Introducción a los números reales

Transcripción

1 Grado en Matemáticas Curso

2 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 4

3 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente.

4 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas.

5 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas. 3 Comprender y utilizar los conceptos de supremo e ínfimo.

6 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas. 3 Comprender y utilizar los conceptos de supremo e ínfimo. 4 Conocer el principio de inducción y saber utilizarlo.

7 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas. 3 Comprender y utilizar los conceptos de supremo e ínfimo. 4 Conocer el principio de inducción y saber utilizarlo. 5 Conocer la unicidad de R

8 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas. 3 Comprender y utilizar los conceptos de supremo e ínfimo. 4 Conocer el principio de inducción y saber utilizarlo. 5 Conocer la unicidad de R 6 Conocer la representación geométrica de los números reales.

9 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas. 3 Comprender y utilizar los conceptos de supremo e ínfimo. 4 Conocer el principio de inducción y saber utilizarlo. 5 Conocer la unicidad de R 6 Conocer la representación geométrica de los números reales. 7 Definir (y entender) los números complejos.

10 Objetivos Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente. 2 Saber deducir propiedades de os números reales a partir de los axiomas. 3 Comprender y utilizar los conceptos de supremo e ínfimo. 4 Conocer el principio de inducción y saber utilizarlo. 5 Conocer la unicidad de R 6 Conocer la representación geométrica de los números reales. 7 Definir (y entender) los números complejos. 8 Conocer la representación geométrica de los números complejos.

11 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos

12 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,...

13 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4...

14 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0.

15 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0. Reales representados con R son los más complicados y hay varias formas de definirlos se corresponden con los «decimales infinitos» 1, , 3, , -1,

16 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0. Reales representados con R son los más complicados y hay varias formas de definirlos se corresponden con los «decimales infinitos» 1, , 3, , -1, Complejos representados con C son de la forma a + bi donde a, b R y la i es un símbolo

17 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Los nombres de los conjuntos numéricos Naturales representados con N 0,1,2,3,4,... Enteros representados con Z 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4... Racionales representados con Q los cocientes p/q donde p, q Z y q 0. Reales representados con R son los más complicados y hay varias formas de definirlos se corresponden con los «decimales infinitos» 1, , 3, , -1, Complejos representados con C son de la forma a + bi donde a, b R y la i es un símbolo En la lista anterior cada conjunto incluye a los que le preceden (eventualmente, mediante identificaciones adecuadas de los elementos)

18 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto.

19 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos

20 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible.

21 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible.

22 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b.

23 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b. El producto siempre es posible.

24 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b. El producto siempre es posible. En Z el cociente puede hacerse ciertas parejas. En Q, R y C siempre es posible.

25 Las cuatro operaciones Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas En cada conjuntos pueden realizarse las cuatro operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. Son operaciones binarias: a partir de una pareja de elementos del conjunto generan un nuevo elemento en el conjunto. No todas pueden realizarse para cualquier pareja de elementos La suma siempre es posible. En N la resta no puede hacerse para todas las parejas. En Z, Q, R y C siempre es posible. La resta es la «operación inversa» de la suma: a + x = b. El producto siempre es posible. En Z el cociente puede hacerse ciertas parejas. En Q, R y C siempre es posible. Cociente es la «operación inversa» del producto: ax = b.

26 Propiedades de suma y producto Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas Conmutativa a + b = b + a, Asociativa (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) a b = b a Distributiva (a + b) c = a c + b c Neutros suma: el 0 pues a + 0 = a, producto: el 1 pues a 1 = a Simétricos suma: simétrico de a es a pues a + ( a) = 0, producto: simétrico de a 0 es 1/a pues a (1/a) = 1 En adelante escribiremos ab en lugar de a b. En C se opera formalmente como en R y polinomios arbitrarios en el símbolo i con el convenio de que i 2 = 1

27 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo.

