1. La derivada del producto de funciones derivables

Transcripción

1 Cátedr de Mtemátic Mtemátic Fcultd de Arquitectur Universidd de l Repúblic 3 Segundo semestre Hoj 5 Derivd del producto e integrción por prtes Ddo que l derivción y l integrción pueden verse como operciones inverss entre sí, cd propiedd de l derivción se trducirá en un propiedd de l integrción, y vicevers Por ejemplo, l linelidd de l integrl (αf(x)+βg(x)) dx = α estáíntimmente relciond con l linelidd f(x) dx + β (αf + βg) = αf + βg En ests nots discutiremos cómolfórmul g(x) dx (fg) = f g + fg () pr l derivd de un producto d lugr l fórmul de integrción por prtes f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() Comenzremos mostrndo l vlidez de f (x)g(x) dx L derivd del producto de funciones derivbles Δg fδg ΔfΔg g +Δg g fg gδf f Δf f +Δf El áre totl de l figur es (f +Δf)(g +Δg) El dibujo muestr que Δ(fg)=(f +Δf)(g +Δg) fg = fδg + gδf +ΔfΔg,

2 de modo que Δ(fg) Δx = f Δg Δx + g Δf Δx + ΔfΔg Δx Es fácil nlizr qué tiende el miembro de l derech cundo Δx Tenemos Δg Δx g (x), Δf Δx f (x) Por lo tnto ΔfΔg Δx = Δf Δg, Δx porque es el producto de Δf/Δx, que tiende f,porδg, que tiende Combinndo tod est informción concluimos Δ(fg) Δx f g + fg cundo Δx, lo que implic que existe l derivd de fg en los puntos x en que f y g son derivbles y stisfce () Otr form de obtener el mismo resultdo es tener en que l derivd nos dice cuál es l prte linel del incremento de un función Pr f tenemos Pr g f(x +Δx) =f(x)+f (x)δx + ɛ (Δx)Δx g(x +Δx) =g(x)+g (x)δx + ɛ (Δx)Δx Al formr el producto de f(x +Δx) yg(x +Δx) pr clculr (fg)(x +Δx) prece primero un término f(x)g(x), que es el vlor de l función cundo Δx =Eltérmino linel en Δx es (f (x)g(x)+f(x)g (x)) Δx () Todos los demás términos del producto tienen un fctor (Δx), o l combinción de Δx con un expresión que tiende cundo Δx tiende cero, por lo que son sumndos que se vuelven mucho más chicos que Δx cundo Δx, y l prte linel del incremento de fg es justmente (), lo que es equivlente que f (x)g(x)+f(x)g (x) eslderivddefg en x L discusión del párrfo nterior hcerse de mner más breve, menos riguros pero quizás más sugerente L ide de que l rect tngente un curv en un punto es l mejor proximción del curv por un objeto linel, o de que l derivd en x de f nos permite dr un buen descripción de cómo está vrindo f cerc de x, puede escribirse, pr Δx chico, como f(x +Δx) f(x)+f (x)δx Est expresión es un iguldd proximd, sugiere que f(x+δx) es esencilmente lo que prece en el término de l derech menos de un error pequeño Aquí pequeño debe entenderse en el sentido de que el error se hce mucho más chico que Δx cundo Δx Pr g hy un expresión nálog: g(x +Δx) g(x)+g (x)δx Combinndo mbs en el producto de f(x +Δx) yg(x +Δx) obtenemos (fg)(x +Δx) f(x)g(x)+(f (x)g(x)+f(x)g (x)) Δx + f (x)g (x)(δx)

3 Volviendo utilizr en nuestro cálculo l ide de desprecir todo lo que se hce mucho más chico que Δx cundo Δx y observndo que (Δx) tiene est propiedd, todví podemos simplificr un poco más l últim expresión, (fg)(x +Δx) f(x)g(x)+(f (x)g(x)+f(x)g (x)) Δx Reencontrmos sí queeltérmino linel en Δx es () Ejemplo L fórmul de l derivd del producto d un procedimiento lterntivo pr clculr l derivd de un cudrdo Si tenemos en cuent que x = xx, y que l derivd de x es l función constnte, entonces d(x ) dx De mner nálog, x 3 = x x Entonces =x + x =x d(x 3 ) dx =xx + x =3x El procedimiento puede usrse pr tods ls potencis nturles Ejercicio Mostrr por inducción sobre n que pr culquier vlor nturl de n se stisfce d(x n ) dx = nxn Ejemplo Si entonces Ejemplo 3 Si entonces f(x) =x sen x f (x) =senx + x cos x =senx + x cos x f(x) =x log x f (x) =logx + x =logx + x Ejercicio * Clculr ls derivds de x cos x, x sen(x), e x cos x, e x sen x Un distribución de crg qued crcterizd por un función ρ(x), que expres l densidd linel de crg Por ejemplo, cundo l crg está uniformemente distribuid l función ρ es igul un constnte El vlor de l constnte es igul l crg que soport cd unidd de longitud de l vig 3

