Las otras geometrías

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1 Las otras geometrías Pascual Lucas Conferencia impartida el 17/02/99 en el curso La Historia de las Matemáticas y su aplicación a la docencia en Enseñanza Secundaria Índice General 1 INTRODUCCIÓN LA GEOMETRÍA DE EUCLIDES EL MÉTODO AXIOMÁTICO LOS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES EL POSTULADO DE LAS PARALELAS INTENTOS DE DEMOSTRACIÓN DEL QUINTO POSTULADO CONCLUSIONES LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA BOLYAI GAUSS LOBACHEVSKI ALGUNOS RESULTADOS HIPERBÓLICOS LA CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA: MODELOS EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN

2 4.2 UN MODELO DE POINCARÉ EN EL DISCO UN MODELO DE POINCARÉ EN EL SEMIPLANO EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS CONCLUSIONES

3 1. INTRODUCCIÓN Mucha gente desconoce que hace alrededor de un siglo y medio, aproximadamente, tuvo lugar una revolución en el campo de la geometría que fue científicamente tan profunda como la revolución de Copérnico en astronomía y, en su impacto, tan filosóficamente importante como la teoría de la evolución de Darwin. En palabras del gran geómetra canadiense H.S.M. Coxeter: El efecto del descubrimiento de la geometría hiperbólica sobre nuestras ideas de verdad y realidad ha sido tan profundo que difícilmente podemos imaginar lo traumático que fue descubrir en 1820 que una geometría distinta de la euclídea era posible. Antes de esto se pensaba que había, y que de hecho realmente existía, sólo una geometría posible, y que cualquier descripción del espacio contraria a la exposición euclidiana debía ser necesariamente incompatible y contradictoria. Sin embargo, en nuestros días casi todo el mundo ha oído hablar, gracias a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, de la geometría de los espacios tiempo. La geometría se liberó y, desde entonces, los postulados geométricos se convirtieron, para los matemáticos, en simples axiomas, de cuya verdad o falsedad físicas no había que preocuparse. Sólo había que tener cuidado de elegir los axiomas de forma que no se obtuviera contradicción alguna, no importa lo alejados que estuvieron estos postulados de nuestra percepción o creencia. En consecuencia, el espacio físico era un concepto empírico deducido de experiencias exteriores y anteriores, y los postulados o axiomas geométricos se habían ideado con el objetivo de describir esta apariencia. Este punto de vista contrastaba enormemente con la teoría kantiana que dominaba la filosofía de la época, según la cual el espacio es un sistema de referencia que ya existía en la mente humana, que los axiomas y postulados de la geometría euclidiana son juicios a priori impuestos en la mente, sin los cuales no es posible hacer ningún razonamiento compatible acerca del espacio. Así pues, la invención de geometrías no euclídeas invalidaban la filosofía kantiana imperante, una creencia tradicional y hábito de pensar durante muchos siglos. Hasta ese momento, las matemáticas se justificaban como un intento de modelizar y explicar el mundo que nos rodeaba; a partir de esta época, la geometría y las matemáticas, como un todo, emergieron como una creación arbitraria de la mente humana, y no como una imposición de nuestro mundo. 3

4 La geometría euclídea es la geometría que todos hemos estudiado en el colegio y en el instituto, la geometría que la mayoría de nosotros utilizamos para visualizar o modelizar nuestro universo físico. Su origen hay que buscarlo en una obra escrita por el matemático griego Euclides, los Elementos, escritos alrededor del año 300 A.C. La descripción del universo físico utilizando esta geometría fue extensamente utilizada por Isaac Newton en el siglo XVII. Las geometrías que difieren de la euclídea han surgido de un estudio más profundo de la noción de paralelismo. Consideremos el siguiente diagrama que muestra dos rayos perpendiculares a un segmento PQ: P - Q - En geometría euclídea, la distancia perpendicular entre los rayos permanece igual y constante a la distancia de P a Q, por mucho que nos alejemos de dichos puntos. Sin embargo, a comienzos del siglo XVIII se imaginaron dos nuevas geometrías. En la geometría hiperbólica (del griego hyperballein, exceder ) la distancia entre los rayos se incrementa conforme nos alejamos. Por el contrario, en la geometría elíptica (del griego elleipen, acortar ) la distancia decrece y eventualmente los rayos pueden llegar a encontrarse. Estas geometrías no euclídeas fueron posteriormente incorporadas a una teoría mucho más general iniciada por C.F. Gauss y desarrollada por G.F.B. Riemann. Esta teoría más general fue la que permitió a Einstein dar el soporte matemático necesario para sustentar su teoría física. En realidad, la teoría de la relatividad especial de Einstein se basa en la geometría del espacio-tiempo de H. Minkowski. En esta charla me voy a centrar en la geometría euclídea y en la geometría hiperbólica, ya que ésta puede entenderse perfectamente a partir de aquélla, pues sólo es necesario realizar un pequeño cambio en los axiomas de Euclides. Por el contrario, la geometría elíptica necesita del concepto topológico de la no-orientabilidad (ya que en el plano elíptico, todos los puntos que no están sobre una línea, están situados del mismo lado de esa línea). Así mismo, la geometría riemanniana requiere un conocimiento profundo del cálculo diferencial e integral, no sólo en espacios euclídeos, sino también en espacios abstractos más generales (las llamadas variedades diferenciables) y, por tanto, exceden el tiempo permitido de exposición y los objetivos que se persiguen. 4