28 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo. Las matemáticas son deductivas: parten de unos axiomas precisos y construyen sobre ellos, respetando ciertas leyes o reglas de juego, conocimiento intemporal. El punto de partida puede inspirarse en la realidad física o mental, pero a partir de ahí inicia el vuelo libremente, despojándose de lo accesorio, creando nuevos conocimientos a través de los «teoremas».

29 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo. Las matemáticas son deductivas: parten de unos axiomas precisos y construyen sobre ellos, respetando ciertas leyes o reglas de juego, conocimiento intemporal. El punto de partida puede inspirarse en la realidad física o mental, pero a partir de ahí inicia el vuelo libremente, despojándose de lo accesorio, creando nuevos conocimientos a través de los «teoremas». Los axiomas de partida pueden ser diferentes. Y consecuentemente diferentes pueden ser también los teoremas de ellos deducidos. Pero incluso se puede tomar como axioma lo que en otras construcciones es un teorema.

30 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración En las ciencias inductivas la teoría se construye a partir de la sistematización de fenómenos aislados, buscando leyes que expliquen los fenómenos que se analizan y que permitan hacer predicciones sobre esos mismos fenómenos. Sus conclusiones pueden variar con el tiempo. Las matemáticas son deductivas: parten de unos axiomas precisos y construyen sobre ellos, respetando ciertas leyes o reglas de juego, conocimiento intemporal. El punto de partida puede inspirarse en la realidad física o mental, pero a partir de ahí inicia el vuelo libremente, despojándose de lo accesorio, creando nuevos conocimientos a través de los «teoremas». Los axiomas de partida pueden ser diferentes. Y consecuentemente diferentes pueden ser también los teoremas de ellos deducidos. Pero incluso se puede tomar como axioma lo que en otras construcciones es un teorema. Axiomas de Teoría de Conjuntos, ZF.

31 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible.

32 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible.

33 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento no se basa en la experiencia, que puede ser engañosa. Los números de la forma n 2 n + 17 al variar n N son primos. Se basa en los «teoremas» que crean conocimiento seguro, no discutible. Si n es par entonces n 2 también es par

34 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas.

35 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático.

36 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático. En un teorema hay tres elementos Hipótesis Es un enunciado que se asume como cierto

37 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático. En un teorema hay tres elementos Hipótesis Es un enunciado que se asume como cierto Tesis Es un enunciado cuya certeza se desconoce, pero se sospecha como cierto

38 Teoremas y demostraciones Teoremas y demostraciones Métodos de demostración El conocimiento se desarrolla con los teoremas. Los teoremas se basan en las «verdades» aceptadas en los axiomas o en teoremas anteriormente demostrados a partir de los axiomas. Es la cadena del conocimiento matemático. En un teorema hay tres elementos Hipótesis Es un enunciado que se asume como cierto Tesis Es un enunciado cuya certeza se desconoce, pero se sospecha como cierto Demostración Es el proceso que permite obtener la certeza de la tesis a partir de la certeza de la hipótesis. Para realizarlo se hace uso de los axiomas o de otros teoremas anteriormente establecidos.

39 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par.

40 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par. Recíproco. El de H T es T H. Recíproco del ejemplo precedente: Si n 2 es par entonces n es par. El recíproco de una afirmación cierta no es siempre cierto: Si f : [0, 1] R es continua, entonces f ([0, 1]) es un intervalo.

41 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par. Recíproco. El de H T es T H. Recíproco del ejemplo precedente: Si n 2 es par entonces n es par. El recíproco de una afirmación cierta no es siempre cierto: Si f : [0, 1] R es continua, entonces f ([0, 1]) es un intervalo. Contrarecíproco. H T es equivalente a not noh Ejemplo: Si a R es un número irracional entonces a también es irracional.

