TEMA 1 Y SUS PROPIEDADES

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1 TEMA LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES

2 2 M. PÉREZ-LLANOS. Conjuntos Definamos por el momento un conjunto como una colección de elementos. Cuando S sea un conjunto y x sea un elemento de S, lo expresaremos x S, y por el contrario, cuando x no sea un elemento del conjunto S lo expresamos x S. En el caso en que podamos listar los elementos que compongan un determinado conjunto lo haremos entre llaves, de la siguiente forma, por ejemplo el conjunto de las vocales S = {a, e, i, o, u}. Existen conjuntos con un único elemento, el conjunto de las letras mudas, S = {h}, pero en este caso S = {h} = h (h es un elemento, y {h} es el conjunto formado por el elemento h). Sin embargo, para la mayoría de conjuntos con los cuales se suele trabajar en matemáticas no será posible listar todos sus elementos. La forma que tendremos de definir tales conjuntos es hacerlo en términos de alguna propiedad o propiedades que verifiquen los elementos de ese conjunto. Es decir, S = {x : P (x)}. Un ejemplo concreto. Sea A = {x R : 2 x < 2}, esto es, dentro del conjunto de números reales, P (x) es ser mayor o igual que 2 y P 2 (x) es ser menor estricto que 2. Decimos que B es un subconjunto de A si y solamente si para todo x B entonces x A y lo denotamos B A. Si existen elementos en A además de los que pertenecen a B escribimos B A y diremos que B es un subconjunto propio de A. Si B A y también A B, entonces A = B. Si B A es falso se denota B A y significa que x B tal que x A. Es importante distinguir los símbolos y, el primero hace referencia a elementos y el segundo a conjuntos y presenta la propiedad transitiva : B A y C B entonces C A. El primero no presenta la propiedad transitiva: Sean A = α, B = {α} y c = {{α}} (nada impide que el elemento de un conjunto sea otro conjunto). Tenemos que A B y B C. Pero sin embargo A C, porque de ser así tendríamos que α = {α} y esto ya dijimos que no era cierto. Consideremos el conjunto de los números reales, R, como la recta. Posteriormente construiremos en detalle este conjunto como límite de sucesiones de Cauchy de números racionales y mediante algunos axiomas o supuestos. Los subconjuntos de números reales se llaman intervalos. Por ejemplo el conjunto definido anteriormente, A = {x R : 2 x < 2} = [ 2, 2). Los intervalos pueden ser abiertos (a, b) = {x R : a < x < b}, cerrados [a, b] = {x R : a x b} (incluyendo ambos extremos), o incluir sólamente uno de los extremos, [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, en cuyo caso no son ni abiertos ni cerrados. Estos ejemplos

3 CAPÍTULO I 3 de intervalos eran finitos. También existen intervalos infinitos (, b) = {x R : x < b}, (, b] = {x R : x b}, (a, + ) = {x R : a < x},[a, + ) = {x R : a x}, (, ) = R. Nótese que el ± va siempre abierto, porque el infinito no es un número real y por tanto nunca está incluído. Un conjunto que no tenga elementos se denomina conjunto vacío y se representa S =. El vacío está incluido en cualquier conjunto, S para todo S. Si no fuera así, existiría x tal que x S, lo cual es imposible pues no tiene ningún elemento... Algunas de las operaciones básicas con conjuntos. Definición.. Definimos la unión de los conjuntos A y B como A B = {x : x A, ó x B}. Ejemplo: (, a] = (, a) {a}. Obviamente A A B, B A B, A = A. Si A, B tenemos que A = A B si y sólo si B A y análogamente, B = A B si y sólo si A B. Si A, B S entonces A B S. Definición.2. Definimos la intersección entre conjuntos como A B = {x : x A y x B}. Obviamente A B A y A B B, A =. Tenemos que A B = A si y sólo si A B. Si S A y también S B entonces S A B. Definición.3. Definimos el complemento de un conjunto A U como U \ A = {x : x U pero x A}. Cuando no haya ambigüedad sobre el conjunto total U también se puede denotar A c al complementario de A. Por ejemplo, (, 3) c = [3, + ) (se supone que el total es R). Se tiene que si A B = si y sólo si A B c (o viceversa B A, ya que (A c ) c = A). 2. El conjunto de los números reales A continuación construiremos el conjunto de los números reales. Esta cuestión ha sido abordada desde muy antiguo por grandes matemáticos, como Cantor, Cauchy, Dedekind, Weierstrass, etc. Existen multitud de formas de construir este conjunto. Algunas construcciones presentan un punto de vista algebraico, como por ejemplo la construcción axiomática, que consiste en asumir una serie de supuestos o axiomas. Uno de los más destacados es el Axioma de Completitud, el cual sólo se verifica si estamos en el cuerpo de los números reales, y no en cuerpos más pequeños como los racionales. Esta manera de construirlos

4 4 M. PÉREZ-LLANOS es la que se abordará en Teoría de Números, con lo cual en esta asignatura adoptaremos una construcción más analítica. Asumiremos la existencia de al menos dos números reales, y estableceremos una relación de orden total entre los mismos, que verifica las siguientes propiedades (que en álgebra denominan axiomas, porque estamos suponiendo que son ciertas). A continuación, dotamos al conjunto de los números reales las operaciones suma y producto, verificando una serie de propiedades. En concreto: (A) Existen al menos dos números reales. Relación de orden: (RO.) Si x e y son dos números reales entonces debe suceder que x < y, x = y ó y < x. < se conoce como la relación ser menor que. La relación de orden es total. Cuando x < y ó x = y escribiremos x y. (RO.2) Si x, y, z son reales tales que x < y e y < z, entonces x < z. Nota 2.. Notamos que el tercer elemento existe por el siguiente axioma. Propiedades respecto de la suma: (S.) (Conjunto cerrado para la suma). Si x e y son números reales, entonces existe un único número real x + y que se conoce como la suma de x e y. (S.2) (Conjunto asociativo para la suma) Se verifica que (x + y) + z = x + (y + z). (S.3) (Conjunto conmutativo para la suma) Se verifica que x + y = y + x. (S.4) Si x, y son reales entonces existe un número real z 0 tal que x + z 0 = y. Propiedades respecto al producto: (P.) (Conjunto cerrado para la multiplicación) Si x, y son reales existe un número real denotado por x y ó simplemente xy, que llamamos el producto de x e y. (P.2) (Conjunto asociativo para el producto) Se verifica que (xy)z = x(yz). (P.3) (Conjunto conmutativo para el producto) Se verifica que xy = yx. (P.4) Si x, y son números reales e y es tal que y + z z para cierto z, entonces existe un real u tal que yu = x.

