ANEXO: Elementos de teoría óptica y sus aplicaciones técnicas.

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1 ANEXO: Elementos de teoría óptica y sus aplicaciones técnicas. Ante todo: Porqué? El libro de Optica de Sommerfeld comienza con la frase "El ojo es nuestro órgano sensorial más noble" (pág. 1). Un murciélago dice: "No estoy de acuerdo, para mí es el oído". Un perro dice: "Yo voto por el olfato". Beethoven dice: "Estoy de acuerdo con el murciélago; yo prefiero ser ciego antes que sordo". *********************** Esto es un resumen de un curso dado en 008 en la Universidad de Morón. Se tomaron algunos temas de "Apuntes de Optica Astronómica" con inclinación a su aplicación en taller óptico Trataremos de mezclar conceptos de teoría con aplicaciones prácticas sin hacer ninguna discriminación. Suele asociarse a los métodos ópticos la idea de que tienen "alta precisión". La expresión alta precisión es relativa a los métodos de medición y a la magnitud medida. En este caso es un camino óptico, es decir, índice de refracción por longitud, y la unidad natural de medida es la longitud de onda visible, o sea entre 0.4 y 0.8 micrones. Entonces será alta si se la compara con los métodos usuales de taller mecánico. En lo sucesivo se considerará λ = 0.5 mμm, que coincide con la máxima sensibilidad del ojo. El índice de refracción también es una magnitud óptica muy importante y su medición demanda una precisión entre 0.01 y Tallado de superficies. Los métodos tradicionales son la abrasión por esmeril suelto contra una herramienta de forma complementaria, siguiendo con el pulido con torta de brea y óxidos de hierro o cerio, que están incrustados en la brea. El desgaste en cada caso tiene características muy diferentes. Estos métodos son usados principalmente por los constructores de telescopios, tanto aficionados como industriales y trabajan con piezas únicas. Los métodos industriales de tallado simultáneo de muchas piezas chicas no serán tratados aquí. En la fase de abrasión por esmeril suelto no hay grandes problemas, pero deben obsevarse algunas reglas: 1) Es imprescindible que las superficies a tallar tengan un bisel bien ancho, digamos unos mm y a 45 grados. De lo contrario se producirán escalladuras que serán imborrables. El bisel debe ser renovado durante el tallado. Si la naturaleza de la pieza no permite un bisel, habrá que rodearla de un aro de guarda de vidrio de la misma dureza. Si no es de la misma dureza, por ejemplo, una pieza de Pyrex con una guarda de crown común, la pieza de Pyrex tendrá un borde rebajado porque el crown mas blando se desgastará más. ) Si la superficie tiene una curvatura apreciable puede ser necesario producirla por un fresado con fresa diamantada, sino el gasto de vidrio, esmeril y tiempo puede ser prohibitivo. 3) La superficie se va llevando a una textura cada vez más lisa por la aplicación de esmeriles más finos. Estos deben ser puros, de granos de tamaño uniforme y cuidando de no contaminarlos con granos más gruesos. La secuencia de granos puede ser determinada arbitrariamente, pero hay que constatar que al pasar de uno a otro más fino no queden huellas de alguno más grueso. La única forma de comprobarlo es mirando la superficie al trasluz con un buen aumento y verificar que no haya picaduras que se destaquen sobre el fondo uniforme. Aún así conviene proseguir un tiempo más por si queda alguna fractura gruesa que no haya resultado en desprendimiento de vidrio. El esmeril se aplica con agua y la capa debe ser de una consistencia tipo mayonesa -> yoghurt (Son inevitables las comparaciones culinarias, ya habrá más!). La superficie suficientemente lisa como para ser pulida debe reflejar débilmente la luz roja bajo incidencia oblicua, pero esto sólo no es indicio de su estado, hay que mirarla al trasluz. La aplicación del grano más fino de esmeril antes del pulido es crítica. Cuando la superficie está bien uniforme hay que seguir esmerilando otro tiempo mas igual al que llevó hasta allí. Entonces puede suponerse que la superficie se abrillantará uniformemente, y si lo hace por zonas hay que seguir esmerilando. 1