42 Métodos de demostración Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Directo. H T. Ejemplo: Si n es par entonces n 2 es par. Recíproco. El de H T es T H. Recíproco del ejemplo precedente: Si n 2 es par entonces n es par. El recíproco de una afirmación cierta no es siempre cierto: Si f : [0, 1] R es continua, entonces f ([0, 1]) es un intervalo. Contrarecíproco. H T es equivalente a not noh Ejemplo: Si a R es un número irracional entonces a también es irracional. Reducción al absurdo. Para probar la veracidad de una proposición A, consiste en suponer noa y construir una proposición C de modo que C y noc son ciertas. Ejemplo: 2 es irracional.

43 Progreso Conjuntos numéricos Teoremas y demostraciones Métodos de demostración Horas 1 y 2 de clase: 20-Sep y 22-Sep El primer fue la presentación y una discusión genérica sobre métodos de evaluación, recursos informáticos, programa de la asignatura y significado de Matemáticas y Análisis Matemático. 2 Segundo día recordatorio de los sistemas de números que conocen, presentando cada uno de ellos en la cadena creciente por la necesidad de realizar determinadas operaciones o por la necesidad de resolver determinadas ecuaciones como s 2 = 2 o x 2 = 1.

44 Definición Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo que recibe el nombre de cuerpo de los números reales y se denota por R.

45 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R

46 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa),

47 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R

48 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa),

49 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R

50 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma),

51 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x

52 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto),

53 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R

54 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa),

55 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R

56 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa),

57 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa), 7 existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 x = x para todo x R

58 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa), 7 existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 x = x para todo x R (elemento neutro del producto),

59 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa), 7 existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 x = x para todo x R (elemento neutro del producto), 8 para cada x R con x 0 existe x R con la propiedad de que x x = 1, dicho x se denota mediante 1 x o x 1

60 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa), 7 existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 x = x para todo x R (elemento neutro del producto), 8 para cada x R con x 0 existe x R con la propiedad de que x x = 1, dicho x se denota mediante 1 x o x 1 (inverso),

61 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa), 7 existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 x = x para todo x R (elemento neutro del producto), 8 para cada x R con x 0 existe x R con la propiedad de que x x = 1, dicho x se denota mediante 1 x o x 1 (inverso), 9 (x + y) z = x z + y z para todo x, y, z R

62 Explicación: cuerpo R R R R R R (x, y) x + y (x, y) x y operaciones internas llamadas suma y producto que cumplen: 1 x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z R (asociativa), 2 x + y = y + x para todo x, y R (conmutativa), 3 existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x R (elemento neutro de la suma), 4 para cada x R existe x R con la propiedad de que x + x = 0, dicho x se denota con x (elemento opuesto), 5 x (y z) = (x y) z para todo x, y, z R (asociativa), 6 x y = y x para todo x, y R (conmutativa), 7 existe un elemento en R distinto de 0, denotado con 1, con la propiedad de que 1 x = x para todo x R (elemento neutro del producto), 8 para cada x R con x 0 existe x R con la propiedad de que x x = 1, dicho x se denota mediante 1 x o x 1 (inverso), 9 (x + y) z = x z + y z para todo x, y, z R (distributiva).

63 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R

64 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva),

65 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y

66 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica),

67 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R

68 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva),

69 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x

70 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total),

71 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total), 14 x y implica x + z y + z para todo x, y, z R,

72 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total), 14 x y implica x + z y + z para todo x, y, z R, (compatibilidad del orden con la suma),

73 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total), 14 x y implica x + z y + z para todo x, y, z R, (compatibilidad del orden con la suma), 15 x y y 0 z implica x z y z para todo x, y, z R

74 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total), 14 x y implica x + z y + z para todo x, y, z R, (compatibilidad del orden con la suma), 15 x y y 0 z implica x z y z para todo x, y, z R (compatibilidad del orden con el producto).

