Forwards y Futuros (Resumen libro Hull)

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1 Forwards y Futuros (Rsumn libro Hull) 1- Supustos d los modlos utilizados 1- No xistn costos d transacción 2- Todas las ganancias stán gravadas a la misma tasa impositiva. 3- La tasa d intrés libr d risgo s la tasa d rpos sobr bonos dl gobirno d muy corto plazo. 4- Simpr s agotan las oportunidads d arbitraj n los mrcados financiros. 5-La tasa d intrés s supon capitalizada n forma continua. La notación utilizada s la siguint: T: príodo d timpo, usualmnt como proporción anual, d duración dl contrato. S: prcio spot dl undrlying asst K: dlivry pric n l contrato d futuro o forward. F: prcio dl forward o dl futuro n l día d la fcha. f: valor dl contrato d forward r: tasa libr d risgo, simpr qu no s aclar srá n timpo continúo y n términos nominals anuals Forward sobr un activo qu no paga intrés. La stratgia usual para analizar st tipo d forwards s suponr qu l invrsor compra una activo y lugo vnd l forward. El prcio actual s $40, la tasa d intrés s dl 5% anual y l príodo dl forward s d 3 mss. F= 40 * 0.05*0.25 = $ Si l prcio dl forward fura distinto xistiría una rntabilidad (arbitraj cubirto) 1 La capitalización continua s asimila a la capitalización diaria d la tasa d intrés. Es más lím k (1+r/k) k = r. También pud dmostrars por xpansión d sris d Taylor qu: = 1 + 1/ 1! + 1/2!+ 1/3! /n! para n tndindo a infinito y, x = 1 + x/ 1! + x 2 /2!+ x 3 /3!+...+ x n /n! también para n tndindo a infinito. 1

2 Si F fura mayor qu $40.50 convndría ndudars para comprar l cash y vndr l forward ralizando una ganancia. En rigor, s raliza una opración para arbitrar tasas d intrés. Si F fura mnor qu s impondría vndr l cash, colocarlo a tasa d intrés y comprar l forward. A la xpiración l producido dl dpósito srá suficint y sobrará dinro para jrcr l forward. El valor dl forward: cuando rcién s ha ralizado la opración l valor s por dfinición nulo. Cuando ha transcurrido l timpo db comparars l prcio dl forward(f) n s momnto con l dlivry pric (K). Esa difrncia dscontada s dfin como l valor dl forward (f). (1) f= (F-K) * -rt (Véas l jrcicio 1 d la guía.) Db sñalars qu n algunas oportunidads dpndindo d la calificación rlativa d las contraparts y d la volatilidad dl undrlying asst dl forward sul fijars un margn o "shortcut" para ralizar l forward. Dsd ya, llo implica modificar la tasa d intrés implícita n l forward. 3- Forward sobr un activo qu brinda un cash flow conocido. (Ejrcicio 2) Considérs l caso d un bono a 5 años cuyo prcio spot s $ 900 y paga rnta d $ 40 n 6 mss y $ 40 n un año. La tasa d intrés s dl 9% a sis mss y 10% a 1 año. Cuál sría l prcio d un forward a 1 año?. La cuación sría: * -0.09* * F = 0 D dond (2) F = rt * (S - Σ ci -ri*ti ) Dond ci son los cupons dl bono. Como podrá obsrvars l Forward proycta por la tasa d intrés corrspondint l prcio actual dl bono mnos l valor prsnt d los cupons qu s cobrarían ants dl dlivry dl forward. El supusto básico dl cálculo s qu son stacionarias tanto las tasas d intrés como l risgo rlativo d bono. El valor dl futuro s calcula utilizando la misma mtodología dscripta n la scción antrior. Es dcir, la difrncia ntr l nuvo forward y l dlivry pric dl contrato dscontado por la tasa d intrés. 2

