Elementos de geometría en el espacio

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Elementos de geometría en el espacio"

Transcripción

1 Elemento de geometía en el epacio 1

2 Elemento de geometía en el epacio Elemento báico del epacio Lo elemento báico del epacio on: punto, denominado con leta mayúcula, po ejemplo P. ecta, denominado con leta minúcula, po ejemplo. plano, denominado con leta giega, po ejemplo α. Poicione elativa de do plano en el epacio Do plano ditinto del epacio pueden: e paalelo: po ejemplo, lo plano y on paalelo. cotae en una ecta. Po ejemplo, el plano α y el plano e cotan en la ecta. Cada una de la zona en que e divide el epacio cuando do plano e cotan e denomina ángulo diedo. α Poicione elativa de una ecta y un plano en el epacio Un plano y una ecta pueden e: paalelo; po ejemplo, la ecta e paalela al plano α. cotae; la inteección puede e o un olo punto; po ejemplo, la ecta t cota al plano en el punto P. o toda la ecta e encuenta incluida en el plano; po ejemplo, la ecta petenece al plano. α P t 2

3 Poicione elativa de do ecta en el epacio Do ecta ditinta del epacio pueden: cotae en un punto; po ejemplo, la ecta y e cotan en el punto P. e paalela; po ejemplo, la ecta t y x on paalela. cuzae, in cotae; po ejemplo, la ecta z e y e cuzan. P α t y x z La expeión algebaica de lo elemento del epacio Un plano del epacio e expea en foma de una ecuación lineal cuya olucione on, peciamente, lo punto del plano: α: ax + by + cz + d Una ecta del epacio e expea en foma de un itema de ecuacione cuya olucione on lo punto de la ecta: ax 1 + by 1 + cz 1 + d1 : ax 2 + by 2 + cz 2 + d2 La poicione elativa y la expeión algebaica Dado lo plano α: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 y la ecta: ax 3 + by 3 + cz 3 + d3 ax 5 + by 5 + cz 5 + d5 : : ax 4 + by 4 + cz 4 + d4 ax 6 + by 6 + cz 6 + d6 Eta on la poibilidade paa la poicione elativa ente ecta y plano depende del ango de la matiz del itema aociado a la ecuacione de lo elemento, y del ango de la matiz ampliada, de la iguiente manea: 1. La poible poicione elativa ente α y on: ango(a) \ ango (A*) compatible indeteminado (e el mimo) incompatible (paalelo) 2 - compatible indeteminado (e cotan en una ecta) Siendo: A a b c = a2 b2 c2 A a b c d * = a2 b2 c2 d2 3

4 2. La poible poicione elativa ente α y on: ang( A ) ang( * A ) 2 Sitema compatible indeteminado la ecta etá contenida en el plano. 2 3 Sitema incompatible la ecta e paalela al plano. 3 Sitema compatible deteminado la ecta y el plano e cotan en un punto. Siendo: a1 b1 c1 A= a3 b3 c3 a4 b4 c 4 a b c d = a4 b4 c4 d * A a3 b3 c3 d3 3. La poible poicione elativa ente y on: ang( ang( A ) * A ) 2 Sitema compatible indeteminado la ecta coinciden Sitema incompatible la ecta on paalela. 3 Sitema compatible deteminado la ecta e cotan en un punto. Sitema incompatible La ecta e cuzan. Siendo: A a3 b3 c3 a b c = a5 b5 c5 a6 b6 c6 A a3 b3 c3 d3 a b c d * = a5 b5 c5 d5 a b c d

5 Cuále on lo elemento báico de la geometía del epacio? Al igual que en el plano, el epacio contiene punto, ecta y egmento, que e indican de la mima manea que en el plano. Ademá, en el epacio también exiten lo plano, que deben imaginae como hoja de papel in límite, in ondulacione y i epeo. Nomalmente, lo plano e deignan con leta del alfabeto giego. Lo elemento de la geometía plana (el punto, el egmento, la ecta y la emiecta, aí como el ángulo ente do egmento) también e encuentan en el epacio de te dimenione. Eto elemento e deignan de la mima foma que en el plano. Ademá, en el epacio e pueden defini lo plano que e deben imagina como inmena hoja de papel in límite, in ondulacione y in epeo alguno; po eo, un plano tiene do dimenione, de la mima manea que una ecta tiene una única dimenión (y un punto, ninguna). Nomalmente, un plano e acotumba a deigna con una leta giega. Paa epeenta un plano e utiliza, nomalmente, una foma tapezoidal, como la de la imagen: α Una popiedad impotante de cualquie plano e que i contiene do punto, iempe contiene la ecta que paa po eto do punto. Un emiplano e la pate de un plano que tiene po extemo una ecta. E difícil epeentalo de foma difeente, po eo e debeá ubaya la ecta que le ive de extemo. Semiplano limitado po la ecta. Cuále on la poicione elativa de lo diveo elemento del epacio? Do plano ditinto del epacio pueden e, o bien, paalelo, o bien, cotae en una ecta. Un plano y una ecta pueden e paalelo, o bien, cotae; en ete cao, o bien la inteección e un olo punto, o bien toda la ecta e encuenta incluida en el plano. Finalmente, do ecta en el epacio pueden, o bien, cotae en un punto, o bien, e paalela, o bien, pueden cuzae, in cotae Do plano ditinto del epacio pueden e, o bien, paalelo, o bien, cotae en una ecta. Po ejemplo, lo plano y on paalelo. En cambio, el plano α y el plano e cotan en la ecta, mienta que el plano y el plano α e cotan en la ecta. 5

6 α Do plano que e cotan dividen todo el epacio en cuato zona, cada una de la cuale e denomina ángulo diedo. Cuando la cuato zona tienen una foma imila, e dice que lo plano on pependiculae, como en el cao de la imagen. Un plano y una ecta pueden e paalelo, o bien, cotae. En ete último cao, o bien la inteección e un olo punto, o bien toda la ecta e encuenta incluida en el plano. Aí, la ecta e paalela al plano α; la ecta petenece al plano ; la ecta t cota al plano en el punto P. α P t Finalmente, do ecta en el epacio pueden, o bien, cotae en un punto, o bien, e paalela, o bien, pueden cuzae, in cotae. Po ejemplo, la ecta y e cotan en el punto P; la ecta t y x on paalela (poque e encuentan en el mimo plano, α); la ecta z e y e cuzan (poque petenecen a plano ditinto paalelo). P α t y x z 6

