APUNTES DE TEORÍA DE JUEGOS II Natalia González Julieth Solano. No. 5

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1 APUNTES DE TEORÍA DE JUEGOS II Natala González Juleth Solano No. 5 Marzo 005

2 APUNTES DE ECONOMÍA ISSN X No. 5, Febrero de 005 Edtor Julo César Alonso C. Asstente de Edcón Stephane Vergara Rojas Gestón Edtoral Departamento de Economía - Unversdad ICESI Tel: ext: 398. Fax: Calle 8 #-35 Cal, Valle del Cauca Colomba

3 APUNTES DE TEORÍA DE JUEGOS II Natala González Juleth Solano Febrero de 005 Resumen En este documento se desarrolla uno de los prncpales conceptos de la teoría de juegos, a saber, el equlbro de Nash. En la prmera parte, se presenta una defncón formal de lo que es el equlbro de Nash además del procedmento que debe segurse para llegar a este. Por últmo, se desarrollan ejemplos y se proponen ejerccos práctcos que permten aterrzar los conceptos que se trabajan a lo largo de las notas. Este documento está drgdo prncpalmente a estudantes de pregrado de economía, empero por la sencllez del lenguaje, puede ser de utldad para cualquer estudante o profesonal nteresado en la teoría de juegos. Palabras Claves: Jugadores, estrategas, juego en forma extensva, juego en forma estratégca, pagos, ncertdumbre, nformacón perfecta, preferencas asmétrcas, preferencas negatvamente transtvas, estratega domnante, elmnacón terada de estrategas domnadas. Apuntes de Economía es una publcacón del Departamento de Economía de la Unversdad Ices, cuya fnaldad es dvulgar las notas de clase de los docentes y brndar materal ddáctco para la nstruccón en el área económca a dferentes nveles. El contendo de esta publcacón es responsabldad absoluta del autor. Profesora tempo completo del Departamento de Economía en la Unversdad Ices. Asstente de Investgacón Departamento de Economía en la Unversdad Ices.

4 Introduccón Después de explorar algunos elementos y conceptos báscos de la teoría de Juegos, como por ejemplo, cómo representar un juego y la nocón de solucón de un juego por medo de la elmnacón terada de estrategas domnadas y estrctamente domnadas 3, se dseñaron estas notas de clase con la ntencón de que el estudante tenga la oportundad de examnar, comprender y aplcar otro concepto de solucón más poderoso que el de la elmnacón terada. La ntencón de estos apuntes es propcar otro encuentro entre el estudante y la Teoría de Juegos y que tenga a su dsposcón materal que ayudará a que al fnal sea capaz de emplear una herramenta nueva de solucón de un juego que permte predccones más precsas; ya que como se examnó en el Apunte de Economía No. 3 la solucón de elmnacón terada da lugar a predccones mprecsas y en algunos casos el proceso no permte nnguna predccón en el desarrollo del juego. 4 Como se menconó anterormente, a contnuacón el estudante tendrá la oportundad de examnar, comprender y aplcar uno de los conceptos de solucón más poderoso y comúnmente utlzado: el famoso equlbro de Nash. La prmera y más mportante característca de todo juego donde aparezca una solucón únca (al enfrentarse todos los jugadores), debe ser un equlbro de Nash. Sn embargo, cabe preguntarse por qué? o mejor aún, qué condcones yacen detrás del concepto del equlbro de Nash para que haya una únca (y en algunos casos más de una) predccón sobre el vector de estrategas de cada jugador? Además, qué requermentos son necesaros para que no sólo haya una únca predccón, sno que además sea correcta? Estas son algunas de las preguntas que responderán los estudantes a lo largo de estos apuntes. 3 Ver Apuntes de Economía No. 3. Natala González. 4 Ibíd. 3