5 2. LA GEOMETRÍA DE EUCLIDES La palabra geometría proviene del griego geometrein (de geo:tierra, y metrein: medir); originalmente pues la geometría fue la ciencia que se ocupó de medir la tierra. El historiador griego Herodoto (alrededor del siglo V A.C.) propone a los egipcios como los creadores de la geometría, sin embargo otras civilizaciones antiguas (como los babilonios, los hindus o los chinos) ya poseían un conocimiento geométrico importante. La geometría antigua consistía en un conjunto de reglas y procedimientos obtenidos por experimentación, observación de analogías, adivinación y momentos de intuición. Es decir, era una geometría práctica o científica, íntimamente relacionada con la medición práctica. Algunos ejemplos que justifican esta opinión son los siguientes. Los babilonios de 2000 a 1600 A.C. consideraban que la circunferencia era igual a tres veces su diámetro (lo que equivale a decir que π =3), valor que es también encontrado en diversos escritos romanos y chinos. Los judíos lo consideraban un número sagrado, pues aparece en la Biblia, en el libro de los Reyes I, 7:23 Y construyó [Salomón] un mar fundido, de forma circular, que medía diez codos de orilla a orilla y cinco codos de alto: y una línea de treinta codos lo rodeaba por completo. El mismo verso puede encontrarse en Crónicas II, 4:2. Aparece en un listado de especificaciones para la construcción del gran templo de Salomón, construido alrededor del año 950 A.C. No es un valor muy ajustado, ya que los egipcios y los mesopotamios ya utilizaban los valores 25/8=3.125 y 10 = Los egipcios también utilizaban una aproximación adecuada ya que, según el papiro Rhind, datado alrededor del año 1800 A.C., utilizaban la aproximación π (16/9) Los babilonios estaban familiarizados con las reglas generales para calcular el área de un rectángulo, las áreas de triángulos rectángulos e isósceles, el volumen de un paralelepípedo rectangular, el volumen de un prisma recto, etc. Sin embargo, no siempre utilizaban fórmulas adecuadas. Por ejemplo, hay evidencia suficiente para pensar que los babilonios antiguos utilizaban la fórmula A = (a + c)(b + d) 4 para el área de un cuadrilátero cuyos lados consecutivos son a, b, c y d. Sin embargo, conocían el teorema de Pitágoras alrededor del año 2000 A.C., mucho antes de que el propio Pitágoras naciese. 5

