Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

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1 Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas para el aálisis de sistemas lieales... Descomposició de ua Señal Discreta e Impulsos... Respuesta de u Sistema LTI a Etradas Arbitrarias: La Covolució... Métodos para el Cálculo de la Covolució..5. Propiedades de la Covolució y la Itercoeió de Sistemas LTI.. Tareas Dr. Luis Javier Morales Medoza

2 Itroducció.. Itroducció E la lectura se clasificaro lo sistemas segú ciertas propiedades características o categorías. Habiedo eco esto, os cetraremos aora e el aálisis de los sistemas que posee ua liealidad e ivariaza e el tiempo comúmete abreviados como sistemas LTI. E cocreto, demostraremos que dicos sistemas queda caracterizados e el domiio del tiempo por su respuesta a u impulso uitario. Además, se demostrará que cualquier secuecia de etrada puede cosiderarse como la suma poderada de impulsos uitarios (deltas). Etoces, como cosecuecia, de las propiedades de liealidad e ivariaza e el tiempo del sistema, la respuesta del sistema a cualquier secuecia de etrada podrá ser epresada e térmios de la respuesta del sistema al impulso uitario. Dr. Luis Javier Morales Medoza Itroducció Se obtedrá además, la formula geeral que relacioa la respuesta al impulso uitario co las señales de etrada y salida del sistema, coocida como covolució. Y fialmete, seremos capaces de determiar la salida de u sistema lieal e ivariate e el tiempo para cualquier señal de etrada... Aálisis de Sistemas Discretos LTI... Técicas para el aálisis de sistemas lieales Eiste dos métodos básicos para el aálisis del comportamieto o respuesta de u sistema lieal a ua determiada señal de etrada. U método se basa e obteer la solució de la ecuació de etrada-salida del sistema que, e geeral tiee la siguiete forma [ y( ), y( ),..., y( N), ( ), ( ),..., ( )] y( ) F N (.) dode F[.] represeta cualquier fució. Dr. Luis Javier Morales Medoza

3 Aálisis de sistemas LTI E cocreto para sistema lieales e ivariates e el tiempo (LTI), se verá más adelate que la forma geeral de la relació de etrada-salida esta defiida como N M y( ) a y( ) b ( ) (.) 0 dode {a } y {b } so los parámetros costates que especifica el sistema y so idepedietes de () e y(). La relació etrada-salida dada e (.) se deomia ecuació e diferecias y represeta ua de las maeras de caracterizar el comportamieto de u sistema discreto LTI. El segudo método para el aálisis del comportamieto de u sistema lieal ate ua determiada etrada se basa e descompoer dica señal de etrada e señales elemetales. Las señales se escoge de maera que sea fácil determiar la respuesta del sistema a cada ua de ellas. Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Aálisis de sistemas LTI Etoces, usado la propiedad de liealidad del sistema, se suma las respuestas del sistema a cada ua para obteer la respuesta global del sistema. Demostració: Se tiee que la señal () puede ser epresada como ua suma poderada de señales elemetales { ()} ( ) c ( ) dode los {c } defie el cojuto de coeficietes de poderació de la descomposició de la señal (). Por lo tato, la respuesta de la señal elemetal es defiida como y ( ) T[ ( )] Dr. Luis Javier Morales Medoza 6

4 Aálisis de sistemas LTI Para u sistema está e reposo, la respuesta del sistema c () es c y (). Por lo tato, la respuesta total de la etrada () es y ) T[ ( )] T c ( ) c T ) ( [ ( ] y ( ) c (.) Auque, a primera vista parece que la elecció de las señales elemetales es completamete arbitraria, e realidad dica elecció está fuertemete codicioada por la clase de señales de etrada que queremos cosiderar. Si o se cosidera igua restricció para las señales de etrada, etoces, la descomposició de las mismas e ua suma poderada de impulsos uitarios desplazados la cual es matemáticamete coveiete y completamete geeral. Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Aálisis de sistemas LTI c () c ( ) Figura.. c ( ) c ( ) Dr. Luis Javier Morales Medoza 8