5 EQUILIBRIO DE NASH Anterormente, el estudante aprendó a utlzar la elmnacón teratva de estrategas estrctamente y déblmente domnadas como alternatva de solucón que ofrece la teoría de Juegos. Aprendó por ejemplo, cómo una estratega (x) domna a otra (z) ndependentemente de lo que hagan los demás jugadores, por lo cual no es una buena dea elegr la estratega (z) sn mportar lo que hagan los demás jugadores ya que sempre le rá mejor al elegr (x). Empero, ahora supongamos que el jugador elge la estratega (x) a condcón de que arroja una mayor utldad que s escogera (z) dado que ahora tene una dea de lo que va hacer el otro (o los otros) agente económco. En otras palabras, el jugador elge (x) ya que consdera que es una mejor respuesta frente a lo que él espera va hacer el otro (o los demás). Por lo tanto, la estratega (x) predcha por el jugador debe ser su mejor respuesta a las estrategas predchas de los otros jugadores. Defncón. En un juego de forma estratégca con n jugadores, la estratega s respuesta del jugador a las estrategas predchas de los otros (n ) jugadores: p ( s, s,..., s, s, s,..., s ) p ( s, s,..., s, s, s,..., s ) + n + n es la mejor Donde s representa todos los elementos en el espaco de estrategas del jugador, a excepcón del elemento s. Lo que quere decr que s es una estratega déblmente domnante, es decr, que es la mejor respuesta a condcón de que los demás jugadores eljan ( s, s,..., s, s,..., sn) +. Sn embargo, cabe preguntarse s el jugador, conoce las ntencones de su rval?. Y, será absolutamente mprescndble que cada jugador conozca exactamente lo que sus rvales harán?. En el mejor de los casos, cada jugador smplemente sospecha algo, por lo cual, tanto las predccones hechas por un jugador, como por otro, deben auto mponerse para que nngún jugador quera desvarse de la estratega predcha para él. A contnuacón se presentarán las condcones para asegurar que la conjetura del jugador acerca de lo que 4

6 los demás elgen: ( s, s,..., s, s+,..., sn), es correcta. Asmsmo, que los demás jugadores no se equvoquen en sus conjeturas. Defncón. La estratega s es la mejor respuesta del jugador fla 5 a la estratega predcha del jugador columna y s es la mejor respuesta del jugador columna 6 a la estratega predcha del jugador fla, por lo tanto p( corresponde a un equlbro de Nash. s, s ) p( s, s ) p ( s, s ) Donde s contene todos los elementos en el espaco de p s, s ) ( s ( p, s ) Y estrategas del jugador, a excepcón del elemento s s contene todos los elementos en el espaco de estrategas del jugador -, a excepcón del elemento s. Tanto el jugador fla, como el jugador columna carecen de ncentvos para modfcar su estratega, de ahí que las estrategas predchas de cada uno de los rvales son correctas. Para lustrar las defncones anterores vamos a resolver algunos ejerccos. Recordemos el juego denomnado «batalla de los sexos». 7 Las preferencas de los esposos sobre estos dos espectáculos se representan a contnuacón en la Fgura. Fgura. Matrz de pagos juego Batalla de los sexos. J\J Opera Ballet Opera, 0, 0 Ballet 0, 0, En este juego no hay estrategas domnadas para ser elmnadas por lo que el proceso de elmnacón terada no permte nnguna predccón sobre el desarrollo del juego. Sn 5 De acuerdo a la representacón matrcal de un juego con dos partcpantes, el jugador fla y sus estrategas, se encuentran ubcadas en las flas de la matrz. 6 Según la representacón matrcal de un juego con dos partcpantes, el jugador columna y sus estrategas, se encuentran ubcadas en las columnas de la matrz. 7 Se trata de una pareja de esposos que se van de vaje juntos e nfortunadamente quedan separados en una cudad que no conocen. Cada uno debe decdr ndependentemente del otro a dónde r por la noche con la esperanza de encontrarse. Sentados desayunando la pareja había descartado una sere de alternatvas para la velada, excepto r al ballet o r a la opera. 5

7 embargo, vamos a ver a contnuacón cómo la estratega selecconada por cada jugador corresponde a la mejor respuesta frente a la eleccón de su rval. p ( OO, )> p ( BO, ) y J J p ( B, B)> p ( O, B) y J J p ( OO, )> p ( OB, ) El prmer equlbro de Nash J J J J corresponde a ( OO, ). p ( B, B)> p ( B, O) El segundo equlbro de Nash corresponde a ( B, B ). Ahora examnemos el caso de dos duopolstas, -retomando el modelo de Bertrand (883)- que elge precos y no cantdades 8. Cabe anotar que las estrategas gran alrededor de elegr qué preco cobrar por un producto homogéneo. Trabajemos prmero en la solucón matrcal del equlbro de Nash y luego nos concentraremos en estudar la manera cómo se obtene dcha matrz. Supongamos dos empresaros, dueños de dos frmas, que deben decdr s cobrar un preco alto, medo o bajo por el producto que cada uno vende. 9 S la frma decde cobrar un preco alto a la vez que su rval (la frma ) decde cobrar un preco alto, los benefcos que obtene la frma serán postvos al gual a los que obtene la frma : π (8,8) donde = y. S la frma adopta una conducta smlar y cobra un preco alto mentras que su rval cobra un preco medo, los benefcos de la frma serán nulos mentras que los de la frma uno serán postvos y mayores 0 de los que obtenía en el escenaro anteror: π (, 0) donde = y. Por últmo, s la frma contnua adoptando la msma conducta (cobrar un preco alto) mentras que la frma cobra un preco bajo, los benefcos de la frma serán postvos, pero menores que los del escenaro anteror, mentras que los benefcos de la frma serán nulos: π (0, 0) donde = y. 8 Véase Cournot, A. Researches nto the mathematcal prncples of the theory of Wealth, New York Macmllan (897). 9 Es mportante recordar que el producto que vende cada una de las frmas es homogéneo. 0 Para ello vamos a suponer que el proceso productvo goza de un solo factor de produccón llamado trabajo y que en su prmera fase de produccón cada vez que ncrementa el nvel de producto la productvdad margnal del trabajo es crecente, acompañado de unos costos margnales decrecentes. Para ello vamos a suponer al gual que en la stuacón anteror que el proceso productvo goza de un solo factor de produccón llamado trabajo, empero en su segunda fase de produccón cada vez que el empresaro decde ncrementar el nvel de producto ya que se demanda más de el, la productvdad margnal del trabajo es decrecente y los costos margnales son crecentes. 6

