Introducción a la topología

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1 Introducción a la topología Beatriz Abadie CENTRO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA Agosto de 2013 i

2 Índice general Capítulo 1. Elementos de la teoría de conjuntos Preliminares Cardinalidad Numerabilidad 9 Capítulo 2. Espacios métricos Definiciones y ejemplos Conjuntos abiertos en espacios métricos Métricas equivalentes 24 Capítulo 3. Espacios topológicos Definiciones y ejemplos Axiomas de separación Axiomas de numerabilidad 35 Capítulo 4. Convergencia en espacios topológicos Definiciones y ejemplos Redes y propiedades topológicas Ejemplos de convergencia en espacios de funciones 50 Capítulo 5. Funciones continuas Definiciones y ejemplos El conjunto de Cantor 59 Capítulo 6. Topología producto Definiciones y ejemplos Propiedades de la topología producto 66 Capítulo 7. Espacios topológicos conexos Definiciones y ejemplos Conexión local y conexión por caminos 75 Capítulo 8. Espacios métricos completos Definiciones y ejemplos Completación de un espacio métrico Algunos resultados en espacios métricos completos 90 Capítulo 9. Espacios compactos Definiciones y ejemplos Compacidad secuencial y propiedad de Bolzano-Weierstrass 102 Capítulo 10. Topología cociente 109 ii

3 Índice general iii Definiciones y ejemplos 109 Bibliografía 116 Lista de símbolos 117 Índice alfabético 118

4 Capítulo 1 Elementos de la teoría de conjuntos 1.1. Preliminares En lo que sigue se dan por conocidas las nociones de unión, intersección y complemento de conjuntos. Repasaremos brevemente algunos resultados básicos. Proposición (leyes de De Morgan) Sea {A α } α I una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto U. Entonces ( ) c A α = A c α y ( ) c A α = A c α, α I α I donde, si X U, X c indica el complemento de X con respecto a U. Demostración. Si x U, x ( ) c x A α α I Análogamente, x ( ) c x A α α I α I α I α I A α x A α α I x α I A c α. α I A α α 0 I tal que x A α0 x α I Definición Sean A 1, A 2,, A n conjuntos. El producto cartesiano A 1 A 2 A n es el conjunto A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) : a i A i i = 1, 2,, n}, donde (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) si y sólo si a i = b i para todo i = 1,, n. Repasamos a continuación algunos subconjuntos especialmente importantes del producto cartesiano A B: las funciones y, en el caso en que A = B, las relaciones de orden y las de equivalencia. Definiciones Una función f : A B es un subconjunto del producto cartesiano A B que verifica la siguiente condición: para todo a A existe un único elemento b B tal que (a, b) f. Como es habitual, escribiremos f(a) = b en lugar de (a, b) f. El conjunto A es el dominio de la función f y B es su codominio. La imagen por f de un subconjunto A 0 de A es el conjunto f(a 0 ) = {f(a) : a A 0 }. La imagen Im(f) o rango de f es el conjunto f(a). 1 A c α.

5 1.1. PRELIMINARES 2 La preimagen de un subconjunto B 0 de B por f es el conjunto f 1 (B 0 ) = {a A : f(a) B 0 }. La función f : A B es inyectiva si a 1, a 2 A y a 1 a 2 implica que f(a 1 ) f(a 2 ), y es sobreyectiva si B = f(a). Una función es biyectiva o invertible si es inyectiva y sobreyectiva. Dadas dos funciones su composición g f es la función f : A B g : B C, g f : A C definida mediante (g f)(a) = g(f(a)). Si f : A B es biyectiva, su inversa es la función f 1 : B A definida por f 1 (f(a)) = a. En ese caso, f 1 también es biyectiva y (f 1 ) 1 = f. La función identidad en un conjunto A es la función id A : A A definida por id A (a) = a para todo a A. Cuando esto no dé lugar a confusión, escribiremos id en lugar de id A. Obsérvese que si f : A B es invertible, entonces Se prueba sin dificultad que una función f f 1 = id B y f 1 f = id A. (1.1.1) f : A B es biyectiva si y sólo si existe una función que verifica (1.1.1). f 1 : B A Observación Sean A y B dos conjuntos. Si alguno de ellos es vacío, también lo es el producto cartesiano A B. Si A es vacío, la única función es la función vacía f : A B f = = A B,

