5ª Lección: Sistema de fuerzas gravitatorias. Cálculo de centros de gravedad de figuras planas: teoremas de Guldin.

Transcripción

1 Capítulo II: MECÁNICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 5ª Leccón: Sstema de fuerzas gravtatoras. Cálculo de centros de gravedad de fguras planas: teoremas de Guldn. Sstemas de fuerzas gravtatoras La deduccón parte de la ley de Newton de la gravtacón unversal, uno de los ses prncpos fundamentales de la Mecánca 1. Se consdera un sstema de partículas, defndo por el peso W de cada una, aplcado en P ( x,y,z ). Los vectores W son, por tanto, lgados o fjos, es decr, tenen punto Fg.1 Esquema conceptual. de aplcacón y además, al ndcar la ctada ley de Newton que sus rectas de aplcacón se cortan en el centro de la Terra, sus rectas se consderan paralelas entre sí. Durante la explcacón de la teoría de vectores fuerzas, en el caso tratado en el curso de Fundamentos Físcos de la Ingenería- deslzantes, se demostró -y ejemplfcó-, que los sstemas de fuerzas paralelas, ya sea en 3D (placa exagonal de cmentacón ej. 3.95, BJ5) o en 2D, admtían eje central, además, claro está, de los sstemas de fuerzas coplanaras. El sstema de fuerzas gravtatoras de un sstema de partículas está consttudo, por tanto, por fuerzas paralelas, por lo que s no se tratara de fuerzas lgadas, tendría perfecto sentdo hablar de eje central. Hay que recordar que el sstema de fuerzas gravtatoras, aunque paralelas, es un sstema de fuerzas lgadas, por lo que en rgor, no exste eje central. Sn embargo, la teoría de vectores deslzantes proporcona solucón al caso de vectores paralelos, por lo que será aplcada, como aproxmacón, con el objetvo de avanzar en el estudo de las fuerzas gravtatoras. 1/8

2 Así pues, se supondrá que las fuerzas gravtatoras son vectores deslzantes y que, por consguente, tenen eje central que, como se sabe es, por defncón, la recta soporte de la fuerza que equvale mecáncamente al sstema de fuerzas paralelas deslzantes. Esa fuerza mecáncamente equvalente al sstema de fuerzas gravtatoras -supuestas deslzantes-, recbe el nombre de peso. En este momento de la aproxmacón al análss de las fuerzas gravtatoras se ha llegado -como cabía esperar, al haber asmlado vectores lgados con vectores deslzantes-, a una nconsstenca, como es el que un sstema de vectores lgados sea mecáncamente equvalente a una fuerza que no tene punto, sno recta, de aplcacón. Se necesta ntroducr un nuevo concepto que se denomna Vral 2,3,4 en un punto Q cualquera, (V Q ), de un sstema de vectores lgados y que se defne como la suma del producto escalar de un vector drgdo desde el punto Q al P por el vector W, es decr: V Q = QP W (0) El vral es, por tanto, una magntud escalar, y como tal puede ser postva, negatva o nula. En el caso de que los vectores lgados sean paralelos, se demuestra que el espaco queda compartmentado en planos cuyos puntos tenen el msmo valor de vral y que, además, tales planos son perpendculares a la dreccón de los vectores lgados. Se denomna plano central al que está asocado al valor nulo del vral, es decr, que s P pertenece a dcho plano, entonces: V P = PP W = 0 (1) Por otro lado, de la aproxmacón que suponía que los vectores lgados paralelos eran deslzantes, resulta que en cada punto Q del eje central, se verfca que: M R Q = QP xw =0 (2) La nterseccón del plano central con el eje central es el 2/8