5 Aálisis de sistemas LTI... Descomposició de ua Señal Discreta e Impulsos Supogamos que se tiee ua señal arbitraria () que se quiere epresar como la suma de impulsos uitarios. Primero se escoge las señales elemetales () como ( ) ( ) dode represeta el retrazo del impulso uitario. Para poder maejar ua señal arbitraria () que puede teer ifiitos valores, el cojuto de impulsos uitarios debe ser tambié ifiito, para coteer u úmero ifiito de desplazamietos. Supogamos aora, que se multiplica la secuecia () co ( ). Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Aálisis de sistemas LTI dado que ( ) es cero e todos los putos ecepto e, dode vale uo, el resultado de esta multiplicació e otra secuecia que vale cero e todos los putos ecepto e dode vale (), como se ilustra e la Figura. por lo tato ( ) ( ) ( ) ( ) E otras palabras, cada multiplicació de la señal () por u impulso uitario desplazada uidades y se etrae de la secuecia () el valor e el puto ya que el impulso uitario vale uo e ese puto. E cosecuecia, si repetimos esta multiplicació por todos los posibles desplazamietos e el domiio de < <, y se suma el resultado de todas estas multiplicacioes, se obtedrá ua señal igual a la secuecia origial (). Dr. Luis Javier Morales Medoza 0 5

6 Aálisis de sistemas LTI () ( ) y() Figura.. Multiplicació de ua señal () co u impulso uitario desplazado Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI Es decir ( ) ( ) ( ) (.) Aquí, se ace icapié el eco de que la parte dereca de (.) es la sumatoria de u úmero ifiito de impulsos uitarios ( ) que tiee ua amplitud (). Así, la parte dereca os proporcioa la descomposició de ua señal arbitraria () e ua suma poderada de impulsos uitarios desplazados. Ejemplo.. Cosidere ua secuecia de duració fiita dada por () {,, 0, }, eprese esta secuecias () como la suma poderada de impulsos uitarios. Dr. Luis Javier Morales Medoza 6

7 Aálisis de sistemas LTI Sol. Dado que la secuecia () es distita de cero para, 0 y, etoces, se ecesita tres impulsos e los putos, 0 y, etoces se tiee ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo.. Eprese la siguiete secuecia e térmios de impulsos uitarios. () {,,,,,, 0, -, -} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 6) Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI... Respuesta de u Sistema LTI a Etradas Arbitrarias: La Covolució Aora que se a epresado ua señal de etrada arbitraria () como la suma poderada de impulsos, estamos preparados para determiar la respuesta de u sistema LTI e reposo a cualquier señal de etrada. Primero, se deotará la respuesta del sistema y(,) a u impulso uitario e el istate mediate el símbolo especial (,) de < <. Es decir y (, ) (, ) T[ ( )] (.5) E (.5) se observa que es el ídice temporal y idica la posició del impulso o istate e el que el impulso uitario es distito a cero. Si el impulso a la etrada del sistema se escala ua cierta catidad c (), la respuesta del sistema quedará escalada por la misma catidad, esto es, Dr. Luis Javier Morales Medoza 7

8 Aálisis de sistemas LTI c (, ) ( ) (, ) (.6) Fialmete, si la etrada es la señal arbitraria () es epresada como la suma poderada de impulsos ( ) ( ) ( ) (.7) etoces la respuesta del sistema es la correspodiete suma poderada de la respuesta a los impulsos es, y ( ) T[ ( )] T ( ) ( ) ( ) T[ ( ) ] Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Aálisis de sistemas LTI ( ) y ( ) (, ) (.8) Claramete, la (.8) cumple co el pricipio de superposició de los sistemas lieales y se cooce como sumatoria de superposició. Es importate otar que (.8) es la respuesta de u sistema lieal a cualquier secuecia de etrada (). Esta epresió es ua fució tato de () como de las respuestas (,) del sistema a los impulsos uitarios ( ) co < <. Para obteer la (.8) se izo uso de la propiedad de liealidad del sistema, pero o de la propiedad de ivariaza e el tiempo. Por lo tato, la epresió (.8) es aplicable a cualquier sistema lieal e reposo. Si además, el sistema es ivariate e el tiempo, la (.8) se simplifica cosiderablemete. Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 8