5 Respecto de las dos operaciones se cumple: CAPÍTULO I 5 (D) (Conjunto que cumple la ley distributiva) Se verifica que x(y + z) = xy + xz. Dos axiomas más respecto a la relación de orden (RO.3) x < y implica que x + z < y + z. (RO.4) Si x < y y u < v entonces xu + yv > xv + yu. Veamos algunas propiedades, elementales pero importantes, que se deducen directamente de los axiomas anteriores. Teorema 2.. Cancelación: (a) Si x + z y + z entonces x y. (b) El número real verificando el axioma (S.4) es único. Prueba. (a) Si x > y, (R0.3) implica x + z > y + z. (b) Por (a) intercambiando x por y tenemos que si x + z = y + z entonces x = y, lo que prueba la unicidad de la suma. Teorema 2.2. Existe un número real z tal que x+z = x se verifica para cualquier número real x. Este número z es único. Prueba. Sea a R un real. Por el axioma (S.4), con x = y = a existe un número z tal que a + z = a. Probamos que entonces y + z = y para todo y R. Sabemos que (a + z) + y = a + y luego a + (z + y) = a + y. Cancelamos a y obtenemos que y = z + y para todo y R. Por último si z es un número tal que y + z = y para todo y R entonces y + z = y = y + z, que cancelando y nos dice que z = z y por lo tanto unicidad. Definición 2.. Elemento cero: El elemento z R que verifica x + z = x para todo x R se le conoce como cero, y es el neutro para la suma. Definición 2.2. Elemento inverso para la suma: Para cada x R el único elemento que verifica x + y = 0 se le conoce como el opuesto de x para la suma, x. Es obvio ver que ( x) = x. El inverso del elemento cero es él mismo, 0 = 0. Como el elemento cero existe, entonces el elemento opuesto x existe por el axioma (S.4). La unicidad se obtiene de (b) del Teorema 2.. Teorema 2.3. Si x R entonces x0 = 0. Prueba. Para cualquier y R xy + x0 = x(y + 0) = xy = xy + 0. Entonces, xy + x0 = xy + 0, y cancelando xy (o lo que es equivalente, sumando el opuesto xy) obtenemos el resultado. Definición 2.3. Dados x, y R, definimos x y como el único real c tal que x + c = y. O equivalentemente x y = x + ( y).

6 6 M. PÉREZ-LLANOS Definición 2.4. Un número real p > 0 se llama positivo si p > 0 y un real n se dice negativo si n < 0. Algunas propiedades inmediatas: (a): Si x > 0 e y 0 entonces x + y > 0. Nótese que si x > 0 entonces x + y > y para todo y R por (RO.3). Como suponemos y 0, por (b) Si x > y y z > 0 entonces xz > yz (consecuencia inmediata del axioma (RO.4)). (c) Si x > y y z < 0 entonces xz < yz (consecuencia inmediata del axioma (RO.4)). (d) Cancelación para el producto : Si z 0 y zx = zy entonces x = y. (Si por ejemplo, x > y, si z < 0 entonces xz < yz, contradicción. El resto de los casos es similar.) (e) El axioma (P.4) podría enunciarse : (P.4) Si x, y son números reales e y 0, entonces existe un real u tal que yu = x. Teorema 2.4. Elemento neutro para el producto: Existe un número real e 0 tal que ex = x para todo x R. Si x 0 este número es único. Prueba. Por el axioma () existe un real distinto de cero, a 0. Por el axioma (P.4) existe un real e tal que ea = a. Por el Teorema 2.3 e 0. Entonces veamos que ex = x para todo x R. Tenemos que para todo x R (ae)x = ax y así a(ex) = ax, que por la cancelación para el producto prueba que ex = x para todo x R. Si ẽ es tal que ẽx = x para todo x R, entonces ẽx = x = ex, lo cual da que e = ẽ nuevamente por la cancelación para el producto. Definición 2.5. El elemento neutro para el producto se le llama uno,. Teorema 2.5. Sean x, y R, xy = 0 si y sólo si, x = 0 o y = 0. Prueba. Si x = 0 o y = 0 entonces xy = 0 por el Teorema 2.3. En particular, esto prueba que si xy 0, entonces x 0 e y 0. Si xy = 0, supongamos que x, y 0 ambos. Entonces por las propiedades (b) y (c) anteriores tendríamos que el producto xy es estrictamente positivo o negativo, dependiendo de los signos de x e y, lo cual es una contradicción. Definición 2.6. Sean x, R, con y 0. Entonces sabemos que existe q R tal que yq = x. El número q se le conoce como x sobre y. Para cualquier x R con x 0 al número x = /x se le conoce como el inverso de x. Es inmediato probar las siguientes propiedades: i) y(x/y) = x, yy = = y(/y) = y/y, (y ) = y, para todo y 0, ii) xy = x/y = x(/y) para todo y 0,

7 iii) x/ = x, para todo x, 0/x = 0, para todo x 0. iv) Si x, y R tales que x < y entonces CAPÍTULO I 7 x < x + y < y. 2 En particular, entre dos números reales cualesquiera siempre existe un número real. así como las conocidas reglas para la operación con fracciones i) Si b, c 0, entonces ac bc = a b, ii) Si b, d 0, entonces iii) Si c 0, iv) Si b, d 0, entonces v) Si b, d 0, entonces si y sólo si ad = bc. vi) Si b 0, entonces a b c d = ac bd, a + b c a b + c d = a c + b c, ad + bc =, bd a b = c d, a b = a b = a b. Nota 2.2. Obsérvese que no podemos dividir por cero!!!! Hemos definido x/y con y 0 como q tal que qy = x. Si y = 0 con x 0 el número q no existe ya que qy = q0 = 0 x, luego x/0 no está definido, para x 0. Si tuviéramos que x = 0 también, entonces no hay unicidad sobre el número q ya que 0q = 0 para todo q real, luego 0/0 tampoco está bien definido. En cualquier caso, no se puede dividir por cero!!!!! Un conjunto K de números, junto con las operaciones suma y producto y la relación de orden total definida anteriormente, (K, +,, ), verificando los 4 axiomas anteriores se denomina cuerpo totalmente ordenado. Veremos que los números reales son un cuerpo totalmente ordenado. Pero antes de esto, veamos que existe un cuerpo totalmente ordenado en R, el de los números racionales.