7 Qué e y cómo e calcula el ángulo ente lo elemento del epacio? Do ecta que e cotan genean cuato ángulo, con la mima popiedade que lo ángulo ente do ecta del plano que e cotan. Paa defini un ángulo ente do plano, e debe taza un tece plano que ea pependicula a ambo plano; la ecta que eultan de la inteección de ete plano con lo do pimeo no dan lo ángulo ente ambo plano. Finalmente, paa enconta un ángulo ente una ecta y un plano que e cotan, debe epeentae el plano pependicula al plano dado y que incluya la ecta; el ángulo ente la ecta de inteección de lo plano y la ecta oiginal e el ángulo bucado. Lo ángulo ente do ecta que e cotan e definen de igual manea que lo ángulo ente do ecta del plano que e cotan. En cambio, paa defini un ángulo ente do plano, e debe taza un tece plano que ea pependicula a ambo plano. Po ejemplo, paa abe el ángulo que foman lo plano y δ, debe tazae el plano, pependicula tanto a como a δ. La inteección ente y e la ecta t; la inteección ente y δ e. Lo ángulo ente y δ eán lo ángulo ente t y. t ángulo δ Finalmente, paa enconta un ángulo ente una ecta y un plano que e cotan, debe epeentae el plano pependicula al plano dado y que incluya la ecta. Po ejemplo, paa enconta un ángulo ente el plano y la ecta t (que e cotan en P), e contuye el plano α, pependicula a y que contiene t; e la inteección de ambo plano. Cualquie ángulo fomado ente la ecta y t e un ángulo ente la ecta t y el plano (aunque, a vece, e dice que el ángulo ente la ecta y el plano e el meno de eto ángulo, tal como e obeva en la imagen). Se dice que una ecta e pependicula a un plano i cualquiea de eto ángulo e de 9º. α t P También puede definie la poyección de una ecta obe un plano utilizando la anteio imagen: e contuye un plano pependicula al plano en cuetión que contenga la ecta. La inteección ente ambo plano eá la poyección bucada. En el ejemplo, la poyección de la ecta t obe el plano e la ecta, poque el plano 7

8 pependicula a que contiene la ecta t, e α; ademá, la inteección ente α y e, peciamente,. De foma imila, puede definie la poyección de un punto obe un plano como la inteección de la ecta pependicula al plano que pae po el punto, y el plano en cuetión. Po ejemplo, la poyección del punto P obe el plano α de la imagen e igual al punto Q, poque la ecta pependicula a α que paa po P e, y cota al plano α en el punto Q. P Q Cómo e expean algebaicamente lo elemento del epacio? Un punto del epacio e expea mediante una tena, (x, y, z), cada una de lo elemento indica una de la coodenada efeida a cada uno de lo te eje del itema de efeencia del epacio. Un plano del epacio e expea mediante una ecuación lineal de te incógnita, cuya olucione on peciamente todo lo punto del plano. Una ecta del epacio e expea como la inteección de do plano. Como e abido, un itema de efeencia en el epacio conta de 3 eje: eje X, eje Y y eje Z, tal como e mueta en la imagen, Un punto en el epacio e expea mediante una tena que indica la coodenada de ee punto, que expean la te dimenione del epacio: alto, ancho, pofundidad. Aí, po ejemplo, el punto P = (1,3,2) e epeentaía de la iguiente foma: P Un plano del epacio e puede expea a tavé de una ecuación lineal con te incógnita, del tipo: 8

9 ax + by + cz + d La olucione de eta ecuación foman un plano del epacio, de la mima manea que la olución de una ecuación lineal de do incógnita epeentaba una ecta del plano. Po ejemplo, ete plano Que cota al eje Y en el punto (,2,), y que e paalelo al plano fomado po lo eje X y Z, tiene po ecuación: y = 2 poque todo lo punto que tienen coodenada y igual a 2, petenecen a dicho plano. Una ecta del epacio puede concebie como la inteección de do plano. Efectivamente, i cada plano e expea con una ecuación lineal con 3 incógnita, la ecta inteección, puede expeae como un itema de 2 ecuacione lineale, con 3 incógnita, cuya olucione on, peciamente, todo lo punto de la ecta. Po ejemplo, lo itema de ecuacione que definen la ecta que foman lo eje de coodenada on: y z x z x y itema que expea el eje X. itema que expea el eje Y. itema que expea el eje Z. E fácil demotalo: en el cao del eje X, u punto on todo aquello que tienen la coodenada z e y igual a ; de la mima manea, lo punto del eje Y on aquéllo que tienen la coodenada x y z igual a ; igualmente, lo punto del eje Z on aquéllo que tienen la coodenada x e y igual a. Cómo e expean la poicione elativa ente plano y ecta? Expeando lo plano mediante una ecuación y la ecta mediante un itema de do ecuacione, pueden deducie la elacione ente eto elemento examinando la olucione del itema de ecuacione que eulta de combina toda la ecuacione de dicho elemento. Do plano del epacio e expean mediante do ecuacione lineale con te incógnita. Debido a eto, la poicione elativa de dicho plano deben coepondee con lo tipo de olucione poible del itema: Si el itema e compatible indeteminado, e deci, el ango de la matiz del itema e igual al ango de la matiz ampliada, en ete cao, lo plano e cotan. Pueden dae do ituacione: o Que dicho ango ea igual a 2. En ete cao, la olución del itema depende de un olo paámeto. Po lo tanto, lo do plano e cotan en una ecta. 9