6 que es, además, inyectiva. Si A y B =, no existe una función 1.1. PRELIMINARES 3 f : A B, porque el subconjunto vacío, que es el único subconjunto de A B, no es una función. Definición Sea A un conjunto no vacío. Una relación de orden (o de orden parcial) en A es un conjunto A A que verifica las siguientes propiedades (escribiendo, como es habitual, a b en lugar de (a, b) ): 1. (Propiedad reflexiva) a a, para todo a A. 2. (Propiedad antisimétrica) Si a y b A verifican a b y b a, entonces a = b. 3. (Propiedad transitiva) Si a, b, c A verifican a b y b c, entonces a c. Si es una relación de orden en A, se dice que (A, ) es un conjunto parcialmente ordenado. Una relación de orden en A es total si dados a, b A, se tiene que a b o que b a. Ejemplos El orden habitual en el conjunto R de números reales es un orden total. 2. Dado un conjunto A sea P(A) su conjunto potencia o conjunto de partes P(A) = {B : B A}. El conjunto P(A) es un conjunto parcialmente (y no totalmente) ordenado tanto con la inclusión como con. 3. Todo subconjunto de un conjunto ordenado es un conjunto ordenado con la restricción del orden. Definiciones Sean E un conjunto parcialmente ordenado, A E, e E. 1. Se dice que e es una cota superior (inferior) de A si e a (e a) para todo a A. 2. Se dice que e es el máximo (mínimo) de A si es una cota superior (inferior) de A y e A. Nótese que, por la propiedad antisimétrica de, existe a lo sumo un máximo (mínimo). 3. Se dice que e es el supremo (ínfimo) de A si es el mínimo (máximo) del conjunto de cotas superiores (inferiores). 4. Un elemento a 0 de A es un elemento maximal (minimal) de A si no existe a A tal que a a 0 y a a 0 (a a 0 ). 5. Un subconjunto A de E es una cadena si es un conjunto totalmente ordenado con la restricción del orden en E. Ejemplo Sea P(A) el conjunto potencia de un conjunto A con el orden. Todo subconjunto U P(A) tiene supremo S U S e ínfimo S U S.

7 1.1. PRELIMINARES 4 Observación Todo conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y mínimo. La demostración, por inducción en el número de elementos del conjunto, se deja a cargo del lector. En este curso recurriremos a menudo al siguiente resultado de la teoría de conjuntos, cuya demostración no veremos. Teorema (Lema de Zorn) Sea (X, ) un conjunto parcialmente ordenado tal que toda cadena de X tiene una cota superior en X. Entonces X tiene un elemento maximal. Definiciones Sea E un conjunto no vacío. Una relación de equivalencia en E es un subconjunto de E E que verifica las siguientes propiedades (escribiendo, como es habitual, x y en lugar de (x, y) ): 1. (Propiedad reflexiva) x x, para todo x E. 2. (Propiedad simétrica) x y implica que y x, para todo x, y E. 3. (Propiedad transitiva) Si x, y, z E verifican x y e y z, entonces x z. Si es una relación de equivalencia en E y x E, la clase de equivalencia de x es el conjunto [x] = {y E : x y}. El espacio cociente E/ es el conjunto de las clases de equivalencia. La proyección canónica es la función sobreyectiva dada por π : E E/ para todo x E. π (x) = [x] Proposición Sea una relación de equivalencia en E. 1. Si x, y E y [x] [y], entonces [x] [y] =. 2. E = x E [x]. Demostración. Si z [x] [y], entonces z x y z y. Por la propiedad transitiva, x y y, de nuevo por la propiedad transitiva, [x] = [y]. La segunda afirmación es evidente porque x [x] para todo x X. Observación Sean E y {C i } i I una familia de subconjuntos de E tal que 1. C i C j = si i j. 2. E = i I C i. Entonces x y si y sólo si existe i I tal que x, y C i define una relación de equivalencia, y E/ = {C i }. La demostración de este resultado es directa y queda a cargo del lector.