8 8 M. PÉREZ-LLANOS 2.. El conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, N, está definido como {, 2, 3, 4, } donde 2 = +, 3 = 2 +, 4 = 3 +, etc. Escribamos este conjunto como lo hacíamos anteriormente, como el conjunto de números que verifican ciertas propiedades. Esto va a dar lugar a la definición de conjunto inductivo. Definición 2.7. Un conjunto I R se llama un conjunto inductivo de números reales si y sólo si, (i) I y (ii) si x I implica que x + I para cada x R. Obviamente el propio conjunto R es inductivo. Algunos ejemplos de conjuntos inductivos [, + ), {} [2, + ), {, 2, 3} [π, + ), etc. Sea I la clase de todos los conjuntos inductivos que se pueden definir con elementos de R. Consideremos los elementos de R que pertenecen a todos los conjuntos inductivos que hay en R, esto es Z + = I I I. Trivialmente Z + I para todo I I. Más aún, Z + se trata del menor conjunto inductivo definido en R. Notar que I para todo I I, luego Z +. Y si x Z + entonces x I para todo I I, y como son conjuntos inductivos tenemos que x + I para todo I I, luego x + Z +, así que Z + es inductivo y es el menor en el sentido de que está incluido en todo conjunto que sea inductivo, como señalamos anteriormente. De este hecho se desprende inmediatamente: Proposición 2.. Si I es un conjunto inductivo tal que I Z + entonces I = Z +. (Notar que la inclusión que falta nos la da la observación anterior). Proposición 2.2. Z + es el conjunto de números naturales N. (Notar que como I para todo I I entonces 2, 3, 4... I para todo I I, luego N Z +. La igualdad nos la da la Proposición anterior.) Ya estamos en condiciones de establecer el Principio de Inducción que será de una utilidad enorme en infinidad de razonamientos matemáticos. Teorema 2.6. Si P (n) es una propiedad que se verifica para ciertos números naturales que satisface (i) P () se cumple y (ii) Si P (n) es cierta entonces P (n + ) es cierta, tendremos que P (n) se cumple para todo n N. Prueba. Sea I = {n N tales que P (n) se cumple }. Trivialmente I N. Por hipótesis, como P () es cierta I. Si n I es porque P (n) es cierta, y por hipótesis P (n + ) también se cumple, lo que implica que n + I. Esto es, I es un conjunto inductivo, incluido en los naturales, luego I = N con lo que P (n) se satisface para todo n N. Algunos ejemplos de cómo aplicar el Principio de Inducción. Ejercicio 2.. Pruébese que para todo m natural con m >, m es un natural. Prueba. Por reducción al absurdo, supongamos que existe m N con m > tal que m N. Definimos I = {n N : n m} N. Por hipótesis, como m > tenemos

9 CAPÍTULO I 9 que I. Supongamos ahora que n I. Por I N n N y n m. Estamos asumiendo que m N con lo que entonces n m, o equivalentemente, n + m. Esto implica que n + I. Por el Principio de Inducción, tenemos que I = N. Pero m N y sin embargo m m con lo que m I. Hemos llegado a una contradicción, que prueba el resultado. Ejercicio 2.2. Pruébese que para todo m natural con m > n, m n es un natural. Indicación: Usar el ejercicio anterior y el Principio de Inducción sobre n. Ejercicio 2.3. Si n N no existe ningún natural m tal que n < m < n +. Prueba. Si existiera tal m se tendría que 0 < n m <. Por el Ejercicio 2.2 n m N, lo cual es una contradicción. Ejercicio 2.4. Si m y n son naturales tales que m > n. Entonces m n +. Prueba. Si m < n + tendríamos por hipótesis que n < m < n +, lo cual es una contradicción, como se probó en el ejercicio anterior. A continuación vamos a probar el Principio de Buena Ordenación para los números naturales. Teorema 2.7. Todo conjunto no vacío de naturales tiene un elemento mínimo. Prueba. Supongamos que existe un I N para el cual no existe un elemento mínimo. Definimos T = {n N : n < k se verifica para todo k I}. Si tuviéramos que I el conjunto I tendría elemento mínimo. Luego I. Esto implica que k > para todo k I y por tanto T. Supongamos que n T. Si n + T entonces n + sería el elemento mínimo para I luego n + T. Esto prueba que T = N, con lo que I =. Si existiera un elemento k 0 I N = T, luego k 0 < k 0, absurdo. Hemos probado que si un conjunto de números naturales no está minorado, es el vacío El conjunto de los números enteros. Observemos que, por ejemplo, las definiciones 2. y 2.2 carecen de sentido para los números naturales. Definimos el conjunto de los números enteros, que se denota por Z (del alemán Zahl, número), como Z = N {0} { n : n N} = Z + {0} Z = Z + 0 Z. Los números naturales también se conocen como enteros positivos, de ahí la notación anterior Z +. También se trata de un conjunto inductivo y también presenta un Principio de Inducción El conjunto de números racionales. Un número racional es aquel que puede ser representado como r = p, donde p, q Z, q q 0. Se denota por Q = Q Q + 0, (del inglés, quotient).