10 o Que dicho ango ea igual a 1. En ete cao, amba ecuacione on equivalente, o lo que e lo mimo, ambo plano on iguale. Si el itema e incompatible, e deci, el ango de la matiz del itema e 1 y el ango de la matiz ampliada e 2 (po lo tanto, on difeente), en ete cao, ambo plano on paalelo. Po ejemplo, dado eto plano: α: x + y + z = 1 : x + y + z = 3 : 2x + 3y + z = 1 Lo plano α y on paalelo, ya que i e expean en foma de itema: x+ y+ z = 1 x + y + z = 3 y ete itema e expea de foma maticial: x y = z puede obevae que el ango de la matiz del itema e 1, mienta que el ango de la matiz ampliada e 2. Po lo tanto, el itema e incompatible, e deci, no tiene olución. O lo que e lo mimo, lo plano no e cotan, o ea, on paalelo. En cambio, lo plano y e cotan en una ecta, poque el itema que genean u ecuacione: x+ y+ z = 3 2x+ 3y+ z = 1 e compatible indeteminado y el ango de la matiz del itema e igual a 2, el mimo valo que el ango de la matiz ampliada. De manea imila, la poicione elativa de un plano y una ecta deben coepondee con lo tipo de olucione poible del itema eultante de agupa la te ecuacione (una del plano y do de la ecta): Si el itema e compatible, el plano y la ecta e cotan, y pueden dae do ituacione: o Que el ango de la matiz y de la ampliada ea igual a 2. En ete cao, el itema e compatible indeteminado, e deci, la ecta e encuenta incluida en el plano. o Que dicho ango ea igual a 3. En ete cao, el itema tiene una única olución. Po lo tanto, exite un único punto de inteección ente el plano y la ecta. Si el itema e incompatible, e deci, el ango de la matiz del itema e 2 y el ango de la matiz ampliada e 3. En ete cao, no exite olución y, po lo tanto, el plano y la ecta on paalelo. Do ecta del epacio e expean mediante do itema de ecuacione lineale con te incógnita (ambo itema deben e compatible deteminado). Debido a eto, la poicione elativa de dicha ecta deben coepondee con lo tipo de olucione poible del itema eultante de agupa la cuato ecuacione: Si el itema e compatible, e deci, el ango de la matiz del itema e igual al ango de la matiz ampliada, en ete cao, la ecta e cotan y pueden dae do ituacione: o Que dicho ango ea igual a 2. En ete cao, el ango del itema y la ampliada de cuato 1

11 ecuacione e el mimo que el ango del itema y la ampliada de de lo itema de cada una de la ecta. Aí pue, la do ecta on iguale. o Que dicho ango ea igual a 3. En ete cao, el itema tiene una única olución. Po lo tanto, ete punto debe e la inteección de amba ecta. Aí pue, la ecta e cotan en un punto. Si el itema e incompatible, e deci, el ango de la matiz del itema e meno que el ango de la matiz ampliada. Po lo tanto, la ecta no e coinciden en ningún punto. Pueden dae do cao: o Que el ango de la matiz del itema ea 2 y el ango de la matiz ampliada ea 3. En ete cao, la ecta on paalela. o Que el ango de la matiz del itema ea 3 y el ango de la matiz ampliada ea 4. En ete cao, la ecta e cuzan en el epacio. Po ejemplo, dada la ecta: : 2x y+ z+ 2= 3x+ y+ z 1= : 6x 2y 2= x y z + 5 Puede obevae que el itema fomado po la 4 ecuacione: 2x y+ z+ 2= 3x+ y+ z 1= 6x 2y 2= x y z+ 5= e compatible deteminado, y u única olución e: x = 1, y = 2, z = 2. Po lo tanto, amba ecta e cotan en un único punto. Conideemo oto ejemplo: dada la ecta t: x+ y z = 1 3x y+ 2z = 2 m: 2x+ 2y 2z = 2 4x+ z = 5 en ete cao, el itema fomado po la 4 ecuacione: x+ y z = 1 3x y+ 2z = 2 2x+ 2y 2z = 2 4x+ z = 5 o ea x y = z e incompatible, poque el ango de la matiz aociada al itema e 2, mienta que el ango de la matiz ampliada e 3. Po lo tanto, amba ecta on paalela. 11

12 12

Elements de geometria a l espai

Elements de geometria a l espai Element de geometia a l epai 1 Element de geometia a l epai Element bàic de l epai El element bàic de l epai ón: punt, denominat amb llete majúcule, pe exemple P. ecte, denominade amb llete minúcule, pe

Más detalles

= = u r y v s son l.d. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Ecuaciones generales RECTAS COINCIDENTES RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS

= = u r y v s son l.d. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Ecuaciones generales RECTAS COINCIDENTES RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Ecuacione geneale : Ax + By + C = : Ax + By + C = A B A B RECTAS SECANTES \ Un punto en común A B C = A B C RECTAS PARALELAS Ningún punto en común A B C = = A B C RECTAS

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II 2º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática Supongamo, po ejemplo, que queemo etudia la poición elativa de una ecta que

Más detalles

TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO

TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO TEMA 3: EL ESACIO MÉTRICO. DISTANCIA ENTRE DOS UNTOS. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 3. VECTOR NORMAL CARACTERÍSTICO O ASOCIADO AL LANO 4. ANGULO ENTRE DOS LANOS 5. ANGULO ENTRE RECTA Y LANO 6. DISTANCIA DE UN

Más detalles

de perfil, y se halla la tercera proyección tanto del punto P como de la recta r. La proyección r corta a los planos de proyección en H r

de perfil, y se halla la tercera proyección tanto del punto P como de la recta r. La proyección r corta a los planos de proyección en H r Actividad SISTEMA IÉRICO II TEMA 9 Paa eolve eta actividad, emo de tene en cuenta lo iguiente: o ecta on paalela en el epacio, i u poyeccione obe lo do plano de poyección también lo on.. Sea el punto P(-P

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II 2º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática Supongamo, po ejemplo, que queemo etudia la poición elativa de una ecta que

Más detalles

TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS

TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS Depatamento e Matemática º Bachilleato TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS 1- HAZ DE PLANOS PARALELOS Too lo plano paalelo a un plano Ax + By + Cz + D tenán el mimo vecto nomal que el e : n A, Po lo tanto, too

Más detalles

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y ectas en el espacio Poblemas de ángulos, paalelismo y pependiculaidad, simetías y distancias Ángulos ente

Más detalles

Junio 2010 OPCIÓN A. A vemos que se diferencian en el cuadrado de la matriz unitaria. Dado que en este caso. por ser la matriz nula.