8 1.2. CARDINALIDAD 5 Definición Sea {A α } α I una familia no vacía de conjuntos. El producto cartesiano α I A α es el conjunto A α = {f : I A α : f(α) A α para todo α I}. α I α I Para cada α 0 I, la proyección sobre A α0 es la función p α0 : i A i A α0, dada por p α0 (f) = f(α 0 ). Observación En el caso en que la familia de conjuntos en la definición es finita, las definiciones y coinciden. Se puede suponer que I = {1, 2,, n} e identificar la n-upla (a 1, a 2,, a n ) de la definición con la función f : I A i de la definición , dada por f(i) = a i para todo i = 1, 2,, n. El siguiente axioma de la Teoría de Conjuntos, que es equivalente al lema de Zorn, será de gran utilidad a lo largo del curso. Axioma (Axioma de elección) Sea {A α } α I una familia no vacía de conjuntos no vacíos. Entonces A α. α I 1.2. Cardinalidad Definición Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes, coordinables, o que tienen el mismo cardinal, y se indica card(a) = card(b), si existe una función biyectiva f : A B. Ejemplos Los conjuntos A = {n Z : n 0} y B = {n Z : n 1} tienen el mismo cardinal: la función f : A B, dada por f(k) = k + 1, es una biyección. 2. El conjunto N de los números naturales y el conjunto Z de los números enteros tienen el mismo cardinal: la función f : N Z, dada por f(2n) = n y f(2n + 1) = n + 1 para todo n 0, es una biyección.

9 1.2. CARDINALIDAD 6 3. El conjunto R de los números reales y el intervalo ( π, π ) tienen el 2 2 mismo cardinal, porque la función Arcotangente es una biyección de R en ( π, π) Sean a, b R tales que a < b. Entonces los intervalos (a, b), (a, b], [a, b], [a, b] tienen el mismo cardinal que R. Esto es consecuencia del ejemplo 3 y del hecho de que son biyecciones las funciones: a) f : (a, b) (0, 1) dada por f(x) = f(x) a b a. b) g : (a, b] [a, b) dada por g(b) = a y g(x) = x si x a. c) h(a, b] [a, b], donde, si x n := a + b a, para todo n 1, n x si x {x n : n 1}, h(x) = a si x = x 1, x n 1 si x = x n para algún n 2. d) La restricción h : (a, b) [a, b) de la función h definida arriba. Observación Sean A, B y C conjuntos. 1. A tiene el mismo cardinal que A, porque la identidad es una biyección. 2. Si A tiene el mismo cardinal que B, entonces B tiene el mismo cardinal que A, porque si f : A B es una biyección, también lo es su inversa f 1 : B A. 3. Si A tiene el mismo cardinal que B y B el mismo cardinal que C, entonces A tiene el mismo cardinal que C, porque la composición de biyecciones es una biyección. El lector observará que tener el mismo cardinal tiene las propiedades de una relación de equivalencia. No podemos, sin embargo, decir que lo es, porque, de serlo, sería una relación de equivalencia en la familia de todos los conjuntos no vacíos, que no es un conjunto, como prueba la paradoja de Russell. Definición Sean A y B dos conjuntos. Diremos que el cardinal de A es menor o igual que el cardinal de B, y lo indicaremos si existe una función inyectiva Notación La notación card(a) card(b), f : A B. card(a) card(b), card(a) card(b), card(a) card(b) tiene el significado obvio. Ejemplos

10 1.2. CARDINALIDAD 7 1. En virtud de la observación 1.1.4, se tiene que card( ) card(a), para todo conjunto A, y que card(a) card( ) sólo si A =. 2. Sean A y B conjuntos equipotentes. Entonces card(a) card(b) y card(b) card(a). Probaremos en el teorema que la afirmación recíproca también vale. 3. Sean A y B conjuntos tales que A B. Entonces card(a) card(b), porque la función inclusión i : A B es inyectiva. Proposición Sean A y B conjuntos no vacíos. Entonces card(a) card(b) si y sólo si existe una función sobreyectiva g : B A. Demostración. Sea g : B A una función sobreyectiva. El conjunto es no vacío para todo a A. Por el axioma de elección, existe g 1 ({a}) := {b B : g(b) = a} f a A g 1 ({a}). Entonces f : A a A g 1 ({a}) = B, y g f(a) = a, porque f(a) g 1 ({a}). Esto implica que f es inyectiva: si f(a 1 ) = f(a 2 ), entonces Por lo tanto, a 1 = g f(a 1 ) = g f(a 2 ) = a 2. card(a) card(b). Supongamos ahora que card(a) card(b), y sea f : A B una función inyectiva. Sea a 0 A. Definimos por g : B A { a si f(a) = b g(b) = a 0 si no existe a A tal que f(a) = b. Es claro que f es sobreyectiva.

