gráfica de una función afín dada en forma explícita

Transcripción

1 PARADA TeÓRICA 3 Función afín. Ecuación explícita de la recta A la función polinómica de primer grado f(x) = ax + b, siendo ay b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. Ecuación explícita de la recta: y = ax + b Ordenada al origen + Pendiente La representación gráfica de una función afín es una recta. La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (/y)y la variación de la variable independiente (!x) de cualquier punto de la misma. Y2 - Yl /y a X2 - Xl - Ax t -- La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al ejey. f f(o) = b El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o decreciente. y,. a>o.,,= o Creciente Constante Decreciente A las funciones,afines que pasan por el origen de coordenadas (0;0), se las denomina funciones lineales. Representación gráfica de una función afín dada en forma explícita Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y.o partir de ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a).. y. 'y" -'&-2 x + : "':'-- -. b"

2 PARADA TEÓRICA 32 Perpendicularidad y paralelismo entre rectas Rectas paralelas Dos rectas son paralelas siy solo si sus pendientes son iguales. M: y = al.x + bl /\ P: y = a2.x + b2 /\ M //P al = a2 y = Ox + b N:y, = 5 H: y, = -3 G:y,=-3 NIIHIIG Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares siy solo si sus pendientes son inversos y opuestas. S: y = al.x + b /\ N: y = a2.x + b2 /\ S -L N al = - a2 x : LLZ a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; ) Y es paralela a y = 5x + l. x =2 /\ Y = /\ a = 5 Y = ax + b = b = 0 + b b = -9 Y = 5x - 9 b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-;3) Y es perpendicular a y = -2x + 4. x=-l /\ y=3 /\ 0=- y=ax+b 3="2(-)+b 2 7 Y = -x

3 Ecuación segmentaria de la recta Toda ecuación de la forma + =, representa una recta en forma segmentaria. Los denominadores my n representan a la abscisaya la ordenada al origen, respectivamente. -fu+ *- = Iordelnodo 0 orig::: cbsciso.clcrigen '-...m n Dada la recta y = 3x - 2, para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria se procede de la siguiente manera: y = 3x - 2 => 3x -y = 2. Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma. Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente (a) y un punto perteneciente a la misma (Xl;Yl).."""'I i Y - Yl = a(x - Xl), La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (;3) es: y - 3 = 2 (x - ) => y - 3 = 2x - 2 => y = 2x => Y = 2x + Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella: (x ;y ) y (X2;Y2). y - Yl _ X - Xl Y2 - Yl X2 - Xl La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;) y (5;3) es: Cj!)Y(j2-) XI YI X2 Y2 y - _ x - 2 y - _ x - 2 ( 2) 3=- 5-2 => => Y- = "3x -"3.2 => y = "3 x - "3 + => y="3x - "3

4 PARADA TeÓRICA 36 Sistemas de ecuaciones lineales I Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto solución). ax dx + by = e + ey = f Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen ningún punto en común o son coincidentes). Los sistemas se clasifican en compatibles e incompatibles, según tengan o no solución; los sistemas compatibles pueden ser determinados o indeterminados, según tengan una o infinitas soluciones. Rectas incidentes Rectas paralelas...,..., ,. R n R 2 = (x ;y ) Determinado (solución única) ' Sistema R n R 2 = R = R 2 Indeterminado (infinitas soluciones) cornputible R n R 2 = 0 Sistema incompntible (no tiene solución) Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas en un mismo sistema de ejes y hallar la intersección de ambas. a) 2X + y = :=;. t.-2x + x - y = 5 Y2 - x - 5 -x + y = 2 Yl : x + 2 b) -x + y = -3 :=;. Y2 - X - 3 Sistema compatible determinado S = (2j-3)} Sistema incompatible 5=0

5 PARADA TEÓRICA 37 Sistemas de ecuaciones lineales Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos permiten 0:-= el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original. Método de sustitución Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuor - X - y = 2x - 3y = (a) Se despeja x en la ecuación (a): x = + Y (b) Se reemplaza la "x" por <+ y" en la ecuación (b): 2( + y) - 3y = Se resuelve la ecuación, obteniéndose el valor de <ly": 2 + 2y - 3y = =:> 2 - Y = =:> -y = - 2 =:> -y = - =:> y = Se reemplaza el valor de <ly" obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de "x": x-= =:> x=2 Se escribe el conjunto solución: S = (2 )} Método de igualación Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnitay luego igualar las ecuaciones obtenidas. 2X -3y = 9 x + Y = -8 (a); x = 9 3y (a) (b) Se despeja "x" de ambas ecuaciones. (b): x = -8 - Y Se igualan ambas ecuaciones y se calcula el valor de <ly": y Y =:> 9 + 3y = -6-2y =:> 3y + 2y = -6-9 =:> 5y = -25 =:> y = - Se reemplaza el valor de \ly" obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de "x": xr+ (-5) = -8 ::; x = -8 ::;. x = -3 Se escribe el conjunto solución: S = (-3 -S)} Método de reducción por sumas y restas Se "igualan" los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando ambos mietnbrzs convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones para eliminar:. 5X + 6y = 2 5X +2y - 4 =:> (5X + 2y).3 = 4.3 =:> 6x - 6y = x -3y = 5 (3x - 3y).2 = 5.2 2x = 42 ' ' ' ' Se igualan los coeficientes de "y" Se suman las ecuaciones miembro a miembro Se calcula el valor de "x": 2x = 42 =:> x = 2 Se reemplaza el valor de "x" obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de <ly": y = 4 =:> 2y = -6 =:> y = -3 Se escribe el conjunto solución: S = (2j-3)} /