3 punto central, que es el punto de aplcacón del sstema de vectores lgados, que en el caso de las fuerzas gravtatoras, se denomna centro de gravedad. La resolucón del sstema de ecuacones correspondentes al eje y al plano central, proporcona las coordenadas del punto central C, del sstema de vectores lgados: X C x = W W Y C y W = W en las que x, y y z son las coordenadas de P, punto de aplcacón de W. Convene ya, desde este momento, que dchas coordenadas del punto P sean vnculadas al punto de aplcacón del peso, que pronto será susttudo por el de masa. Las expresones dadas por la ecuacón (3) se generalzan al caso de un cuerpo contnuo en 3D: X = x el. dw Y = y el. dw dw dw que proporconan las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo consderado, en las que, como se antcpó, x el, y el y z el, son las coordenadas del elemento dferencal de peso dw. Cuando el sstema de vectores lgados es el de las fuerzas gravtatoras, se suele hablar de centro de gravedad aunque, en rgor, se trata del centro de masas, pues sólo la masa es propedad de los cuerpos, ya que el peso no lo puede ser, en tanto que depende del valor de la constante gravtatoría. Centro de gravedad de fguras planas: centrodes de áreas y líneas. A contnuacón se desarrollará el caso partcular de esta teoría que resulta más mportante en ngenería cvl, que es la determnacón del centro de gravedad de áreas y, en su caso, de 3/8 Z C z = W W Z = z el. dw dw (3) (4)

4 líneas. Los elementos estructurales báscos de la edfcacón convenconal son vgas y columnas. En ambos casos, tales cuerpos pueden consderarse como generados por una seccón plana que se repte ndefndamente. Se trata pues, de sóldos que admten el tratamento que se desarrollará a contnuacón. S se trata de un sóldo contnuo, hay que recurrr al cálculo dferencal e ntegral y para ello, empezar por concretar la expresón del peso del elemento dferencal consderado: dw = g dm = g ρ dvol (5) S en el sóldo contnuo consderado resulta que dos de sus dmensones predomnan sobre la tercera; es decr, s el sóldo es una placa de densdad ρ y espesor t, resulta: dw = g dm = g ρ dvol = g ρ t da (6) y las expresones (4), quedarían de la sguente forma: X = x el. g ρ t da ρ t g da ; Y = y el. g ρ t da ;Z = 0 (7) ρ t g da S se supone que, como suele ser habtual, el espesor t de la placa es constante y que tambén lo es su densdad es decr que se trata de una placa homogénea-, el producto ρ t sale fuera de la ntegral y desaparece de numerador y denomnador, quedando: X = x el. da da ; Y = y el. da ;Z = 0 (8) da que proporconan las coordenadas del centro de gravedad del área de una placa cuyos ejes XY se han hecho concdr con ella. El numerador de las expresones (8) es el producto del dferencal de área por la dstanca a un eje. En Fundamentos Físcos de la Ingenería se utlzan certos conceptos en dferentes contextos. Uno de ellos es el de momento que, en 4/8

5 sentdo amplo, se refere al producto de algo por una dstanca. Cuando ese algo es un área, dcho producto se denomna momento estátco y hay dos: el momento estátco respecto al eje OY, que es el numerador de la abscsa del centro de gravedad en las expresones (8), y el momento estátco respecto al eje OX que es el numerador de la ordenada del cdg. El momento estátco tambén se denomna momento de prmer orden, para dferencarlo del momento de segundo orden que es el momento de nerca de un área. Así pues, s la placa es homogénea y de espesor constante, las coordenadas del centrode, o centro de gravedad de un área resultan ser: X = xel. da da ;Y = yel. da da (9) En la fgura 2 se precsa el sgnfcado de x el e y el en las expresones (9), que no es sno el de las coordenadas del centro de gravedad del elemento dferencal. S en la fgura 2, y para hallar el cdg del área encerrada por la funcón f(x), se consdera un elemento dferencal vertcal, el cdg del elemento dferencal es el punto señalado en color verde y sus coordenadas, las acotadas. Para el caso del elemento dferencal horzontal el señalado con la trama verde-, la abscsa de su centro de gravedad x el no es la erróneamente acotada en la fgura 2, sno la mtad de ella, pues como se ha vendo subrayando, se trata de la abscsa del cdg del rectángulo verde. En consecuenca, la abscsa del cdg del elemento dferencal verde es la mtad de la recíproca de f(x) 5/8 Fg. 2. Elementos dferencales de área.