8 Los resultados se nvertrán cuando la frma es la que adopta la conducta de cobrar un preco alto sempre. Por otro lado, s las dos decden cobrar precos medos por la venta del ben, ambos recben benefcos guales pero menores de los que recben s ambos cobrasen precos altos: π (6,6) donde = y. En el caso de que la frma cobre un preco medo mentras que la frma rval cobra un preco bajo, la segunda se apoderaría de todos los benefcos dejando a la prmera sn nada: π (0,0) donde = y. Fnalmente, s ambas frmas decderan cobrar un preco bajo, se repartrían los benefcos de manera gualtara: π (5,5) donde = y. Veamos cómo la Fgura representa de forma matrcal lo que hemos expresado anterormente con palabras: Fgura. Matrz de Pagos Modelo de duopolo de Bertrand J\J Alto Medo Bajo Alto 8, 8 0, 0, 0 Medo, 0 6, 6 0, 0 Bajo 0, 0 0, 0 5, 5 En este juego sólo hay un equlbro de Nash y corresponde a la combnacón estratégca {Bajo, Bajo}. Para mayor entendmento del estudante vamos a ver a contnuacón, cómo la estratega selecconada por cada jugador corresponde a la mejor respuesta frente a la eleccón de su rval, es decr, por qué {Bajo, Bajo} corresponde a nuestro equlbro de Nash. π( Bajo, Bajo) > π( Medo, Bajo) y π( Bajo, Bajo) > π( Alto, Bajo) π ( Bajo, Bajo) > π ( Bajo, Medo) y π ( Bajo, Bajo) > π ( Bajo, Alto) Adconalmente, es mportante resaltar que la solucón de Nash corresponde a la únca solucón por medo de la elmnacón terada de estrategas domnadas. En el modelo de duopolo de Bertrand vemos cómo la estratega Medo es déblmente preferda a la estratega Alto para ambos jugadores: Para ello debemos suponer que la estructura de costos la msma para ambas frmas al gual que la funcón de produccón. 7

9 Análss para el Jugador : π ( Medo, Alto) > π ( Alto, Alto) π ( Medo, Medo) > π ( Alto, Medo) π ( Medo, Bajo) > π ( Alto, Bajo) Este análss nos permte ver que la estratega Medo domna la estratega Alto. Análss para el Jugador : π ( Alto, Medo) > π ( Alto, Alto) π ( Medo, Medo) > π ( Medo, Alto) π ( Bajo, Medo) > π ( Bajo, Alto) Por lo que la estratega Alto es domnada por la estratega Medo. La elmnacón anteror nos deja con la sguente matrz de pagos ( Fgura 3). Fgura 3. Matrz de Pagos Restante del duopolo de Bertrand J\J Medo Bajo Medo 6, 6 0, 0 Bajo 0, 0 5, 5 Análss para el Jugador : π( Bajo, Medo) > π( Medo, Medo) ; π( Bajo, Bajo) > π( Medo, Bajo) ; por lo que la estratega Bajo domna la estratega Medo. Análss para el Jugador : π ( Medo, Bajo) > π ( Medo, Medo) ; π ( Bajo, Bajo) > π ( Bajo, Medo) ; por lo que la estratega Medo es domnada por la estratega Bajo. Con los dos juegos anterores podemos conclur que toda solucón por medo de elmnacón terada de estrategas domnadas es un equlbro de Nash, pero no todo equlbro de Nash es una solucón por medo de elmnacón terada de estrategas domnadas. Cómo ejercco para la casa, explque la anteror afrmacón. 8

