Elementos de geometría en el espacio

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1 Elemento de geometía en el epacio 1

2 Elemento de geometía en el epacio Elemento báico del epacio Lo elemento báico del epacio on: punto, denominado con leta mayúcula, po ejemplo P. ecta, denominado con leta minúcula, po ejemplo. plano, denominado con leta giega, po ejemplo α. Poicione elativa de do plano en el epacio Do plano ditinto del epacio pueden: e paalelo: po ejemplo, lo plano y on paalelo. cotae en una ecta. Po ejemplo, el plano α y el plano e cotan en la ecta. Cada una de la zona en que e divide el epacio cuando do plano e cotan e denomina ángulo diedo. α Poicione elativa de una ecta y un plano en el epacio Un plano y una ecta pueden e: paalelo; po ejemplo, la ecta e paalela al plano α. cotae; la inteección puede e o un olo punto; po ejemplo, la ecta t cota al plano en el punto P. o toda la ecta e encuenta incluida en el plano; po ejemplo, la ecta petenece al plano. α P t 2

3 Poicione elativa de do ecta en el epacio Do ecta ditinta del epacio pueden: cotae en un punto; po ejemplo, la ecta y e cotan en el punto P. e paalela; po ejemplo, la ecta t y x on paalela. cuzae, in cotae; po ejemplo, la ecta z e y e cuzan. P α t y x z La expeión algebaica de lo elemento del epacio Un plano del epacio e expea en foma de una ecuación lineal cuya olucione on, peciamente, lo punto del plano: α: ax + by + cz + d Una ecta del epacio e expea en foma de un itema de ecuacione cuya olucione on lo punto de la ecta: ax 1 + by 1 + cz 1 + d1 : ax 2 + by 2 + cz 2 + d2 La poicione elativa y la expeión algebaica Dado lo plano α: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 y la ecta: ax 3 + by 3 + cz 3 + d3 ax 5 + by 5 + cz 5 + d5 : : ax 4 + by 4 + cz 4 + d4 ax 6 + by 6 + cz 6 + d6 Eta on la poibilidade paa la poicione elativa ente ecta y plano depende del ango de la matiz del itema aociado a la ecuacione de lo elemento, y del ango de la matiz ampliada, de la iguiente manea: 1. La poible poicione elativa ente α y on: ango(a) \ ango (A*) compatible indeteminado (e el mimo) incompatible (paalelo) 2 - compatible indeteminado (e cotan en una ecta) Siendo: A a b c = a2 b2 c2 A a b c d * = a2 b2 c2 d2 3

4 2. La poible poicione elativa ente α y on: ang( A ) ang( * A ) 2 Sitema compatible indeteminado la ecta etá contenida en el plano. 2 3 Sitema incompatible la ecta e paalela al plano. 3 Sitema compatible deteminado la ecta y el plano e cotan en un punto. Siendo: a1 b1 c1 A= a3 b3 c3 a4 b4 c 4 a b c d = a4 b4 c4 d * A a3 b3 c3 d3 3. La poible poicione elativa ente y on: ang( ang( A ) * A ) 2 Sitema compatible indeteminado la ecta coinciden Sitema incompatible la ecta on paalela. 3 Sitema compatible deteminado la ecta e cotan en un punto. Sitema incompatible La ecta e cuzan. Siendo: A a3 b3 c3 a b c = a5 b5 c5 a6 b6 c6 A a3 b3 c3 d3 a b c d * = a5 b5 c5 d5 a b c d