10 0 M. PÉREZ-LLANOS Nótese que n = n/ y n = n/, luego Z Q. Pero se trata de un subconjunto propio, Z Q, ya que por ejemplo /2 Z. Dado que /2 > 0 se tiene que /2 Z {0}. Pero tampoco /2 N ya que /2 <. [ ] p Se denomina función parte entera de un número racional, = max{n N : n p } q q [ ] si p 0. Obsérvese que p + > p. Cuando p < 0 la función parte entera se puede q q q q [ ] definir = max{n N : n p }. q p q Diremos que r = p es irreducible si mcd(p, q) =, donde mcd(p, q) denota el máximo q común divisor entre p y q. Los denominados números combinatorios son un ejemplo de racionales. Se definen como ( n n! = m) m!(n m)!, (n > m) y se lee n sobre m. El símbolo! indica número factorial y se define como n! = 2 3 (n ) n. Puede comprobarse fácilmente que el conjunto de 4 axiomas que dimos se verifica para los números racionales. En particular, entre dos números racionales existe siempre un número racional. Se puede probar que cualquier cuerpo ordenado contiene al cuerpo de números racionales. Como ejemplo de cuerpo no ordenado tenemos el cuerpo de los números complejos C, en el cual existe un elemento i tal que i 2 =. No se puede dotar de estructura de cuerpo ordenado, porque en un cuerpo ordenado el cuadrado de cualquier número es siempre positivo (demostrarlo). En particular y serían ambos positivos, y entonces sería simultáneamente positivo y negativo, lo cual es absurdo. Propiedad Arquimediana de los números racionales. Para cualquier p q Q existe un número natural n tal que n > p. q Prueba. Asumimos que p > 0 ya que si no el resultado es trivial. Supongamos que q [ ] [ ] existe p 0 p q 0 n para todo n N. Pero 0 p q 0 + N y se tiene que 0 q 0 + > p 0 q 0, lo cual es absurdo. Nota 2.3. Como consecuencia inmediata de la propiedad Arquimediana se tiene que dados dos racionales positivos cualesquiera, r, r 2 Q, r, r 2 > 0, existe n N tal que nr > r 2.

11 CAPÍTULO I Nota 2.4. Como consecuencia inmediata de la propiedad Arquimediana tenemos: i) Dados dos racionales positivos cualesquiera, r, r 2 Q, r, r 2 > 0, existe n N tal que nr > r 2 ii) Dado r Q, con r > 0 existe n N tal que r > n. En conclusión, (Q, +, ) es un cuerpo totalmente ordenado que satisface la propiedad Arquimediana Insuficiencia de los números racionales. Ya tenemos construido un cuerpo con una relación de orden total, que además verifica que entre dos racionales cualesquiera siempre existe otro racional. Sin embargo aún nos faltan multitud de números para cubrir toda la recta. El siguiente ejemplo nos lo demuestra. Sea 2. Supongamos que existe un número racional, sin pérdida de generalidad irreducible, tal que p = 2. Entonces p 2 = 2q 2, así que p debe ser par, es decir p = 2q. q Este hecho se prueba demostrando que el cuadrado de números impares es impar, ya que (2k + ) 2 = 4K 2 + 2k +, que es claramente impar. Pero entonces p 2 = 4(q ) 2 = 2q 2, de donde se deduce que q 2 = 2(q ) 2 y por lo mismo de antes, q es par. Pero p era irreducible, q contradicción. Este es un ejemplo de número que no pertenece a los racionales. números se llama irracionales y se denota por R \ Q. Este conjunto de 2.5. Sucesiones de números racionales. Aunque 2 R \ Q veamos que existe una sucesión de números racionales que se aproxima tanto como queramos a 2, o en general a la raíz cuadrada de cualquier número racional. Se llama algoritmo babilónico. Definición 2.8. Una sucesión de números racionales es una aplicación f : N Q, que a cada elemento n N le hace corresponder un elemento a n Q. Se denotan {a n } n N, y a n se denomina término general de la sucesión. Queremos aproximar el valor de S. Llamemos x 0 nuestro primer candidato, que tendrá un error e de aproximación, es decir S = (x 0 + e) 2 = x x 0 e + e 2. Entonces e = S x2 0, porque al ser un error, estimamos que e x 0. Mejoremos nuestra S x2 0 2x 0 +e 2x 0 estimación anterior x = x 0 + e = x 0 + S x2 0 2x 0 = S + x2 0 2x 0 = 2 ( ) S + x 0. x 0 Repetimos el procedimiento hasta que alcancemos la precisión deseada, x 0 S ( ) x n = S 2 x n + x n.

12 2 M. PÉREZ-LLANOS La sucesión {x n } es una sucesión dada de manera recurrente (el término n-ésimo viene en función de los términos anteriores...), pero dependerá del valor que tomemos como inicial. Se podrá demostrar que, eligiendo el primer término de forma adecuada, es una sucesión cuyos términos se aproximan al valor S. Limitémonos por ahora a observar los primeros términos de esta sucesión cómo evolucionan cuando tomamos x 0 =.2 = 6 5 y tratamos de hallar 2. x 0 =.2, x = ( ) 2 + x 0 = , 2 x 0 x 2 = ( ) 2 + x = , 2 x x 3 = ( ) 2 + x 2 = , 2 x 2 con las primeras ocho cifras decimales exactas, pues Con los números racionales no cubrimos toda la recta, pero veremos que con los racionales y el límite de sucesiones de racionales sí la cubrimos. Definición 2.9. Una sucesión de números racionales {a n }, se dice que tiene por límite l Q si para cada ε > 0 existe n 0 tal que a n l < ε para todo n n 0. Este hecho se denota lim n a n = l. El índice n 0 dependerá del ε. Teorema 2.8. Si una sucesión tiene límite, este es único. Prueba. Suponiendo que l y l 2 son dos límites para {a n }, entonces existen n, n 2 N tales que a n l < ε para todo n n y a n l 2 < ε para todo n n 2. Sea n 0 = max{n, n 2 }. Para todo n n 0 tenemos que l l 2 a n l + a n l 2 2ε. Como esto se verifica para todo ε > 0, llegamos a que l = l 2, probando así la unicidad del límite. Teorema 2.9. Sea {a n } l, l Q. Entonces existe K Q tal que a n K para todo n N. Se dice que la sucesión está acotada. Prueba. Por la definición de límite, tomando un ε concreto, por ejemplo, para ε =, existirá n 0 N tal que para todo n n 0 se tiene que a n l <. Así que a n a n l + l + l. Tómese k = max{ a 0, a n0, + l }. Teorema 2.0. Si {a n } a y {b n } b, se cumple entonces que {a n + b n } a + b y {a n b n } a b.