9 Aálisis de sistemas LTI De eco, si la respuesta del sistema al impulso uitario () se deota por (), esto es ( ) T[ ( )] etoces, por la propiedad de ivariaza e el tiempo, la respuesta del sistema al impulso uitario desplazado ( ) es ( ) T[ ( ) ] e cosecuecia, ( ) ( ) ( ) y (.9) Aora queda claro que el sistema LTI e reposo queda totalmete caracterizado por la fució (), es decir, su respuesta al impulso uitario (). Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Aálisis de sistemas LTI Por el cotrario, la caracterizació de la salida de ua salida lieal ivariate e el tiempo eige el coocimieto de ifiita fucioes de respuesta a los impulsos uitarios desplazados. La epresió (.9) da la respuesta y() del sistema LTI como fució de la señal de etrada () y de la respuesta impulsioal () se deomia covolució. E otras palabras, la etrada del sistema () se covolucioa co la respuesta impulsioal () para producir la salida y(). El procedimieto para calcular a y() tato e forma matemática como e forma gráfica, dada ua etrada () y ua respuesta impulsioal del sistema () se preseta a cotiuació: Supoga que se quiere calcular la salida del sistema e u istate determiado, por ejemplo o. Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 9

10 Aálisis de sistemas LTI De acuerdo co (.9), la respuesta de salida es: y ( ) ( ) ( ) o o (.0) La primera observació es que, el ídice de la sumatoria es, y, por lo tato, la señal de etrada como la respuesta impulsioal ( o ) so fucioes de. E segudo lugar se observa que las secuecias () y ( o ) se multiplica para formar la secuecia producto. Fialmete, la salida y( o ) es simplemete la suma sobre todos los valores de la secuecia producto. La secuecia ( o ) se obtiee a partir de (), reflejado primero dica secuecia co respecto al orige, lo que proporcioa la secuecia ( ) y después, se desplaza o muestras para producir ( o ). Resumiedo, el cálculo de la covolució etre () y () supoe la realizació de los siguietes cuatro pasos: Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Aálisis de sistemas LTI. Refleió. Se refleja () co respecto a para producir ( ).. Desplazamieto. Se desplaza ( ), o muestras acia la dereca si es positivo, para obteer ( o ). Multiplicació. Se multiplica () por ( o ) para obteer la secuecia producto v() () ( o ). Suma. Se suma todos los valores de la secuecia producto v() y se obtiee el valor de la salida e el istate o. Co este procedimieto se obtiee la salida del sistema e u istate determiado, digamos e o. E geeral, lo importate es determiar la salida del sistema para cualquier istate de tiempo, es decir, < <. E cosecuecia, los pasos y del procedimieto descrito atrás deberá repetirse para todos los posibles valores del desplazamieto de. Dr. Luis Javier Morales Medoza 0 0

11 Aálisis de sistemas LTI... Métodos de Cálculo de la Covolució: Método gráfico Señal # Señal # Iversió de la Señal # (l 0) y 8 ( 0) ( ) ( 0 ) y(0) Figura. Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI y 8 () ( ) ( ) y() Corrimieto de la Señal # (l ) Dr. Luis Javier Morales Medoza

12 Aálisis de sistemas LTI y 8 ( ) ( ) ( ) y() 6 Corrimieto de la Señal # (l ) Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI y 8 ( ) ( ) ( ) y( ) 0 Corrimieto de la Señal # para Dr. Luis Javier Morales Medoza

13 Aálisis de sistemas LTI Señal # Señal # y ( ) ( ) ( ) y() {,, 6, 5, } Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Aálisis de sistemas LTI Método Tabular. Se coloca todas las muestras discretas de ambas secuecias e acorde a la variable idepediete.. Se toma el primer elemeto de () y se realiza la multiplicació elemeto a elemeto co ().. Se desplaza ua posició y se realiza la misma operació de multiplicació para cada uo de los elemetos de ().. Se realiza la suma algebraica de todos los elemetos de las secuecias productos obteidas y se reasiga a la secuecia y() segú la variable idepediete como se muestra e la Figura.. Dr. Luis Javier Morales Medoza 6

14 Aálisis de sistemas LTI Figura.. Método tabular para el cálculo de la covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Aálisis de sistemas LTI Ejemplo.. La respuesta impulsioal de u sistema lieal e ivariate e el tiempo es (). Determie la respuesta del sistema si la señal de etrada es () {,,, } y () {,,, -}. Sol. y() {,, 8, 8,,, } Dr. Luis Javier Morales Medoza 8