5 Cuále on lo elemento báico de la geometía del epacio? Al igual que en el plano, el epacio contiene punto, ecta y egmento, que e indican de la mima manea que en el plano. Ademá, en el epacio también exiten lo plano, que deben imaginae como hoja de papel in límite, in ondulacione y i epeo. Nomalmente, lo plano e deignan con leta del alfabeto giego. Lo elemento de la geometía plana (el punto, el egmento, la ecta y la emiecta, aí como el ángulo ente do egmento) también e encuentan en el epacio de te dimenione. Eto elemento e deignan de la mima foma que en el plano. Ademá, en el epacio e pueden defini lo plano que e deben imagina como inmena hoja de papel in límite, in ondulacione y in epeo alguno; po eo, un plano tiene do dimenione, de la mima manea que una ecta tiene una única dimenión (y un punto, ninguna). Nomalmente, un plano e acotumba a deigna con una leta giega. Paa epeenta un plano e utiliza, nomalmente, una foma tapezoidal, como la de la imagen: α Una popiedad impotante de cualquie plano e que i contiene do punto, iempe contiene la ecta que paa po eto do punto. Un emiplano e la pate de un plano que tiene po extemo una ecta. E difícil epeentalo de foma difeente, po eo e debeá ubaya la ecta que le ive de extemo. Semiplano limitado po la ecta. Cuále on la poicione elativa de lo diveo elemento del epacio? Do plano ditinto del epacio pueden e, o bien, paalelo, o bien, cotae en una ecta. Un plano y una ecta pueden e paalelo, o bien, cotae; en ete cao, o bien la inteección e un olo punto, o bien toda la ecta e encuenta incluida en el plano. Finalmente, do ecta en el epacio pueden, o bien, cotae en un punto, o bien, e paalela, o bien, pueden cuzae, in cotae Do plano ditinto del epacio pueden e, o bien, paalelo, o bien, cotae en una ecta. Po ejemplo, lo plano y on paalelo. En cambio, el plano α y el plano e cotan en la ecta, mienta que el plano y el plano α e cotan en la ecta. 5

6 α Do plano que e cotan dividen todo el epacio en cuato zona, cada una de la cuale e denomina ángulo diedo. Cuando la cuato zona tienen una foma imila, e dice que lo plano on pependiculae, como en el cao de la imagen. Un plano y una ecta pueden e paalelo, o bien, cotae. En ete último cao, o bien la inteección e un olo punto, o bien toda la ecta e encuenta incluida en el plano. Aí, la ecta e paalela al plano α; la ecta petenece al plano ; la ecta t cota al plano en el punto P. α P t Finalmente, do ecta en el epacio pueden, o bien, cotae en un punto, o bien, e paalela, o bien, pueden cuzae, in cotae. Po ejemplo, la ecta y e cotan en el punto P; la ecta t y x on paalela (poque e encuentan en el mimo plano, α); la ecta z e y e cuzan (poque petenecen a plano ditinto paalelo). P α t y x z 6

7 Qué e y cómo e calcula el ángulo ente lo elemento del epacio? Do ecta que e cotan genean cuato ángulo, con la mima popiedade que lo ángulo ente do ecta del plano que e cotan. Paa defini un ángulo ente do plano, e debe taza un tece plano que ea pependicula a ambo plano; la ecta que eultan de la inteección de ete plano con lo do pimeo no dan lo ángulo ente ambo plano. Finalmente, paa enconta un ángulo ente una ecta y un plano que e cotan, debe epeentae el plano pependicula al plano dado y que incluya la ecta; el ángulo ente la ecta de inteección de lo plano y la ecta oiginal e el ángulo bucado. Lo ángulo ente do ecta que e cotan e definen de igual manea que lo ángulo ente do ecta del plano que e cotan. En cambio, paa defini un ángulo ente do plano, e debe taza un tece plano que ea pependicula a ambo plano. Po ejemplo, paa abe el ángulo que foman lo plano y δ, debe tazae el plano, pependicula tanto a como a δ. La inteección ente y e la ecta t; la inteección ente y δ e. Lo ángulo ente y δ eán lo ángulo ente t y. t ángulo δ Finalmente, paa enconta un ángulo ente una ecta y un plano que e cotan, debe epeentae el plano pependicula al plano dado y que incluya la ecta. Po ejemplo, paa enconta un ángulo ente el plano y la ecta t (que e cotan en P), e contuye el plano α, pependicula a y que contiene t; e la inteección de ambo plano. Cualquie ángulo fomado ente la ecta y t e un ángulo ente la ecta t y el plano (aunque, a vece, e dice que el ángulo ente la ecta y el plano e el meno de eto ángulo, tal como e obeva en la imagen). Se dice que una ecta e pependicula a un plano i cualquiea de eto ángulo e de 9º. α t P También puede definie la poyección de una ecta obe un plano utilizando la anteio imagen: e contuye un plano pependicula al plano en cuetión que contenga la ecta. La inteección ente ambo plano eá la poyección bucada. En el ejemplo, la poyección de la ecta t obe el plano e la ecta, poque el plano 7