2 4) Los movimientos de las piezas deben asegurar la aplicación uniforme del desgaste, y lo más común es colocar la herramienta abajo, mover la pieza con un movimiento alternativo de amplitud algo menos de 1/3 del diámetro, mientras simultáneamente se la gira. El operador debe realizar todo esto mientras él mismo gira alrededor de la mesa de trabajo, en el mismo sentido y con velocidad angular mucho menor. Si el proceso se hace con máquina se gira la herramienta y la pieza gira por arrastre. 5) La forma que adoptan las superficies con este método son las que permiten un contacto completo en todos sus puntos y en cualquier posición, es decir, esferas o planos. Sin embargo, hay algunas tendencias resultantes de estar una arriba y la otra abajo. La de arriba tiende a ser cóncava y la de abajo convexa porque el voladizo de la de arriba en los puntos extremos de la carrera desgasta más el borde de la de abajo. Todo esto supone que la presión es uniforme. Los talladores expertos (MUY expertos) pueden producir desgastes controlados aplicando presiones no uniformes. Este virtuosismo será de utilidad en la etapa posterior y mas sutil de figurado por pulido. En la etapa de esmerilado puede ser necesario comenzar con estas técnicas en superficies muy asféricas de profundidad grande, algo similar a lo que ocurría en en el punto ) 6) El tallado de planos tiene algunas características especiales. Una superficie será plana si y sólo si está en contacto en todos los puntos y en cualquier posición con otras dos superficies, y de este modo para hacer un plano hace falta hacer tres. Comentario tangencial: Oí decir que el famoso físico Heisenberg decía que de este modo se obtienen planos tan absolutamente planos que no dependen siquiera de si el Universo es o no euclídeo. Tema para teóricos: una recta es una geodésica o la intersección de dos planos hechos de este modo? Deben trabajarse en forma cíclica y alternado también las posiciones arriba y abajo de cada uno. Con un micrómetro palpador se verifica la ausencia de flecha en todos. Por supuesto que el de abajo debe estar apoyado en algo muy blando y uniforme. Hay un fenómeno digno de mencionarse aquí y es el llamado "efecto Twyman": Si el espesor es escaso y se esmerila la cara posterior, aunque sea con esmeril muy fino, esta tomará forma convexa y la que era plana se volverá cóncava. La explicación de esto es que la cara esmerilada está sometida a una tensión de tracción que tiende a aumentar su área debido a las múltiples fracturas. Esferómetros Para la medición del radio de curvatura por medios mecánicos se usa el dispositivo de Fig.1. Fig. 1. Esferómetro Una versión rudimentaria muy usada tiene un palpador central rodeado de un cilindro con radios interior y exterior bien definidos y filosos. El radio de curvatura R resulta de la flecha s y del radio r. r + s R = s Si s << r, la esfera está aproximada por un paraboloide. El borde interior se usa para superficies convexas y el exterior para cóncavas. Para asegurar mayor precisión el palpador con el comparador se reemplaza por un tornillo micrométrico. Si está bien hecho el esferómetro y la medición, deben coincidir los radios cóncavos y convexos medidos sobre dos superficies hermanadas por esmerilado fino, y es difícil lograrlo. Con este instrumento no se detectan apartamientos azimutales de esfericidad, y para ello se requiere uno con tres patas y tomar lecturas en distintas posiciones. Su construcción se complica porque las patas deben ser exactamente equidistantes del centro, y son bolillas de acero cuyo diámetro debe ser tenido en cuenta en la medición.

3 Esferómetro de barra. Fig.. Esferómetro de barra Suele usarse si r y R son grandes o para relevamientos topográficos. El radio se define con dos patas que pueden deslizarse sobre una barra y ajustarse con tornillos. El palpador y las patas deben estar exactamente alineados o habrá error si se inclina. Para evitarlo en lo posible se suele agregar otra pata auxiliar de apoyo, cerca de la barra. Otra fuente de error es la flexión de la barra y de la pieza, por lo que conviene tomar la lectura al primer contacto, cuando la barra todavía no descansa sobre la pieza. Con este método he medido el perfil de una placa correctora Schmidt durante la etapa de figurado por esmerilado fino. Cada vez que se cambia r hay que enrasar el valor cero con un plano patrón. Pulido. En esta etapa ya no se considera que las superficies deben adaptarse exactamente unas a otras. La herramienta está formada por una torta de brea cuya preparación es algo tediosa y las recetas para hacerla son innumerables. Yo no he visto diferencia significativa entre el comportamiento de una brea marca Gugolz, importada de Suiza y una brea alquitranosa comprada en una ferretería. De todos modos también aquí hay recomendaciones. 7) El espesor de la torta debe ser uniforme, y para eso es conveniente derramar la brea flúidamente fundida sobre la herramienta a la que previamente se le pegó una baranda de cinta adhesiva de pintores. La herramienta estará nivelada o girará lentamente. 8) La brea debe ser filtrada con un filtro de café. Aunque no parezca, cuando está bien flúida pasa por el filtro, que ya no servirá más para café. 9) Se abrirán surcos formando una cuadrícula para facilitar la circulación del agente pulidor y su adaptación a la pieza. Antes de usarse, la torta debe ser asentada contra la pieza interponiendo una delgada lámina de polietileno para evitar que se pegue. 10) Si en la superficie de la torta, una vez asentada y habiéndola trabajado, aparecen manchas lechosas, eso estorba el desgaste uniforme y deben ser quitadas raspándolas con una hoja de afeitar. 11) Para superficies esféricas o planas es mejor usar una torta fina de brea dura, porque esto aproxima el régimen de contacto en todos sus puntos; es similar a una continuación del régimen de esmerilado. Para asféricos conviene una torta más gruesa y blanda, puesto que hay que jugar con la deformación. Los asféricos son tema para expertos y éstos suelen encontrarse en los clubs de aficionados a la astronomía. Las técnicas incluyen, por ejemplo, presiones no uniformes aplicadas a mano, herramientas de menor diámetro, tortas de pétalos, (Ver al final Placas correctoras de Schmidt) etc. Las superficies obtenidas son por lo general de sección parabólica, hiperbólica, elíptica y también cuárticas para las placas correctoras Schmidt. 1) El régimen correcto de pulido se reconoce por una fuerza de fricción uniforme y suave, sin discontinuidades. Al principio se oye un sonido similar al de esmerilado y la solución pulidora toma un tinte oscuro porque la superficie rugosa del vidrio lima la brea. A los pocos minutos el ruido cesa y el proceso es bien silencioso. El desgaste es proporcional al trabajo de fricción, es decir, a la fuerza de frotamiento por la distancia recorrida en el movimiento. Como la fuerza de frotamiento es a su vez proporcional a la fuerza normal aplicada, con esta consideración se pueden idear las diversas técnicas para producir deformaciones. Control (o ensayo, o la más clara palabra inglesa testing ). Consideramos métodos de interferencia. Para discutir la teoría del fenómeno nos remitimos al capítulo del apunte "Optica Astronómica", "Interferencia por división de amplitud. 3