6 La principal aportación de los griegos, desde Tales de Mileto, fue el interes por demostrar deductivamente las fórmulas y resultados, rechazando los métodos de ensayo y error. Tales conocía los cómputos realizados por egipcios y babilonios (unos correctos y otros erróneos) y, tratando de determinar cuáles eran correctos y cuáles no, desarrolló la primera geometría lógica conocida. Los griegos insistieron en que debían obtenerse conclusiones geométricas a través de demostraciones lógicas, de demostraciones, transformando la antigua geometría empírica en una geometría axiomática o matemática. Nuestra fuente principal de información acerca de la geometría griega es la obra Sumario de Eudemo, de Proclo. Este libro contiene unas cuantas páginas del libro I, Comentarios sobre Euclides, y es un esbozo muy breve del desarrollo de la geometría griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides. Euclides escribió numerosas obras, pero su reputación se debe a sus Elementos. Evidentemente, este extraordinario tratado superó completamente y de forma inmediata a todos los Elementos anteriores, y desde la aparición de los trece libros y durante los siglos que nos separan, su influencia se dejó sentir a través de miles de ediciones. El tratado es una recopilación y ordenación sistemática de los trabajos anteriores, en una sucesión lógica de 465 proposiciones, acompañadas de axiomas, postulados y definiciones. Como prototipo del método matemático moderno, su impacto e influencia sobre el desarrollo de las matemáticas ha sido enorme. El método axiomático utilizado por Euclides es, sin ninguna duda, el origen de las matemáticas puras. El método es puro en el sentido de pensamiento puro : no se necesitan experimentos físicos para verificar que los enunciados son correctos, únicamente es necesario el razonamiento en las demostraciones. Los Elementos de Euclides son también puros en el sentido de que el tratado no incluye aplicaciones prácticas, a pesar de que la geometría de Euclides tiene un número enorme de aplicaciones en física e ingeniería. Según la leyenda, un estudiante que comenzaba a estudiar geometría preguntó a Euclides: Qué ganaré aprendiendo estas cosas?, Euclides llamó a su esclavo y le dijo Dale una moneda, porque debe obtener un beneficio de lo que aprende. Sorprendentemente, como veremos más tarde, las matemáticas puras tienen a menudo aplicaciones que sus creadores nunca imaginaron, de forma que las inútiles matemáticas puras terminan siendo muy útiles a la sociedad. En todo caso, las investigaciones matemáticas no aplicables siguen siendo valorables por la sociedad, como la música o el arte o como contribuciones al desarrollo de la conciencia y el conocimiento humanos. 6

7 2.1. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Los matemáticos podemos utilizar cualquier método o técnica para encontrar y descubrir teoremas: ensayo y error, estudio de casos especiales, adivinación, etc. El método axiomático es el método que nos permite probar que tales resultados son realmente correctos. Algunos de los resultados matemáticos más importantes fueron enunciados originalmente con una demostración incompleta, teniendo que esperar años, algunas veces, cientos de años, para poder encontrar una prueba correcta. Por tanto, las demostraciones nos garantizan que los resultados son correctos. A veces, incluso, nos proporcionan resultados más generales. Por ejemplo, los egipcios e hindúes sabían que si los lados de un triángulo tienen longitudes 3, 4y5, entonces se trata de un triángulo rectángulo. Los griegos demostraron que si las longitudes a, b y c de un triángulo satisfacen la ecuación a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo es rectángulo. Qué eselmétodo axiomático? Si yo deseara persuadirte mediante razonamiento de que te creas el enunciado E 1, podría mostrarte que el enunciado E 1 es una consecuencia lógica de otro enunciado E 2 que tu ya aceptas. Sin embargo, si no aceptas este enunciado, entonces debería probarte que es consecuencia lógica de otro enunciado E 3 que sí aceptas como verdadero. Podría tener que repetir el razonamiento varias veces, hasta llegar a un enunciado ya aceptado y que no requiriese una demostración. Dicho enunciado jugaría el papel de un axioma (o postulado). Sin embargo, si en mi razonamiento no encontrase un enunciado que aceptases, entraría en un proceso de regresión infinita, proporcionando una demostración tras otra sin un final. Por tanto, existen dos condiciones o requerimientos que debemos aceptar para poder decidir si una demostración es correcta: CONDICIÓN 1. La aceptación de ciertos enunciados denominados axiomas o postulados, que no requieren demostración. CONDICIÓN 2. El acuerdo sobre cómo y cuándo un enunciado es consecuencia lógica de otro, es decir, acuerdo sobre ciertas reglas de razonamiento. El monumental logro de Euclides fue proponer unos pocos y simples postulados, enunciados que fueron aceptados sin ninguna justificación, y deducir de ellos 465 proposiciones, muchas de ellas complicadas y para nada intuitivas, que significan todo el conocimiento geométrico de la época. Una de las razones por la que los Elementos de Euclides es un trabajo tan bonito y maravilloso es 7