13 Prueba. Para ε > 0 existen n 0, n tales que CAPÍTULO I 3 a n a < ε/2 para todo n n 0, b n b < ε/2 para todo n n. Tomando n = max{n 0, n } tenemos a n + b n (a + b) a n a + b n b < ε. Por el Teorema anterior sabemos que existe K Q tal que a n K. Por otro lado, a n b n ab a n b n a n b + a n b ab = a n b n b + b a n a. De la definición de límite tenemos que existirá n 0 suficientemente grande tal que para todo n n 0 se verifica a n a < ε 2 b b n b < ε 2K, con lo que a n b n ab ε, como queríamos demostrar. Teorema 2.. Si una sucesión {a n } tiene límite, entonces para cada ε > 0 existe un n 0 tal que para todo n, m n 0 se verifica que a n a m < ε. Prueba. Si n, m n 0, por la definición de límite a n a m = a n l + l a m a n l + a m l < ε/2 + ε/2. La sucesión { ( ) n n+2 n+} no tiene límite, ya que la diferencia entre un término par y un impar siempre es mayor que uno. Definición 2.0. Diremos que una sucesión {a n } es de Cauchy si para cada ε > 0 existe un n 0 tal que para todo n, m n 0 se verifica que a n a m < ε. El Teorema anterior dice pues que toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Además es bastante más sencillo probar que una sucesión es de Cauchy, ya que no es necesario conocer su límite. Por esta razón sería deseable que ser sucesión de Cauchy implicara ser convergente. Sin embargo este hecho no es verdad en los racionales: vamos a ver un ejemplo de sucesión de Cauchy de números racionales, cuyo límite no puede ser un número racional. Sea la sucesión cuyo término general viene dado por a n = Para! 2! n! m > n tenemos a n a m = (n + )! + (n + 2)! + + m! [ ] = + (n + )! (n + 2) + + m(m ) (n + 2) [ + (n + )! 2 + ] < 2 2 m n (n + )!. Esto prueba que a n a m se hace pequeño cuando m, n grandes. Es una sucesión de Cauchy y sin embargo vamos a ver que el límite no puede ser racional. Para ello demostramos el siguiente lema.

14 4 M. PÉREZ-LLANOS Lema 2.. Sea {a n } a. Si c a n d para todo n n 0 entonces c a d. Prueba. Si fuese a > d elegimos ε = a d para el cual debe existir un índice n tal a n a < a d para todo n n. Tomado n max{n 0, n } se tiene que a n = a (a a n ) a a a n > a (a d) = d, absurdo. La demostración de c a se concluye de forma análoga. Regresando al ejemplo de la sucesión a n = , suponiendo que tuviera! 2! n! por límite cierto p Q obtendríamos q 0 < p q a n 2 (n + )!. Elegimos n > q y multiplicamos la desigualdad anterior por n! obtenemos 0 < n! p q n!a n 2 n +. Pero al haber tomado n > q ambos n! p q, n!a n son naturales, lo que es una contradicción porque 2 n+ < Axioma de Completitud de los números reales. Definición 2.. Definimos el conjunto de los números reales como un conjunto que respecto de las operaciones suma y producto es un cuerpo ordenado (mediante la relación ), que verifica la Propiedad Arquimediana y en el que toda sucesión de Cauchy es convergente. Esto es, un cuerpo completo por sucesiones. Nota 2.5. El supuesto por el que toda sucesión de Cauchy es convergente en los reales se denomina Axioma de Completitud. Veamos algunas consecuencias importantes de esta definición y en particular del Axioma de Completitud. Para ello debemos de introducir las siguientes nociones de acotación de conjuntos. Definición 2.2. Un conjunto S R se dice acotado inferiormente si existe un número real l tal que si x S se tiene que x l. A l se le conoce como cota inferior de S. Definición 2.3. Un conjunto S R se dice acotado superiormente si existe un número real u tal que si x S se tiene que x u. A u se le conoce como cota superior de S. Definición 2.4. Un conjunto S R se dice acotado si existen números reales l, u tales que si x S se tiene que l x u. Por ejemplo, el intervalo (, 3) es un intervalo acotado superiormente y no es acotado inferiormente. El intervalo [ 2, ) está acotado superior e inferiormente. 4 es una cota inferior de [ 2, ) porque para todo x [ 2, ) tenemos que x 4. Aunque también π, 3, 2 etc son cotas inferiores para dicho intervalo. El número de cotas inferiores o superiores de un conjunto de números reales puede ser infinito. Sin embargo, de todas las cotas inferiores para [ 2, ) 2 es la mayor de ellas, y además pertenece al conjunto. Se