4 Tomamos de allí la Fig..1 y la Ec. (.9). Por ahora sólo consideremos los dos primeros haces porque con superficies de vidrio desnudo los otros no contribuyen apreciablemente. Fig.3, ex Fig..1. Interferencia por división de amplitud. π Δ 4π (1), ex (.9) δ = ± π = h n cos θ ± π λ λ Entre la superficie a ensayar y la superficie de referencia o patrón hay una distancia h variable en cada punto, y se quiere determinar la topografía de la superficie tomando como unidad de medida la longitud de onda usada. Fig. 4. Interferómetro de Fizeau. En el dispositivo de la Fig. 4 la incidencia es normal, el espacio que separa las placas es de aire y la fórmula se reduce a 4π δ = h λ El término ± π se discutirá después. Para que se repita la misma condición de interferencia, (franja clara u oscura), δ debe variar en π, o sea h debe variar en λ /. Las franjas marcan las regiones donde hay una dada 4

5 condición de interferencia, en este caso la misma h. Es decir, las franjas describen la topografía de la superficie con líneas de nivel separadas por λ /. En una versión más elaborada de este interferómetro se suele sustituír las galgas de espesor calibrado que separan las placas por un apoyo con tornillos micrométricos para producir una inclinación definida entre ambas. Además, la lente colimadora está corregida de aberración esférica. Si se dispone de una lente común como la dibujada, hay que poner la cara plana hacia arriba porque de ese modo se minimizan los ángulos de incidencia en ambas caras y con ellos las aberraciones, pero esto es un detalle de menor importancia porque las franjas son gruesas. Hay una manera más simple de ver las franjas, que no requiere ningún instrumento. Fig 5. Con luz difusa. Conviene aquí imaginar que la luz sale del ojo y va a parar a algún lugar del techo difusor con ángulos diferentes en cada punto. Entonces se mezclarán los efectos de interferencia d ebidos a la variación de h con los debidos a la variación de θ 1.Volviendo a la Ec.(1), vemos que el factor h cos θ tiene que variar en λ / para pasar de una franja a otra. Si h es grande esto ocurre para una variación menor de θ (o de θ 1, ya que está ligado por la ley de Snell). Como el coseno d isminuye cuando el ángulo aumenta, esto aparece como si bajo incidencia normal, h disminuyera. O sea, que los bordes parecen levantados, indicando una concavidad ficticia. El espesor de la galga generalmente es pequeño y se usa para evitar un contacto físico que podría dañar las superficies, y también para introducir una ligera inclinación. Este método se describe para poder hacer mediciones rápidas e improvisadas, y valen las siguientes recetas y recomendaciones: 1) Las franjas parecen escapar del punto de contacto si la inclinación disminuye. Un sistema concéntrico de franjas disminuirá sus radios al presionar el centro si la superficie es cóncava y aumentará si es convexa. ) Aún sin galgas, las placas no se tocan debido a una capa de aire que permanece adherida a ellas y a partículas que inevitablemente se depositarán. De hecho, lograr el contacto completo requiere una técnica refinada y una cuidadosa limpieza, y en ese caso las placas quedan pegadas por las fuerzas moleculares. El efecto de concavidad ficticia por inclinación será mínimo si no se ponen galgas. Para estimar si el efecto de inclinación es importante, hay que alejar el ojo y la superficie difusora lo más posible sobre la normal. Al acercar el ojo irán apareciendo nuevas franjas desde la periferia. Puede comprobarse que aparecen en mayor 5