10 Como menconamos anterormente, a contnuacón estudaremos la manera como se construye una matrz de pagos, como es el caso del modelo de duopolo de Bertrand con productos homogéneos 3. Tambén encontraremos la combnacón de estrategas de equlbro 4, o en forma más senclla, el equlbro de Bertrand-Nash cuando las empresas selecconan los precos. Cuál es la funcón de demanda de la empresa s toma como dado el preco de su rval, en este caso, la empresa? La empresa tene dferentes alternatvas. Prmero, antcpar el hecho de que s cobra un preco más alto que el de su rval, todos le compraran a su rval. Segundo, s la empresa cobra un preco más bajo que su rval, todos le comprarán. Y tercero, s cobra un preco gual a de su rval, las empresas se dvdrán el mercado en partes guales. 5 En esta ocasón vamos a suponer que se dvden el mercado a la mtad. De esta manera, la cantdad que demandan los consumdores a la empresa es: (0.) q = x p s p < p q = 0 s p > p q ( x p) / s p p = = Adconalmente, vamos a suponer que no hay costo fjos y que los costos margnales son constantes 6 e guales a c donde c < x. A contnuacón vamos a tomar la forma más senclla de la funcón de benefcos de la empresa : π ( s, s) = It Ct 7, por lo tanto la funcón de benefco para la empresa, s p < p puede expresarse de la sguente forma: [ ] π ( p, p ) = q ( p, p ) p c π ( p, p ) = ( x p )( p c ) 3 Para el caso de productos dferencados véase ejercco en la seccón..b del lbro de Robert Gbbons, Un prmer curso de Teoría de Juegos. Anton Bosch edtor, Se llama combnacón de estrategas de equlbro a la estratega de cada jugador s es la mejor respuesta ante las estrategas de los demás jugadores (en este caso de la empresa rval). 5 Dado la smetría en la estructura de costos. 6 Recuerde que en estos casos donde los costos margnales son constantes, tambén son guales a los costos medos. 7 Donde It y Ct corresponden a los ngresos totales y costos totales respectvamente. 9

11 Segundo, la funcón de benefco para la empresa, s p > p es gual a cero y puede expresarse de la sguente forma: [ ] π ( p, p ) = q ( p, p ) p c π ( p, p ) = (0) Y fnalmente, s p = p, la funcón de benefco para la empresa es: [ ] π ( p, p ) = q ( p, p ) p c x p π ( p, p ) = p c ( ) Con el objeto de encontrar la mejor funcón de respuesta de la empresa, es necesaro responder la sguente pregunta: dada la conjetura que tene la empresa acerca de cuánto va a cobrar la empresa, qué preco debe cobrar la empresa con el objeto de maxmzar su utldad? Examnemos las estrategas presentadas anterormente. Una prmera alternatva es que dado el preco de su rval, la empresa cobre un preco más bajo con el fn de captar todo el mercado. Por ejemplo, s la empresa cobra un preco mayor que el preco de monopolo, la prmera empresa cobrará un preco menor que el de su rval, es decr, cobrará un preco gual al de monopolo. A contnuacón veamos cuál será el valor del preco de la empresa, p = x q q π ( q, q ) = q ( x q q c ) It = x q q q Ct q π Con el objeto de maxmzar el benefco = x q q c = 0, la prmera empresa q selecconará el nvel de produccón q en el cual el ngreso margnal es gual al costo margnal, es decr: = c x q q = c q = x q c 0

12 Por lo tanto, el valor del preco que la empresa debe cobrar en el caso de que la empresa cobre un preco mayor que el de monopolo ( p < p) debe ser: p q = x p p = x q x q c x c p = = x Un segundo escenaro se presenta s la empresa elge un preco mayor que la de su rval: p > p. En este caso su benefco será gual a cero. Por últmo, tenemos un tercer escenaro en el cual la empresa cobra un preco gual a su costo margnal. S la empresa decde cobrar un preco mayor al costo margnal, su benefco será gual a cero ya que no será atractvo para nngún consumdor. S seleccona un preco gual al costo margnal: p = p, su benefco será cero porque llegará al punto de equlbro sobre cada undad que venda. En este caso es mejor obtener una utldad gual a cero que obtener una utldad negatva al querer vender el producto a un preco menor que el costo margnal. Para lustrar el caso del duopolo de Bertrand, empecemos por establecer las condcones de costos y demanda. Suponga que la funcón de mercado lneal es la sguente: p = 00 Q Donde p es el preco y Q es la produccón agregada, es decr, de toda la ndustra. Adconalmente, suponga que cada empresa en la ndustra puede fabrcar el ben a un costo constante e gual a $0 por undad. Por lo cual, el costo margnal de cada undad producda es gual a $0 ndependentemente de la empresa que lo fabrque. Contnuando con nuestro objetvo: encontrar la combnacón de estrategas de equlbro 8, o en forma más senclla, el equlbro de Bertrand-Nash cuando las empresas selecconan los precos es necesaro obtener la funcón de mejor respuesta de cada empresa, para lo cual debemos responder la sguente pregunta: dado p, qué valor de p j maxmza la utldad de la empresa j. 8 Se llama combnacón de estrategas de equlbro a la estratega de cada jugador s es la mejor respuesta ante las estrategas de los demás jugadores (en este caso del la empresa rval).