11 1.2. CARDINALIDAD 8 Teorema (Cantor) Sean A un conjunto y P(A) su conjunto potencia. card(a) card(p(a)). Demostración. Si A =, entonces P(A) = { }, y el teorema es consecuencia de la observación Si A, card(a) card(p(a)), porque la función f : A P(A) definida por f(a) = {a} es inyectiva. Supongamos que card(a) = card(p(a)); sea una función biyectiva. Definimos Sea u A tal que f(u) = U. Entonces f : A P(A) U = {a A : a f(a)}. u U u U, contradicción que resulta de suponer que f es sobreyectiva. Teorema (Cantor-Bernstein) Sean A y B conjuntos tales que card(a) card(b) y card(b) card(a). Entonces A y B tienen el mismo cardinal. Demostración. Podemos suponer que A y B son no vacíos, porque si uno de ellos lo es, también lo es el otro por la observación 1, y en ese caso tienen el mismo cardinal. Sean f : A B y g : B A funciones inyectivas. Definimos A 0 = A, A 1 = g(b) y A n = (g f)(a n 2 ) para todo n 2. Se define ahora el grado de un elemento a A como Análogamente, sean gr(a) = máx{n : a A n } N { }. B 0 = B, B 1 = f(a), B n = (f g)(b n 2 ) y gr(b) = máx{n : b B n }. Sean ahora A p, A i y A (B p, B i y B ) los conjuntos de elementos de A (B) de grado par, impar e infinito, respectivamente. Es claro que A y B son las uniones disjuntas Observése ahora que En efecto, A = A p A i A, B = B p B i B. (1.2.1) f(a n ) = B n+1 y g(b n ) = A n+1 para todo n 0. (1.2.2) f(a 0 ) = f(a) = B 1, f(a 1 ) = (f g)(b) = B 2.

12 1.3. NUMERABILIDAD 9 La primera igualdad en (1.2.2) se obtiene, entonces, por inducción en n ya que, si n 2, f(a n ) = f ( (g f)(a n 2 ) ) = (f g)(f(a n 2 )) = (f g)(b n 1 ) = B n+1. La segunda igualdad se prueba en forma análoga. Se concluye inmediatamente a partir de las igualdades (1.2.2 ) que a) f(a p ) = B i, b) f(a ) = B y c) g(b p ) = A i. (1.2.3) Las igualdades (1.2.1) y (1.2.3 c)) permiten definir por h(a) = h : A B { f(a) si a A p A, g 1 (a) si a A i. Probaremos a continuación que h es una biyección, concluyendo así la demostración. Por un lado, h es inyectiva: supongamos que h(a 0 ) = h(a 1 ). Si h(a 0 ) B p, entonces, por (1.2.3), a k A i y h(a k ) = g 1 (a k ), para i = 0, 1. En ese caso se tiene que g 1 (a 0 ) = g 1 (a 1 ) y, por lo tanto, a 0 = a 1. Si, en cambio, h(a 0 ) B p, entonces h(a k ) = f(a k ), para k = 0, 1. Como f es inyectiva, también se concluye en ese caso que a 0 = a 1. Finalmente, la sobreyectividad de h es consecuencia directa de las igualdades (1.2.1) y (1.2.3) Numerabilidad Definiciones Se dice que un conjunto es finito si es vacío o si tiene el mismo cardinal que un conjunto de la forma {1, 2,, n} para algún número entero n Un conjunto es infinito si no es finito. 3. Un conjunto es infinito numerable si tiene el mismo cardinal que N. Obsérvese que, en virtud del ejemplo , esta definición no depende del hecho de que se incluya o no el cero en el conjunto de los números naturales. 4. Un conjunto es numerable si es finito o infinito numerable. Ejemplos El conjunto potencia de un conjunto finito es finito. 2. El conjunto Z de los números enteros es infinito numerable (ejemplo ). La siguiente proposición prueba que ningún conjunto infinito tiene cardinal estrictamente menor que el de N. Proposición Todo subconjunto de N es numerable.