6 cantidad si las galgas son gruesas. Si no hay galgas el efecto es prácticamente despreciable. Si las placas no se deslizan no hay porqué temer que se produzcan rayas en este caso. 3) Una galga muy simple y adecuada es una hoja fina de papel tisú (o higiénico). Como este papel es compresible pueden cortarse como finos triángulos o cuñas con las puntas hacia adentro, poniendo tres equiespaciadas. Al retirar lentamente una de ellas, la mayor presión hará bajar esa parte y se obtendrá una inclinación controlada. Si se decide no poner galgas, el papel tisú también será útil: interponiendo una hoja y retirándola lentamente, el papel barrerá las partículas que queden y las placas estarán en cuasi-contacto antes que caigan nuevas. Si la placa ensayada es fina y de diámetro grande, la presencia de galgas hará flexionar y caer las partes en voladizo. No hay forma de evitar eso, y es una buena razón para no poner galgas. Es oportuno agregar aquí que la superficie de referencia debe ser bien gruesa y apoyada sobre algo blando y uniforme. 4) Si el espesor de las galgas aumenta, el contraste de las franjas disminuye y con él su visibilidad. Esto está ligado a la pureza espectral de la luz usada, por ejemplo, con luz de sodio la franja número 491 y las adyacentes no se ven, y con un laser se pueden ver cientos de miles. El fenómeno merece un estudio aparte y se llama coherencia temporal. (Ver al final "Colores de interferencia"). 5) Las variaciones de temperatura pueden ser importantes. Yo he tenido la siguiente experiencia: Mientra tallaba un plano, a la mañana la superficie estaba cóncava y a la tarde convexa. Rastreando el problema, resultó que todo había estado frío durante la noche, y al encender la calefacción del taller, las placas se calentaban desde la periferia hacia el centro, con lo que los bordes se levantaban. Al apagar la calefacción ocurría el efecto inverso. Para evitar conflictos con los operarios tuve que quedarme una noche entera trabajando sin calefacción y salió todo bien. A menos de exigencias extremas, el método improvisado anda bien si se cumplen los puntos anteriores. El término ± π. Las fórmulas de Fresnel para incidencia normal o cercana a normal dicen: n1 n r1 = n + n 1 Si la luz recorre el camino inverso, será r 1 = r1 = r1 e En la formación de las franjas, puede considerarse que el segundo haz hace un camino inverso por la secuencia de índices. Entonces, cuando h tiende a cero, las amplitudes se restan y la resultante es nula. Esta condición puede interpretarse como producida por una diferencia de fase de π. Es decir, las ondas están en contrafase. El tercer término de la ecuación anterior lo dice más escuetamente gracias a la fórmula que los matemáticos llaman la más bella : e i π + 1 = 0 Esto no tiene ninguna consecuencia en lo que estuvimos viendo porque se tratan diferencias de nivel, pero hay dos fenómenos donde sí se ve algo: En la experiencia de los anillos de Newton el centro, o sea el punto de contacto no refleja luz, es oscuro. Podemos asumir que el centro está en contacto porque allí la presión es alta. Las pompas de jabón a punto de explotar presentan zonas oscuras donde el espesor está en el mínimo. i π Testing de planos. Las superficies planas son las que pueden ser requeridas con la máxima precisión.durante el esmerilado se verificó la planicidad de la terna por medición de las flechas con un micrómetro palpador, pero al llegar a la fase de pulido puede quedar un residuo de curvatura indetectable mecánicamente. Se determinan las flechas de cada uno contrastando los 3 pares que pueden formarse. Veamos un ejemplo. 6

7 Fig. 6. Contraste de pares. otra. Las superficies A, B, C tienen curvaturas residuales tales que: A es cóncava en franjas. B es convexa en 3 franjas. C es convexa en 4 franjas. Esto no se conoce, y lo único que puede observarse es la topografía de una respecto de 7

8 Vemos así que contrastando A con C aparece una diferencia de franjas, y presionando en el centro las franjas se corren hacia afuera, lo que indica que las superficies están mas cerca en el centro que en el borde. Las tres franjas que hay en el centro están dibujadas arbitrariamente, son indetectables y se deben a la película de aire. Del mismo modo, contrastando B con C resulta una diferencia de 7 franjas, que se corren hacia afuera al presionar el centro. Contrastando A con B resulta una diferencia de 1 franja, que se corre hacia afuera. Arbitrariamente podemos considerar positivo al caso en que las franjas se corren hacia afuera y negativo si se corren hacia adentro. Entonces los resultados de las mediciones son, indicando con A, B, C las respectivas flechas medidas en unidades de franja: A + C = B + C = 7 A + B = 1 Lo que resulta en A =, B = 3, C = 4. La conducta a seguir será entonces, trabajar A con la torta arriba y B y C con la torta abajo. La gran pregunta es: durante cuánto tiempo?, y no tiene respuesta y templa el carácter del tallador. Placas de prueba. ( Test-plates ). Para verificar una superficie curva se puede usar el interferómetro de Fizeau donde la superficie en contacto es la complementaria de la que se observa, y su cara anterior está tallada con un radio r tal que los rayos inciden normalmente en el contacto. De este modo se evitan los errores por inclinación. Estas placas definen el radio con mayor precisión que un esferómetro y son necesarias cuando se fabrican grandes series. Con un cálculo paraxial resulta r = ( R + t )( n 1) n L + R + t L Fig 7. Test plates. Dibujo exacto paraxial. 8