75 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total), 14 x y implica x + z y + z para todo x, y, z R, (compatibilidad del orden con la suma), 15 x y y 0 z implica x z y z para todo x, y, z R (compatibilidad del orden con el producto). 1 x y significa, por definición, lo mismo que y x;

76 Explicación: totalmente ordenado Significa que existe una relación binaria denotada con con las siguientes propiedades: 10 x x para todo x R (reflexiva), 11 x y e y x implican x = y (antisimétrica), 12 x y e y z implican x z para todo x, y, z R (transitiva), 13 para cada dos elementos x, y R se cumple una de las dos relaciones: x y ó y x (el orden es total), 14 x y implica x + z y + z para todo x, y, z R, (compatibilidad del orden con la suma), 15 x y y 0 z implica x z y z para todo x, y, z R (compatibilidad del orden con el producto). 1 x y significa, por definición, lo mismo que y x; 2 si x y siendo x y entonces escribiremos x < y o, indistintamente, y > x.

77 Explicación: completo Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.

78 Explicación: completo Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo. Definición: cota superior Un conjunto A R se dice acotado superiormente si existe M R con la propiedad de que a M, para todo a A; M se llama una cota superior de A.

79 Explicación: completo Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo. Definición: cota superior Un conjunto A R se dice acotado superiormente si existe M R con la propiedad de que a M, para todo a A; M se llama una cota superior de A. Definición: supremo Se dice que α R es supremo de A (y se escribe α = sup A) si α es cota superior de A y además cualquier otra cota superior M de A cumple que α M.

80 Explicación: completo Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo. Definición: cota superior Un conjunto A R se dice acotado superiormente si existe M R con la propiedad de que a M, para todo a A; M se llama una cota superior de A. Definición: supremo Se dice que α R es supremo de A (y se escribe α = sup A) si α es cota superior de A y además cualquier otra cota superior M de A cumple que α M. Supremo α R es supremo de A si: 1 x α, para cada x M; 2 Para cada ε > 0, existe x ε M tal que α ε < x ε.

81 Completitud de R Completitud En R cada conjunto no vacío acotado superiormente posee una cota superior que es la menor de todas las cotas superiores.

82 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos.

83 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R.

84 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1.

85 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0.

86 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab).

87 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d.

88 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d. 7 a b a b.

89 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d. 7 a b a b. 8 Si c < 0 entonces a b y ac bc son equivalentes.

90 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d. 7 a b a b. 8 Si c < 0 entonces a b y ac bc son equivalentes. 9 Si a 0 entonces a a > 0; en particular 1 > 0.

91 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d. 7 a b a b. 8 Si c < 0 entonces a b y ac bc son equivalentes. 9 Si a 0 entonces a a > 0; en particular 1 > a > 0 1 a > 0.

92 Propiedades Proposición Conjuntos numéricos En R (y, en general, en cualquier cuerpo totalmente ordenado) se tiene: 1 Los elementos neutros, opuesto e inverso son únicos. 2 a 0 = 0 para todo a R. 3 Las fórmulas a = b y a b = 0 son equivalentes. Si b 0 también son equivalentes las fórmulas a = b y a 1 b = 1. 4 c < 0 equivale a c > 0. 5 ( 1) a = a y por tanto ( a) b = (ab). 6 Si a b y c d entonces a + c b + d. 7 a b a b. 8 Si c < 0 entonces a b y ac bc son equivalentes. 9 Si a 0 entonces a a > 0; en particular 1 > a > 0 1 a > Si b > 0 entonces a b 1 a 1 b.

93 Cotas inferiores. Ínfimos Definición Un subconjunto no vacío A R se dice acotado inferiormente si existe M R tal que M a para todo a A. Cualquier valor M que cumpla la relación anterior se llama una cota inferior de A. Si existe α R que es cota inferior de A y además cumple que M α para cualquier otra cota inferior M de A, entonces α se llama ínfimo de A y se denota en la forma α = inf A.