Junio 2010 OPCIÓN A. A vemos que se diferencian en el cuadrado de la matriz unitaria. Dado que en este caso. por ser la matriz nula. Junio OPCÓN Poblema. a) Si obsevamos los desaollos de ) ( y ) ( vemos que se difeencian en el cuadado de la matiz unitaia. Dado que en este caso se veifica: ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( ) ( b) b.) Paa que

Más detalles

z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u

z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu uuu vecto son: = ( b a, b a, b a

Más detalles

Si sólo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V

Si sólo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V IES Pae Poea (Guaix) Matemática II UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si ólo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto,

Más detalles

AFININDAD: CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES

AFININDAD: CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES La finia e una tanfomación homogáfica que cumple la iguiente leye: - o punto fine etán alineao con una ecta que igue la iección e afinia - o ecta fine e cotan iempe en una ecta fija llamaa e afinia. La

Más detalles

81 BAC CNyS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO 3. ECUACIONES DE LA RECTA 4.

81 BAC CNyS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO 3. ECUACIONES DE LA RECTA 4. GEOMETRÍ NLÍTIC LN 81 C CNyS ÍNDICE 1. RESENTCIÓN DEL TEM 2. UNTOS Y VECTORES EN EL LNO 3. ECUCIONES DE L RECT 4. HZ DE RECTS 5. RLELISMO Y ERENDICULRIDD 6. OSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS 7. NGULO QUE

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO Detemina la posición elativa de las siguientes paejas de planos a) 8 ' 4 6 6 b) 6 7 ' 4 c) ' 6 7 d) 4 7 Dado el plano que contenga al punto A(-,, 4), detemina

Más detalles

GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia

GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia Puebas de Acceso a la Univesidad GEOMETRÍA Junio 94.. Sin esolve el sistema detemina si la ecta x y + = 0 es exteio secante ó tangente a la cicunfeencia (x ) + (y ) =. Razónalo. [5 puntos]. Dadas las ecuaciones

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo 009-00 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA Cuo 009-00 -V-00 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS ÁNGULOS y DISTANCIAS ente RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática 1. PROBLEMAS DE ÁNGULOS 1 1.1 ÁNGULO DE DOS RECTAS: Si la do ecta on paalela

Más detalles

Matemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio

Matemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio Pofeso: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachilleato) Matemáticas II Hoja 6: Puntos, ectas y planos en el espacio Ejecicio : a) Halla el punto de cote ente el plano 6x y + z y la ecta que pasa po el punto P

Más detalles

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS 1 RECA Y CIRCUNFERENCIA ANGENES. Una ecta y una cicunfeencia on tangente cuano tienen un único punto en común, llamao punto e tangencia. Ente una ecta y una cicunfeencia

Más detalles

LOS ERRORES EN QUÍMICA ANALÍTICA

LOS ERRORES EN QUÍMICA ANALÍTICA LOS ERRORES EN QUÍMICA ANALÍTICA MONOGRAFÍA PARA ALUMNOS DE º DE LA LICENCIATURA EN QUÍMICA 00 DR. JOSÉ MARÍA FERNÁNDEZ ÁLVAREZ Edificio de Invetigación. C/Iunlaea,1. 31080 Pamplona. Epaña Tel. +34 948

Más detalles

RECTAS EN EL ESPACIO.

RECTAS EN EL ESPACIO. IES Pade Poeda (Guadi UNI 9 GEOETRÍ FÍN RETS EN EL ESPIO EUIONES E L RET Una ecta queda deteminada po Un punto ( a a a Un ecto de diección ( ( ; se le llama deteminación lineal de la ecta Si X ( es un

Más detalles

8. Movimiento Circular Uniforme

8. Movimiento Circular Uniforme 8. Movimiento Cicula Unifome En la vida cotidiana e peentan ituacione donde un objeto gia alededo de oto cuepo con una tayectoia cicula. Un ejemplo de ello on lo planeta que gian alededo del ol en obita

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA

ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA ÁLGER LINEL GEOMETRÍ ESPCIO VECTORIL DE LOS VECTORES LIRES: V 3 Se llama vecto fijo de oigen y extemo al egmento oientado. Si el oigen y el extemo coinciden, hablamo del vecto nulo : = 0. Un vecto fijo

Más detalles

RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial

RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial RECTAS EN EL PLANO Ecuación de la ecta La ecuación de una ecta puede dase de difeentes fomas, que veemos a continuación. Conocidos un punto P(p 1, p ) y un vecto de diección d = (d 1, d ) (o sea, un vecto

Más detalles

α = ± 1. Por tanto: :RESOLUCIÓN:: El sistema puede representarse por la matriz M* = 0

α = ± 1. Por tanto: :RESOLUCIÓN:: El sistema puede representarse por la matriz M* = 0 Matemática aplicada a la CCSS Pág. de 6. Selectividad - Extemadua Junio :RESOLUCIÓN:: Conocimiento epecífico: α El itema puede epeentae po la matiz M* Sea M la matiz de lo coeficiente (in la columna de

Más detalles

Diagramas de Bode de magnitud y fase

Diagramas de Bode de magnitud y fase Diagama de Bode de magnitud y fae Diagama de Bode de magnitud y fae de una contante Dada la función cicuital F(j~) = K, podemo expeala en la foma: j K e F( j~ ) = ) j K e K K > < La magnitud en decibelio

Más detalles

Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio

Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio 1. Estudia la posición elativa de las ectas y s: x = 2t 1 x + 3y + 4z 6 = 0 : ; s : y = t + 1 2x + y 3z + 2 = 0 z = 3t + 2 Calcula la distancia ente ambas ectas (Junio 1997) Obtengamos un vecto diecto

Más detalles

9 Ángulos y rectas OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Recta, semirrecta y segmento. Rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

9 Ángulos y rectas OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Recta, semirrecta y segmento. Rectas paralelas, perpendiculares y secantes. 826464 _ 0341-0354.qxd 12/2/07 10:04 Página 341 Ángulo y ecta INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD A nueto alededo encontamo ecta y ángulo que influyen en nueto movimiento: calle, avenida, plano, etc. El

Más detalles

VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES

VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un vecto es un segmento oientado. Un vecto AB queda deteminado po dos puntos, oigen A y extemo B. Elementos de un vecto: Módulo de un vecto es la

Más detalles

CI51J HIDRAULICA DE AGUAS SUBTERRANEAS Y SU APROVECHAMIENTO

CI51J HIDRAULICA DE AGUAS SUBTERRANEAS Y SU APROVECHAMIENTO CI5J CI5J HIDRAULICA DE AGUAS SUBTERRANEAS Y SU AROVECHAIENTO TEA 5 ECUACIONES GENERALES DE LA HIDRAULICA EN EDIOS OROSOS SOLUCION DIRECTA DE LA ECUACION DE LALACE ETODO DE LAS IAGENES OTOÑO 8 UNIVERSIDAD