8 la gran cantidad de resultados que han sido obtenidos a partir de unas pocas premisas. Antes de avanzar en nuestro planteamiento, no nos podemos olvidar de una condición básica y principal: CONDICIÓN 0. Entendimiento del significado que damos a las palabras yalos símbolos, es decir, acuerdo sobre el lenguaje que utilizamos. No hay ningún problema si todos usamos términos familiares (para todos) y los utilizamos de manera consistente. Sin embargo, si yo utilizo un término desconocido, o no habitual, estais en vuestro derecho (es más, en vuestra sana obligación) de solicitar una definición de este término. Las definiciones no se pueden proporcionar de forma arbitraria: deben estar sujetas a las reglas de razonamiento a las que se refiere la Condición 2. Por ejemplo, no podemos definir el ángulo recto como aquél que tiene 90 o y entonces definir el ángulo de 90 o como el ángulo recto, ya que estamos violando la regla que impide el razonamiento circular. Por otra parte, es evidente que no podemos definir todos los términos que utilicemos, ya que para definir un término utilizamos a su vez otros términos, los cuales deben también ser definidos. Podemos ver que corremos el peligro de caer en un proceso de regresión infinita. Euclides intentó definir todos los términos geométricos que utilizó. Así, definió una línea (recta) como aquella que tiene todos sus puntos en la misma dirección. Esta definición no es muy acertada, ya que para entenderla hay que tener previamente la imagen de una línea. Es más conveniente considerar línea como un término indefinido. De manera similar, Euclides definió el punto como lo que no tiene parte o dimensión, que tampoco es una definición muy informativa o útil; como antes, parece adecuado considerar el punto como un término indefinido. En 1899, David Hilbert publicó un tratado colosal, Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la Geometría), que intentaba clarificar y completar las definiciones y conceptos de Euclides, así como solventar algunos errores detectados en las demostraciones de Euclides. Esta obra, en sus diversas revisiones mejoradas, es en la actualidad clásica en su campo; ha hecho más que cualquier otro trabajo desde el descubrimiento de la geometría no euclídea para promover el método moderno y para dar forma al carácter de gran parte de las matemáticas actuales. Hilbert proponía cinco términos primitivos o indefinidos: punto 8

9 línea sobre (como en dos puntos distintos están sobre una única recta ) entre (como en el punto C está entre los puntos A y B ) congruente (como en todos los ángulos rectos son congruentes ) Para una mejor comprensión, nos vamos a limitar a la geometría plana, de forma que para nosotros, el plano es el conjunto de todos los puntos y líneas, los cuales están sobre el plano. En el lenguaje cotidiano existen los sinónimos, es decir, distintas palabras que utilizamos para referirnos al mismo concepto. Aquí también podemos utilizarlos. Por ejemplo, en lugar de decir que el punto P está sobre la línea l puede decirse que la línea l pasa por el punto P. Si un punto P está sobre dos líneas l y m, entonces decimos que las líneas l y m tienen el punto P en común, o que las líneas l y m intersecan (o se cortan) en el punto P. El segundo término, línea, es sinónimo de recta o línea recta. Existen otros términos matemáticos que usaremos y que deberán ser añadidos a la lista anterior, ya que no desearemos definirlos; ahora los he omitido porque no son términos específicamente geométricos, sino lo que Euclides denominaba nociones comunes. La palabra conjunto es fundamental en todas las matemáticas actuales, se utiliza habitualmente en las escuelas y, sin ningún género de dudas, todo el mundo tiene una idea acerca de lo que es un conjunto. Podemos pensar en una colección de objetos. En relación con los conjuntos, debemos entender lo que significa pertenecer a o ser un elemento de un conjunto; podemos utilizarlos como en nuestra convención de que todos los puntos y rectas pertenecen al plano. Si todos los elementos de un conjunto S son también elementos de otro conjunto T, diremos que S está contenido en o es un subconjunto de T. Otro término crucial en la teoría de conjuntos es la igualdad de conjuntos. Decimos que los conjuntos S y T son iguales si todo elemento de S es también elemento de T y viceversa. Por ejemplo, el conjunto de todos los autores del libro El Quijote es igual al conjunto cuyo único elemento es Miguel de Cervantes. La palabra igual significa, o es sinónima de, idéntica. Sin embargo, Euclides utilizaba la palabra igual en un sentido diferente, como cuando dice que los ángulos base de un triángulo isósceles son iguales. Realmente, Euclides quería decir que tenían igual número de grados, no que fueran ángulos idénticos. Para evitar la confusión, utilizaremos el término primitivo congruente, de forma que podemos decir que los ángulos base de un triángulo isósceles son congruentes. 9

10 Utilizaremos el término congruente en un sentido más amplio que el habitual: será usado tanto para ángulos como para segmentos LOS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES Euclides basó su geometría en cinco hipótesis fundamentales, que él denominó axiomas o postulados. POSTULADO I. Para todo punto P y para todo punto Q distinto (no igual) de P, existe una única línea l que pasa por P y Q. Informalmente, este enunciado es usualmente expresado diciendo que hay una y sólo una línea que pasa por dos puntos distintos dados. Denotaremos esta línea por PQ. Para enunciar el segundo postulado necesitamos una definición. DEFINICIÓN. Sean A y B dos puntos. El segmento AB es el conjunto formado por los puntos A y B y por todos los puntos que están sobre la línea AB y que están entre A y B. Los dos puntos A y B se denominan los extremos del segmento AB. A C B Segmento AB A C B - Línea AB POSTULADO II. Para todo segmento AB y para todo segmento CD, existe un único punto E tal que B está entre A y E y el segmento CD es congruente con el segmento BE. C D A B E 10