94 Cotas inferiores. Ínfimos Definición Un subconjunto no vacío A R se dice acotado inferiormente si existe M R tal que M a para todo a A. Cualquier valor M que cumpla la relación anterior se llama una cota inferior de A. Si existe α R que es cota inferior de A y además cumple que M α para cualquier otra cota inferior M de A, entonces α se llama ínfimo de A y se denota en la forma α = inf A. Proposición Si en un cuerpo ordenado se verifica el axioma del supremo, entonces todo subconjunto no vacío acotado inferiormente tiene ínfimo.

95 Números naturales: N Definición Un conjunto I R se llama inductivo si cumple las siguientes condiciones: 1 I. Si x I entonces x + 1 I.

96 Números naturales: N Definición Un conjunto I R se llama inductivo si cumple las siguientes condiciones: 1 I. Si x I entonces x + 1 I. Observación R es un conjunto inductivo. La intersección de conjuntos inductivos es inductivo.

97 Números naturales: N Definición Un conjunto I R se llama inductivo si cumple las siguientes condiciones: 1 I. Si x I entonces x + 1 I. Observación R es un conjunto inductivo. La intersección de conjuntos inductivos es inductivo. Definición Se llama conjunto de los números naturales y se denota con N al siguiente conjunto N := {I : donde I es un conjunto inductivo de R}.

98 Números naturales: N Corolario (Método de Inducción) Cualquier subconjunto S N que satisfaga las siguientes propiedades 1 1 S, 2 si n S entonces n + 1 S, verifica que S = N.

99 Números naturales: N Corolario (Método de Inducción) Cualquier subconjunto S N que satisfaga las siguientes propiedades 1 1 S, 2 si n S entonces n + 1 S, verifica que S = N. Los primeros elementos de N se denotan de la siguiente manera: 10 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

100 Método de inducción El método de inducción es usado con frecuencia en la demostración de fórmulas y resultados relativos a números naturales.

101 Método de inducción El método de inducción es usado con frecuencia en la demostración de fórmulas y resultados relativos a números naturales. Ejemplo Para cualquier número natural n 1 se verifica que 4 n > n 2.

102 Método de inducción El método de inducción es usado con frecuencia en la demostración de fórmulas y resultados relativos a números naturales. Ejemplo Para cualquier número natural n 1 se verifica que 4 n > n 2. Ejemplo Para cualquier número natural n 1 y x R, x 1 se tiene que (1 + x) n 1 + nx.

103 Método de inducción El método de inducción es usado con frecuencia en la demostración de fórmulas y resultados relativos a números naturales. Ejemplo Para cualquier número natural n 1 se verifica que 4 n > n 2. Ejemplo Para cualquier número natural n 1 y x R, x 1 se tiene que (1 + x) n 1 + nx. Observación 1 La formulación del método de inducción tiene dos propiedades. A) 1 S B) si n S entonces n + 1 S. 2 Si S N es tal que N S y n S entonces n + 1 S, entonces S = {N, N + 1, N + 2,... }.

104 Horas 3, 4 y 5 de clase: hasta 27 de septiembre Se explicó la materia hasta la transparencia anterior: se repitió dos veces los comentarios sobre el axioma del supremo, una vez contado por Luis y luego repetido por mi.

105 Método de inducción Corolario, Método de inducción, versión fuerte Sea S N que cumple las siguientes propiedades: 1 1 S 2 si 1, 2,..., n S entonces n + 1 S Entonces S = N. Leer en clase

106 Método de inducción Corolario, Método de inducción, versión fuerte Sea S N que cumple las siguientes propiedades: 1 1 S 2 si 1, 2,..., n S entonces n + 1 S Entonces S = N. Leer en clase Ejemplo, Teorema Fundamental de la Aritmética Todo número entero n 2 es primo o producto de sus factores primos.