3 4- Forward sobr un activo qu brinda un sndro intrtmporal d dividndos conocidos.( Ejrcicio 3) La fórmula s dircta, (3) F = S* (r-q)t Dond q s la tasa anual d dividndos. 5- Forward sobr un índic. (Ejrcicio 4) S aplica la fórmula qu n l caso antrior dond F s l futuro dl índic n custión y q la tasa promdio sprada d dividndos. 6- Forward y Futuros sobr mondas.(ejrcicio 5) El funcionaminto dl futuro d una monda pud aproximars a partir dl pricing d la vnta d un futuro calzado por part d una institución financira. D st modo, si un invrsor quisira cubrir n dólars una posición d psos qu rcibirá n l futuro dbría comprar dólars a futuro. Para podr satisfacr sa dmanda una institución financira dbría vndr dólars por psos a futuro. Para qu sa opración no s origin un risgo d cambio, dbría tomar fondos n psos comprar dólars, colocandolos a tasa d intrés, y lugo vndr a futuro sos dólars. D st modo, staría ralizando una opración a tasa d intrés. Intuitivamnt, la cotización d tipo d cambio futuro dbría sr igual a la tasa local n psos mnos la tasa n dólars a la cual colocaría la posición hasta la xpiración d la opración d futuro. En un contxo d convrtibilidad, si la tasa d psos a un año s dl 10% y la tasa d intrés n dólars s dl 5.66% anual l futuro cotizaría con un prmio aproximado dl 4.34% anual. Esta stimación rsulta d rstar dirctamnt ambas tasas. A continuación s prsnta una fórmula gnral para l caso d capitalización continua dond F s la cotización dl forward y S la cotización dl Spot, simpr n unidads d la monda doméstica por una unidad d la monda xtranjra. (4) F= S (r-rf)t Dsd ya, qu los mrcados spot y futuros no sólo son frcuntados por arbitrajistas d tasas d intrés sino qu también convivn spculadors qu pudn hacr qu la difrncia ntr l prcio spot y futuro difiran más allá dl sprad d tasas. Cuando llo ocurra ingrsaran los arbitrajistas d tasas para quilibrar ambos mrcados. 3

4 7- Risgo d una posición d futuros. Considérs un spculador qu compra un futuro apostando a ralizar una ganancia d capital. Esta opración pud dscomponrs n l siguint cash flow: i) Invrsión inicial: colocación a tasa d intrés n l momnto 0 d un import quivalnt al valor dl futuro. (Pud intrprtars como una garantía dl 100% dl valor dl contrato) ii) Ejrc l contrato d futuro a la xpiración dl mismo. Es dcir qu l valor final dl portafolio s l valor dl "undrlying asst" a la maturity dl contrato. Si n l momnto 0 los mrcados furan prfctamnt ficints y los invrsionistas aprovcharan todas las oportunidads d arbitraj dbría dars: (5) -F -rt + E(St) -kt = 0 Dond r y k son las rspctivas tasas d dscunto. Dspjando términos s logra (6) F = E(St) (r-k) t Sólo n l caso dond s igualan las tasas d dscunto s vrifica qu l prcio dl futuro s igual a la spranza matmática dl prcio a la xpiración dl contrato. Si, por otro lado, xistira una corrlación positiva ntr l activo k y l portafolio d mrcado indicando qu xist un risgo sistémico positivo, s daría qu k > r, si fura ngativo k<r. En l primr caso, F sría mnor E(St) d dond l futuro tndría un ssgo bajista con rspcto al prcio sprado al final dl contrato. En l sgundo caso, F sría mayor qu E(St) l futuro tndría un ssgo alcista Minimum varianc hdg ratio. En la práctica, l activo cuyo prcio db sr hdgado no simpr coincid con l prcio dl undrlying asst dl contrato dl futuro. Adicionalmnt, la ncsidad dl invrsor pud rqurir crrar l contrato n un punto dl timpo distinto al d xpiración dl futuro. Supóngs qu s dsan vndr N a unidads d un activo n l príodo t 2 y s lig hdgarlo n t1 vndindo N f unidads d contratos d futuro d un activo similar. El ratio d hdging sría: (7) h= Nf / Na. 2 Val la pna rcordar qu l rtorno dl activo i n l contxto dl CAPM s: ki = r + βi*( rp-r) Dond ki s l rtorno d quilibrio, r s la tasa libr d risgo y rp l rtorno dl portafolio d mrcado y βi marca l risgo rlativo dl activo i n rlación al portafolio d mrcado. Toda vz qu βi > 0 s tndrá qu ki > r. Sólo si βi< 0 pud dars ki < r. 4