11 Este postulado se expresa informalmente diciendo que cualquier segmento AB puede extenderse mediante un segmento BE congruente con un segmento CD dado. Como es habitual, escribiremos CD = BE para expresar el hecho que los segmentos CD y BE son congruentes. Para enunciar el tercer postulado necesitamos introducir otra definición. DEFINICIÓN. Sean dos puntos O y A. El conjunto de todos los puntos P tales que el segmento OP es congruente con el segmento OA se llama la circunferencia con centro O, y cada uno de los segmentos OP se llama un radio de la circunferencia. POSTULADO III. Para todo punto O y para todo punto A distinto de O, existe una circunferencia de centro O y radio OA. P O A Círculo con centro O y radio OA Realmente, y puesto que estamos utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos, este postulado es innecesario; como consecuencia de la teoría de conjuntos, el conjunto de los puntos P tales que OP = OA existe. Sin embargo, Euclides tenía en mente, al proponer este postulado, dibujar dicha circunferencia, por lo que el postulado nos está diciendo que es posible construir dicha circunferencia (por ejemplo con un compás). De manera similar, en el postulado II se nos dice que es posible extender el segmento AB, por ejemplo utilizando una regla. No obstante, la presentación que estamos haciendo es más pura que la de Euclides, en el sentido de que se elimina toda referencia a los dibujos. Sin embargo, es un problema matemático fascinante determinar qué construcciones geométricas son posible utilizando únicamente regla y compás. No fue hasta el siglo XIX en que pudo probarse que ciertas construcciones clásicas (como la trisección de un ángulo arbitrario, la cuadratura del círculo o la duplicación del cubo) eran imposibles utilizando sólo la regla y el compás. Pierre Wantzel demostró lo anterior trasladando el problema geométrico a un problema algebraico: probó que las construcciones con regla y compás correspondían con las soluciones de ciertas ecuaciones algebraicas obtenidas únicamente median- 11

12 te suma, diferencia, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas. Así por ejemplo, la trisección de un ángulo arbitrario es imposible porque en su resolución aparecen raíces cúbicas. DEFINICIÓN. El rayo AB es el siguiente conjunto de puntos sobre la línea AB: aquellos puntos que pertenecen al segmento AB y todos los puntos C tales que B está entre A y C. Se dice que el rayo AB emana de A y es parte de la línea AB. C 1 A B Rayo AB DEFINICIÓN. Los rayos AB y AC son opuestos si son distintos, emanan del mismo punto A y son parte de la misma línea AB= AC. B A C - Rayos opuestos DEFINICIÓN. Unángulo con vértice A es un punto A junto con dos rayos no opuestos AB y AC (llamados las caras del ángulo) que emanan del punto A. C * A B q Ángulo con vértice A Este ángulo será denotado por ^A, ^BAC o ^CAB. 12

13 DEFINICIÓN. Si dos ángulo ^BAD y ^CAD tienen una cara común AD, y las otras dos caras AB y AC son rayos opuestos, se dice que los ángulos son suplementarios. D B A C - Ángulos suplementarios DEFINICIÓN. Unángulo ^BAD se dice que es un ángulo recto si tiene un ángulo suplementario con el que es congruente. 6 D B A C - Ángulos rectos Observemos cómo ha sido posible definir el concepto de ángulo recto sin hacer referencia a los grados, utilizando solamente el término primitivo de congruencia de ángulos. Posteriormente veremos cómo se puede introducir el concepto de grado, aunque seguramente lo consideremos innecesario, ya que todos tenemos una idea bastante precisa. POSTULADO IV. Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí. Este postulado expresa una cierta clase de homogeneidad: por muy alejados y separados que estén dos ángulos rectos, siempre tendrán el mismo tamaño. El postulado proporciona, por tanto, un método estándar para medir ángulos. Por el contrario, no existe una forma estándar de medir longitudes en la geometría euclídea. Las unidades de longitud (un codo, un pie, un metro, etc.) son elegidas arbitrariamente. Una de las propiedades mas destacables de la geometría hiperbólica, que describiremos más adelante, es que admite una manera estándar de medir, es decir, existe una unidad de longitud natural. 13