Más detalles

Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos

Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos Bloque 3. Geometía y Tigonometía Tema 3 La ecta en el plano Ejecicio euelto 3.3-1 Halla la ecuación vectoial, en paamética, continua y geneal de la ecta que paa po el punto indicado y tiene po vecto dieccional

Más detalles

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009 Selectividad Septiembe 9 OPCIÓN A PROBLEMAS SEPTIEMBRE 9 1.- Sea la función f () =. + 1 a) Halla el dominio, intevalos de cecimiento y dececimiento, etemos elativos, intevalos de concavidad y conveidad,

Más detalles

UNIDAD 4: CIRCUNFERENCIA CIRCULO:

UNIDAD 4: CIRCUNFERENCIA CIRCULO: UNIDD 4: CIRCUNFERENCI CIRCULO: CONTENIDO: I. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCI: Es una cuva ceada y plana cuyos puntos equidistan de un punto llamado cento. Una cicunfeencia se denota con la expesión: O C, y

Más detalles

. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2.

. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2. 1 Sean los vectoes: v 1 ( 1, 1, 1) v (,, ) y v (, 1, ) Compueba que foman una base de V. Halla las coodenadas especto de dicha base de los vectoes u ( 1,, ) y w ( 1,, 1). Paa ve si son linealmente independientes

Más detalles

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS ÁNGULOS y DISTANCIAS ente RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática 1. PROBLEMAS DE ÁNGULOS 1.1 ÁNGULO DE DOS RECTAS: Si la do ecta on paalela

Más detalles

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos

Más detalles

UNIDAD 10.- Geometría afín del espacio (tema 5 del libro)

UNIDAD 10.- Geometría afín del espacio (tema 5 del libro) UNIDD.- Geometía afín del espacio tema del libo). VECTOR LIBRE. OPERCIONES CON VECTORES LIBRES En este cuso amos a tabaja con el espacio ectoial de dimensión,, que es simila al tatado en º de Bachilleato,

Más detalles

Tema 7 Geometría en el espacio Matemáticas II 2º Bachillerato 1

Tema 7 Geometría en el espacio Matemáticas II 2º Bachillerato 1 Tema Geometía en el espacio Matemáticas II º Bachilleato ÁNGULOS EJERCICIO 5 : λ Dados las ectas : λ, s : λ calcula el ángulo que foman: a) s b) s π el plano π : ; i j k a) Hallamos el vecto diecto de

Más detalles

Tema 4: Intersecciones. Perpendicularidad y mínimas distancias. Paralelismo.

Tema 4: Intersecciones. Perpendicularidad y mínimas distancias. Paralelismo. Tema 4: nteeccone. ependculadad y mínma dtanca. aalelmo. nteeccone. Una nteeccón e el luga geométco de lo punto que petenecen a la vez a todo lo elemento que ntevenen (fgua ). La nteeccón de do plano e

Más detalles

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos

Más detalles

RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS

RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS Sean a, b, c y d númeos eales; se tiene que:. Si a < b c < d a + c < b + d. Si a 0 a > 0 3. Si a < b -a > -b 4. Si a > 0 a - > 0 ; si a < 0 a - < 0 5. Si 0 < a

Más detalles

1 Introducción al lenguaje gráfico

1 Introducción al lenguaje gráfico Solucionaio 1 Intoducción al lenguaje gáfico 1.1. beva lo ejemplo del libo. lige una de la imágene dibujando con lápice de coloe do veione, una mediante una epeentación objetiva y ota ubjetiva. Solución:

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO Geometría lineal Recta y Plano

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO Geometría lineal Recta y Plano LA LINEA RECTA: DEFINICIÓN. TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Recibe el nombe de línea ecta el luga geomético de los puntos tales que, tomados dos puntos cualesquiea distintos P, ) P, ) el valo de la epesión:

Más detalles

SISTEMA DIÉDRICO I Representación del punto, la recta y el plano TEMA12. Objetivos y orientaciones metodológicas

SISTEMA DIÉDRICO I Representación del punto, la recta y el plano TEMA12. Objetivos y orientaciones metodológicas SISTEM DIÉDRICO I Repeentación del punt, la ecta y el plan TEM GEOMETRÍ DESCRIPTI Objetiv y ientacine metdlógica En eta unidad temática el alumn debe apende a epeenta l te element gemétic, punt, ecta y

Más detalles

C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-02 CINEMÁTICA I

C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-02 CINEMÁTICA I C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-02 CINEMÁTICA I La Cinemática etudia el movimiento de lo cuepo, in peocupae de la caua que lo genean. Po ejemplo, al analiza el deplazamiento de un automóvil, diemo

Más detalles

TALLER 3 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

TALLER 3 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA TALLER GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. 0- Pofeso: Jaime Andés Jaamillo González (jaimeaj@conceptocomputadoes.com) Pate del mateial ha sido tomado de documentos

Más detalles

200. Hallar la ecuación de la simetría ortogonal respecto de la recta:

200. Hallar la ecuación de la simetría ortogonal respecto de la recta: Hoja de Poblemas Geometía IX 200 Halla la ecuación de la simetía otogonal especto de la ecta: SOLUCIÓN n( x a) Sean: - S la simetía otogonal especto de la ecta n ( x a) - P un punto cualquiea cuyo vecto

Más detalles

FORMULARIO DE ESTADÍSTICA

FORMULARIO DE ESTADÍSTICA Reúmee de Matemática paa Bachilleato I.E.S. Ramó Gialdo FORMULARIO DE ESTADÍSTICA Cocepto báico Població: cojuto de todo lo elemeto objeto de ueto etudio Mueta: ubcojuto, extaído de la població,(mediate

Más detalles

Introducción al cálculo vectorial

Introducción al cálculo vectorial GRADUADO EN INGENIERÍA Y CIENCIA AGRONÓMICA GRADUADO EN INGENIERIA ALIMENTARIA GRADUADO EN INGENIERÍA AGROAMBIENTAL Intoducción al cálculo vectoial Magnitudes escalaes y vectoiales Tipos de vectoes Opeaciones