5 El rsultado d la posición d hdg n t2 sría: (8) R= S 2 *N a - (F 2 -F 1 )*N f Ragrupando términos s rscrib como: (9) R = (S 2 - S 1) *N a + S 1 *N a - (F 2 -F 1 )*N f Dond Si s l prcio dl activo n l momnto i, Fi s también l prcio dl futuro n l momnto i. Finalmnt (9) pud agrupars como: (10) R= S1 *Na + Na ( ds - h*df) Dond s dfin d como un oprador d difrncia d prcios ntr dos príodos sobr S qu s l prcio spot. Así ds= S2-S1 y df= F2-F1. Val la pna rcordar qu h= N f / N a. La varianza dl portafolio s minimizada cuando lo s la varianza l sgundo término d la igualdad ( ds - h*df). Su varianza s: (11) σ 2 s + h2 * σ 2 f - 2 * h*ρ *σ f * σ s Esta misma xprsión pud scribirs compltando cuadrados como sigu: σ 2 s + h2 * σ 2 f - 2 * h*ρ *σ f * σ s (h*σ f -ρ* σ s ) 2 + σ 2 s - ρ 2 * σ 2 f D dond la varianza s minimiza cuando (12) h = r *ss / sf 5

6 II- Futuros d Tasas d Intrés. La tasa d intrés "spot" a n años s la tasa d intrés d una colocación qu s raliza hoy y qu culmina n n años contados a partir d s momnto. Por otro lado, las tasas d intrés forward son las tasas d intrés para príodos dl futuro implícitas n la structura intrtmporal d las distintas tasas spot conocidas. El contnido d ambas dfinicions podrá aprciars con mayor nitidz n l cuadro qu sigu. Año Tasa spot Tasa Forward Como pud vrs la tasa d colocación a un año s dl 10% mintras qu una colocación ralizada hoy a dos años paga l 10.5% anual. Cómo s calcula la tasa impícita o "forward" ntr l príodo 1 y l 2? Entoncs, $ 100 colocados a 2 años brindaría con capitalización continua: (10) $100 * 2*0.105 = $ Por otro lado, si l invrsor colocara primro a un año y al cabo dl mismo rnovara su imposición a la tasa spot d s momnto la fórmula sría: (11) $100 * 0.10 * R = $? En sta última xprsión xistn dos incógnitas la tasa spot"r" dl sgundo príodo y, dsd ya, l monto al final dl príodo. En l caso n qu los mrcados arbitrn l monto sprado d ambas xprsions dbría sr idéntico, d dond (12) (11) $100 * 0.10 * R = $ Dspjando y tomando logaritmos s tin: (13) R= ln( $ / ( $100 * 0.10 )) =