8 pependicula a que contiene la ecta t, e α; ademá, la inteección ente α y e, peciamente,. De foma imila, puede definie la poyección de un punto obe un plano como la inteección de la ecta pependicula al plano que pae po el punto, y el plano en cuetión. Po ejemplo, la poyección del punto P obe el plano α de la imagen e igual al punto Q, poque la ecta pependicula a α que paa po P e, y cota al plano α en el punto Q. P Q Cómo e expean algebaicamente lo elemento del epacio? Un punto del epacio e expea mediante una tena, (x, y, z), cada una de lo elemento indica una de la coodenada efeida a cada uno de lo te eje del itema de efeencia del epacio. Un plano del epacio e expea mediante una ecuación lineal de te incógnita, cuya olucione on peciamente todo lo punto del plano. Una ecta del epacio e expea como la inteección de do plano. Como e abido, un itema de efeencia en el epacio conta de 3 eje: eje X, eje Y y eje Z, tal como e mueta en la imagen, Un punto en el epacio e expea mediante una tena que indica la coodenada de ee punto, que expean la te dimenione del epacio: alto, ancho, pofundidad. Aí, po ejemplo, el punto P = (1,3,2) e epeentaía de la iguiente foma: P Un plano del epacio e puede expea a tavé de una ecuación lineal con te incógnita, del tipo: 8

9 ax + by + cz + d La olucione de eta ecuación foman un plano del epacio, de la mima manea que la olución de una ecuación lineal de do incógnita epeentaba una ecta del plano. Po ejemplo, ete plano Que cota al eje Y en el punto (,2,), y que e paalelo al plano fomado po lo eje X y Z, tiene po ecuación: y = 2 poque todo lo punto que tienen coodenada y igual a 2, petenecen a dicho plano. Una ecta del epacio puede concebie como la inteección de do plano. Efectivamente, i cada plano e expea con una ecuación lineal con 3 incógnita, la ecta inteección, puede expeae como un itema de 2 ecuacione lineale, con 3 incógnita, cuya olucione on, peciamente, todo lo punto de la ecta. Po ejemplo, lo itema de ecuacione que definen la ecta que foman lo eje de coodenada on: y z x z x y itema que expea el eje X. itema que expea el eje Y. itema que expea el eje Z. E fácil demotalo: en el cao del eje X, u punto on todo aquello que tienen la coodenada z e y igual a ; de la mima manea, lo punto del eje Y on aquéllo que tienen la coodenada x y z igual a ; igualmente, lo punto del eje Z on aquéllo que tienen la coodenada x e y igual a. Cómo e expean la poicione elativa ente plano y ecta? Expeando lo plano mediante una ecuación y la ecta mediante un itema de do ecuacione, pueden deducie la elacione ente eto elemento examinando la olucione del itema de ecuacione que eulta de combina toda la ecuacione de dicho elemento. Do plano del epacio e expean mediante do ecuacione lineale con te incógnita. Debido a eto, la poicione elativa de dicho plano deben coepondee con lo tipo de olucione poible del itema: Si el itema e compatible indeteminado, e deci, el ango de la matiz del itema e igual al ango de la matiz ampliada, en ete cao, lo plano e cotan. Pueden dae do ituacione: o Que dicho ango ea igual a 2. En ete cao, la olución del itema depende de un olo paámeto. Po lo tanto, lo do plano e cotan en una ecta. 9