Más detalles

EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS

EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(, 5, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la ecta Un punto y un vecto Dos puntos Un punto y la pendiente,,,,,, Coodenadas del vecto diecto ECUCION VECTORIL (x, y) (p, p ) + τ (v, v ) ECUCION PRMETRIC x p + τ

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA 8.2 ECUACIONES DE UNA RECTA. Para determinar una recta necesitamos una de estas dos condiciones

GEOMETRÍA ANALÍTICA 8.2 ECUACIONES DE UNA RECTA. Para determinar una recta necesitamos una de estas dos condiciones GEOMETRÍA ANALÍTICA 8. ECUACIONES DE UNA RECTA Para determinar una recta neceitamo una de eta do condicione 1. Un punto P(x, y ) y un vector V = (a,b). Do punto P(x, y ), Q(x 1, y 1 ) Un punto P(x, y )

Más detalles

A continuación obligamos, aplicando el producto escalar, a que los vectores:

A continuación obligamos, aplicando el producto escalar, a que los vectores: G1.- Se sabe que el tiángulo ABC es ectángulo en el vétice C, que petenece a la ecta intesección de los planos y + z = 1 e y 3z + 3 = 0, y que sus otos dos vétices son A( 2, 0, 1 ) y B ( 0, -3, 0 ). Halla

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PRODUTO ESLR a b a b cosx (uando sepamos el ángulo que foman a y b). a ba b a b a b (uando sepamos las coodenadas de a y b ). uando los ectoes son pependiculaes su poducto escala

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3. Página para el curso:

ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3. Página para el curso: ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3 DANIEL LABARDINI FRAGOSO DANIEL BALAM CRUZ HUITRÓN Página paa el cuso: www.matem.unam.mx/labadini/teaching.html A lo lago de los siguientes ejecicios, seá un campo.

Más detalles

Tema03: Circunferencia 1

Tema03: Circunferencia 1 Tema03: Circunferencia 1 3.0 Introducción 3 Circunferencia La definición de circunferencia e clara para todo el mundo. El uo de la circunferencia en la práctica y la generación de uperficie de revolución,

Más detalles

A) TRAZADO DE RECTAS TANGENTES

A) TRAZADO DE RECTAS TANGENTES ecta tangente a una cicunfeencia que paan po un punto (pc). a) El punto etá en la cicunfeencia. (1 olución) A) TAZAD DE ECTAS TANGENTES ecta tangente a do cicunfeencia de ditinto adio (cc). a) Tangente

Más detalles

A r. 1.5 Tipos de magnitudes

A r. 1.5 Tipos de magnitudes 1.5 Tipos de magnitudes Ente las distintas popiedades medibles puede establecese una clasificación básica. Un gupo impotante de ellas quedan pefectamente deteminadas cuando se expesa su cantidad mediante

Más detalles

Unidad 12. Geometría (I).Ecuaciones de recta y plano

Unidad 12. Geometría (I).Ecuaciones de recta y plano Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Unidad. Geometía (I).Ecuaciones de ecta plano. Intoducción. Espacio fín... Vecto en el espacio. Vecto libe fijo... Opeaciones con vectoes.. Dependencia

Más detalles

1.- C. La fueza que actúan obe el cuepo on do: el peo y la fueza de ozamiento. Aplicando la eunda ley de ewton a lo do cuepo e tiene: F F m 1 a1 = m1 F a1 = m1 F m a = m F a = P m como m 1 >m, F /m 1

Más detalles

( ) CIRCUNFERENCIA UNIDAD VIII VIII.1 DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA

( ) CIRCUNFERENCIA UNIDAD VIII VIII.1 DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA CIRCUNRNCIA UNIA III III. INICIÓN CIRCUNRNCIA Una cicunfeencia se define como el luga geomético de los puntos P, que equidistan de un punto fijo en el plano llamado cento. La distancia que eiste de cualquiea

Más detalles

TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS 1. Cicunfeencias tangentes EXERIORES a una cicunfeencia a la dada y ente ellas. Dada la cicunfeencia debemos dibuja una cicunfeencia que sea tangente a la pimea. Después vamos a dibuja ota cicunfeencia

Más detalles

CUERPOS REDONDOS. LA ESFERA TERRESTRE

CUERPOS REDONDOS. LA ESFERA TERRESTRE IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. CUERPOS REDONDOS. LA ESFERA TERRESTRE 1. CUERPOS REDONDOS. Un cuepo edondo es un sólido que contiene supeficies cuvas. Dento de los cuepos edondos los más inteesantes

Más detalles

CAPÍTULO 15: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CAPÍTULO 15: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS PÍTULO 15: TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Dante Gueeo-handuví Piua, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áea Depatamental de Ingenieía Industial y de Sistemas PÍTULO 15: TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Esta oba está bajo una licencia

Más detalles

Cinemática del Sólido Rígido (SR)

Cinemática del Sólido Rígido (SR) Cinemática del Sólido Rígido (SR) OBJETIVOS Intoduci los conceptos de sólido ígido, taslación, otación y movimiento plano. Deduci la ecuación de distibución de velocidades ente puntos del SR y el concepto

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO CURSO 2015

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO CURSO 2015 ELEMENTS DE GEMETRÍ DEL ESPCI CURS 2015 Pof.Segio Weinege 6to MD.Mt IV PSICINES RELTIVS DE DS RECTS: 1) PRLELS: // y coplne y = Ф o = 2) SECNTES(SE CRTN): y ecnte ={P} P 3) SE CRUZN (N CPLNRES) y e cuzn

Más detalles

COLEGIO ESTRADA DE MARIA AUXILIADORA CIENCIA, TRABAJO Y VALORES: MI PROYECTO DE VIDA NIVELACION DE MATEMATICAS GRADO DECIMO (10 )

COLEGIO ESTRADA DE MARIA AUXILIADORA CIENCIA, TRABAJO Y VALORES: MI PROYECTO DE VIDA NIVELACION DE MATEMATICAS GRADO DECIMO (10 ) COLEGIO ESTRADA DE MARIA AUILIADORA CIENCIA, TRABAJO VALORES: MI PROECTO DE VIDA NIVELACION DE MATEMATICAS GRADO DECIMO (0 ) Fecha: Nombe del estudiante: N O T A La nivelación es en foma de talle donde