15 Aálisis de sistemas LTI Ejemplo.. La respuesta impulsioal de u sistema LTI y la señal () se muestra e la Figura. Determie la señal de salida del sistema () {0,,, } () {,, } y() {,, 6, 5, } 5 Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Aálisis de sistemas LTI Método Aalítico para ecotrar la covolució etre dos secuecias defie los siguietes pasos. Se trasforma ambas secuecias discretas e suma de deltas desplazadas y poderadas.. Después, se multiplica la secuecia () trasformada co la secuecia () simbólica. Se trasforma el resultado de la multiplicació e su equivalete de suma de deltas desplazadas y poderadas.. Se agrupa las deltas semejates y se realiza la suma algebraica correspodiete. Dr. Luis Javier Morales Medoza 0 5

16 Aálisis de sistemas LTI Ejemplo.5. Solucioar el ejemplo co el método aalítico. Sol. Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI y() () () y() {,, 8, 8,,, } Ejemplo.6. Ecuetre la covolusió de las siguietes dos secuecias aplicado el método aalítico ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dr. Luis Javier Morales Medoza 6

17 7 Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } Sol. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 5 5 ( ) ( ) ( ) 5 Dr. Luis Javier Morales Medoza Aálisis de sistemas LTI y() {,, 5, 5, 5,, } Por el método tabular se tiee:

18 Propiedades de la Covolució..5. Propiedades de la Covolució y la Itercoeió de Sistemas A cotiuació, se estudia alguas propiedades importates de la covolució de dos secuecias discretas y se iterpreta e térmios de la itercoeió de sistemas lieales e ivariates e el tiempo. Es importate otar que estas propiedades se verifica para todas las señales de etrada e el sistema. Para simplificar la otació de la operació de la covolució etre dos secuecias discretas, esta se realiza mediate el símbolo como se muestra a cotiuació y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) segú esta otació, la secuecia que sigue el operador es que la respuesta impulsioal () es reflejada y desplazada para después ser multiplicada y fialmete ser sumada. Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Propiedades de la Covolució Por otra parte, si se voltea el orde del operador, esto implica que aora la etrada () realizará el mismo proceso que la respuesta impulsioal obteiédose y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) Esta formula es ua forma alterativa de presetar a la covolució de dos secuecias discretas, e la Figura.5 se ilustra esta iterpretació () () y() () () y() Figura.5. Iterpretació de la propiedad comutativa de la covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 8

19 Propiedades de la Covolució De forma abstracta, se puede cosiderar a la covolució como ua operació matemática etre dos secuecias () y (), que verifica ua serie de propiedades. Ley Comutativa. La propiedad epresada e (.) y (.) se deomia propiedad comutativa y está defiida como ( ) ( ) ( ) ( ) (.) Ley Asociativa. Matemáticamete, la covolució de dos secuecias tambié satisface la propiedad asociativa, que puede euciarse como [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] (.) Desde el puto de vista físico se puede cosiderar a () como la señal de etrada a u sistema lieal e ivariate e el tiempo co respuesta impulsioal (). Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Propiedades de la Covolució La salida de este sistema, y (), se covierte e la etrada de u segudo sistema lieal e ivariate e el tiempo co respuesta impulsioal (). Así, la salida es y( ) y( ) ( ) [ ) ( ) ] ( ) ( que es precisamete la parte izquierda de (.). Por lo tato, la parte izquierda de (.) es equivalete a los dos sistemas lieales e ivariates e el tiempo e cascada. La parte dereca de (.) idica que la etrada () se aplica a u sistema equivalete de respuesta impulsioal (), que es igual a la covolució de las dos respuestas impulsioales, esto es, ) ( ) ( ) y y( ) ( ) ( ) ( Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 9

20 Propiedades de la Covolució Lo que es más, dado que la covolució verifica la propiedad comutativa, se puede itercambiar el orde de los dos sistemas de respuesta () y () si alterar la relació etrada-salida global. La Figura.6 ilustra gráficamete la propiedad asociativa. Figura.6. Implicacioes de la propiedad asociativa La geeralizació de la propiedad asociativa a más de dos sistemas e cascada se deduce fácilmete de la discusió aterior. Así, si se tiee L sistemas lieales e ivariates e el tiempo e cascada, co respuestas impulsioales (), (),..., L (), eiste u sistema LTI cuya respuesta impulsioal es igual a L covolucioes sucesivas de las respuestas impulsioales, esto es Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Propiedades de la Covolució ) ( ) ( )... ( ) (.5) ( L La tercer propiedad que satisface la operació de covolució es la distributiva, que puede euciarse como sigue: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.6) La propiedad distributiva se iterpreta físicamete cuado se tiee dos sistemas LTI co respuestas impulsioales () y () ecitados por la misma señal de etrada (); la suma de las dos respuestas es idética a la de u sistema global cuya respuesta impulsioal es ( ) ( ) ( ) Dr. Luis Javier Morales Medoza 0 0