15 CAPÍTULO I 5 denominará mínimo. Sin embargo, la menor de las cotas superiores para [ 2, ) es (ya que para cualquier otro u < existirían reales entre u y pertenecientes a [ 2, ) por encima de u, absurdo), que no pertenece al conjunto. Definición 2.5. Denominamos ínfimo de un conjunto acotado inferiormente a la mayor de las cotas superiores del conjunto. Cuando además el ínfimo pertenece al conjunto, lo denominamos mínimo. Definición 2.6. Denominamos supremo de un conjunto acotado superiormente a la menor de las cotas inferiores del conjunto. Cuando además el supremo pertenece al conjunto, lo denominamos máximo. Nota 2.6. Como consecuencia inmediata, de existir, el supremo/máximo y el ínfimo/mínimo de un conjunto de números reales, es único. Nota 2.7. Si existe M=máximo de cierto conjunto S, entonces M = sup S. El recíproco no es cierto. Análogamente, si existe m=mínimo de cierto conjunto S, entonces m = inf S. El recíproco no es cierto. Teorema 2.2. Sea λ = inf S, entonces para todo ε > 0 existe un elemento x S tal que x λ + ε. Prueba. Supongamos que existe un ε 0 > 0, tal que para todo x S tenemos que x > λ + ε 0. Entonces λ + ε 0 se trata de una cota inferior para S. Pero λ + ε 0 > λ = inf S, que es la mayor de las cotas inferiores, absurdo. Teorema 2.3. Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. mínimo). Lo demostramos en dos pasos: Teorema 2.4. Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene supremo. Prueba. Sea S R un conjunto acotado superiormente, con k 0 una cota superior de S y s 0 S. Consideremos el intervalo [s 0, k 0 ] = {x R : s 0 x k 0 } := I 0. Lo dividimos en dos subintervalos de igual longitud: [ s 0, s ] [ ] 0 + k 0 s0 + k 0 y, k Designamos por I = [ ] s 0 +k 0 [ ], k 2 0 si éste contiene elementos de S. Caso contrario, I = s0, s 0+k 0 2. Repetimos este proceso de dividir los intervalos en el punto medio, siempre quedándonos con el más hacia la derecha posible, siempre que tenga elementos de S. Conseguimos así una sucesión de intervalos encajados [s 0, k 0 ] [c, k ] [c 2, k 2 ] [c n, k n ]

16 6 M. PÉREZ-LLANOS donde i) para todo k n es una cota superior de S; ii) en todo intervalo I n hay elementos de S; iii) k n c n = k 0 s 0 2 n. Tomando s n I n S, la sucesión {s n } es de Cauchy: Si m < n, ambos suficientemente grandes, tenemos s m s n k m c m = k 0 s 0 2 m < ε, esta última desigualdad por la Propiedad Arquimediana, véase (ii) de la Nota 2.4. Por el Axioma de Completitud, {s n } tiene límite l R. Además como I n I n+ I n+m tendremos que c n s n+m k n. Tomando m por el Lema 2. sabemos que c n l k n. Veamos primero que l es una cota superior de S. Supongamos que existe s S tal que s > l. Como k n l k n c n k 0 s 0 2 n para n suficientemente grande encontramos un k n tal que l k n < s. Pero k n son cotas superiores para S, lo cual es absurdo. Terminamos la prueba demostrando que l se trata del supremo para S, viendo que es la menor de las cotas superiores. Supongamos que existe l < l que es cota superior. Por el razonamiento anterior, existirá n suficientemente grande tal que l < c n l. Pero como por costrucción cada intervalo [c n, k n ] contiene elementos de S tenemos elementos de S mayores que l, con lo que no puede haber una cota superior menor que l. Teorema 2.5. Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado inferiormente tiene ínfimo. Prueba. Sea S tal conjunto y sea B el conjunto de cotas inferiores. Por hipótesis S y B. En particular existe x 0 S y será tal que x 0 b para todo b B. Es decir, x 0 es una cota superior para B, luego B es un conjunto de números reales acotado superiormente. Por el teorema anterior existe un número real λ = sup B. Vamos a comprobar que este supremo será el ínfimo para el conjunto S que estamos buscando. Supongamos que existe un x S tal que x < λ. Esto implica que x no es una cota superior para B, luego existirá un b B tal que b > x. Esto es imposible pues b B y x S, luego x b. Hemos probado que x λ para todo x S, con lo que λ es una cota inferior de S. Para ver que de hecho es el ínfimo para S, debemos probar que se trata de la mayor de las cotas inferiores. Sea l otra cota inferior para S. Entonces l B. Pero entonces l λ = sup B. Esto prueba que λ = inf S. Nota 2.8. Dar una demostración alternativa usando el ejercicio 9 de la hoja de problemas y el Teorema 2.4. Proposición 2.3. Sea {a n } una sucesión monótona creciente (resp. decreciente) acotada superiormente (resp. inferiormente). Entonces lim a n = l R. n Prueba.Realizamos la prueba en el caso creciente, ya que el caso decreciente se puede argumentar de manera análoga. Por un lado tenemos que a n+ a n para todo n. Como

17 CAPÍTULO I 7 está acotada superiormente, por el resultado anterior sabemos que existe S = sup({a n }). Por ser supremo verifica que S a n para todo n y además ε > 0 existe un a n0 {a n } tal que S ε a n0 a n S, para n n 0 usando el crecimiento de la sucesión. Hemos demostrado que lim a n = S = sup({a n }). n Proposición 2.4. Toda sucesión de Cauchy está acotada. Prueba. Si {a n } es de Cauchy, para ε = existe n 0 N tal que para todo n n 0 tenemos a n a n a n0 + + a n0 + + a n Tres definiciones de R. La recta real se puede definir como el conjunto de números que es un cuerpo totalmente ordenado para las operaciones +, y la relación de orden que además: () Que es completo para sucesiones de Cauchy. O bien, (2) en el que todo conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. ínfimo). O bien, (3) en el que toda sucesión monótona creciente (resp. decreciente) acotada superiormente (resp. inferiormente) tiene límite en R. Estas tres definiciones serían equivalentes Densidad de Q y de R \ Q en R. Teorema 2.6. Entre dos números reales existe siempre un número racional y uno irracional. Prueba. Sin pérdida de generalidad, nos limitamos al caso de reales x, y > 0, ya que los otros casos se podrían reducir fácilmente a este. Si 0 < x < y por la propiedad arquimediana de los naturales existe n N tal que < y x. Tomamos ahora m N n tal que m nx < m, (nx R y dado cualquier real se encuentra siempre entre dos naturales, por la propiedad arquimediana y la relación de orden). Entonces, m n n x < m n, luego x < m n x + n < y. Falta demostrar la existencia de un número irracional entre x e y. Para ello tomamos un irracional positivo s R \ Q y consideramos el siguiente par de números reales x y y. s s Por el caso anterior sabemos que existe un racional r Q tal que x < r < y. Esto implica s s que x < rs < y luego rs es el número irracional entre x e y que estábamos buscando.