Más detalles

TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 1

TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 1 TRIGONOMETRÍA FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 1 página 2 SEGUNDO BIMESTRE 1 FUNCIONES DE MAS DE 90 GRADOS 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Los valoes de las funciones tigonométicas solamente eisten paa

Más detalles

EJERCITACIÓN PARA EXAMEN DE MATEMATICA MAYORES DE 25 AÑOS SIN CICLO MEDIO COMPLETO. PRACTICO 3 Función Lineal Rectas Noviembre 2011

EJERCITACIÓN PARA EXAMEN DE MATEMATICA MAYORES DE 25 AÑOS SIN CICLO MEDIO COMPLETO. PRACTICO 3 Función Lineal Rectas Noviembre 2011 EJERCITACIÓN PARA EXAMEN DE MATEMATICA MAYORES DE 5 AÑOS SIN CICLO MEDIO COMPLETO PRACTICO Función Lineal Rectas Noviembe RECORDAR: Una unción lineal es de la oma popiedad que los cocientes incementales:

Más detalles

SENO Y COSENO PARA UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO

SENO Y COSENO PARA UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO SENO Y COSENO PARA UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO Sugeencias paa quien impate el cuso: Se espea que con la popuesta didáctica pesentada en conjunción con los apendizajes que sobe el estudio de la tigonometía

Más detalles

Capitulo III. Capítulo III

Capitulo III. Capítulo III Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capitulo III Métodos analíti de análisis cinemático. 1 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas.

Más detalles

1. MEDIDA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS.

1. MEDIDA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. IES Pae Poea (Guaix) UNIDAD 0: GEOMETRÍA MÉTRICA Si sólo tenemos en cuenta las elaciones existentes ente los puntos el espacio y los ectoes e V, la geometía estingiá su estuio a las posiciones elatias

Más detalles

Hotel Burj Al Arab, Dubai, Emiratos Árabes Unidos

Hotel Burj Al Arab, Dubai, Emiratos Árabes Unidos Hotel Buj Al Aab Dubai Emiato Áabe Unido Pedo ami Bofill-Gaet Poyecto de paametiación Ampliación de Matemática Intoducción Paa ete poyecto e ha ecogido como upeficie el lujoo hotel Buj al Aab de Dubai.

Más detalles

Facultad de Ciencias Curso Grado de Óptica y Optometría SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO

Facultad de Ciencias Curso Grado de Óptica y Optometría SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO Facultad de iencias uso - SOLUIOS ROLMAS FÍSIA. TMA : AMO LÉTRIO. n los puntos (; ) y (-; ) de un sistema de coodenadas donde las distancias se miden en cm, se sitúan dos cagas puntuales de valoes, y -,

Más detalles

TEMA 9: FORMAS GEOMÉTRICAS. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco.

TEMA 9: FORMAS GEOMÉTRICAS. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. 2009 TEMA 9: FORMAS GEOMÉTRICAS. Pime Cuso de Educación Secundaia Obligatoia. I.e.s. Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2009 TEMA 09: FORMAS GEOMÉTRICAS. 1. Ideas Elementales de Geometía

Más detalles

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO: 10 TALLER Nº: 6 SEMESTRE 1 GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RESEÑA HISTÓRICA Leonhad Eule, (1707-1783) Fue un matemático

Más detalles

Geometría Analítica. Ejercicio nº 1.-

Geometría Analítica. Ejercicio nº 1.- Geomeía Analíica Ejecicio nº.- a Aveigua el puno iméico de A ) con epeco a B ). b Halla el puno medio del egmeno de eemo A ) B ). Ejecicio nº.- a Halla el puno medio del egmeno cuo eemo on A( ) con epeco

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral - Plano cartesiano. Funciones. Farith J. Briceño N.

Cálculo Diferencial e Integral - Plano cartesiano. Funciones. Farith J. Briceño N. Cálculo Difeencial e Integal - Plano catesiano. Funciones. Fait J. Biceño N. Objetivos a cubi Código : MAT-CDI. Plano catesiano. Distancia ente dos untos. Punto medio de un segmento. De nición de luga

Más detalles

N r euros es el precio

N r euros es el precio RETABILIDADES ACTIVOS FIACIEROS Ejemplo 1: Una leta del teoo a doce mee tiene un nominal de 10.000 euo. Ha ido compada po un pecio de 9.500 euo. Cual e el endimiento implícito de dicha leta?. Rendimiento

Más detalles

Grado de salida de un vértice v: Número de arcos cuyo vértice inicial es v.

Grado de salida de un vértice v: Número de arcos cuyo vértice inicial es v. Eploación de gafo Análii y Dieño de Algoitmo Eploación de gafo Gafo Recoido obe gafo Búqueda pimeo en pofundidad Búqueda pimeo en anchua Backtacking ( uelta atá ) Decipción geneal Epacio de olucione Implementación

Más detalles

1. Realiza las siguientes operaciones con segmentos. 1º a+2b-c. 2º a+c-b. 3º 3a+c-b NOMBRE: Nº 1ºESO 1.3. OPERACIONES CON SEGMENTOS

1. Realiza las siguientes operaciones con segmentos. 1º a+2b-c. 2º a+c-b. 3º 3a+c-b NOMBRE: Nº 1ºESO 1.3. OPERACIONES CON SEGMENTOS 1.3. OPERCIONES CON SEGMENTOS 1. Realiza las siguientes opeaciones con segmentos a b c 1º a+2b-c 1º 2º a+c-b 2º 3º 3a+c-b 3º TEM 1 - Opeaciones con segmentos página 3 1.3.2. TEOREM DE TLES 1. Divide el

Más detalles

TEMA PRELIMINAR. Los sistemas de representación son objeto de estudio en la geometría descriptiva, la cual se fundamenta en la geometría proyectiva.

TEMA PRELIMINAR. Los sistemas de representación son objeto de estudio en la geometría descriptiva, la cual se fundamenta en la geometría proyectiva. TEMA PRELIMINAR 1. Sistemas de Repesentación y Geometía. En esta pate de la intoducción, se tata de encuada el estudio de los sistemas de epesentación dento de lo que es la geometía. Paa ello se va a intenta

Más detalles

BLOQUE II. Geometría. 10. Elementos en el plano 11. Triángulos 12. Los polígonos y la circunferencia 13. Perímetros y áreas

BLOQUE II. Geometría. 10. Elementos en el plano 11. Triángulos 12. Los polígonos y la circunferencia 13. Perímetros y áreas LOQUE II Geometía 0. Elementos en el plano. Tiángulos. Los polígonos y la cicunfeencia. Peímetos y áeas 0 Elementos en el plano. Elementos básicos en el plano Dibuja una ecta y contesta a las siguientes

Más detalles

TEMA I. Un espacio vectorial es una estructura algebraica que se compone de dos conjuntos y de dos operaciones que cumplen 8 propiedades.