13 1.3. NUMERABILIDAD 10 Demostración. Sea A N. Si A es vacío, es numerable. Supondremos entonces que A no es vacío. Sea a 0 = mín A. Dados a 0, a 1,, a k A, A es numerable si A = {a 0, a 1,, a k }. En caso contrario, sea a k+1 = mín(a \ {a 0,, a k }). Si A {a 0,, a k } para todo k N, consideremos f : N A, dada por f(k) = a k. La función f es inyectiva, porque es estrictamente creciente. Concluimos que A es infinito numerable, a partir del ejemplo y del teorema (También se puede observar directamente que f es una biyección, porque para todo a A se tiene que a = f(k), donde k es el número de elementos de A estrictamente menores que a.) Proposición Sea A un conjunto. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es numerable. 2. Existe una función inyectiva f : A N. Demostración. Si A es vacío, por la observación 1.1.4, existe una función inyectiva f : A N. Si A es numerable e infinito, entonces existe una biyección f : A N y vale 2). Finalmente, si A es finito y no vacío, existe una biyección g : A {1, 2,, n}. Sea inc : {1, 2,, n} N la función inclusión. Entonces inc g : A N es inyectiva. Recíprocamente, si f : A N es inyectiva, entonces A tiene el mismo cardinal que la imagen de f que, por la proposición 1.3.3, es numerable Proposición Sean A un conjunto y B un conjunto numerable. 1. Si existe una función inyectiva f : A B, entonces A es numerable. 2. Si existe una función sobreyectiva f : B A, entonces A es numerable. Demostración. 1. Si B es numerable, existe, por la proposición 1.3.4, una función inyectiva g : B N. Por lo tanto, g f es inyectiva, lo cual implica que A es numerable, de nuevo por la proposición La hipótesis implica que A por la observación y, en ese caso, la afirmación 2) es equivalente a la 1), por la proposición Corolario Sean B un conjunto numerable y A B. Entonces A es numerable.

14 1.3. NUMERABILIDAD 11 Demostración. Si A es vacío, es numerable. Si A, la inclusión i : A B es inyectiva y, por la proposición 1.3.5, A es numerable. Ejemplo Sean A un conjunto numerable y una relación de equivalencia en A. El espacio cociente A/ es numerable, porque la proyección canónica π : A A/ es sobreyectiva. k. Proposición El conjunto N k es numerable para todo entero positivo Demostración. Sean p 1, p 2,, p k números primos dos a dos diferentes. Entonces la función f : N k N dada por f(n 1, n 2,, n k ) = p n 1 1 p n 2 2 p n k k es inyectiva. Por lo tanto, N k es numerable por la proposición Proposición Sean A 1, A 2, A k conjuntos numerables. Entonces A 1 A 2 A k es numerable. Demostración. Si A i = para algún i, el producto A 1 A k es vacío y, por lo tanto, numerable. En otro caso, sea φ i : A i N una función inyectiva para i = 1, 2,, k. Entonces φ : A 1 A 2 A k N k, dada por φ(a 1, a 2,, a k ) = (φ 1 (a 1 ), φ 2 (a 2 ),, φ k (a k )) es inyectiva. Resulta entonces de la proposición y de la proposición que A 1 A 2 A k es numerable. Ejemplo El conjunto Q de números racionales es numerable, porque Z (N \ {0}) es numerable y la función definida por es sobreyectiva. f : Z (N \ {0}) Q f(m, n) = m/n Proposición Sean I un conjunto numerable y A i un conjunto numerable para cada i I. Entonces la unión i I A i es numerable. Demostración. Alcanza con probar la afirmación en el caso en que I y A i para todo i I. En ese caso, existen funciones sobreyectivas Sean f : N I y f i : N A i para todo i I. g : N N I I A i por g(m, n) = f f(m) (n).

