Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

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Veronica Fuentes Murillo
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1 Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

2 Unidad I (Capítulo 16 del texto) Cálculo de Varias Variables 1.1 Funciones de varias variables. 1.2 Derivadas parciales. 1.3 Aplicaciones de las derivadas parciales. 1.4 Diferenciación parcial impĺıcita. 1.5 Derivadas parciales de orden superior. 1.6 Regla de la cadena. 1.7 Máximos y mínimos para funciones de dos variables. 1.8 Multiplicadores de Lagrange

3 Derivadas parciales lím h 0 Derivadas parciales f y (x 0, y 0 ) = f(x 0 y 0 + h) f(x 0, y 0 ). h

4 Derivadas Parciales: Definición Supóngase que z = f(x; y). La derivada parcial de f respecto de x, se denota mediante: z o f x (x, y) x Es obtenida mediante la derivación de la función f respecto de x, si y permanece constante.

5 Derivadas Parciales: Definición Supóngase que z = f(x; y). La derivada parcial de f respecto de y, se denota mediante: z y o f y (x, y) Es obtenida mediante la derivación de la función f respecto de y, si x permanece constante.

6 Ejemplo 1 Para la función f(x; y) = x 2 xy 2 + ln(xy) 1 Halle las derivadas parciales f x (x; y) y f y (x; y). 2 Halle el valor de f x ( 1; 2) y f y (1; 2).

7 Solución Recordando las reglas básicas de derivación y tomando en cuenta que la derivada parcial implica que todas las demás variables son constantes: f x (x; y) = 2x y xy (y) = 2x y2 + 1 x Evaluando f y (x; y) = 2xy + 1 xy (x) = 2xy + 1 y f x ( 1; 2) = 2( 1) ( 2) ( 1) = 7 f y (1; 2) = 2(1)(2) + 1 (2) = 7 2

8 Aplicaciónes Productividad marginal del capital y de la mano de obra Un fabricante estima que la producción anual de cierta fábrica está dada por Q(K; L) = 30K 0,3 L 0,7 unidades, donde K es el gasto de capital en miles de dólares y L es el tamaño de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. Halle la productividad marginal de capital Q K y la productividad marginal de mano de obra Q L cuando el gasto de capital es $ y el nivel de mano de obra es 830 horas-trabajador. Si los costos de los factores capital y mano de obra son los mismos, qué factor conviene aumentar su empleo en una unidad?

9 Solución Por definición, la productividad marginal del trabajo es la derivada parcial de la función de producción con respecto al trabajo y la productividad marginal del capital es la derivada parcial de la función de producción con respecto al capital, por lo tanto. Evaluando Q K(K; L) = 30(0,3)K 0,7 L 0,7 = 9,6K 0,7 L 0,7 Q L(K; L) = 30(0,7)K 0,3 L 0,3 = 21K 0,3 L 0,3 Q K(630; 830) = 9,6(630) 0,7 (830) 0,7 = 11,6 Q L(630; 830) = 21(630) 0,3 (830) 0,3 = 19,3 De acuerdo a estos resultados, emplear una unidad adicional de trabajo (L) tiene un efecto mayor en el aumento de la producción que cuando se emplea una unidad adicional de capital (K). Por lo tanto, en este caso es mejor emplear una unidad adicional de trabajo que capital.

10 Aplicaciónes Ley de demanda Suponga que se demandan D 1 (p 1 ; p 2 ) unidades del primer artículo y D 2 (p 1 ; p 2 ) unidades del segundo cuando los precios unitarios de los artículos son p 1 y p 2, respectivamente. Es razonable esperar que la demanda disminuya cuando el precio aumenta, entonces: D 1 p 1 < 0 (Observe que p 2 permanece constante) y D 2 p 2 < 0 (Observe que p 1 permanece constante)

11 Aplicaciónes Artículos Sustitutos Se dice que dos artículos son artículos sustitutos si un aumento en la demanda de uno de ellos causa un decremento en la demanda del otro. La demanda de cada artículo aumenta respecto al precio del otro, es decir: D 1 p 2 > 0 y D 2 p 1 > 0 Ejemplo: Artículos sustitutos o competitivos: como la mantequilla y la margarina.

12 Aplicaciónes Artículos Complementarios Se dice que dos artículos son complementarios si un decremento en la demanda de uno de ellos causa un decremento en la demanda del otro. La demanda de uno se reduce respecto al precio del otro, es decir: D 1 D 2 < 0 y < 0 p 2 p 1 Ejemplo: El boleto de auto bus y la gasolina.

13 Aplicaciones (Ejemplo) Suponga que la función demanda de harina en cierta comunidad está dada por: D 1 (p 1, p 2 ) = p p 2 mientras que la demanda correspondiente de pan está dada por: D 2 (p 1, p 2 ) = p 2 p donde p 1 es el precio en dólares de una libra de harina y p 2 es el precio de una barra de pan. Determine si la harina y el pan son artículos sustitutos, complementarios o ninguno de los dos.

14 Solución Encontrando las derivadas parciales de cada demanda con respecto a los diferentes precios: D 1 D 2 = 25 < 0 = 1 p 2 p 2 p > 0 D 1 = 100 ( 1) (p 1 + 2) 2 = 100 p 1 (p 1 + 2) 2 < 0 D 2 = p 2 ( 1) (p 1 + 7) 2 p 2 = ( 1) p 1 (p 1 + 7) 2 < 0 Por lo tanto, podemos observar que estos dos bienes son complementarios.

15 Diferenciación parcial impĺıcita Una ecuación en x, y, z no necesariamente define a z como función de x y y. Por ejemplo la ecuación z 2 x 2 y 2 = 0, si x = 1 y y = 1, entonces z = 0, por lo que z = ± 2. Así la ecuación anterior no define a z como función de x y y. Sin embargo despejando a z de esta ecuación se obtiene: z = x 2 + y 2 o z = x 2 + y 2 Cada una de las cuales define a z como función de x y de y. Aunque la primera ecuación no expresa de manera explicita a z como función de x y de y, puede considerarse que expresa a z impĺıcitamente como una de dos funciones diferentes de x y de y.

16 Encontrar z/ x de Ejemplo z 2 x 2 y 2 = 0 diferenciamos primero ambos miembros de esta ecuación con respecto a x tratando a z como función de x y y, y tratando a y como constante: x ( z 2 ) x Al despejar z/ x, obtenemos ( z 2 x 2 y 2) = x x (0) ( x 2 ) ( y 2 ) = 0 x 2z z x 2x 0 = 0 2z z x z x = 2x = x z

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