M465: Tanque de Agua. A) Presentación del problema

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1 M465: Tanque de Agua A) Presentación del problema El diagrama muestra la forma y dimensiones de un tanque de almacenamiento de agua. Al inicio el tanque está vacío. Una llave está llenando el tanque a razón de un litro por segundo. B) Preguntas del problema Pregunta 1 Tanque de agua Cuál s siguientes graficas muestra cómo cambia la altura del del agua en el tanque al transcurrir el tiempo? tiempo tiempo tiempo tiempo tiempo

2 C) Solución directa del problema Sabemos que La llave que está llenando el tanque mantiene un gasto de 1 litro por segundo. Consideramos el tiempo mientras el tanque se está llenando. El volumen del tanque en los primeros 1.5 m de altura es un cono invertido con un diámetro que aumenta al aumentar la altura y en los siguientes 1.5 m de altura es un cilindro con diámetro constante. Nos interesa modelar el del agua en el tanque al transcurrir el tiempo. Podemos descartar gráficas siguiente forma: La altura del del agua va a estar aumentando mientras la llave esté abierta, por lo que descartamos la gráfica A y E. La forma del tanque cambia por lo que descartamos la gráfica C. En los primeros 1.5 metros el volumen del tanque es cada vez mayor por lo que se la velocidad de cambio de es cada vez menor descartamos la gráfica D. En los primeros 1.5 metros el volumen del tanque es cada vez mayor por lo que se va a llenar cada vez más lento y después se llena en forma constante. Por lo tanto la gráfica B es la correcta. D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA INTENCION DE LA PREGUNTA: Evaluar la capacidad del alumno para identificar que el cambio de cierto objeto matemático, este caso el del agua en el tanque depende s propiedades o cambios en otro objeto matemático, en este caso el volumen del tanque. Evaluar la habilidad del alumno para reconocer los tipos de cambio fundamentales en su representación gráfica. Criterio de evaluación para la pregunta Código 1: Respuesta correcta: Gráfica B Código 0: Respuesta incorrecta: cualquier otra respuesta Código 9: No hay respuesta E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el marco PISA. Identificación de un problema matemático. El problema que se plantea consiste por un lado en relacionar el cambio en el del agua en un tanque que se está llenando con el cambio en la forma del tanque, y por otro relacionar un fenómeno con su representación gráfica. Dada la forma y dimensiones de

3 un tanque de almacenamiento que se está llenando de agua a razón de 1 litro por minutos, se solicita al alumno identificar la representación gráfica del comportamiento altura del del agua en el tanque al transcurrir el tiempo. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos s matemáticas identificadas. El estudiante debe ser capaz de decodificar la en la situación planteada para interpretar el tipo de cambio que se presenta y reconocer el modelo gráfico. La cantidad que está cambiando al transcurrir el tiempo es el del agua en el tanque. El agua que está llenando el tanque sale de una llave a razón constante de 1 litro por segundo. El estudiante debe darse cuenta que el volumen de agua en el tanque aumenta a razón constante, pero el del agua no. El del agua está aumentando todo el tiempo, pero como la forma del recipiente cambia, la razón con que el del agua crece no es siempre igual. En esta parte del tanque la forma no cambia y el del agua va aumentar de manera uniforme. En esta parte la forma del tanque no es regular y el del agua no cambiará de manera constante. El volumen es cada vez mayor, el aumentará cada vez más lento. En los primeros 1.5 metros el del agua crece cada vez más lento pues el volumen a llenar es cada vez mayor, en los siguientes 1.5 metros el volumen del recipiente que se va llenando no cambia por lo tanto el crece de manera uniforme. Abstracción matemática progresiva realidad El estudiante debe en primer lugar relacionar el cambio en el del agua con el cambio en el volumen y en segundo lugar observar las gráficas e interpretar el

4 patrón de cambio. La pregunta que se debe plantear es: para iguales lapsos de tiempo, cómo se comporta el del agua? En el proceso de abstracción progresiva el estudiante requiere establecer la relación entre el lenguaje del problema y el lenguaje simbólico y formal necesario para entenderlo de manera matemática. El estudiante reconoce la pendiente gráfica y la asocia al triángulo característico: Donde es el cambio en el y es el lapso de tiempo. Para reconocer el comportamiento de el alumno considera iguales es constante en la segunda parte. No corresponde con la situación planteada es cada vez menor y luego es constante. Sí corresponde con la situación planteada

5 es constante todo el tiempo. No corresponde con la situación planteada crece y en la segunda parte es constante, No corresponde con la situación plantada es cada vez menor y luego no cambia. No corresponde con la situación planteada Resolución del modelo matemático Uso solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. El estudiante interpreta la gráfica y reconoce el modelo de cambio del del agua. La gráfica que corresponde es B. Muchos fenómenos naturales son una manifestación de cambio en que el modelo matemático es similar. Esto es un ejemplo de una operación común en la vida

6 PROCESOS cotidiana y en la industria. El almacenamiento de líquidos en tanques es una s operaciones más importantes en la industria. F) Comentarios al contexto y dominio del problema según el marco PISA. Contexto Público/Científico: El contexto en que se sitúa al problema es la forma de un tanque de almacenamiento que da lugar a una relación entre el cambio del volumen del tanque y del del agua y el tiempo. Esta situación puede ser familiar al alumno que ha visto tanques en refinerías, industrias, plantas tratadoras de agua e incluso en sus casas para almacenar agua. Dominio Cambio y Relación: El estudiante debe por un lado relacionar el cambio en el volumen del tanque con el cambio en el del agua en el tanque, y por otro representar el cambio de una manera comprensible, y relacionarlo con los tipos de cambios fundamentales. G) G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión A menos que el alumno tenga un gran conocimiento previo de estas situaciones podemos anticipar que el problema será difícil para la mayoría y que tiene que reflexionar profundamente e identificar que el cambio de es muy rápido al principio pero que se va haciendo cada vez más lento hasta llegar a una situación de cambio constante. El proceso de argumentar por qué esto es correcto no es del todo reflexivo puesto que las posibles alternativas están ya dadas, pero al mismo tiempo dista de ser reproductivo pues

7 difícilmente el alumno ha encontrado problemas de este tipo. El alumno tiene que conectar su conocimiento básico de pendiente con el problema propuesto. El modelo utilizado es fundamentalmente reproductivo. Esto es, el alumno no ha tenido que descubrir el concepto de razón de cambio, sólo tiene que reproducir el conocimiento y conectarlo con el problema. Finalmente el problema está propuesto en una forma de representación (el sistema cartesiano) totalmente estándar y por ello reproductiva. Si el alumno hubiera tenido que elaborar la gráfica por sí mismo (y no elegir entre varias opciones) entonces la forma de representación seria conectiva e inclusive reflexiva. H) Conexiones curriculares del reactivo PISA con el programa SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP Forma, espacio y medida Formas geométricas Cuerpos geométricos Describir las características de diferentes figuras. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimientos, llenado de recipientes, etc Establecer la relación entre la forma y la posición curva de funciones no lineales y los valores s literales s expresiones algebraicas que definen estas funciones Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etc Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

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