9 El asunto se complica si los errores no consisten en una curvatura residual uniforme, sino que son irregulares, y a medida que la precisión se incrementa es inevitable caer en esta situación. Si los procesos anteriores fueron hechos con cuidado se puede mantener una forma de revolución, y entonces, tanto la interpretación de las franjas como el tratamiento con las técnicas virtuosas de los aficionados son accesibles. Si se logra una superficie tal que, para una dada inclinación la franja se extiende uniformemente sobre toda la placa, puede decirse que el error es menor que λ / 4, como puede verse en la Fig. 8. Para este entonces hay que decidirse a usar un buen interferómetro de Fizeau y abandonar el método improvisado. Fig 8. Franja de interferencia de doble haz. Las franjas de interferencia de doble haz tienen un perfil sinusoidal, y la apreciación de los errores se hace, o bien detectando variaciones de intensidad o bien produciendo una inclinación y detectando apartamientos de una línea recta. De este modo se puede llegar a producir una superficie con error del orden de λ / 10, que es ampliamente suficiente para la mayoría de las aplicaciones. Los interferómetros de Fabry-Perot requieren precisiones de λ / 100, y no hay otro límite que el tamaño de los átomos, que es λ / En este dominio las exigencias técnicas crecen exponencialmente, pero se han hecho. (Uno de los ejemplos más notables es el interferómetro LIGO, con el que se espera detectar ondas gravitacionales). No sólo es necesaria la forma sino también el estado microscópico de la superficie, debe ser super-lisa además de super-plana. Estos interferómetros operan con interferencia de haces múltiples, y esta característica es la que plantea las exigencias. Nos remitimos otra vez a la Fig. 3, a todos los desarrollos matemáticos que conducen a las Ecs. (.5), (.6), (.7), (5.9) del apunte, y a sus representaciones gráficas. Si se quiere que los haces múltiples tengan intensidades grandes debido a la reflexión de Fresnel, se necesitarían índices de refracción muy altos, y tales materiales no existen, salvo quizás el germanio en el infrarrojo, con índice 4. La solución consiste en depositar un film reflectante en ambas caras. Pueden ser de aluminio (barato, bueno en el UV, y resistente al ataque atmosférico por la capa de óxido protector que se forma naturalmente) o plata (mayor reflectividad en el visible, pero atacable por la atmósfera). El film de plata se puede proteger artificialmente depositando encima una capa de fluoruro de magnesio MgF, y con esto entramos también en el tema tratamientos. Las franjas se vuelven muy finas y se observan perfectamente tanto en reflexión como en transmisión. Incidentalmente vale la pena tratar aquí los sistemas de franjas observables en un Fabry- Perot y compararlos con los anillos de Newton. Los anillos de Newton son franjas de igual espesor. Si la superficie de arriba es esférica, la altura y se puede aproximar por una parábola de ecuación y = r / R Donde r es el radio a partir del punto de contacto y R es el radio de curvatura de la superficie de arriba. Aparecerá una franja cada vez que y se incremente en λ /, o sea para los valores r k r k = k λ R, k = 1,, 3,...etc. El camino óptico aumenta hacia el borde. 9

10 En el Fabry-Perot las placas son planas y paralelas y están separadas por una distancia h grande y constante. Sin peligro de error podemos descartar el subíndice en el ángulo para no complicar las fórmulas; ahora el subíndice en el ángulo denotará el número de franja. En el centro el orden de interferencia será m, digamos, tal que h / λ = m. Al aumentar θ, el camino óptico, o sea el orden disminuye, y habrá un ángulo en que sea m-k. Entonces h h cos θk = m, = m k λ λ h ( 1 cos θk ) h θk = k λ λ k λ θ k, k = 1,, 3,...etc. h El aspecto de las franjas, salvo su fineza es el mismo, pero el orden disminuye hacia el borde. Para más detalles ver el capítulo 5 del apunte. Se han desarrollado técnicas para este tipo de trabajos. Por ejemplo, para obtener superficies muy lisas se trabaja con la torta y la pieza sumergidas en una solución del agente pulidor.(ref. 1) Para tener más control sobre el desgaste se usa una torta hecha de teflón en lugar de brea. Este se aplica sobre una herramienta donde se ha hecho una cuadrícula muy fina fresando el vidrio y luego pintándola con una solución de teflón que se obtiene comercialmente.(refs., 3, 4, 5) El desgaste es mucho más lento y la superficie debe ser llevada a una forma cercana por el método anterior. Si la superficie tiene micro-rugosidad, la línea se ensancha más de lo que debería por efecto de la reflectividad, y este ensanchamiento adicional sirve para estimar la rugosidad. (Fig. 9). Fig. 9. Comparación de rugosidades con franjas de haz múltiple. (De ref. 1) Las placas se deben metalizar cada vez que se miden. Para estos casos se suelen usar placas de cuarzo fundido, que tiene muchas ventajas: se dilata menos y la temperatura no debe ser mantenida con tolerancias tan estrictas, es más duro y la superficie resulta más lisa. Al ser un compuesto químico definido ( SiO ), todas sus propiedades también están definidas. Un resultado de excelente calidad se aprecia en la Fig. 10. Fig. 10. Franjas de haz múltiple de superficie pulida con teflon. (De refs 5). 10

