: F = f 1 dx f n dx n C + C + Ejemplo:

25 Se C + = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1, x 0 ó y 0} orientd de P = (0, 1) Q = (1, 0). Clculr (x 2, xy) C +

26 4. Integrles de Definición (Regiones elementles del plno). Un conjunto S R 2 se llm región elementl si existen funciones de clse C 1, p : [, b] R, q : [, b] R, r : [c, d] R y s : [c, d] R tles que S = {(x, y) : x [, b], p(x) y q(x)} = {(x, y) : y [c, d], r(y) x s(y)} Un región elementl es un conjunto medible Jordn, y demás su fronter es un curv cerrd simple regulr trozos. (). Se S R 2 un región elementl, y F : U R 2 un cmpo vectoril de clse C 1 en un bierto U que conteng S. Entonces F = ( df 2 F r(s) + S dx (x, y) df 1 (x, y))d(x, y) dy donde F = (f 1, f 2 ) y C + = F r(s) + es l fronter de S orientd positivmente (dejndo l región S l izquierd)

27 Demostrción: (Sltr l finl de l demostrción) Pr demostrr el teorem, descomponemos el cmpo F como sum de dos cmpos, F = (f 1, f 2 ) = (f 1, 0) + (0, f 2 ). Vmos demostrr que pr el cmpo (f 1, 0) se verific l ecución (f 1, 0) = df 1 (x, y)d(x, y) C + S dy Análogmente se demuestr que tmbién df 2 (0, f 2 ) = (x, y)d(x, y) C + S dx y sumndo ls dos igulddes se obtiene (f 1, f 2 ) = (f 1, 0) + (0, f 2 ) = C + C + C + S df 2 dx (x, y) df 1 (x, y)d(x, y) dy Como S es un región elementl, existen dos funciones de clse C 1, p : [, b] R y q : [, b] R, tles que S = {(x, y) : x b; p(x) y q(x)}.

28 q(x) C + 2 Fr(S) + Integrles de C + 3 S C + 4 (x, y) p(x) x b C + 1 L Fronter de S está formd por cutro trozos regulres, F r(s) + = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 1 + se puede prmetrizr medinte l función α(t) = (b, t); t [p(b), q(b)] que verific α (t) = (0, 1), luego q(b) (f 1, 0) = < (f 1 α(t), 0), (0, 1) > dt = 0 C + 1 Análogmente C 3 p(b) β(t) = (, t); t [p(), q()] se puede prmetrizr medinte l función

29 que verific β (t) = (0, 1), luego C 2 C + 3 q() (f 1, 0) = (f 1, 0) = < (f 1 β(t), 0), (0, 1) > dt = 0 C 3 p() se puede prmetrizr medinte l función que describe l gráfic de l función q(x), λ(x) = (x, q(x)), x [, b] que verific λ (x) = (1, q (x), de modo que C + 2 b (f 1, 0) = (f 1, 0) = < (f 1 λ(x), 0), (1, q (x)) > dx = C 2 Por último C + 4 se puede prmetrizr medinte l función δ(x) = (x, p(x)); x [, b] b f 1 (x, q(x))dx que verific δ (x) = (1, p x)), y (f 1, 0) = b < (f 1 δ(x), 0), (1, p (x)) > dx = b C + 4 f 1 (x, p(x))dx

30 Por tnto F r(s) + (f 1, 0) = S b f 1 (x, p(x)) f 1 (x, q(x))dx Por otr prte, plicndo el teorem de Fubini pr el cálculo de l integrl de df 1 en S, se dy tiene df b q(x) 1 df b 1 (x, y)d(x, y) = (x, y)dydx = f 1 (x, q(x)) f 1 (x, p(x))dx dy dy p(x) plicndo que, según l Regl de Brrow, q(x) p(x) df 1 dy (x, y)dy = f 1(x, q(x)) f 1 (x, p(x)) se demuestr nálogmente, ex- Comprndo los dos resultdos, se tiene (f 1, 0) = df 1 (x, y)d(x, y) C + S dy df 2 L otr iguldd, (0, f 2 ) = (x, y)d(x, y) C + S dx presndo S como región elementl respecto l eje verticl (Volver l enuncido)