13 De acuerdo a sus conocmentos del curso de Teoría Mcroeconómca II, la cantdad que producrá y el preco que cobrará el monopolsta será: p = 00 ( q+ q) It = 00q q qq It = 00 q q q It Ct = q q 00 q q = 0 q q = 40 q = 40 p= 00 Q p = 60 Por lo tanto, s la empresa cobra un preco mayor que el preco de monopolo, la prmera empresa cobrará un preco menor que el de su rval, es decr, cobrará un preco gual al de monopolo, es decr, p = 60 y su benefco será $600. Un segundo escenaro se presenta cuando el preco de la segunda empresa es mayor que el costo margnal de 0, pero menor que o gual al preco de monopolo 60. S la empresa cobra un preco mayor al del monopolo su benefco será gual que cero. Fnalmente, examnemos el caso en el que la segunda empresa establece un preco exactamente gual al de su rval. Para este últmo escenaro vamos a ver qué pasará s: p = p = 0; p = p < 0; 0 < p = p > 60 El Gráfco muestra los dferentes nveles de benefco que obtene la empresa en el caso de que () p < p, () p > p y () p = p. El preco de la empresa se encuentra en el eje de la abscsa y su utldad sobre la ordenada. La funcón estará compuesta por cuatro fases.

14 Gráfco Funcón de utldad de la empresa. () p < p Utldad Empresa () (3) p = p = 60 p > p (4) () 0 = Cmg p Preco de la empresa (p ) La prmera fase () consste en una stuacón donde la empresa decde cobrar un preco menor que el costo por undad producda $0, su utldad será negatva. Por otra parte, la segunda fase () tene que ver con una stuacón donde la empresa cobra un preco menor que el preco de su rval, p < p, conforme aumenta el preco de la prmera empresa, se ncrementa su utldad. En esta fase, el preco que maxmza la utldad de dcha empresa se encuentra cercano, pero menor 9 que p. En la tercera fase (3), cuando la prmera empresa seleccona un preco gual al de su competdor, p = p, su utldad dsmnuye a la mtad ya que se dvden gualtaramente la utldad con su rval. Fnalmente, la cuarta fase (4) muestra cómo la utldad de la empresa será gual a cero cuando elge un preco mayor que el de su rval, p > p. Luego de haber presentado el juego en forma normal, es decr, () dentfcar los jugadores, () determnar cuáles serán las estrategas con que cuenta cada jugador y () estmar los pagos asocados a cada una de las estrategas presentadas anterormente: p < p ; p > p ; p = p., a contnuacón determnaremos el equlbro de Bertrand-Nash. 9 A pesar de que el preco que maxmza la utldad de la empresa, no se defne perfectamente en el Gráfco, ya que no se defne como un preco arbtraramente menor a p. Empero, vamos a gnorar este punto. 3

15 Es decr, la combnacón de estrategas de equlbro cuando las empresas selecconan precos. Para ello vamos a resumr los resultados con respecto a la mejor respuesta por parte de la empresa, dado el preco de su rval. 0 La mejor respuesta por parte de la empresa, s p > 60, es p = 60. La mejor respuesta de parte de la prmera empresa, cuando p < 0, es p > p. La mejor respuesta por parte de la empresa, s 0 p 60, es p p. La mejor repuesta de parte de la prmera empresa, cuando p = 40, es cobrar un preco p p. A partr del últmo resultado, podemos ver cómo, s la segunda empresa elge un preco gual a $0, la mejor respuesta por parte de la prmera compañía es establecer, al gual que la empresa, un preco equvalente a $0. De modo smlar, s la empresa cobra un preco equvalente a $0, la mejor respuesta por parte de la segunda empresa es establecer un preco gual a $0 tambén. En este orden de deas, la combnacón de estrategas de equlbro es p = p = 0. En este equlbro, la utldad de cada empresa es gual a cero. Otra manera de ver por qué la combnacón de estrategas de equlbro p = p = 0, es consderar el juego dnámco en el cual las empresas selecconan los precos alternatvamente. Supongamos que la prmera empresa elge el preco de monopolo $60. En este caso, su rval ofrecerá un preco menor. La empresa responderá con un preco aún más bajo. Esta dnámca de reduccón sucesva en los precos ofrecdos tendrá un fnal sólo cuando ambos precos se encuentren en un nvel equvalente al costo por producr la últma undad, es decr, cuando el preco sea gual a $0. A fn de construr la matrz de pagos que se presenta en la Fgura 4, utlzamos estas funcones de utldad con el objeto de calcular los pagos que recbe cada empresa por cada una de las sguentes combnacones estratégcas. A partr de la sguente versón 0 Recuerden que la mejor funcón de respuesta de la empresa es smétrca a la de la empresa. 4