18 8 M. PÉREZ-LLANOS 2.9. El número de Euler. Se conoce por número de Euler, e al límite de la sucesión que estudiemos anteriormente a n = +! + 2! + + n!. (2.) Ya vimos que era una sucesión de Cauchy, luego es convergente en los reales. Ya demostramos también que su límite no podía ser racional, e Q. En realidad, hemos aproximado el número e por una serie, esto es, una sucesión cuyo término general es una sumatoria, para la cual el número de sumandos crece con n. Estudiaremos este tipo especial de sucesiones más adelante. Veamos que la siguiente sucesión también aproxima al número e: {b n } = {( + ) n }. (2.2) n Para ello necesitaremos los siguientes resultados, que van a ser de utilidad en adelante para calcular otros límites. Lema 2.2. Sean las sucesiones {a n } a y {b n } b. Si a n b n para todo n n 0 entonces a b. Prueba.Supongamos que a > b, y denotemos 2δ = a b. Como {a n } a para todo n n a n b > δ. Por otro lado, observamos que entonces b n b para n n, ya que de otro modo tendrámos que b n < a n, lo cual no es posible. Como también {b n } b existirá n 2 N tal que b n b < δ 2, para n n 2. Tomemos n 3 = max{n 0, n, n 2 }, para n n 3 se verifica b n a n = b n b + b a n < δ 2 δ < 0, lo cual es una contradicción. Nota 2.9. Aunque tuviéramos a n < b n para todo n n 0 sólo podemos afirmar a b. Es decir, tomando límites perdemos las desigualdades estrictas. Contraejemplo a n = 0 y b n = n, o bien a n = n y b n = n. Lema 2.3. Sandwich: Sean {a n }, {b n }, {c n } tres sucesiones verificando que a n b n c n para n n 0. Entonces, si {a n } l y {c n } l la sucesión {b n } también es convergente y tiene por límite l. Prueba. Por la convergencia, tenemos que para todo ε > 0 existe n 0 tal que a n, c n (l ε, l + ε) para todo n n 0. Pero entonces también, para todo ε > 0 existe n 0 tal que b n (l ε, l + ε) para todo n n 0, lo que prueba la convergencia. Ya estamos en condiciones de probar que las sucesiones (2.) y (2.2) tienen el mismo límite.

19 CAPÍTULO I 9 b n = n k=0 () () () () () n n n n n k n = + k n + 2 n n n n n = + n n + n! 2!(n 2)! n + n! 2 3!(n 3)! n + + n! 3 n! = + + n(n ) + n(n )(n 2) 2! n 2 3! = + + 2! ( n) + 3! ( n n n + + n(n ) n 3 n! n n ) ( ) 2 n + + ( ) ( n! n 2 n ) ( ) n n +! + 2! + + n! = a n ( ) k n En particular tenemos que la sucesión {b n } está acotada superiormente. Demostremos que la sucesión {b n } es creciente. Para ello veamos que b n+ b n >. En efecto, ( b n+ = + b n n + k=0 ) n+ ( ) n ( n = + ) n+ ( ) n. n + n + n + Multiplicando y dividiendo por ( n+) y utilizando (a + b)(a b) = a 2 b 2 deducimos que b n+ b n = ( (n+) 2 ) n+ n+ > n+ (n+) 2 n+ En el penúltimo paso hemos usado la desigualdad de Bernouilli (Ejercicio 6, Hoja para x = > y en el caso n + en vez de en el caso n). (n+) 2 Creciente y acotada superiormente, tenemos que {b n } l. Además como b n a n sabemos que l e. Nos falta probar la desigualdad opuesta. Para ello únicamente observamos que si n > m se tiene b n + + ( 2! n) + ( ) ( ) 3! n 2 n + + ( ) ( ) ( ) m! n 2 n m n. Dejando m fijo y tomando n en la expresión anterior, l +! + 2! + + m! = a m. Si a continuacón tomamos límite cuando m se obtiene l e quedando probado que {( lim {b n} = lim + ) n } = e. n n n =.

20 20 M. PÉREZ-LLANOS 2.0. La función exponencial. Recapitulando, ya vimos que era posible aproximar la raíz cuadrada de un número a > 0, a, por sucesiones de racionales mediante el algoritmo babilónico. En general, existen algoritmos con los que se puede construir sucesiones de números racionales aproximando la raíz k-ésima de un número, a k. Mediante la operación producto (véase que el producto de sucesiones de Cauchy es una sucesión de Cauchy, Teorema 3. más adelante), podemos aproximar a p q, para cualquier p q Q (si es negativo es mediante el inverso para el producto). Definición 2.7. Sea a > 0. Para x R definimos la función { } a x = lim a pn pn qn, donde x. n Para ver que esta definición es correcta, necesitamos los siguientes resultados. Lema 2.4. Sea a > 0, q n {a n }, cuando n Prueba. Consideramos primero el caso a >. Queremos ver si ε > 0 existe n 0 N tal que a n = (a n ) < ε para n n 0. Eso sucede si y sólo si, a < (ε + ) n para n n 0. Pero observemos que (ε + ) n = n k=0 ( n k) ε k = + nε + n k=2 ( n k) ε k > + nε. Luego, dado ε > 0 es suficiente encontrar un natural tal que a < (+nε). Podemos tomar n 0 = [ ] a ve + y esto completa la prueba en el caso a >. Para el caso 0 < a <, observamos que donde se ha usado que b = a a n = a n = a n = ( a) n = b n > y el caso anterior. =, Lema 2.5. Sea {r n } una sucesión convergente de números racionales. Entonces, para a > 0 la sucesión {a rn } también es convergente. Prueba. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que a { >, ya} que de otro modo podemos reducirlo como anteriormente tomando la sucesión. Veo que es una ( a) rn sucesión de Cauchy: Sea r n > r m, entonces a rn a rm = a rm a rn rm. Como {r n } es convergente está acotada r n C luego a rn a C = C también está acotada. Además {r n } es de Cauchy, luego para todo k N existe n 0 N tal que r n r m < para m, n n k 0.

