UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA

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1 1. IDENTIFICACIÓN UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA ASIGNATURA: TEORIA DE ANILLOS CÓDIGO: NIVEL: V CRÉDITOS: 4 DESCRIPCIÓN: TEORÍA DE ANILLOS Y CAMPOS DOCENTE: PABLO EMILIO CALDERON, JESÚS ANTONIO AVILA, DARÍO RUBIO, ARNOLD OOSTRA CARÁCTER: OBLIGATORIA PREREQUISITO: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS I AREA: DISCIPLINARIA 2. OBJETIVOS 2.1 GENERAL: Con el conocimiento de la teoría de anillos y campos se contribuye al estudio de las estructuras algebraicas, siendo ésta una parte básica dentro de la formación del matemático. Con ello se busca que el estudiante actualice los conocimientos de ésta trama de las matemáticas mediante un trabajo continuo y responsable, planteando y solucionando problemas que lo conducen hacia la teoría de Galois 2.2 ESPECÍFICOS: Familiarización con los conceptos y resultados discutidos a lo largo del curso Desarrollo de temas de teoría de anillos y teoría de campos al punto de poder apreciar los rasgos generales de la teoría de Galois. 3. METODOLOGIA: 3.1 Lecturas dirigidas 3.2 Solución de problemas 3.3 Talleres 3.4 Investigación 3.5 Demostraciones matemáticas 3.6 Repaso de conceptos básicos 3.7 Análisis de textos 3.8 Trabajo independiente

2 4. CONTENIDOS UNIDAD 1. ANILLOS Definición de anillo. Ejemplos. Resultados sencillos. Homomorfismos de anillos. Subanillos e ideales. Anillo cociente. Teoremas de homomorfismo. Ideales maximales. Producto de anillos. UNIDAD 2. ANILLOS DE POLINOMIOS Construcción del anillo de polinomios. Evaluación y raíces. Polinomios sobre un campo. Algoritmos de división; polinomios irreducibles: ideales; factorización. UNIDAD 3. DOMINIOS Dominios de integridad. Campo de cocientes de un dominio de integridad. Dominios De ideales principales. Elementos primos y elementos irreducibles. Dominios de Factorización única. Dominios Euclideos. UNIDAD 4. CAMPOS Campos de extensión. Elementos algebraicos y trascendentes. Campos algebraicamente cerrados. Clausura algebraica. El Teorema fundamental del Algebra. Campos de descomposición. Generalidades de la teoría de Galois (Informal). 5. BIBLIOGRAFIA 5.1 BÁSICA ALBIS; Temas de aritmética y álgebra. Universidad Nacional de Colombia ATIYAH/MACDONAL lntroduction to commutative Algebra. Addison Wesley. BIRKHOFF/MACLANE; Algebra. MacMillan CAMPOS/GARZON/PEREZ/RODRIGUEZ. Fundamentos de álgebra abstracta. Universidad Nacional de Colombia CASTRO; Temas de teoría de cuerpos, Teoría de anillos y Números algebraicos. Universidad Nacional de Colombia FRALEIGH: A first course in abstract Algebra Addison - Wesley. 3. Ed.I982. HERSTEIN; Álgebra abstracta. Iberoamérica. 2 edición. 1988,

3 LAMBEK: Lectures en rings and modules. Chelsea. 3 edición LANG; Algebra. Aguilar COMPLEMENTARIA (INTERNET)

4 PLAN DE DESARROLLO DE CONTENIDOS CON ACTVIDADES Y TIEMPÓS TOTAL TEMA ACTIVIDAD PRESENCIAL T ACTIVIDAD INDEPENDIENTE T TOTAL Anillo (a) Dominios enteros (b) Campo (c) Ideales (d) Acuerdo Pedagógico Definición y ejemplos de anillo Encontrar otros ejemplos y leer 4 h propiedades Demostración de propiedades Ejercicios 4 h 6 h Ejercicios pág : Definición de divisores de cero, Fraleight John. 4 h ejercicios. Definición de dominio, entero, Lectura de ejercicios, Proposiciones. concepto campo 6 h y subanillo. Ejercicios página 213 Fraleight. Definición campo y proposiciones. Leer anillos 4 h creciente e ideales. Definición de subanillo y ejemplos 6 h Concepto de ideal y ejemplos Ejercicios página h Def. Anillo cociente y proposiciones Leer concepto de 6 h