7 R s la tasa forward para l sgundo año. Para l cálculo d la forward para l trcr año s procd dl siguint modo: Si l invrsor s colocara dirctamnt obtndría $100 * 3*0.108 = $ Si, por otro lado, si colocara a dos años primro y lugo a la forward dl trcr año obtndría:: 100* 0.21 * R = $ Dspjando una vz más R s logra R = ln( $ /(100* 21 )) = Siguindo l método d xtrapolación prsntado pudn calculars las forward rats para l rsto d los príodos. Para vitar cálculos tdiosos pud prsntars una fórmula gnral: (14) r f= (r T - rt) / ( T - T) Dond T >T 1- Curvas d Tasas d intrés A los fctos prácticos s dfin como "zro coupon" a aqul bono qu paga tanto intrés como rnta al final d la vida dl bono. Estos bonos no son mitidos todos los días pro pud logrars una stimación d la tasa "zro coupon" hacindo l stripping d los cupons d cualquir bono. Por dfinición la tasa d un bono "zro coupon" a "n príodos" s quivalnt a la tasa "spot d n príodos". Entoncs, la curva d tasa d intrés zro coupon mustra la rlación ntr sas tasas y l timpo. La dtrminación d la curva d zro coupon rquir d una mtodología d cálculo ya qu no s dirctamnt obsrvabl y db infrirs a partir d los prcios d mrcado d los bonos. A continuación s dscribirá l método d bootstrap para xtrar las tasas "zro coupon", para llo s utilizaran los datos dl cuadro qu sigu. Valor Timpo Cupón Prcio Tasa zro Nominal al rscat anual % dl bono cupón % Db dstacars qu l timpo d rscat s xprsa n años. 7

8 En l caso d los trs primros bonos l cálculo s muy dircto: * r *0.25= 100 D dond dspjando y lugo tomando logaritmos rsulta r= 4*ln( 100/97.50) = Así la tasa implícita "zro coupon" dl primr bono s 10.12% anual. Para l sgundo y trcr bono no s ncuntran mayors problmas aplicando la fórmula antrior. La dificultad llga cuando dbn tnrs n cunta los cupons qu vncn ntr l momnto actual y l rscat dl bono. Supóngas qu los $8 d cupons qu paga l cuarto bono s fctivizan a los 6 mss y 1 año dsd l momnto actual. Finalmnt, a la xpiración s paga l capital y $4 d intrss corrspondint al último príodo smstral. La cuación sría ahora: 4* * * * -1.5r =96 Volvindo a dspjar y tomando logaritmos s tin qu la tasa zro coupon para 1.5 años s 10.68% anual. Esta s la única tasa spot consistnt con la structura intrtmporal prsntada n l cuadro antrior. Por otro lado, s dfin la curva d rntabilidad fctiva d un bono como aqulla qu considra los cobros d los cupons ants d la fcha d maduración total dl bono y, por lo tanto, l hcho d qu las tasas d dscunto d sos cupons san mnors a la tasa d dscunto corrspondint al bono "zro cupón". Con rfrncia al cuadro d la scción antrior, la tasa zro coupon para 4 años sría d 11 % mintras qu para l caso d un bono a 4 años pro qu va pagando cupons anualmnt s tndría qu l primr cupón s colocaría a 3 años al 10.8%, l sgundo cupón al 10.5% a dos años y l trcro al 10% a un año. El valor d la riquza dl individuo al final dl cuarto año brindaría una tasa anual d crciminto infrior al 11% qu s la tasa spot corrspondint a la curva d zro coupon. Lugo si s comparan las curvas antriors con la curva d tasas forward s tinn las siguints rlacions: Cuando la curva d rntabilidads tin pndint positiva: Forward > zro coupon > rntabilidad fctiva. 8