31 Ejemplo 2. Aplicción del teorem de Green en regiones elementles trozos: unque l demostrción se hce sólo en regiones elementles, l fórmul que se obtiene se puede plicr tmbién cmpos definidos en regiones del plno que se pueden descomponer como unión de regiones elementles que no se solpen (como un puzzle). Consideremos un ejemplo: Si S es l región de l figur, y l descomponemos como unión de dos regiones elementles S 1 y S 2 trzndo el segmento L, podemos plicr el teorem en S 1 y S 2 por seprdo. C + 1 L + L C + 2 S 1 S 2 C 1 + C 2 + C + 1 S = S 1 S 2 C + 2 Fr(S) + = C + 1 C+ 2 L fronter de S 1 está formd por l curv C 1 y el segmento L, orientdos como se indic en el dibujo. L fronter de S 2 está formd por l curv C 2, y el segmento L con l orientción opuest. Y l fronter de S está formd por ls curvs C 1 y C 2

32 Entonces Integrles de df 2 S dx (x, y) df 1 (x, y)d(x, y) = dy df 2 = S 1 dx (x, y) df 1 df 2 (x, y)d(x, y) + dy S 2 dx (x, y) df 1 (x, y)d(x, y) = dy = F + F = F r(s 1 ) + F r(s 2 ) ( + ) ( ) = F + + F + = = C + 1 F + C + 1 C + 2 L + F F = C + 2 F r(s) + F L F

33 Ejemplo 3. Un de ls plicciones usules del teorem de Green es el cálculo de áres de regiones elementles trozos del plno: Si S es un región elementl, y F (x, y) es un cmpo de clse C 1 en un bierto que conteng S y que verifique que l diferenci de ls derivds cruzds de sus componentes es 1, ( df 1 (x, y) dy df 2 (x, y) = 1), entonces plicndo el teorem dx df 1 v(s) = 1d(x, y) = dy (x, y) df 2 (x, y) = dx S S F r(s) + F Como cmpo F se puede utilizr, por ejemplo, F (x, y) = 1 ( y, x) 2

34 Clculr el áre encerrd por l crdioide, r = 1 + cos θ Integrles de L ecución r = 1 + cos θ define en coordends polres l crdioide, de modo que x = r cos θ = (1 + cos θ) cos θ y = r sen θ = (1 + cos θ) sen θ Ests ecuciones nos dn un prmetrizción de l curv como un función α(θ) = (x(θ), y(θ)) definid en [0, 2π]. α (θ) = (x (θ), y (θ)) = = ( sen θ cos θ (1 + cos θ) sen θ, sen 2 θ + (1 + cos θ) cos θ) = = ( sen θ sen 2θ, cos θ + cos 2θ) Utilizndo el cmpo vectoril F (x, y) = 1 ( y, x), tenemos 2

35 A = F = C + = = 2π 0 2π 0 2π < ( y(θ), x(θ)), (x (θ), y (θ)) > dθ = 1 ( (1 + cos θ) sen θ)( sen θ sen 2θ) + ((1 + cos θ) cos θ)(cos θ + cos 2θ)dθ = 2 (1 + cos θ) 2 dθ = 3π

36 5. Fundmentl del Integrles de El siguiente teorem es un versión del teorem cálculo de funciones reles de un vrible rel pr ls integrles de line. Desde el punto de vist de l interpretción de los modelos de problems de l físic, es tmbién un propiedd fundmentl de lgunos fenómenos, que dn lugr leyes como l conservción de l energí o de los momentos de inerci, etc. ( Fundmentl del ). Se U un bierto en R n, f : U R un cmpo esclr de clse C 1 en U, y p, q dos puntos de U tles que existe un curv simple regulr trozos contenid en U de p q, C + Se tiene C + f = f(q) f(p)