16 smplfcada del juego del duopolo, lustraremos el dlema que enfrentan los olgopolstas al tratar de partcpar en el juego. Supongamos que las estrategas de la empresa corresponden a las estrategas del jugador fla y las estrategas de la empresa corresponden a las estrategas del jugador columna. Cada una de las cuatro celdas en la Fgura 4 representa una de las cuatro combnacones de estrategas posbles. Las estrategas que enfrentan tanto la empresa como la son: () cooperar y producr colectvamente la cantdad que produce el monopolsta y () engañar al rval y producr más de lo acordado. A contnuacón vamos a hallar los benefcos de cada empresa en funcón de las estrategas elegdas por cada dcha empresa, así como de las estrategas elegdas por la otra empresa. Fgura 4. Matrz de pagos del duopolo. J\J , 800 (-400), , (-400) 787.5, Al observar la prmera columna de la fgura anteror vemos que s la empresa elge producr poco (0) y que el preco sea gual al del monopolo, es decr, 60 (dado que creen que su rval va a producr poco (0)), la mejor respuesta de la empresa es engañar a su rval y producr mucho (5) y que el preco del mercado sea gual a 55. Por qué? Porque gana $575, mentras que s decde cumplr su promesa y producr poco, gana $800. S examnamos la segunda columna vemos que s la segunda empresa elge producr mucho (5), la mejor respuesta por parte de la empresa tambén es producr mucho (5) ya que gana $787.5 en lugar de una perdda de -$400. En consecuenca, se dce que cobrar un preco bajo (es decr, producr mucho (5)) es una estratega domnante para la prmera empresa. Por otra parte, ya que las alternatvas de la empresa son exactamente guales a las de la empresa, su mejor respuesta tambén es cobrar un preco bajo (es decr, producr mucho (5)) sn mportar lo que elja la prmera empresa. En este sentdo, la combnacón de estrategas de equlbro es {55, 55}. Observe que cada uno de los olgopolstas tene un ncentvo para coludr, es decr, cooperar. Empero, es precsamente la búsqueda cega del nterés egoísta la que conlleva a un equlbro en el cual ambos jugadores estén peor de lo que estarían s cooperaran. En otras palabras, la mejor respuesta por parte de una empresa rval a la respuesta de 5

17 cooperar de la otra compañía es engañarla y romper el acuerdo de cooperacón. Por lo cual cabe anotar que el equlbro de Bertrand-Nash no es del todo satsfactoro, ya que prmero una empresa reduce su preco para ser más atractvo que su rval esperando captar todo el mercado. Su rval responde bajando su preco, esperando a su vez captar todo el mercado. Cada empresa, en respuesta a lo hace su rval, ofrece un preco menor esperando captar todo el mercado hasta el punto en que el preco es tan bajo que le es ndferente vender a un preco gual a costo margnal o abandonar el mercado, en cuyo caso su utldad es gual a cero. Exsten otras formas de hallar el equlbro de Nash, aparte de la algebraca, entre ellas, aplcar el proceso de elmnacón teratva de las estrategas domnadas, o quzás de manera gráfca. Comencemos por explorar la solucón gráfca del equlbro de Nash (Ver Gráfco ) Gráfco. Solucón gráfca del Equlbro de Nash P (P >P ) Cmg =0 Cmg = 0 (P >P ) P A contnuacón examnemos un tercer modo de hallar este equlbro de Nash, el cual tene que ver con la elmnacón teratva de estrategas domnadas. Se dce que la estratega cobrar un preco alto esta estrctamente domnada por la estratega cobrar un preco o bajo (esperando captar todo el mercado), π ( s, s ) f π ( s, s ), donde s o corresponde a la estratega de que la empresa cobre un preco bajo $55, s representa la estratega de cobrar un preco alto $60 y s especfca un vector de estrategas de la empresa, $55 y 6