6 En el caso de que el área del que se solcta el centrode se pueda descomponer en áreas más sencllas, como es el caso de la superfce rayada de la fgura 3, que puede suponerse formada por agregacón de un rectángulo, un trángulo y un cuarto de círculo, las expresones (9) se pueden convertr en las que se muestran a contnuacón: x x= A A y A y = A (10) en las que el sumatoro tene tres sumandos, los correspondentes a cada una de las sub áreas antes ctadas. El otro caso cuyo tratamento es de nterés es el de un sóldo en el que dos de las dmensones son smlares entre sí y muy nferores a la tercera. A esa descrpcón responden, como casos más relevantes en ngenería, los de los cables, pórtcos o estructuras lneales formadas por alneacones rectas y curvas. S se representa por dw el peso de, por ejemplo, un elemento dferencal de cable, resulta: dw = ρ g A ds (11) 2 sendo ds = dx + dy 2 ; ds = 1+ y! 2 dx (12) S el cable en cuestón se supone homogéneo y de seccón constante, y se le supone en el plano XY, las expresones (4) quedarían en la forma: x = x el. ds y = y ds el. ds 6/8 ds Fg. 3. Área formada por fguras sencllas.

7 Smetrías S una fgura plana tene un eje de smetría, es posble consderarlo como eje coordenado, y en tal caso, todo elemento dferencal tendrá otro gual al otro lado de dcho eje. Como consecuenca, la coordenada del elemento dferencal que es perpendcular al eje de smetría, tendrá sempre otra coordenada de sgno contraro, por lo que será nula la suma de los momentos estátcos correspondentes al eje de smetría que ha sdo adoptado como eje y en tal caso, el centro de gravedad tendrá que estar stuado en dcho eje. Es decr, s hay un eje de smetría c.d.g. del área se encuentra necesaramente en él. S la fgura tene dos o más-, ejes de smetría, su punto de nterseccón se denomna centro de smetría y la aplcacón de la consderacón anteror conduce a que el cdg será el punto de nterseccón de los dos ejes de smetría. En consecuenca, s hay centro de smetría c.d.g. Teoremas de Guldn Los teoremas de Guldn o de Pappus Guldnus, como los denomnan Beer y Johnston-, son de aplcacón a fguras planas y a los cuerpos que tales fguras pueden generar cuando gran alrededor de un eje que, por sencllez en el desarrollo ncal de dchos teoremas, se supondrá que no tene nterseccón con dchas fguras. Los teoremas de Guldn pueden ser utlzados para determnar la poscón del centro de gravedad de líneas y áreas sempre que se conozca la superfce trdmensonal que engendran las prmeras y el volumen de las áreas. En la práctca, la restrccón anteror supone que cas sempre se tendrá que hablar de superfces sencllas como la de una esfera (4πR 2 ), o la superfce lateral de un clndro, etc. En cuanto a los volúmenes, tendrá que estarse a los de una esfera (4πR 3 /3), clndro (πr 2 H), etc. El prmer teorema de Guldn ndca que la superfce generada por una línea al dar una vuelta alrededor de un eje al que no 7/8

8 corta, se obtene multplcando la longtud de la línea generatrz por la dstanca recorrda por su centro de gravedad al grar. El segundo teorema de Guldn expresa que el volumen que se obtene cuando es un área lo que gra alrededor de un eje al que se supone que tampoco corta, se obtene multplcando el área generatrz por la dstanca recorrda por el centro de gravedad del área generatrz. Fnalmente, los teoremas de Guldn tambén pueden ser aplcados en forma nversa a como se utlzan s se trata de determnar el centro de gravedad de áreas y líneas. En efecto, s lo que se conoce es lo que está en el segundo membro de la gualdad que representan los teoremas; es decr, s se conoce la longtud de la línea que gra y la poscón de su centro de gravedad, entonces el prmer teorema de Guldn proporcona la superfce generada por la línea generatrz. De forma smlar a lo expresado en el párrafo precedente, s se conoce el área que gra y la poscón que ocupa su centro de gravedad, entonces se puede calcular el volumen que dcho área genera al grar alrededor de un eje al que se segurá suponendo que el área generatrz no corta. BIBLIOGRAFÍA 1. Beer, Ferdnand P. y Johnston, E. Russell, Vector Mechancs for Engneers: Statcs and Dynamcs, 5th edton, McGraw- Hll Inc, Iñguez Almech, J.M., y Cd Palacos, R., Mecánca Teórca: Clásca y Relatvsta, Tomo I, Edtoral Dossat, S.A., Madrd, Belda Vllena, E., Mecánca, Tomo I: Mecánca Clásca, La Edtoral Vzcaína, S.A., Blbao, Bastero de Elezalde, J.M. y Casellas Roure J., Curso de mecánca, Edcones de la Unversdad de Navarra (EUNSA), 3ª ed. Pamplona, /8