21 En consecuencia, CAPÍTULO I 2 a rn a rm K a rn rm C a k < ε, por el resultado anterior. Como {a rn } es de Cauchy entonces es convergente. La definición 2.7 es correcta en el sentido de que si {r n } y {r n} son dos sucesiones convergiendo a x entonces lim n arn = lim a r n. n En efecto, 0 a rn a r n = a r n a r n r n C a k < ε. Propiedades: () a x a y = a x+y. (2) (a b) x = a x b x. (3) (a x ) y = a xy. (4) Si a > (resp. si a < ) y tenemos que x < y entonces a x < a y (resp. a x > a y ). La exponencial de base mayor que uno es creciente y con base menos que uno decreciente. (5) Si a < b y x > 0 (resp. x < 0) entonces a x < b x (resp. a x > b x ). (6) Si a > para cada positivo K R existe x R suficientemente grande tal que a x > K. Si a < para cada ε > 0 existe x R suficientemente grande tal que a x < ε. 3. Apéndice al capítulo primero A partir de aquí no es necesario para este curso. En realidad definir los números reales como límites de sucesiones de números racionales no es una definición correcta del todo. Tengamos en cuenta que pueden existir muchas sucesiones de Cauchy distintas de número racionales que convergen al mismo número real, con lo que se trabajará con clases de equivalencia y la recta real será un conjunto cociente. Teorema 3.. La suma y el producto de dos sucesiones de Cauchy es también una sucesión de Cauchy. Prueba. Para ε > 0 existen n 0, n tales que a n a m < ε/2 para todo n, m n 0, b n b m < ε/2 para todo n, m n. Tomando n 2 = max{n 0, n } tenemos Para el producto razonamos así: a n + b n (a m + b m ) a n a m + b n b m < ε. a n b n a m b m = a n b n a n b m + a n b m a m b m a n b n b m + a n a m b m k ε/2 + k ε/2 ε.

22 22 M. PÉREZ-LLANOS Hemos utilizado la Proposición 2.4, por la cual sabemos que a n, b m están acotados. Las propiedades de las operaciones suma y producto como la conmutativa, asociativa, distributiva se verifican como consecuencia de que las mismas propiedades son ciertas en Q. El elemento neutro para la suma es la sucesión constantemente cero y para el producto la sucesión constantemente igual a uno. Y el elemento opuesto para la suma de {a n } será { an}. De esta forma el conjunto de sucesiones de Cauchy, A, tiene estructura de anillo con elemento unidad. Sin embargo, el conjunto de sucesiones de Cauchy no es un cuerpo. La sucesión { n } es de Cauchy y no tiene inverso para el producto, pues {n} no es una sucesión de Cauchy. En este punto surge la necesidad de considerar la siguiente partición de A. Definición 3.. Decimos que una sucesión de Cauchy es positiva si a partir de cierto n en adelante a n > δ > 0, para cierto δ > 0 fijo. Decimos que una sucesión de Cauchy es nula si {a n } 0. Decimos que una sucesión de Cauchy es negativa si a partir de cierto n en adelante a n < δ < 0, para cierto δ > 0 fijo. Se puede demostrar que A = N P Y, donde N, P, Y son el conjunto de sucesiones negativas, positivas y nulas respectivamente, se trata de una partición del anillo A (los conjuntos anteriores tienen intersección nula, dicho de otro modo). Proposición 3.. El conjunto Y de sucesiones de Cauchy nulas es un ideal del anillo A. Prueba. El producto de un elemento de A por uno de Y queda en Y. En efecto, si {a n } Y y {b n } A, por ser de Cauchy b n < K, para todo n. Entonces, a n b n K a n Kε, que tiende a cero. La suma de dos sucesiones nulas, {a n }, {b n } Y es trivialmente otra sucesión nula. Observemos que para identificar un elemento α R con un límite de sucesiones de Cauchy, necesitamos identificar α con el conjunto de sucesiones de Cauchy que tengan por límite α. Este conjunto se llamará clase de equivalencia y la relación de equivalencia será la que definimos a continuación. Definición 3.2. Definimos la siguiente relación de equivalencia en A: {a n } {b n } si y sólo si {a n b n } Y. Las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica se demuestran fácilmente. Designamos por {ã n } al elemento del conjunto cociente formado por todas las sucesiones equivalentes a {a n }.

23 Definición 3.3. La relación de orden será: CAPÍTULO I 23 {ã n } { b n } si y sólo si la sucesión {a n b n } es positiva o nula. Para admitir la definición anterior como válida debemos demostrar que no depende del representante de la clase de equivalencia. Est es que {a n b n } es nula si y sólo si {a n b n} es positiva para {a n } {a n} y {b n } {b n}. Como {a n a n} y {b n b n} son nulas por definición de pertenecer a la misma clase de equivalencia, es suficiente probar que si {α n } es positiva y {β n } es nula, la sucesión {α n + β n } es positiva. (porque {a n b n } = {(a n a n) + (a n b n) + (b n b n )}). Pero este echo es obvio, pues para n 0 grande α n > δ para n n 0 (por ser positiva) y β n < δ/2 (por tender a cero). Entonces α n β n > δ/2. El conjunto de números reales será el conjunto cociente, R = A/Y con las operaciones de suma y producto inducidas de A, que le dan estructura de anillo conmutativo con elemento unidad, con la relación de orden anterior. Veamos que es un cuerpo. Teorema 3.2. El anillo R = A/Y tiene estructura de cuerpo ordenado, completo por sucesiones de Cauchy y verifica la Propiedad Arquimediana. Prueba. Probemos que una clase de equivalencia {ã n } = { 0}, tiene un inverso para el producto. ({ 0} representa la clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy que tienden a cero). Como {a n } es positiva o negativa, existe un n 0 tal que a n 0 para todo n n 0. Definimos la sucesión {b n } como b n = para todo n n 0, y b n = a n para n n 0. La sucesión {b n } es de Cauchy ya que b n = b m b n b m b n. b n b m δ 2 b m La clase { c n } con c n = b n es el inverso para el producto de {ã n }. Trivialmente se verifica la propiedad Arquimediana, pues toda sucesión de Cauchy es acotada, luego a n K para todo n. Departamento de Matemáticas, Universidad Autonoma de Madrid, Campus de Cantoblanco, 28049, Madrid, Spain. address: mayte.perez@uam.es