14 2.3. EL POSTULADO DE LAS PARALELAS Los primeros cuatro postulados de Euclides siempre fueron aceptados por los matemáticos. El quinto postulado, o postulado de las paralelas, fue desde el principio fuente de controversias, que se extendieron en el tiempo hasta el siglo XIX. De hecho, los intentos por proponer nuevos postulados alternativos fueron el germen del nacimiento de las nuevas geometrías. Enunciaremos el quinto postulado en una formulación distinta de la original, tal y como fue expuesto por Euclides en sus Elementos. La razón es que el enunciado es mucho más simple y comprensible a primera vista, aunque es equivalente. La versión que presentamos es quizás la más popular, y se debe al físico y matemático escocés John Playfair ( ), aunque esta alternativa ya había sido avanzada por Proclo en el siglo V. Una de las definiciones más importantes de nuestro acercamiento a la geometría euclídea es la siguiente. DEFINICIÓN. Dos línea l y m son paralelas si no se cortan, es decir, si no existe ningún punto que esté sobre las dos línea. Denotaremos este hecho por l m. Observemos que no se ha dicho que las líneas son equidistantes, es decir, que la distancia entre las líneas es siempre la misma. Seguramente, si hiciésemos un dibujo de dos líneas paralelas obtendríamos esa impresión; por eso es conveniente evitar en lo posible la realización de dibujos para las demostraciones rigurosas, ya que nos pueden inducir a utilizar propiedades que no han sido previamente deducidas, y que no están en las definiciones establecidas. Por otra parte, y como consecuencia de este razonamiento, tampoco sería conveniente que ahora pensase que las líneas paralelas no son equidistantes. Debemos limitarnos a utilizar lo definido y lo demostrado, y evitar los juicios de valor. POSTULADO V. Para toda línea l y para todo punto P que no está sobre l, existe una única línea m a través de P que es paralela a l. P - - m l Las líneas l y m son paralelas Existen otros muchos enunciados equivalentes al postulado anterior. Algu- 14

15 nas otras alternativas que han sido propuestas o tácitamente utilizadas durante años son las siguientes: (1) Existe un par de rectas en que todos los puntos de una se encuentran a la misma distancia de la otra. (2) Existe un par de triángulos no congruentes semejantes. (3) Si en un cuadrilátero un par de lados opuestos son iguales y los ángulos adyacentes al tercer lado son rectos, entonces los otros dos ángulos también son rectos. (4) Si en un cuadrilátero tres ángulos son rectos, entonces el cuarto también es recto. (5) Existe al menos un triángulo en el que la suma de sus tres ángulos es igual a dos rectos. (6) Por un punto situado dentro de un ángulo menor que 60 o puede siempre trazarse una recta que corte a ambos lados del ángulo. (7) Una circunferencia puede hacerse pasar por tres puntos no colineales cualesquiera. (8) No hay límite superior al área de un triángulo. Por qué debe ser el quinto postulado tan controvertido? Puede parecer un enunciado obvio, quizás porque estamos habituados a pensar en términos euclídeos. Sin embargo, si consideramos los axiomas de la geometría como abstracciones, podemos encontrar diferencia entre este postulado y los demás. Los dos primeros postulados son abstracciones de nuestra experiencia dibujando con una regla, mientras que nuestra experiencia con el compás motiva el tercer postulado. El cuarto postulado, quizás más extraño, también surge de nuestra experiencia con el transportador de ángulos (donde la suma de ángulos suplementarios es 180 o ). El quinto postulado es diferente porque no puede ser comprobado empíricamente, ya que sólo podemos dibujar segmentos (líneas finitas) y no las líneas en su totalidad. Si prolongamos dos líneas y se cortan, podemos afirmar que no son paralelas; sin embargo, si los segmentos no se cortan, podemos prolongarlos másymás, pero si no encontramos un punto de corte, nunca estaremos seguros de que dicho punto de corte no existe. El único recurso es demostrar el paralelismo utilizando un razonamiento indirecto, por medio de criterios distintos de la propia definición. 15