11 En su uso final, el interferómetro de Fabry-Perot lleva aplicados espejos dieléctricos multicapas que llevan la reflectividad mucho más allá de la de los espejos metálicos. Placas plano-paralelas. Suele necesitarse una placa que tenga sus dos caras planas y además paralelas. Estas tres condiciones se pueden cumplir simultáneamente con una máquina originariamente inventada por Carl Johansson en 1896 para hacer galgas metrológicas de muy alta precisión mecánica (Los llamados Jo blocks ). Consiste en dos superficies que trabajan ambos lados de la pieza mientras ésta rota en forma planetaria sobre un anillo impulsado por un engranaje desde el centro.(ref. 6). La Fig. 11 es una de las muchas que hay en la referencia y se entiende mejor viéndolas. Fig. 11. Tallado de planos paralelos. Uso del aparato de Foucault. Este dispositivo es bien conocido por los aficionados a la astronomía, y su descripción puede encontrarse en la literatura sobre ese tema. Veremos una aplicación elemental, pero la más usada. En la Fig. 1 hay un espejo parabólico y la esfera que tiene su mismo radio de curvatura axial. Fig. 1. Espejo parabólico, su esfera osculadora y sus normales. Dibujo exacto. 11

12 Colocando la fuente de luz inicialmente en O, el centro de la esfera, la porción central devolverá lo rayos al mismo punto y entonces aparecerá uniformemente iluminada si se pone el ojo allí (o un poco al costado, por supuesto). Una zona alejada del centro, de ancho d y a distancia r, tiene una normal que intersecta el eje más lejos, a una distancia R +, donde y es la ordenada de la parábola. Esta condición y p p vale sólo para la parábola, y será demostrada después. La pendiente de la parábola respecto de la esfera está dada por el pequeño ánguloγ (gamma), que a su vez es el mismo que hay entre sus normales. Al atravesar la zona de ancho d, las curvas se apartarán y habrá una diferencia h de alturas Resulta de la figura y sen φ y r d h = γ d = d R + y cos φ R r En el segundo término se tomó sen φ = y se despreció y cos φ frente a R. R Con esta aproximación, el error cometido será mayor cuanto mayor sea d, r, y cuanto menor sea R, pero es despreciable en la práctica La altimetría de la parábola respecto de la esfera resulta de sumar los sucesivos h con r crecientes. Implementando esto en la práctica, se ve que para mantener una cierta precisión debe ser el ancho d de las zonas decreciente al aumentar r, y una forma natural de hacerlo es poner las zonas distribuídas como los anillos de Newton. De esta forma los incrementos de y son todos iguales y también son iguales las áreas cubiertas por cada zona. Esto refleja el hecho que la parte más difícil y delicada de un espejo es hacia el borde. La Ec.() puede usarse para determinar la topografía de una superficie cualquiera respecto de una referencia, si se conocen las normales a la referencia. Una vez que el tallado de un espejo parabólico comenzó a progresar, puede usarse una parábola de referencia elegida según conveniencia en lugar de la esfera. La fórmula se habrá transformado entonces ( y m y t ) r d () h = R Aquí es y m = y medida, y t = y teórica. Se reduce a la anterior si la referencia es una esfera porque en ese caso y t es idénticamente cero. Como lo que interesa es que la curva tallada sea una parábola, y no una exactamente definida, puede tomarse como referencia la que más aproxima las mediciones. Intersección de la normal a una parábola con el eje. x0 En el punto x 0 la parábola tiene una altura y 0 = R x0 La pendiente es allí y 0 = R R La pendiente de la normal es `y0 = x0 La recta normal tiene entonces la ecuación R ( y y ) ( 0 ) 0 = x x x, o sea 0 R x x0 y = + + R x R 0 Para x = 0 queda lo que se dijo. 1

13 Veremos con algún detalle el programa FOUCAULT, que implementa una medición. Para empezar, se definen el radio de curvatura R, y el radio claro r del espejo, y el número de zonas, que puede ser hasta 10. El programa entrega entonces un gráfico donde están los radios intermedios de cada zona y los de sus bordes. Este gráfico tiene las proporciones correctas pero luego habrá que ampliarlo, procesarlo e imprimirlo para obtener la máscara de zonas. Luego aparecen calculadas para cada zona, las y t correspondientes y un espacio donde ingresar las y m. Por último el programa entrega un listado con las alturas calculadas y los radios de borde de zona, donde son asignadas estas alturas, junto con un gráfico en una escala fija adecuada para el caso. Los datos mostrados en el gráfico están en μm, con líneas intermedias cada 0.1 μm. Todos los demás datos van en mm. Para validar el programa se tomó un espejo con R = 400 mm, r = 100 mm y se calculó la diferencia en el borde. r H = R + R r R entre la parábola y su esfera osculadora. El resultado exacto es 4 H = x 10 mm Haciendo la integración aproximada con la fórmula () Resulta H = Z Z i = 1 y i r i d i / R H x Cuando Z, el número de zonas aumenta H converge al valor exacto, obviamente. 4 mm 13