10 o Que dicho ango ea igual a 1. En ete cao, amba ecuacione on equivalente, o lo que e lo mimo, ambo plano on iguale. Si el itema e incompatible, e deci, el ango de la matiz del itema e 1 y el ango de la matiz ampliada e 2 (po lo tanto, on difeente), en ete cao, ambo plano on paalelo. Po ejemplo, dado eto plano: α: x + y + z = 1 : x + y + z = 3 : 2x + 3y + z = 1 Lo plano α y on paalelo, ya que i e expean en foma de itema: x+ y+ z = 1 x + y + z = 3 y ete itema e expea de foma maticial: x y = z puede obevae que el ango de la matiz del itema e 1, mienta que el ango de la matiz ampliada e 2. Po lo tanto, el itema e incompatible, e deci, no tiene olución. O lo que e lo mimo, lo plano no e cotan, o ea, on paalelo. En cambio, lo plano y e cotan en una ecta, poque el itema que genean u ecuacione: x+ y+ z = 3 2x+ 3y+ z = 1 e compatible indeteminado y el ango de la matiz del itema e igual a 2, el mimo valo que el ango de la matiz ampliada. De manea imila, la poicione elativa de un plano y una ecta deben coepondee con lo tipo de olucione poible del itema eultante de agupa la te ecuacione (una del plano y do de la ecta): Si el itema e compatible, el plano y la ecta e cotan, y pueden dae do ituacione: o Que el ango de la matiz y de la ampliada ea igual a 2. En ete cao, el itema e compatible indeteminado, e deci, la ecta e encuenta incluida en el plano. o Que dicho ango ea igual a 3. En ete cao, el itema tiene una única olución. Po lo tanto, exite un único punto de inteección ente el plano y la ecta. Si el itema e incompatible, e deci, el ango de la matiz del itema e 2 y el ango de la matiz ampliada e 3. En ete cao, no exite olución y, po lo tanto, el plano y la ecta on paalelo. Do ecta del epacio e expean mediante do itema de ecuacione lineale con te incógnita (ambo itema deben e compatible deteminado). Debido a eto, la poicione elativa de dicha ecta deben coepondee con lo tipo de olucione poible del itema eultante de agupa la cuato ecuacione: Si el itema e compatible, e deci, el ango de la matiz del itema e igual al ango de la matiz ampliada, en ete cao, la ecta e cotan y pueden dae do ituacione: o Que dicho ango ea igual a 2. En ete cao, el ango del itema y la ampliada de cuato 1

11 ecuacione e el mimo que el ango del itema y la ampliada de de lo itema de cada una de la ecta. Aí pue, la do ecta on iguale. o Que dicho ango ea igual a 3. En ete cao, el itema tiene una única olución. Po lo tanto, ete punto debe e la inteección de amba ecta. Aí pue, la ecta e cotan en un punto. Si el itema e incompatible, e deci, el ango de la matiz del itema e meno que el ango de la matiz ampliada. Po lo tanto, la ecta no e coinciden en ningún punto. Pueden dae do cao: o Que el ango de la matiz del itema ea 2 y el ango de la matiz ampliada ea 3. En ete cao, la ecta on paalela. o Que el ango de la matiz del itema ea 3 y el ango de la matiz ampliada ea 4. En ete cao, la ecta e cuzan en el epacio. Po ejemplo, dada la ecta: : 2x y+ z+ 2= 3x+ y+ z 1= : 6x 2y 2= x y z + 5 Puede obevae que el itema fomado po la 4 ecuacione: 2x y+ z+ 2= 3x+ y+ z 1= 6x 2y 2= x y z+ 5= e compatible deteminado, y u única olución e: x = 1, y = 2, z = 2. Po lo tanto, amba ecta e cotan en un único punto. Conideemo oto ejemplo: dada la ecta t: x+ y z = 1 3x y+ 2z = 2 m: 2x+ 2y 2z = 2 4x+ z = 5 en ete cao, el itema fomado po la 4 ecuacione: x+ y z = 1 3x y+ 2z = 2 2x+ 2y 2z = 2 4x+ z = 5 o ea x y = z e incompatible, poque el ango de la matiz aociada al itema e 2, mienta que el ango de la matiz ampliada e 3. Po lo tanto, amba ecta on paalela. 11

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