9 Cuando la curva d rntabilidads tin pndint ngativa: Rntabilidad fctiva > zro coupon>forward Torías sobr la structura intrtmporal d tasas d intrés. Si bin s han nsayado difrnts torías acrca d la pndint d la curva d tasas spot pudn distinguirs las 3 más populars: Toría d las xpctativas: las tasas d más largo plazo rfljan l valor sprado d las tasas d corto plazo para s momnto. Más prcisamnt las tasas forward para un dtrminado momnto son una stimación inssgada d las tasas spot para s príodo. Toría d la sgmntación dl mrcado: la conjtura s qu no s ncsario qu xista una rlación strcha ntr las tasas d corto mdiano y largo plazo. En st scnario los invrsors institucionals invirtn n bonos d distinta duración y no arbitran sobr la curva d rntabilidads. Las tasas d corto plazo, mdiano y largo dpndn d la ofrta y dmanda d fondos n cada una d sas duracions. Toría d la Prfrncia por liquidz: n st contxto las forward rats son simpr mayors a las tasas spot spradas n l futuro. La ida s qu los invrsors simpr prfirn prsrvar su liquidz y por lo tanto invirtn sus fondos n proyctos o plazos fijos d duración rlativamnt corta. Por otro lado, quins s ndudan prfirn hacrlo a tasa fija y por l príodo más largo posibl. Si por la dinámica dl mrcado las tasas forward coincidn con las spradas no xistirá ningún prmio para qu los invrsors s coloqun n príodos largos. Por otro lado, xistirá una dmanda xcdnt d fondos n s príodo y la tasa d intrés tndrá a subir para qu los intrmdiarios financiros tomn l risgo d dscalc. Esta toría rcib la bndición mpírica d qu las curvas d rntabilidad prsntan con mayor frcuncia una pndint positiva qu ngativa. A continuación s prsnta la pndint d la curva d rntabilidads d los bonos dl Tsoro Amricano d los últimos 15 años. S procdió a stimar la pndint por la difrncia ntr la tasa d 30 años y la d 3 mss. Como pud obsrvars sólo durant algunos mss ntr 1988 y 1990 sa pndint fu ngativa y coincidió con xpctativas acrca d la rducción d las tasas d rfrncia d la Rsrva Fdral a la luz d un príodo d aguda rcsión. 9

10 Sprad d tasas n n n n n n n n n n n n n Futuros sobr bonos dl Tsoro Amricano. El prcio s rflja n ntros dfinidos cada 32 avos s 109 y 5/32. Est prcio s sul dnominar "quotd pric". Por otro lado, l Cash Pric s dfin como: Cash pric= quotd pric + intrss corridos dsd l último cupón pagado. Esta s la misma fórmula qu s utiliza para las transaccions d la mayoría d los bonos qu s cotizan "ovr th countr", ntr llos los Brady d Argntina: FRB, Par y Discount Bonds. En l caso d los futuros d los Bonos dl Tsoro (Tbonds) d 30 años, la contrapart "vndida" tin drcho a ralizar l "dlivry" o ntrga d cualquir bono lgibl con duración mayor a 15 años. Cuando un bono n particular s jcutado o dlivrd, la contrapart con su posición vndida rcib l siguint monto: (14) Import rcibido= Quotd pric * Factor d convrsión+ Intrss corridos. El factor d convrsión s igual al valor dl bono l primr día dl "dlivry month" bajo l supusto d qu la tasa d intrés para todos los príodos quival al 8% anual qu, a su vz, s quivalnt a la dl bono tórico utilizado para l cálc ulo dl futuro. La madurz dl bono y las fchas dl pago dl cupón s rdondan por príodos mínimos d 3 mss y lugo s asum qu los cupons d intrss s pagan cada sis mss. Est truco l prmit al Chicago Board Of Trad producir tablas comprnsibls para ralizar los dlivris corrspondints. Un jmplo aclarará la mtodología d cálculo. 10