TEMA I. Un espacio vectorial es una estructura algebraica que se compone de dos conjuntos y de dos operaciones que cumplen 8 propiedades. 1 Espacios vectoiales 2 Combinaciones lineales 3 Dependencia e independencia lineal 4 Bases 5 Rango de un conjunto de vectoes 6 Tansfomaciones elementales 7 Método de Gauss TEMA I 1 Espacios vectoiales

Más detalles

Vectores Presentanción basada en el material contenido en: Serway, R. Physics for Scientists and Engineers. Saunders College Pub. 3rd edition.

Vectores Presentanción basada en el material contenido en: Serway, R. Physics for Scientists and Engineers. Saunders College Pub. 3rd edition. Vectoes Pesentanción basada en el mateial contenido en: Seway, R. Physics fo Scientists and Enginees. Saundes College Pub. 3d edition. Sistemas de Coodenadas Se usan paa descibi la posición de un punto

Más detalles

XIII. La a nube de puntos-variables

XIII. La a nube de puntos-variables XIII. La a nube de punto-vaiable Una vaiable e epeentada con un vecto en R n. El conunto de etemidade de lo vectoe que epeentan la vaiable contituyen la nube de punto N. m im m n i m Pogama PRESTA - 999

Más detalles

El Espacio Vectorial ú 3 (ú)

El Espacio Vectorial ú 3 (ú) I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Depatamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachilleato El Espacio Vectoial ú (ú) Po Javie Caoquino CaZas Catedático de matemáticas del I.E.S. Siete Colinas Ceuta 004

Más detalles

XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO

XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO http://libos.edsauce.net/ XIII.1.- REACCIÓN DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO SOBRE UN CANAL GUÍA El cálculo de la fueza ejecida po un fluido en movimiento sobe el canal que foman los

Más detalles

LENTE CONVERGENTE 2: Imágenes en una lente convergente

LENTE CONVERGENTE 2: Imágenes en una lente convergente LENTE CONVERGENTE : Imágene en una lente convergente Fundamento En una lente convergente delgada e conidera el eje principal como la recta perpendicular a la lente y que paa por u centro. El corte de eta

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 2 opción A, modelo_1 Junio 2014

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 2 opción A, modelo_1 Junio 2014 IES Fco Ayala de Ganada Junio de 014 (Modelo 1) Soluciones Gemán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejecicio 1 opción A, modelo_1 Junio 014 Sea f : R R definida po f(x) x + ax + bx + c. [1 7 puntos] Halla a, b

Más detalles

9 Cuerpos geométricos

9 Cuerpos geométricos 865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 45 Cuepos geométicos INTRODUCCIÓN Los cuepos geométicos están pesentes en múltiples contextos de la vida eal, de aí la impotancia de estudialos. Es inteesante constui

Más detalles

En el estudio del movimiento relativo la aceleración absoluta a r, medida respecto de ejes inerciales, fig. 1, se

En el estudio del movimiento relativo la aceleración absoluta a r, medida respecto de ejes inerciales, fig. 1, se FUERZAS DE INERCIA Cuando un obevado no inecial (aquel que e mueve con aceleación) quiee decibi la caua del etado de epoo o de movimiento de un cuepo, no le bata con la egunda ley de Newton, pue neceita

Más detalles

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES U R S O: FÍSI OMÚN MTERIL: F-01 Sistema intenacional de medidas MGNITUDES ESLRES VETORILES En 1960, un comité intenacional estableció un conjunto de patones paa estas magnitudes fundamentales. El sistema

Más detalles

BLOQUE II. Geometría. 10. Elementos en el plano 11. Triángulos 12. Los polígonos y la circunferencia 13. Perímetros y áreas

BLOQUE II. Geometría. 10. Elementos en el plano 11. Triángulos 12. Los polígonos y la circunferencia 13. Perímetros y áreas LOQUE II Geometía 0. Elementos en el plano. Tiángulos. Los polígonos y la cicunfeencia. Peímetos y áeas 0 Elementos en el plano. Elementos básicos en el plano Dibuja una ecta y contesta a las siguientes

Más detalles

2.4 La circunferencia y el círculo

2.4 La circunferencia y el círculo UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo. La cicunfeencia y el cículo JTIVS alcula el áea del cículo y el peímeto de la cicunfeencia. alcula el áea y el peímeto de sectoes y segmentos ciculaes. alcula

Más detalles

3. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga. M.A.Monge / B. Savoini Dpto. Física UC3M

3. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga. M.A.Monge / B. Savoini Dpto. Física UC3M Campo eléctico II: Ley de Gau 1. Intoducción 2. Ditibucione continua de caga. 3. Campo eléctico de ditibucione continua de caga. 4. Flujo del campo eléctico. 5. Ley de Gau. 6. Aplicacione de la ley de

Más detalles

Elementos de la geometría plana

Elementos de la geometría plana Elementos de la geometía plana Elementos de la geometía plana El punto Los elementos básicos de la geometía plana El punto es el elemento mínimo del plano. Los otos elementos geométicos están fomados po

Más detalles

www.fisicaeingenieria.es Vectores y campos

www.fisicaeingenieria.es Vectores y campos www.fisicaeingenieia.es Vectoes y campos www.fisicaeingenieia.es www.fisicaeingenieia.es ) Dados los vectoes a = 4$ i + 3$ j + k$ y c = $ i + $ j 7k$, enconta las componente de oto vecto unitaio, paa que

Más detalles

QUÍMICA COMÚN NÚMEROS CUÁNTICOS Y CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

QUÍMICA COMÚN NÚMEROS CUÁNTICOS Y CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA QUÍMICA COMÚN QC- NÚMEROS CUÁNTICOS Y CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA REPRESENTACIÓN DE LOS ELECTRONES MEDIANTE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS Como conecuencia del principio de indeterminación e deduce que no e puede

Más detalles