14 Fig 13. Paso 1: Definición de la máscara. Claro, bordes. Oscuro, radios intermedios.10 zonas Fig. 14. Paso : Alturas con base esfera. 14

15 El método de Foucault clásico se puso para no quebrar una tradición, pero el programa funciona exactamente igual con el test del hilo. (ver más abajo). La idea para el programa está dada en la primera fórmula del artículo de Platzeck Gaviola. (Ref 10). Otro punto a notar es la distribución de las zonas con la misma ley que los anillos de Newton. Esta distribución no está especificada claramente en ninguna parte, y parece la más natural. Método de la cáustica. (sólo comentario). Para un espejo de gran apertura relativa las aproximaciones vistas no valen. La superficie puede asimilarse a una esfera sólo en la zona axial; alejándose de ella aparecen dos curvaturas, una en el plano meridional y otra en el sagital. Puede demostrarse con la geometría diferencial que el centro de curvatura sagital está sobre el eje y el meridional sobre una curva llamada cáustica, que es el lugar de los centros de curvatura de la sección meridional. El haz reflejado por la zona es astigmático y el punto de auto-enfoque, similar al O para la zona central, tiene una posición definida. Colocando la fuente allí, si no hay enfoque habrá que correrla a una posición donde lo haya. Con estas dos cantidades se puede estimar el error de pendiente en forma similar al caso anterior, pero la precisión para superficies abiertas es mayor. Interpretación de las sombras de Foucault. Un espejo parabólico no tiene aberración esférica si el objeto está en el infinito, y uno esférico sí la tiene. Observando desde el centro de curvatura ocurre lo contrario. En cualquiera de los dos casos es útil examinar qué ocurre cuando se bloquea un haz con aberración esférica mediante un borde recto. Fig. 15. Sombras de Foucault. Rayos exactos a tercer orden, y sombra esquemática. No solo la aberración esférica puede verse. Si el examen se hace con la fuente y el borde bien separados aparecen las aberraciones oblicuas con sus figuras características. Los límites entre las zonas iluminadas y las oscuras son esfumados debido a la difracción. Este estudio es sólo geométrico. El aparato de Foucault es bien sensible y simple, pero la interpretación de las sombras requiere práctica. Test del hilo. Si se reemplaza el borde opaco por un fino hilo, su sombra cae en el límite entre luz y sombra del caso anterior. Aquí la difracción ayuda a una mejor definición porque puede usarse un grosor de hilo adecuado para que en el medio de la sombra circular haya una fina línea luminosa. Esta fina línea hace posible una alta precisión. 15

16 Es notable que Platzeck-Gaviola usaron el test del hilo en la preparación su artículo pero no le dieron importancia. La curva del espejo puede determinarse midiendo el radio de la sombra circular o mejor, de la línea luminosa si se obtiene, en función del desplazamiento longitudinal. En la discusiones anteriores se consideró un espejo parabólico, pero el test puede extenderse a espejos de cualquier perfil, y también a cualquier sistema óptico formador de imagen, colocando la fuente donde se forma y un espejo auxiliar para producir la autocolimación. Si el sistema es telescópico basta un espejo plano. Un espejo parabólico en autocolimación no presenta aberración esférica, pero si un sistema complejo se observa en autocolimación y la imagen es aberrada hay que analizar todo el montaje con trazado de rayos. Interferómetro de Linnik. Fig. 17. Interferómetro de Linnik La idea del interferómetro se basa en la simple aplicación del principio de Huygens. En la Fig. 17 un haz convergente aberrado incide desde la izquierda, y en la zona del foco es interceptado por un film semitransparente con un pequeño agujerito en la zona de la imagen. El agujerito forma un frente de onda esférico que interfiere con el aberrado después de pasar por el foco. Para que las franjas sean bien contrastadas debe ser la intensidad de luz atenuada del frente aberrado igual a la que emite el agujerito. Las dimensiones de éste deben ser del orden de la mitad que las del disco de difracción de Airy si no hubiera aberración, para que sea efectivamente una fuente puntual. Es decir, la transparencia del film es el cociente entre el área del agujerito y el área de la zona de imagen. Es conveniente entonces tener toda una serie de films con combinaciones de diámetros y transparencias para adecuarlo al sistema que se ensaye. Es el interferómetro mejor para examinar sistemas ópticos formadores de imagen, por las siguientes ventajas: No es afectado por las vibraciones del ambiente Es extremadamente simple de construír y de montar. Una técnica para producir los agujeritos es poner una pequeña gota de mercurio sobre un cubreobjeto de microscopio y dividirla en muchas microscópicas mediante un golpe con una hoja de afeitar. Las gotas muy chicas se mantienen adheridas al vidrio y se pueden examinar y seleccionar con un microscopio antes de llevar todo a la cámara de vacío para cubrirlas con un film semitransparente de aluminio. Las gotas luego se quitan con un chorro de aire desde una jeringa hipodérmica. El uso de un cubreobjetos es recomendable para que el espesor del soporte del film no introduzca otras aberraciones. 16