107 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Definición El conjunto de los números enteros Z y el de los números racionales Q están definidos del siguiente modo: 1 Z := {0} {n R : n N, o bien n N} 2 Q := {m 1 1 : m Z y n N}. El número real m se denota n n indistintamente como m o como m/n. n

108 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Definición El conjunto de los números enteros Z y el de los números racionales Q están definidos del siguiente modo: 1 Z := {0} {n R : n N, o bien n N} 2 Q := {m 1 1 : m Z y n N}. El número real m se denota n n indistintamente como m o como m/n. n Ejercicio probar que si m, n N entonces m + n N; probar que Z es un grupo abeliano para la suma inducida por R; probar que Q es un un cuerpo con las operaciones inducidas por R.

109 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Definición El conjunto de los números enteros Z y el de los números racionales Q están definidos del siguiente modo: 1 Z := {0} {n R : n N, o bien n N} 2 Q := {m 1 1 : m Z y n N}. El número real m se denota n n indistintamente como m o como m/n. n Ejercicio probar que si m, n N entonces m + n N; probar que Z es un grupo abeliano para la suma inducida por R; probar que Q es un un cuerpo con las operaciones inducidas por R. Proposición El cuerpo R tiene la propiedad arquimediana, es decir, dados x, y R, con 0 < y, existe n N tal que x < ny.

110 Hora 6 de clase: 29 de septiembre Se explicó la materia hasta la transparencia anterior: se repitió el problema de demostrar por inducción (1 + x) n 1 + nx si x 1.

111 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Proposición N no está acotado superiormente. Z no está acotado ni superior ni inferiormente.

112 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Proposición N no está acotado superiormente. Z no está acotado ni superior ni inferiormente. Proposición Todo subconjunto no vacío A de N tiene primer elemento.

113 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Proposición N no está acotado superiormente. Z no está acotado ni superior ni inferiormente. Proposición Todo subconjunto no vacío A de N tiene primer elemento. Proposición Para cada x R existe un único número entero m que verifica m x < m + 1.

114 Enteros, racionales y propiedad arquimediana Proposición N no está acotado superiormente. Z no está acotado ni superior ni inferiormente. Proposición Todo subconjunto no vacío A de N tiene primer elemento. Proposición Para cada x R existe un único número entero m que verifica m x < m + 1. Definición Sea x R, el único número entero m que verifica m x < m + 1 se llama parte entera de x y se denota con [x], es decir [x] := m.

115 Densidad en R Conjuntos numéricos Teorema Si x, y R, con x < y, entonces existe r Q tal que x < r < y.

116 Densidad en R Conjuntos numéricos Teorema Si x, y R, con x < y, entonces existe r Q tal que x < r < y. Teorema Existe un número α R \ Q tal que α 2 = 2. Además α = sup{0 r Q : r 2 < 2}

117 Densidad en R Conjuntos numéricos Teorema Si x, y R, con x < y, entonces existe r Q tal que x < r < y. Teorema Existe un número α R \ Q tal que α 2 = 2. Además α = sup{0 r Q : r 2 < 2} Lema Si 0 < r Q cumple r 2 < 2, entonces existe t Q tal que r < t y r 2 < t 2 < 2. Si 0 < s Q cumple s 2 > 2, entonces existe w Q tal que 0 < w < s y s 2 > w 2 > 2. Además, ambas afirmaciones son ciertas si r y s no son racionales.

118 Densidad en R Conjuntos numéricos Teorema Si x, y R, x < y, entonces existe z R\Q tal que x < z < y.

119 Densidad en R Conjuntos numéricos Teorema Si x, y R, x < y, entonces existe z R\Q tal que x < z < y. Corolario Cada elemento x R es el supremo del conjunto de números racionales que son menores que él, es decir, x = sup{r : r Q con r < x}.

120 Conjuntos numéricos Definición x := { x si x 0 x si x < 0 Teorema Para cada par de elementos x, y de R se cumplen: x = x 0 y x > 0 si x 0. x = max {x, x} xy = x y. 1 x = 1 x. x a a x a x + y x + y (desigualdad triangular). x y x y

121 Distancia Conjuntos numéricos Definición de distancia Si x e y son números reales se llama distancia de x a y al número real d(x, y) := x y.