11 Considérs un bono cuya vida s d 20 años y 2 mss cuyo cupón anual s dl 14%. A los fctos d la mtodología dscripta n l párrafo antrior srá un bono d 20 años con 40 príodos smstrals d rnta. La fórmula d cálculo srá: Σ 7 /( 1.04) i + 100/ = D dond l factor d convrsión srá Una vz aclarado l prcio qu rcib quin raliza l dlivry dl bono convin sñalar qué bono db lgirs a los fctos dl dlivry, s dcir l cálculo dl "chapst to dlivr" Considrando una posición vndida n 93.08, s dcir 93.25, y xistn 3 bonos qu califican para l dlivry bono 1: 99.50, bono 2: y bono 3: Sus factors d convrsión son, rspctivamnt, , y El "chapst to dlivr" s computa buscando minimizar l costo dl dlivry, s dcir la mínima difrncia ntr l prcio d cada bono y l import rcibido por l invrsor qu stá vndido. En st caso, las difrncias son: Bono Quot Import Difrncia El "Import" surg dl producto dl quot dl futuro por l factor d convrsión corrspondint. Como pud vrs l sgundo bono s l más barato para ralizar l dlivry. Dtrminación dl prcio d un futuro. La dtrminación dl prcio d un futuro d Tbond provin d la fórmula tracional: (15) F= (S-I) * rt Dond S s l prcio spot I s l valor prsnt d los cupons qu paga l bono durant l príodo dl contrato futuro y T s la vida d s contrato. Conocindo l bono chapst to dlivr y su flujo d fondos corrspondint dbn sguirs los siguints pasos: 1- Calcular l prcio cash dl bono chapst to dlivr a partir dl quotd pric. Es dcir, sumándol al quotd pric los intrss corridos. 2- Calcular l prcio cash dl contrato d futuro usando la fórmula (15). Tomar l cash pric dl chapst to dlivr computado n l paso antrior rstarl l valor prsnt d todos los 11

12 cupons qu srán pagados durant l príodo d vida dl futuro y llvar s prcio nto al momnto d dlivry dl futuro. 3- Calcular l quotd pric dl futuro a partir dl paso antrior. El quotd pric dl futuro s calcula dduciéndol al prcio obtnido n l paso antrior los intrss corridos. 4- Dividir l prcio dl futuro obtnido n l paso antrior para obtnr l quotd pric dl corrspondint futuro. Una xplicación modificada d un jmplo brindado por Hull aclarará cualquir duda. El contrato a futuro a calcular s l d un Tbond conocindo los siguints datos: - El quotd pric dl "chapst to dlivr" s 120 y l factor d convrsión s d 1.40, ya qu paga un cupón anual dl 12%. - El dlivry srá n 270 días. - Los cupons son pagadros cada 6 mss. El último cupón s pagó hac 60 días y l próximo s pagará n 120 días. La tasa d corto plazo s l 10% anual. 1- Cálculo dl cash pric dl "chapst to dlivr" 120 *( * 60/180) = Cálculo dl futuro Prcio Nto = cash pric - valor prsnt d los cupons Valor prsnt d los cupons= 6* -(0.10*120/360) = 5.80 Prcio Nto = = Prcio dl futuro= * 0.10*0.75 = Quotd pric dl futuro dl "chapst to dlivr" Al momnto dl dlivry xistirán 150 días d intrss dvngados, por lo tanto al cash pric calculado n l paso antrior dbrán dtraérsl los intrss como sigu: Intrss dvngados= 6*150/180= 5 Quotd pric= = Quotd pric dl futuro: /1.40= Rsulta dl prcio antrior dividido por l factor d convrsión 12