21 Propiedades de la Covolució por lo tato, el sistema global es ua combiació e paralelo de los dos sistemas LTI, tal como se ilustra e la Figura.7. La geeralizació de (.6) a más de dos sistemas lieales e ivariates e el tiempo es imediata por iducció matemática. Por tato, la itercoeió de L sistemas lieales e ivariates e el tiempo co respuestas impulsioales (), (),..., L () y ecitadas por ua misma etrada () es equivalete a u úico sistema co respuesta global L ( ) j ( ) (.7) j A la iversa, cualquier sistema lieal e ivariate e el tiempo puede descompoerse como la itercoeió e paralelo de subsistemas Dr. Luis Javier Morales Medoza Propiedades de la Covolució Figura.7. Sistemas LTI acoplados e paralelo Ejemplo.7. Determie la respuesta impulsioal de la cascada de dos sistemas ivariates e el tiempo co respuestas impulsioales defiidas como ( ) u( ) y ( ) u( ) Dr. Luis Javier Morales Medoza

22 Dr. Luis Javier Morales Medoza Propiedades de la Covolució Sol. Para determiar la respuesta global de los dos sistemas e cascada, simplemete se realiza la covolució etre () y () como sigue ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( v dode () es reflejada y desplazada, por lo cual se tiee que la secuecia producto es que es diferetes de cero para 0 y 0 o 0. Por otra parte, para < 0, se tiee que v() 0. Para 0 la suma de los valores de la secuecia producto v() variado a resulta e Dr. Luis Javier Morales Medoza Propiedades de la Covolució 0 ) ( 0 ( ) ; 0 ( ) ( )

23 Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Propiedades de la Covolució ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 Que es el mismo resultado que se obtuvo e el procedimieto aterior. 0 0 ( ) ( ) Aora, aplicado la propiedad de comutació para verificar los resultados Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 Propiedades de la Covolució Ejemplo.8. Determie la señal de salida de los siguietes sistemas discretos: a) E cascada y b) E Paralelo. La señal de etrada y la respuesta impulsioal de cada sistema está dados como ( ) ( ) 0 ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u Sol. Para el caso e cascada, se tiee 0 ( ) 0

24 Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Propiedades de la Covolució ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) u ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 y ( ) ( ) 0 0 Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 Propiedades de la Covolució ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) [ ] ( ) [ ] 9 9

25 5 Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Propiedades de la Covolució ( ) ( ) u y Para el segudo caso se tiee que: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Dr. Luis Javier Morales Medoza 50 Propiedades de la Covolució ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ( )

26 6 Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Propiedades de la Covolució ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] y ( ) ( ) u y ( ) ( ) ( ) [ ] Agrupado ambas solucioes Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Tarea.. Tarea. Cosidere las siguietes secuecias: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Determie las siguietes secuecias obteidas mediate ua covolució por los tres métodos (Gráfico, tabular y aalítico) ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) y. Determie la epresió para la respuesta al impulso () de cada uo de los siguietes sistemas LTI que se muestra a cotiuació

27 Tarea a) b) Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Tarea. Determie la respuesta al impulso completa del sistema LTI dede las respuestas al impulso de los sistemas compoetes so ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( 5) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 7

28 Tarea. Ecuetre la respuesta al impulso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u( ) ()? Dr. Luis Javier Morales Medoza 55 Tarea 5. Co los códigos ecos e la Lectura de Refleió, Corrimieto, Multiplicació y Suma de dos secuecias discretas, aora realice la operació de la covolució tal como se muestra e la ecuació (). Compare el resultado co la fució especial de Matlab cov(.) para comprobar los resultados obteidos. 6. Aplique este uevo código para el cálculo de la covolució y determie las gráficas correspodietes a los problemas del al 8 de esta lectura. 7. Determie la salida del sistema si: a) está e cascada y b) e paralelo. ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) Dr. Luis Javier Morales Medoza 56 8

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