37 Demostrción: U p C + q (Sltr l finl de l demostrción) Supongmos primero que C + es un curv regulr y simple contenid en U, de p q, y se α : [, b] R n un prmetrizción de C + (de modo que α() = p y α(b) = q).. Consideremos l función f α : [, b] R: (f α) es de clse C 1 en [, b], y (f α) (t) =< f(α(t)), α (t) > Entonces C + f = = b b < f α(t), α (t) > dt = (f α) (t)dt = f(α(b)) f(α()) = f(q) f(p)

38 Si C + es regulr trozos, existe un fmili finit de puntos { = t 0 t 1 t 2 t k = b} de modo que α es regulr en cd intervlo [t i, t i+1 ]. Entonces llmndo C + i cd curv α([t i, t i+1 ]) orientd de α(t i ) α(t i+1 ), y plicndo el cso nterior k 1 f = C + = i=0 C + i f = k 1 (f(α(t i+1 )) f(α(t i ))) = i=0 = f(α(t 1 )) f(α(t 0 )) + f(α(t 2 )) f(α(t 1 )) + + f(α(t k )) f(α(t k 1 )) = = f(α(t k )) f(α(t 0 )) = f(q) f(p) (Volver l enuncido) Es decir, l integrl de un grdiente continuo lo lrgo de culquier curv contenid en U depende sólo de los extremos de l curv, y no de l curv en sí. Est propiedd d nombre un tipo especil de cmpos vectoriles: Definición (Cmpos conservtivos). Se U un bierto de R n, y F : U R n un cmpo vectoril continuo en U. Se dice que f

39 es conservtivo en U si pr todos p y q en U, l integrl lo lrgo de culquier curv simple regulr trozos contenid en U que un p y q es l mism (depende sólo de los puntos p y q, y no de l curv). Est propiedd es equivlente que l integrl lo lrgo de culquier curv cerrd contenid en U vlg cero. Según el teorem, los grdientes continuos son cmpos conservtivos en culquier bierto de su dominio. El que un cmpo se conservtivo o no depende del cmpo, y del conjunto donde está definido. Si U es un bierto conexo, de hecho todos los cmpos conservtivos son grdientes de un función de clse C 1 (Cmpos Conservtivos). Se U un bierto conexo de R n, y F : U R n un cmpo vectoril conservtivo en U. Se U fijo, y definmos pr cd x U l función f(x) = F, donde C x + es un curv simple regulr trozos contenid en U de x. Entonces existe f y demás f(x) = F (x) pr todo x U. Demostrción: (Sltr l finl de l demostrción) En primer lugr, f está bien definid, en el sentido de que l ser F conservtivo, l integrl sólo depende del punto x. C + x

40 Tenemos que demostrr que en cd x U existen tods ls derivds prciles df dx i (x) y que df dx i (x) = f i (x), donde F = (f 1,..., f n ) C + x x x + te i e i Se x U fijo, y consideremos los puntos de l form x + t e i, con t suficientemente pequeño pr que no se slgn de U. Tenemos que clculr f(x + te i ) f(x) lim t 0 t. Pr clculr f(x + te i ) trzmos un curv de x + te i prolongndo l curv C x + segmento S + = [x, x + te i ], de modo que f(x + te i ) = F + F, y C + S + f(x + te i ) f(x) t = 1 ( F + F t C + S + C + F ) = 1 t S + F con el S + se puede prmetrizr medinte l función β(s) = x + s(te i ), definid en [0, 1], de modo que β (s) = te i y

41 S + F = = 1 0 t 0 < F (x + ste i ), te i > ds = f i (x + ue i )du = t 0 h(u)du 1 0 f i (x + ste i )tds = hciendo el cmbio de vrible u = st, y llmndo h(u) f i (x + ue i ) Si llmmos g(t) = t h(u)du, el teorem cálculo de funciones reles segur 0 que como h es continu, g es derivble, y demás g (t) = h(t). Entonces f(x + te i ) f(x) lim t 0 t y qued demostrdo el teorem. (Volver l enuncido) = lim (g(t) g(0))) = t = g (0) = h(0) = f i (x) t 0 1