4 x l Si el perfil de crg es tringulr, como en el dibujo, entonces ρ(x) =x, donde es un constnte L posibilidd de considerr un funcion genéric ρ(x) como densidd linel de crg hbilit modelr un clse muy mpli de situciones, y hcer estudios teóricos generles de los modelos Pr l ménsul empotrd en su extremo derecho y sometid un crg distribuid con densidd ρ, elvlordelcortnteenxes en tnto que el del momento es V (x) = x ρ(t)dt, (3) M(x) = x (x t)ρ(t)dt () Ejercicio 3 Interpretr ls fórmuls (3) y () Estblecer ls nlogís decuds con los csos en que ls crgs están concentrds en lgunos puntos Ejercicio * Comprobr, pr los csos de crgs distribuids que y se hn estudido, que ls fórmuls (3) y () rrojn los vlores correctos pr el cortnte y el momento Y hemos ddo un rgumento que justific l iguldd M = V, (5) entre l derivd del momento y el opuesto del cortnte El siguiente ejercicio propone un demostrción lterntiv Ejercicio 5 Usr l fórmul de l derivd del producto y el teorem fundmentl del cálculo pr mostrr (5) derivndo l expresión () El tipo de fórmuls pr l derivd que obtuvimos en los ejemplos y hbilit clculr primitivs que no son obvis en un primer proximción Lo hremos primero de mner informl en dos ejemplos, y luego discutiremos cómoestidedlugrunprocedimiento sistemático Ejemplo El resultdo del ejemplo permite clculr un primitiv de x cos x Sbemos que (x sen x) =senx + x cos x,

5 lo que es equivlente decir que x sen x es un primitiv de sen x + x cos x Escsiloque queremos, slvo por el sumndo sen x Pero sen x desprecerá del cálculo si ntes de derivr restmos de x sen x un primitiv de sen x, que es lgo conocido pr nosotros: cos x Concluimos sí que F (x) =x sen x +cosx (6) deberí ser un primitiv de x cos x, cos que intentremos verificr derivndo: F (x) =senx + x cos x sen x = x cos x Al terminr el cálculo comprobmos que efectivmente tenemos un primitiv de x cos x Usndo un rzonmiento precido prtir del ejemplo 3 puede resolverse el siguiente ejercicio Ejercicio 6 Clculr un primitiv de log x Ejercicio 7 Pr culquier vlor de, hllr primitivs de x cos(x) Ejercicio 8 Clculr primitivs de e x cos x y e x sen x Sugerenci: considerr l mismo tiempo ls derivds de mbs funciones, y buscr combinciones decuds de ells que permitn resolver el problem plntedo L fórmul de integrción por prtes Ddo que podemos despejr Integrndo entre y b obtenemos f (x)g(x)dx = (fg) = f g + fg f g =(fg) fg (fg) (x)dx f(x)g (x)dx L primer integrl del miembro de l derech es de evlución direct, porque fg es un primitiv del integrndo Result entonces Est fórmul recibe el nombre de integrción por prtes f (x)g(x)dx = fg b f(x)g (x)dx (7) Observción Integrción por prtes puede emplerse tmbién pr el cálculo de primitivs, en l form f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx, (8) que expres que un primitiv de f g puede obtenerse restndo del producto fg un primitiv de fg Ejercicio * 9 Clculr primitivs de ls funciones de los ejercicios 6, 7 y 8, plicndo l fórmul (8) Sugerenci: los cálculos son esencilmente los mismos que y se hicieron, pero puestos en el mrco de este formlismo 5

6 Ejercicio Integrción por prtes suele emplerse cundo se reconoce que el integrndo se puede escribir de mner útil como el producto f g de l derivd f de un ciert función f, por un segund función g Perof estntolderivddef como de culquier otr función f + c, donde c es un constnte rbitrri Qué ocurre cundo dejmos vrir c? Es posible que l vrir c l mism integrl produzc un infinidd de resultdos diferentes? Cómo fect l constnte c el uso de integrción por prtes pr el cálculo de primitivs, tl como se describe en l observcion Ejercicio Clculr l integrl e x ln (x) dx A B C D e e + 3e Ejercicio Clculr xe x dx A - B C e/ D e E + e/ e Ejercicio 3 L integrl es igul π x sen xdx A π π x 3 cos xdx 6

7 B π 3 3 π x 3 sen xdx C π π x sen xdx D π3 π x 3 cos xdx 3 Ejercicio Clculr l integrl e x ln (x) dx A B C D 3 e 3 9 e e 3 3 e + Ejercicio 5 L integrl es igul : / x sen(πx) dx A B 8π C D π 8π 7