122 Distancia Conjuntos numéricos Definición de distancia Si x e y son números reales se llama distancia de x a y al número real d(x, y) := x y. Propiedades 1 d(x, y) = 0 x = y 2 d(x, y) = d(y, x) 3 d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

123 Conjuntos numéricos Proposición Sea x R, x > 0, y sea p N. 1 Si r R, r > 0 cumple r p < x entonces existe t Q tal que r < t y r p < t p < x 2 Si s R, s > 0 cumple s p > x entonces existe w Q tal que 0 < w < s y s p > w p > x. 3 Existe un único número real positivo α tal que α p = x. De hecho α = sup{r : r Q, r p < x}

124 Conjuntos numéricos Proposición Sea x R, x > 0, y sea p N. 1 Si r R, r > 0 cumple r p < x entonces existe t Q tal que r < t y r p < t p < x 2 Si s R, s > 0 cumple s p > x entonces existe w Q tal que 0 < w < s y s p > w p > x. 3 Existe un único número real positivo α tal que α p = x. De hecho α = sup{r : r Q, r p < x} Definición Para cada x R, x > 0 y cada p N, se define la raíz p-ésima de x como el único número real positivo α tal que α p = x. Se denota x 1 p := p x := α = sup{r : r Q, r p < x}.

125 Hora 7, 8 y 9 de clase: 1 y 4 de octubre Se explicó hasta la transparencia anterior más unos comentarios sobre la unicidad de los reales

126 Los números complejos La unidad imaginaria: i Introducir un nuevo número i, cuyo cuadrado es 1, y por tanto extender los reales.

127 Los números complejos La unidad imaginaria: i Introducir un nuevo número i, cuyo cuadrado es 1, y por tanto extender los reales. Definición Definimos C := {a + bi : a, b R}. La suma y el producto se definen mediante las fórmulas: (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) := (ac bd) + (ad + bc)i

128 Los números complejos La unidad imaginaria: i Introducir un nuevo número i, cuyo cuadrado es 1, y por tanto extender los reales. Definición Definimos C := {a + bi : a, b R}. La suma y el producto se definen mediante las fórmulas: (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) := (ac bd) + (ad + bc)i Proposición (C, +, ) es un cuerpo conmutativo no ordenado que contiene a R como subcuerpo mediante la identificación a a + 0i para cada a R.

129 Propiedades en C Definición: Si z = a + bi C a se llama parte real de z, a = Rez; b se llama parte imaginaria de z, b = Imz. El número real no negativo z := a 2 + b 2 se denomina módulo de z. El número z = a bi recibe el nombre de conjugado de z. Propiedades: Sean z, w C Rez = z+z z z 2 ; Imz = 2i ; z 2 = zz. z + w = z + w; zw = zw; (1/z) = 1/z, si z 0. z = z z R. Rez z ; Imz z. zw = z w ; z w z w. z + w z + w y la igualdad ocurre si y sólo si w = cz con c 0.

130 Propiedades en C Representación Geométrica de los Números Complejos a = z cos ω, b = z sen ω; y por tanto, z = z (cos ω + i sen ω) Este forma de representar geométricamente a z usando el módulo z y el argumento (ángulo) ω se conoce con el nombre de representación módulo argumental del complejo z. Producto de números complejos z 1z 2 = z 1z 2 (cos(ω 1 + ω 2) + i sin(ω 1 + ω 2) Raíces de números complejos Las n raíces n-ésimas de z son los números complejos que tienen por módulo el valor de la raíz n-ésima del módulo de z y por argumentos los valores: α = ω n, ω + 2π n, ω + 4π n, ω + 6π ω + 2(n 1)π,..., n n

131 Progreso 13 horas: 11-Octubre 1 Se hizo un taller de 2 horas: números, desigualdades, inducción, etc. el viernes día 8 de Octubre;

132 J. M. Mira; B. Cascales y S. Sánchez-Pedreño