13 3- Futuros d Tbills. Los Tbills son pagarés dl Tsoro Amricano qu son mitidos con vncimintos originals qu pudn sr 3 mss, 6 mss y 1 año. El prcio d un Tbill cotiza como la tasa anualizada d dscunto sobr l valor nominal dl pagaré. Supóngas qu l prcio d un Tbill a 3 mss s dl 10%, n st caso l valor qu dbría pagar l invrsor por cada V.N cuando raliza la invrsión- s llama invoic pric- sría: x ( 1 (Tasa d dscunto % x días a la xpiración/360)) = x 0.975= La tasa d dscunto dl jmplo (10%) no s la rntabilidad qu obtndrá l invrsor habida cunta d qu no considra la rlación ntr lo qu invrsor paga ahora y lo qu rcib al final dl camino. La tasa d rtorno dl invrsor comparabl con la tasa d rtorno d un bono srá: R = (( / ) 1) * 365 / 90 = 10.40% Notés qu sta convnción considra n la anualización 365 días. Hchas las aclaracions antriors, un contrato d futuro d Tbills considra como undrlying asst un Tbill qu a la xpiración dl contrato tnga 91 días d vida. D acurdo con los términos dl contrato la part qu stá vndida db ralizar l dlivry d un tbill o bin un bono d 1 año qu al momnto d la ntrga l qudn todavía 13 smanas d vida. En la práctica implica qu l undrlying asst db tnr todavía 89 o 90 días o 91 días d vida. Si l futuro fura a 160 días l undrlying asst sría un tbill d 250 días. Los días dl dlivry a la xpiración dl contrato son los juvs, virns o luns postriors al trcr luns dl ms dond xpira l contrato. El prcio dl contrato quotd s dirctamnt tasa d dscunto anual. Esta forma d cotización s llama d Th Intrnational Montary Markt Indx for US t bills. El invoic pric (IP) para l dlivry, qu sría l prcio qu pagarían los qu stán comprados a los vndidos para rcibir l Tbill con T días para sr rscatado sría: IP= ( 1 (tasa d dscunto IMM)*T/360) ) Dond tasa d dscunto IMM s la qu surg dl sttlmnt dl índic dl último trading day dl contrato. Cada cambio d un punto básico anual n l índic, digamos d a o bin d 92 a rsulta n una variación dl sttlmnt d $ 25 por contrato. Tnindo n cunta las xplicacions antriors, cuando un invrsor compra un futuro sobr un Tbill d 3 mss s stá asgurando la tasa d intrés d la colocación d aquí a trs mss. Por otro lado, cuando un invrsor vnd un futuro d Tbills d 3 mss s stá asgurando una tasa d ndudaminto para dntro d 3 mss. 13

14 El valor prsnt dl undrlying asst (Ltra dl Tsoro) s: (16) V = 100 * -r T Dado qu s un instrumnto qu no paga intrés l valor d su futuro srá (F = S rt ) (17) F = 100 * -rt rt Dond r y T corrspondn al príodo dl futuro con la salvdad d qu T > T D la fórmula (14) rsulta (18) F= 100 * -rf(t - T) Rcordando qu rf s la tasa forward para l príodo ntr T y T. La última xprsión mustra qu l prcio dl futuro sría l prcio qu tndría l tbill si la tasa d 90 días n l dlivry dat fura igual a la forward. Si s dfin V= 100 * -rt como l prcio actual d un Tbill qu madura n l momnto T, l futuro pud scribirs como: (19) F= 100 * V / V Tasas d Rpo Implícitas La tasa d Rpo s la tasa a la cual pud tomar prstado vndindo una posición al contado y comprándolas a futuro con la misma contrapart. Usualmnt s prsnta también como la tasa libr d risgo a la cual pudn tomar y colocar los bancos. En la búsquda d oportunidads d arbitraj s convnint computar la tasa implícita d rpos n l mrcado d Tbills d corto plazo, considrando los siguints lmntos: 1- El prcio futuro d un Tbill d corto plazo cuya maduración coincid con la dl Tbill d corto plazo. 2- El prcio d un Tbill qu madura 90 días dspués d aqul Tbill d corto plazo. A partir d (19) s logra V= * V / F (20) 100 * -rt = 100 * V / F y lugo, (21) r= 1/T *ln(f/v ) Dond r s la tasa implícita d rpo qu sirv d rfrncia para l mrcado d cash d corto plazo. 14