5 Homomorfismos (e) Ideales Máximales y Primos (f) Anillo de polinomios (g) Factorización de polinomios (h) Polinomios irreducibles (i) homomorfismos de anillos PARCIAL 1 4 h Taller Varios 4 h 6 h Probar Def. De Homomorfismos, ejemplos propiedades de los homomorfismos Proposiciones, def. Kernel y ejemplos 4 h Teorema fundamental de Ejercicios página homomorfismos y proposiciones de 4 h 6 h 265 Fraleigh John Kernel Def. Ideal Máximal, ejemplos y proposiciones. Def. Ideal primo, ejemplo y proposiciones. Notación, suma y producto de polinomios, evaluación. Definición de divisibilidad de polinomios, algoritmo de la división, ceros de un polinomio, proposiciones. Def. De Polinomio irreducible, ejemplos, proposiciones, def. ideales principales, Ejercicios páginas 264 y 265 Fraleight Prueba de anillos de los polinomios, teorema de homomorfismos de evaluación. Demostrar otras proposiciones de polinomios Lectura de demostración de otras propiedades de polinomios irreducibles e ideales

6 Dominios (j) Informes (k) Varios (l) principales. PARCIAL 2 Ejercicios varios 4 h 6 h Def. De divisibilidad y asociados en un dominio entero, propiedades de Taller divisibilidad, def. De irreducible en dominio entero. Def. dominios de factorización única, ejemplo, proposiciones Def. dominios Euclidianos, ejemplos, proposiciones Profundización y sustentación de un tema elegido por cada estudiante. Socialización de temas investigados como: Anillo de matrices, complejas, campos de extensión, cuaterniones, etc. Parcial Final TOTAL TIEMPO 8 h 18 h 45 h 60 h Ejercicios página 303 Fraleigh y lectura sobre dominios Euclidianos Ejemplo página 311 Fraleigh. Investigación, lectura, redacción de informes parciales. Redacción informe final Ejercicios afines a las exposiciones 4 h 6 h 4 h 6 h 20 h 28 h 3 h Taller escrito 24 h 45 h 8 h 10 h 110 h 168 h

7 COMPUTO DE LOS CRÉDITOS CRÉDITOS TOTAL TIEMPO PRESENCIAL + TOTAL TIEMPO IND 48 (Aproximar al entero más cercano) CRÉDITOS CRÉDITOS: COMPETENCIAS CONTE. TIPO (a) X X X X X X X X (b) X X X X X X (c) X X X X X X X (d) X X X X X (e) X X X X (f) X X X (g) X X X (h) X X X (i) X X X X X X (j) X X X X X X (k) X X X X X X X X X X X (l) X X X X X X X X X X X 1 Trabajo en equipo interdisciplinario 2.Conocimiento y realización de procesos investigativos 3.Liderazgo y relaciones humanas 4.Comunicación verbal y escrita 5. Identificación, planteamiento y resolución de problemas desde las matemáticas y la estadística 6. Dominio en el manejo de sistemas de información 7.Construcción de modelos matemáticos y estadísticos en la resolución de problemas 8. Lectura y escritura en otras lenguas modernas 9.Análisis y síntesis 10.Actualización permanente de los contenidos de su área

8 11 Responsabilidad y profesionalismo en la toma de decisiones 12.Análisis y organización de grandes volúmenes de información 13.Apropiación de conocimientos 14. Permeabilidad al cambio 8. EVALUACIÓN 8.1 ESCRITA 8.2 SEDUIMIENTO MEDIANTE TALLERES ESCRITOS 8.3 INFORME ESCRITO DEL TEMA QUE HA PROFUNDIZADO A LO LARGO DEL SEMESTRE 8.4 SUSTENTACIÓN ORAL ANTE LOS COMPAÑEROS DEL TEMA DE CONSULTA 8.5 REVISIÓN DE EJERCICIOS Y DEMOSTRACIONES QUE SE HAN DEJADO COMO TAREAS 9. OBSERVACIONES: OCTUBRE 6 DE 2003 FIRMA FECHA PABLO EMILIO CALDERON NOMBRE DEL DOCENTE