18 $60. Encontrarán que la empresa, atravesa lo msmo que su rval, por lo que π ( s, s ) f π ( s, s ), donde s o corresponde a la estratega de que la empresa cobre un o preco bajo $55, s representa la estratega de cobrar un preco alto $60 y s especfca un vector de estrategas de la empresa, $55 y $60. Es decr, exste un s o en s tal que es la mejor respuesta de la empresa a las estrategas predchas por la empresa, y vceversa. Por lo tanto el equlbro de Nash es {55,55}. Tal predccón puede denomnarse de auto-mposcón en el sentdo que, después de llegar a un acuerdo, las empresas tenen un ncentvo claro para decdr cobrar un preco bajo. La combnacón estratégca {60,60} es atractva porque maxmza la utldad colectva, pero no es de auto-mposcón ya que cuando llega el momento de elegr el preco que va a cobrar cada empresa, cada empresa se ve rentado a cobrar un preco más bajo, es decr elegr 55 y no 60. Al elegr la empresa cobrar un preco equvalente a 55, la empresa maxmza su utldad ndvdual. Fnalmente, s un acuerdo no es de automposcón no es un equlbro de Nash, es decr no es de auto-mposcón. Ejerccos Propuestos: El problema de los ejdos Uno de los prncpos de la economía consste en que los ndvduos responden a ncentvos. En la mayoría de los casos estos ncentvos son prvados, por lo que cuando se trata de benes públcos no puede esperarse que los ndvduos respondan gual. Una de las razones por las que esto es así, es que sobre los benes públcos no exsten derechos de propedad lo que hace que todos los ndvduos se sentan con gual derecho de acceder a ellos. El resultado de este comportamento es la nefcenca en la provsón de estos benes y de hecho la subutlzacón de los msmos. Ejemplos de este tpo se dan de manera repetda con el medo ambente, de ahí que se haya bautzado la trageda de los comunes a la sobreutlzacón de los recursos naturales. El sguente ejercco busca representar una stuacón en la que el resultado del equlbro de Nash no es el óptmo socal. Desarrollado a partr de un ejemplo propuesto en Gbbons (99) 7

19 Imagínese el lector una aldea con una pradera para el pastoreo de cabras, los n habtantes de este lugar, durante el verano, llevan sus cabras al ejdo a pastar. El número de cabras que posee el n-ésmo campesno es g n y el número total de cabras en la aldea es n. Mantener y cudar una cabra tene un costo gual a = G= g ndependentemente de cuantas cabras decda tener cada aldeano. Pero una vez las cabras se encuentran en la pradera tene un costo gual a v(g) por mantenerlas ahí. Mentras las cabras se encuentran en la pradera es necesaro que tengan una cantdad mínma de pasto para almentarse y un espaco para dormr, por lo que la cantdad máxma de cabras que pueden mantenerse en el ejdo es G max :v(g)>0 para G<G max, pero una vez hay tantas cabras en el ejdo que se guala o se supera la cantdad máxma ocurre que v(g) = 0 para G Gmax por lo que nclur una cabra más en la pradera dsmnurá la cantdad de pasto de las demás. c Una vez llega la prmavera, el aldeano decde al gual que el resto de sus vecnos cuantas cabras llevará a pastar al ejdo. Por lo tanto esta es la estratega del aldeano. Dado que no se pueden tener en el ejdo nfntas cabras, el espaco de estrategas puede defnrse como: [ 0, G max ). Así, los benefcos obtendos por el campesno una vez elegdo,...,,..., g cuando el número de cabras cradas por los demás campesnos es g g g+ gn serán: π = IT CT π = pq CT π = gv( g,..., g, g + g+..., gn) cg Por lo tanto, para el ndvduo, ( g, g ) ( g, g ) g será su mejor estratega s se cumple que:, Donde g es el vector de estrategas del jugador a excepcón del elemento g, lo msmo debe ocurrr con el resto de los jugadores. En este caso, denomnaremos g el conjunto de estrategas del resto de los aldeanos, la condcón para que g sea su mejor estratega es: ( g, g ) ( g, g ) Donde g es el vector de las 8

20 posbles estrategas del ndvduo, exceptuando la estratega g. Así, s ( g,..., g ) n consttuye un equlbro de Nash, para cada, debe ser certo que s cada ndvduo elge su mejor estratega con base en las condcones expuestas arrba, se maxmzará su funcón de utldad. La condcón de prmer orden de este problema de optmzacón es: donde g denota g,..., g g... g + n vg g gv g g c ( + ) + '( + ) = Susttuyendo g en la condcón de prmer orden, sumando todas las condcones de prmer orden de los n aldeanos y dvdéndolas por n se obtene: donde aldeanos, solucón de: + ' = 0 n v(g ) G v (G ) c G representa la sumatora de las mejores estrategas de cada uno de los g g. Por el contraro, el óptmo socal, denotado con G, es una n max Gv( G) Gc 0 G< 0 para la cual la condcón de prmer orden es: v(g ) + G v '(G ) c = 0 La comparacón de las dos condcones de prmer orden, la de los aldeanos y la del óptmo socal muestran que G > G. Por lo anteror, se muestra como se afrmó al nco de este ejercco, que en este caso la solucón que arroja el equlbro de Nash mplca que cada aldeano puede poner a pastar más cabras de las óptmas socalmente. Por lo tanto, según esta conclusón termnarán en el ejdo más cabras de las que se deberían crar. La condcón de prmer orden para cada ndvduo muestra los ncentvos que tene un aldeano que ya esta crando g cabras, para añadr una más. El valor de cada cabra adconal es v g ( g ) + y su coste es c. El daño a las cabras ya exstentes del aldeano es v g '( g ) + por cabra, o g v g '( g ) + en total. Por lo anteror, se presenta la sobreutlzacón de los recursos, en este caso del ejdo, pues cada aldeano solo es capaz de consderar su stuacón ndvdual y no prevé las consecuencas de sus accones en de los demás aldeanos. 9