15 Considrando qu l prcio d un Tbill d corto plazo(146) s d mintras qu l prcio dl futuro qu vnc n 56 días s Entoncs la tasa d rpo srá: r= 1/(56/365) * ln( 96.95/95.26) = Si la tasa d mrcado fura distinta a s nivl podría dars l siguint arbitraj: Si la tasa d rtorno dl tbill d corto plazo (56 días) fura infrior al 11.80%, sría convnint tomar fondos a sa tasa usando un rpo. Vndr simultánamnt l futuro y comprar l Tbill con xpiración n 146 días. Si la tasa d rtorno dl tbill d corto plazo (56 días) furasuprior al 11.80%, sría convnint colocar fondos a sa tasa comprando l tbill d 56 días, comprando l futuro y tomando dinro con un rpo n l Tbill d 146 días. Ants d concluir con los Tbills val la pna mncionar cirtas convncions para rvlar prcios. Discount rat= 360 /n *(100 - Y) Dond Y s l cash pric dl bono. Dsd ya qu la tasa d dscunto s distinta a la tasa d rtorno dl bono. Esta última s computa n bas al cocint ntr 100 Y qu lugo s xprsa anualmnt n función a los días corridos. Tasa d rtorno= (100 / Y-1)*365 / n Muchas vcs s dnomina como bond quivalnt yild. Dfinindo, Z= quotd futur pric s tin Z= 100-4* ( 100- Y) o bin Y= *(100 - Z) Eurodólars. Mrcado spot. Un contrato d un dpósito d Eurodólars s un dólar dpositado n un banco fura d Estados Unidos. El cntro d st mrcado s Londrs. Las razons para la xistncia d st mrcado fura dl País dl Nort pudn rsumirs n dos custions rgulatorias: No xistn ncajs y la Fdral Dposit Insuranc Corporation no pud cobrar ninguna prima sobr los mismos. 15

16 El rango intrtmporal d sos dpósitos va dsd ovrnight hasta 5 años. Las tasas sobr st mrcado cotizan n fraccions d 32 avos y a los fctos d la anualización s utilizan 360 días. Dsd ya xist un bid y un offr para cada posición d tasa. Mrcado futuro. Cada contrato futuro s por un dpósito d Eurodolar d u$s 1 millón qu madura dntro d 3 mss. El prcio cotiza n términos dl IMM Indx para Eurodólars d 3 mss. Rcordando qu st índic s 100 mnos la tasa qu los tradrs pronostican dntro d 3 mss. Un índic d 90 implica una tasa dl 10% anual dntro d 3 mss. Una variación d 0.01 n l Eurodolar IMM Indx implica una variación d u$s 25 n l valor dl contrato. El mcanismo d dlivry s cash sttlmnt n l sntido d qu la opración s liquida por difrncia ntr l prcio d ntrada y l d sttlmnt. Un jmplo d Hdging aclarará la ida gnral d stos tipos d contratos. Un Eurodolar managr stá procupado considrando qu su costo d ndudaminto suba cuando tnga qu rfinaciar una duda d 100 millons dntro d 3 mss. Supongamos qu l contrato d 3 mss d Eurodolar 4-Estratgias d Hdging utilizando la duration. Partindo d la dfinición tradicional d duration (22) D= Σ (ci* ti* -yiti ) / B dond B s l prcio dl bono, ci s l cupón corrspondint, yi s la tir dl bono. Asimismo, (23) B= Σ (ci* ti* -yiti ) D sta última fórmula pud vrs δb = - δy * Σ (ci* ti* -yiti ) Compltando, s tin δb / B= - δy * D 16

17 Dsd ya qu sta xprsión sólo s válida para cambios muy pquños, d acurdo con la dfinición d cálculo difrncial. Tnindo n cunta un activo o un portafolio qu db sr hdgado con un futuro o un portafolio d futuros qu no ncsariamnt son iguals ni n spci ni n duración, pud modificars la fórmula (12) para utilizar l concpto d duration. El optimal hdg ratio srá: (24) h*= (S/F) * (Ds/Df) * ρ Rfrncias Hull, John "Introduction to futurs and options markts" Prntic Hall Intrnational Editions, 1991 Chaptrs 1-4 Hull, John "Options, Futurs and othr drivativ scuritis" IPrntic Hall Intrnational Editions, 1993 Chaptrs

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