16 2.4. INTENTOS DE DEMOSTRACIÓN DEL QUINTO POSTULADO Los intentos por deducir el postulado de las paralelas como un teorema a partir de los restantes, tuvo ocupados a los geómetras por más de dos mil años, culminando, como veremos, en algunos de los desarrollos de más largo alcance de las matemáticas modernas. Muchas demostraciones del postulado fueron ofrecidas, pero con la misma velocidad, más o menos tarde, se descubría que cada una de ellas se basaba en una suposición tácita equivalente al propio postulado, violando la regla lógica que impide el razonamiento circular. Veamos algunos intentos, fallidos naturalmente PROCLO Uno de los intentos conocidos más antiguos se debe a Proclo. Su razonamiento fue el siguiente. Y P X - m Y j n - Q Z l Sean dos líneas paralelas l y m y supongamos que la línea n corta a m en P. Vamos a demostrar que n corta también a l. Sea Q el punto de corte de l con la perpendicular que pasa por P. Si n coincide con PQ entonces n corta a l en Q. En otro caso, existe un rayo PY de n entre PQ y una rayo PX de m. Tomemos X como el punto de intersección entre la recta m y su perpendicular por el punto Y. Conforme el punto Y se va alejando de P, el segmento XY va aumentando indefinidamente de longitud, de forma que eventualmente sería más grande que el segmento PQ. Por tanto, Y debe quedar en la otra cara de l, y por tanto n corta a l. En el párrafo anterior está la clave del razonamiento de Proclo, ya que envuelve los conceptos de movimiento y continuidad. Todos los pasos de la demostración son correctos, pero la conclusión no es cierta. La respuesta es que una sucesión estrictamente creciente de términos positivos puede estar acotada superiormente. Por ejemplo, a n = n/(n +1). 16

17 El error puede entenderse mejor si analizamos el paso previo a la conclusión. Podemos decir que (1) los puntos X, Y y Z son colineales, y (2) los segmentos XZ y PQ son congruentes. Por tanto, cuando XZ sea más grande que PQ, entonces XY será también más grande que XZ, por lo que el punto Y estará en el otro lado de l. La conclusión se sigue de (1) y (2). El gran problema es que las afirmaciones (1) y (2) no se han justificado adecuadamente. Este análisis de la demostración de la prueba de Proclo ilustra la necesidad de tener sumo cuidado cuando pensamos en líneas paralelas. Probablemente, cuando hablamos de líneas paralelas nos imaginamos los railes de una vía, con las traviesas perpendiculares a ambos railes y todas ellas de igual longitud. Sin embargo, sin el postulado de las paralelas sólo podemos decir, usando la definición, que dos líneas paralelas no tienen ningún punto en común. No podemos afirmar que son siempre equidistantes ni siquiera que tienen una perpendicular común SACCHERI No fue hasta 1733 cuando la primera investigación científica del postulado de las paralelas fue publicada. En dicho año, Girolamo Saccheri ( ) publicó una pequeña obra titulada Euclides ab omni noevo vindicatus (Euclides liberado de toda falla). Saccheri demostró fácilmente, como lo puede hacer un alumno aventajado de secundaria, que si en un cuadrilátero ABCD, los ángulos A y B son rectos, y los lados AD y BC son iguales, entonces los lados D y C son iguales. D C = = A B Cuadrilátero de Saccheri En consecuencia tenemos tres posibilidades: los ángulos D y C son iguales y agudos, iguales y rectos, o iguales y obtusos. Estas tres hipótesis fueron denominadas por Saccheri la hipótesis del ángulo agudo, la hipótesis del ángulo recto y la hipótesis del ángulo obtuso. Su objetivo era utilizar el método de reducción 17

18 al absurdo para descartar las hipótesis de los ángulos agudo y obtuso. Saccheri eliminó fácilmente la hipótesis del ángulo obtuso, pero no pudo destruir la hipótesis del ángulo agudo. Después de obtener concienzudamente muchos de los teoremas hoy clásicos de la geometría no euclídea, Saccheri obtuvo incorrectamente una contradicción no convincente. En palabras de Saccheri: La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, ya que es repugnante a la naturaleza de la línea recta. Saccheri se comportó como el hombre que descubre un diamante extraordinario y, incapaz de creérselo, anuncia que es cristal. Aunque él no lo reconoció, Saccheri descubrió la geometría no euclídea LAMBERT El matemático alemán Johann Heinrich Lambert ( ) escribió, treinta años después de la publicación de Saccheri, una investigación semejante titulada Die Theorie der Parallellinien (La teoría de las paralelas) que, inexplicablemente, no se publicó hasta once años después de su muerte. Lambert eligió un cuadrilátero que contenía tres ángulos rectos (la mitad de un cuadrilátero de Saccheri) como su figura, y consideró las tres posibles hipótesis para el cuarto ángulo: agudo, recto u obtuso. D C A B Cuadrilátero de Lambert Como Saccheri, Lambert dedujo numerosos resultados de geometría no euclídea a partir de la hipótesis del ángulo agudo, pero a diferencia de Saccheri, nunca dijo que había encontrado una contradicción. Demostró que en las tres hipótesis, la suma de los ángulos de un triángulo es menor, igual o mayor que dos ángulos rectos, respectivamente, y que el defecto o exceso (según la hipótesis) es proporcional al área del triángulo. Eliminó la hipótesis del ángulo obtuvo de la misma forma que Saccheri, pero sus conclusiones sobre la hipótesis 18