21 El Duopolo de Cournot En el modelo propuesto por Cournot, exsten dos frmas que compten por tener la mayor partcpacón en el mercado, las dos ofrecen un ben homogéneo, por lo que es mposble para los consumdores dferencarlos. Las frmas se enfrentan a una curva de demanda lneal y determnan el preco del mercado vía cantdades. La nversa de la curva de demanda se puede expresar como sgue: P= a Q Además de esto, se supone que ambas frmas se enfrenta a la msma funcón de costo total CT = cq, donde Q es la produccón agregada, es decr, q + q. En prmera nstanca es necesaro plantear el juego, recuerde que es mportante determnar: ) Cuáles son los jugadores ) Cuáles son sus estrategas y 3) Cuáles son los pagos que recben por llevar a cabo sus estrategas. En nuestro caso, sabemos que hay dos jugadores, cuyas estrategas son las dferentes cantdades que pueden producr. Los pagos que obtenen por segur una determnada estratega, es lo que necestamos encontrar. El espaco de estrategas para cada una de las frmas puede defnrse como: S = [ 0, ) además de esto se supone que una estratega s que pertenezca a este espaco mplcará que q 0. El objetvo de cada una de las frmas es elegr una cantdad determnada de produccón que maxmce sus benefcos. Es mportante recordar que los benefcos de una frma se pueden expresar de la sguente manera: π π π π ( q, q j ) = IT CT ( q, q j ) = PQ cq ( q, q ) = [( a ( q + q ) q ) cq ] j j ( q, q j ) = q [ a ( q + q ) c] Cabe anotar que el benefco que espera obtener la frma con un determnado nvel de j producto, esta basado en la dea que tene esta frma sobre lo que hará la frma, q j representa este supuesto. Por lo tanto, la eleccón que cada frma hace sobre su nvel de produccón será un equlbro de Nash sí se cumple que para cada una de ellas: p ( s, s ) p ( s j Donde s es una de las estrategas pertenecentes al vector S exceptuando en este caso s. Intutvamente, esto quere decr que la eleccón de una estratega de produccón determnada, dado que se tene una dea de lo que hará la otra frma, deberá ser la mejor, s j ) 0

22 del conjunto de posbles estrategas de la frma. S esto es así, será certo que la eleccón de q maxmzará los benefcos de la frma: O para cada una de las frmas: max π ( q, q 0 q < max p ( s, s j s S ) = max q 0 q < j ) [ a ( q, q ) c] De aquí se obtene la condcón de prmer orden que solucona el problema de maxmzacón: q = ( a q c) y q ( = a q c) Resolvendo este sstema de dos ecuacones se llega a: ( a c) q = q = 3 Este resultado mplca que cada frma tene ncentvos para querer ser la únca en el mercado por lo que s su rval no produjese nada, la frma en cuestón producrá bajo condcones de monopolo, es decr: [ ] π ( q,0) = ( a ( q + 0)) q cq max π ( q,0) = a q c 0 q < 0 q = q m ( a c) Los benefcos que obtendría la frma por segur esta estratega serían: ( a c) π ( q m,0) =, pero como exsten dos frmas en el mercado, lo mejor para cada una 4 de ellas sera producr una cantdad gual a q / de tal forma que, la produccón agregada, correspondera a la produccón de monopolo. Pero a estas cantdades de produccón el preco del mercado es tan alto, que las frmas se ven ncentvadas a producr más a pesar de que con esta conducta el preco del mercado dsmnuye. Puede demostrarse por medo de la ecuacón de q, que cuando la frma decde producr una cantdad gual a q / la mejor respuesta de la frma, es no producr esta msma m cantdad. Por esta razón, en el equlbro termna producéndose una cantdad mayor. m j

23 Bblografía Shubk., Martín Economía Polítca: Un enfoque desde el punto de vsta de la teoría del juego. Textos de Economía Fondo de Cultura Económca. Dutta K., Prajt Strateges and Games Theory and Practce. Neumann Von John, Morgenstern Oskar Theory of Games and Economc Behavor. Scence Edtons. Gardner Roy Games for Busness and Economcs Segunda Edcón. WILEY. Gbbons Robert. 99. Un Prmer Curso de Teoría de Juegos.