42 Definición (Función Potencil). Se F un cmpo vectoril continuo en un bierto U de R n. Se llm función potencil de F culquier función f de clse C 1 en U que verifique F = f, si es que existe. El último resultdo es un condición necesri pr que un cmpo de clse C 1 definido en un bierto conexo de R n se conservtivo, y es consecuenci inmedit del teorem de iguldd de ls derivds cruzds de ls funciones de clse C 2. Proposición. Se U un bierto conexo en R n y F : U R n un cmpo conservtivo de clse C 1 en U. Entonces pr todo x U se tiene df j dx i (x) = df i dx j (x) pr todo i, j = 1,..., n

43 Ejemplo 4. Estudir si los siguientes cmpos vectoriles son conservtivos, y en su cso hllr un función potencil 1) F (x, y) = ((y sen x, x sen y) en) R 2 2y 2) F (x, y) = x 2 + y, 2x en U = R 2 \ {(0, 0)} 2 x 2 + y 2 3) F (x, y, z) = (sen 2x sen 2y, 2 cos 2y sen 2 x, 2z sen(z 2 ))

44 En el primer cso, el cmpo es de clse C 1 en R 2, que es un bierto conexo, sí que pr ser conservtivo deberí tener ls derivds cruds igules, pero Integrles de y df 1 (x, y) = sen x dy df 2 (x, y) = sen y dx luego no es conservtivo.

45 En el segundo cso, tmbién F es de clse C 1 en U (unque no lo es en R 2 ), y U tmbién es un bierto conexo. Además Integrles de y df 1 dy (x, y) = 2(x2 + y 2 ) 4x 2 = 2(x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 df 2 dx (x, y) = 2(x2 + y 2 ) + 4x 2 = 2(x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 )2 son igules. Sin embrgo F no es conservtivo: l condición de l proposición no es suficiente. Si clculmos l integrl de F lo lrgo de l circunferenci unidd, prmetrizd medinte l función α(t) = (cos t, sen t) en [0, 2π], tenemos C + F = = C + f 1 dx + f 2 dy = 2π 0 2 sen t( sen t) + ( 2 cos t) cos tdt = 2π 0 ( 2)dt = 4π 0

46 En el tercer cso, vmos ver cómo se puede encontrr un función potencil de F. Debe ser un función f de clse C 1 que verifique ls ecuciones Integrles de df dx (x, y, z) = f 1(x, y, z) = sen 2x sen 2y df dy (x, y, z) = f 2(x, y, z) = 2 cos 2y sen 2 x df dz (x, y, z) = f 3(x, y, z) = 2z sen(z 2 ) Observndo l últim ecución, que prece l más sencill, f tendrá que ser un primitiv (integrndo respecto de z) de l función 2z sen(z 2 ) f(x, y, z) = 2z sen(z 2 )dz = cos(z 2 ) + φ(x, y) donde φ(x, y) puede ser culquier función que no depend de z. Derivndo hor est expresión de f respecto de x, deberá verificrse l primer ecución, sí que df dφ (x, y, z) = (x, y) = sen 2x sen 2y dx dx

47 y por tnto, otr vez clculndo primitivs (hor respecto de x) φ(x, y) = sen 2x sen 2ydx = 1 cos 2x sen 2y + ψ(y) 2 donde ψ(y) puede ser culquier función que no depend de x (ni por supuesto de z) Tenemos entonces f(x, y, z) = cos(z 2 ) + 1 cos 2x sen 2y + ψ(y) 2 Derivndo hor respecto de y tenemos l segund ecución del sistem df 1 (x, y, z) = dy 2 cos 2x2 cos 2y + ψ (y) = 2 cos 2y sen 2 x despejndo ψ (y) ψ (y) = cos 2y(2 sen 2 x + cos 2x) = cos 2y(2 sen 2 x + cos 2 x sen 2 x) = cos 2y y por tnto ψ(y) = cos 2y = 1 sen 2y + K 2 donde K es un constnte culquier. Así f(x, y, z) = cos(z 2 ) 1 2 cos 2x sen 2y + 1 sen 2y + K = 2 = cos(z 2 ) + sen 2 x sen 2y + K

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