19 del ángulo agudo fueron indefinidas e insatisfactorias, lo que fue el motivo de que este trabajo no fuera publicado en vida del autor LEGENDRE El francés Adrien Marie Legendre ( ) fue uno de los mejores matemáticos de su época, contribuyendo con importantes descubrimientos en muchas ramas de las matemáticas. Tan obsesionado estuvo intentando encontrar una demostración, que durante 29 años estuvo publicando una demostración tras otra en las diferentes ediciones de su libro Éléments de Géométrie (Elementos de geometría). No obstante, Legendre es mejor conocido por el método de mínimos cuadrados en estadística, la ley de reciprocidad en teoría de números y los polinomios de Legendre en las ecuaciones diferenciales. El estilo simple y directo de sus demostraciones, que se difundió mucho debido a su aparición en sus Elementos, y su enorme prestigio en el mundo de las matemáticas, generó un entusiasta interés popular en el problema del postulado de las paralelas. Analicemos uno de sus intentos. n I P - R B - A Q R m l Sea P un punto que no está sobre la línea l. Tracemos la perpendicular PQ de P a l, y sea m la recta perpendicular a PQ que pasa por P. Entonces m es paralela a l, ya que tienen una perpendicular común. Sea n cualquier otra recta que pasa por P, distinta de m ydepq. Debemos probar que n corta a l. Sea PR un rayo de n entre PQ y un rayo de m emanando de P. Existe un punto R en la cara opuesta de PQ donde está R tal que ^QP R = ^QP R. Entonces el punto Q está en el interior de ^RP R. Como la línea l pasa a través del punto Q, interior a ^RP R, l debe cortar una de las caras del ángulo. Si l corta la cara PR, entonces l corta a n. Supongamos que l corta la cara PR en el punto A. Sea B el único punto en la cara PR tal que PA = PB. Entonces M PQA =M PQB;en consecuencia, ^PQB es un ángulo recto, de forma que B está enl (y en n). 19

20 Cómo comprobar que la demostración es correcta? Habría que justificar cada paso, definiendo todos los términos con sumo cuidado. Por ejemplo, habría que definir qué se entiende por líneas perpendiculares, pues si no, cómo se puede justificar que l y m son paralelas únicamente porque tienen una perpendicular común? Quizás habría que demostrar esto como un resultado independiente. Tendríamos que justificar el criterio de congruencia de triángulos utilizado al final. Habría que definir qué se entiende por el interior de un ángulo, y probar que una línea a través del interior de un ángulo debe cortar a una de sus caras. En todos estos pasos habría que estar seguros, además, de que sólo se usan los primero cuatro postulados, y no el quinto o alguna de las formulaciones equivalentes CONCLUSIONES No nos debe extrañar que no se pudiese obtener una contradicción de la hipótesis del ángulo agudo, ya que como veremos a continuación, posteriormente se demostró que la geometría desarrollada con esta hipótesis es tan consistente y compatible como la euclídea; es más, si la geometría hiperbólica (que es como se denomina a la geometría obtenida con la hipótesis mencionada) tuviese alguna contradicción y fuese inconsistente, también lo sería la geometría euclídea. En consecuencia, el postulado de las paralelas es independiente del resto de los postulados y, por tanto, no puede deducirse de ellos. Los primeros en sospechar esta posibilidad fueron los matemáticos Karl Friedrich Gauss ( ), Janos Bolyai ( ) y Nicolai Ivanovitch Lobachevski ( ). El planteamiento del problema que hicieron estos matemáticos iba en la línea de John Playfair, considerando tres posibilidades: por un punto que no esté en una recta pueden trazarse más de una, oúnicamente una, oninguna paralela a otra dada, hipótesis que son equivalentes a las hipótesis de los ángulos agudo, recto y obtuso, respectivamente. El desarrollo de la primera hipótesis condujo a estos matemáticos al descubrimiento de la geometría no euclídea. 20

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