17 Refractómetro Hilger Chance. Fig.18. Esquema del refractómetro. La muestra de índice n se talla en ángulo recto y se coloca en una cavidad formada por dos prismas pegados de índice conocido. La luz incide normalmente a la primera cara del n p prisma y sale del sistema con un ángulo de desviación δ = i 6. El índice n es función de δ y de n p. En la Fig.18 hay un ejemplo numérico ilustrativo. La fórmula que liga estas cantidades (Ref. 7) es algo compleja para deducir pero se hará de una vez. De la figura resultan las ecuaciones de condición n p sen i 5 = o i 4 = 45 i n sen i = i sen δ 5 n p 4 o = 90 i 3 n sen i Se busca n = n( n,δ ) p = n p sen i sen δ sen i 5 = n p 1 sen i 4 = cos i 5 i5 1 = 1 sen i5 sen i 5 3 ( sen ) sen i 4 = 1 sen i 5 1 sen i5 17

18 sen i 4 = 1 sen δ n p sen 1 n p δ sen i 3 = n p n 1 sen δ n p sen 1 n p δ 1 sen δ n p sen n p = n δ sen i = cos i 3 = 1 sen i 3 1 np = 1 sen δ n sen δ n p n p n p = n + sen δ n p sen δ n p n p = n + sen δ n p sen δ n = n p sen δ n p sen δ Este refractómetro es el mejor para óptica industrial por las siguientes ventajas: La muestra debe ser presentada con un par de caras prismáticas perpendiculares, que es la forma en que vienen las placas de vidrio en bruto. No es necesario que las caras estén pulidas, basta con un esmerilado muy fino. No es necesaria una gran precisión en la perpendicularidad de las caras. El índice medido es el de la masa del vidrio, independiente de cualquier variación superficial, films, etc. La precisión alcanzable es de la quinta decimal, suficiente para las más exigentes especificaciones de sistemas ópticos. La muestra se coloca en la cavidad con un líquido de contacto cuyo índice se trata que sea similar. De este modo se minimizan los efectos de rugosidad y de error en el ángulo. El prisma debe ser hecho, y su índice conocido, con gran precisión. El índice de líquidos puede medirse colocando paredes a la cavidad. El prisma se ilumina con un colimador y el ángulo puede leerse con un anteojo y un círculo graduado, pero es mejor usar el mismo colimador en autocolimación y medir el ángulo con una barra de senos y un tornillo micrométrico. En el Centro de Investigaciones Opticas (CiOP) se ha construído un instrumento así. 18

19 Fig. 19. Cabezal de medición del instrumento del CIOp Análisis de errores. Para estimar los errores debidos a la discrepancia entre el índice de la muestra y el del líquido, y también al error de perpendicularidad de la muestra, hay que hacer un modelo donde se introduzcan estos errores. Es claro que el error resultante en el índice se produce cuando ambos factores están presentes. Si la muestra es perfectamente perpendicular y el líquido difiere de índice, o bien si el líquido tiene igual índice pero la muestra no es perpendicular, el error será cero, porque no existe una cuña inhomogénea entre muestra y prisma. Si se miden líquidos entonces no hay error por estas causas, pero deben evitarse gradientes térmicos o inhomogeneidades del líquido. El modelo consiste en una secuencia de prismas donde además de los de diseño, están los que representan las cuñas inhomogéneas, y el análisis se hace mediante trazado de rayos en prismas. Las fórmulas correspondientes son: (Fig. 0). α = u + i = u 1 + i 1 α.es el ángulo de la cara del prisma, u y u1 son las pendientes del rayo, i y i1 son los ángulos de incidencia. Con las convenciones de signos usuales en trazado paraxial, en la figura son todos positivos. Agregando la ley de Snell, n sen i = n sen, resulta 1 i 1 19

20 (3) u 1 n sen = α arc sen n ( α u) 1 Fig 0. Trazado de rayos en prismas. (Programa TRAPRIS) La Ec. (3) se aplica secuencialmente. Usando este modelo aplicado a una gran cantidad de combinaciones de parámetros y suponiendo siempre que el índice del prisma es n p = , y que no tiene errores constructivos (el del instrumento del CIOp), se derivó la siguiente fórmula empírica para estimar el error en n. (Ref. 8). (4) δ n = 10 ( n) ( nl n) ( A 90) Donde A es el ángulo con que se talló la muestra y n L.es el índice del líquido. Puede verse que el ángulo debe aproximarse al minuto y el índice del líquido a la primera decimal si se quiere aproximar la quinta decimal. Fig 1. Salida del programa de medición. La operación del instrumento se hace moviendo un tornillo micrométrico con un motor paso a paso. Hay un programa que hace una secuencia de operaciones usando la fórmula y los parámetros constructivos del instrumento, envía un pulso al motor y presenta los datos en pantalla, para luego repetir todo. El refractómetro está operativo en el CIOp (ciop.unlp.edu.ar) y se intenta que sea un servicio a la industria óptica. Se ofrece una medición por un moderado arancel. 0

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