15 1.3. NUMERABILIDAD 12 La función g es sobreyectiva: si a I I A i, sea i I tal que a A i. Sean m y n tales que i = f(m) y a = f i (n). Entonces a = g(m, n). Notación Sea A un conjunto. Indicaremos con P F (A) el conjunto de partes finitas de A, es decir, la familia de subconjuntos finitos de A. Proposición El conjunto P F (N) es numerable. Demostración. Dado k 0, sea P k (N) la familia de subconjuntos de N que tienen exactamente k elementos. Si k 0, sea f k la función dada por donde f k : P k (N) N k f k (A) = (a 1, a 2,, a k ), A = {a 1, a 2, a k } P F (A) y a 1 < a 2 < < a k. Como f k es inyectiva, concluimos que P k (N) es numerable para k 0. También lo es cuando k = 0, porque P 0 (N) = { }. En virtud de la proposición , se tiene que P F (N) = k N P k (N) es numerable. Corolario Sea A un conjunto numerable. Entonces P F (A) es numerable. Demostración. Sea f : A N una función inyectiva. Entonces la función f : P F (A) P F (N) definida por f (S) = {f(s) : s S}, f ( ) = también es inyectiva, y resulta de las proposiciones y que P F (A) es numerable. Proposición Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. Demostración. Sea A un conjunto infinito. Para cada n 1, sea P n (A) la familia de subconjuntos de N que tienen exactamente n elementos. Por el axioma de elección (1.1.16), existe una sucesión {S n } n N tal que S n P n (A) para todo n N. Sea ahora S = n N S n. Entonces S es numerable por la proposición , y es infinito porque S n S m si n m.

16 1.3. NUMERABILIDAD 13 Corolario Sean A un conjunto numerable y B un conjunto infinito. Entonces A B y B tienen el mismo cardinal. Demostración. Como el conjunto A = {a A : a B} es numerable y A B = A B, podemos suponer que A y B son disjuntos. Sea B 0 un subconjunto infinito numerable de B. Entonces A B 0 y B 0 son infinitos y numerables; sea f : A B 0 B 0 una biyección. Entonces φ : A B B, dada por φ(x) = { f(x) si x A B 0 x en caso contrario es una biyección. Es claro que φ es sobreyectiva y que, si x y, y ni x ni y pertenece a A B 0, φ(x) = x y = φ(y). Por otro lado, si x A B 0 y φ(x) = φ(y), entonces φ(y) B 0. Por lo tanto, φ(y) A B 0, lo cual implica que y A B 0, y que f(y) = φ(y) = φ(x) = f(x). Como f es inyectiva, concluimos que x = y. Notación En lo que sigue, indicaremos con R el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1} que toman infinitas veces el valor 1. Proposición (Descomposición binaria) Sea r (0, 1]. Entonces existe una única sucesión {a n }, con a n {0, 1} para todo n N y tal que: a n 1. r = 2. n n=1 2. El conjunto {n : a n = 1} es infinito. La correspondencia φ : (0, 1] R tal que φ(r) = {a n } es una biyección cuya inversa está dada por φ 1( {a n } n 1 ) = n=1 a n 2 n. (1.3.1) Demostración. Definiremos la sucesión {a n } por recurrencia. Sea { 0 si 0 < r 1 a 1 =, 2 1 si 1 < r 1. (1.3.2) 2 Entonces 0 < r a

17 Dados a 1, a 2,, a n {0, 1} tales que n a k 0 < r 2 1 k 2, n se define Se tiene entonces que a n+1 = 1.3. NUMERABILIDAD 14 k=1 { 0 si 0 < r n a k k=1 1 si 1 2 n+1 < r n k=1 0 < r n+1 k=1 a k 2 k 1 2 n+1, 1, 2 k 2 n+1 a k 1 2 k 2 n (1.3.3) lo cual permite construir por recurrencia la sucesión y prueba, además, que a n r = 2. n n=1 Las sucesión {a n } así construida toma infinitas veces el valor 1: supongamos que para algún r (0, 1] se tuviera a N = 1 y a n = 0 para todo n > N. Entonces Pero entonces r = r k=1 N 1 k=1 a k 2 = N k k=1 a k 2 = 1 k 2 N y, por (1.3.3), a N = 0, en contradicción con lo supuesto. Es claro ahora, en virtud de la condición 1), que la correspondencia φ es inyectiva. Demostraremos a continuación que también es sobreyectiva y que su inversa está dada por (1.3.1). Sea {b n } R. 0 < n=1 a k 2 k. b n 2 1 n 2 = 1, n donde la desigualdad estricta se debe a que, como {b n } R, no puede ser b n = 0 para todo n 1. Sea b n r = (0, 1]. 2n n=1 Probaremos ahora, por inducción en n, que a n = b n para todo n N, donde {a n } = φ(r). En primer lugar, b 1 = a 1 : b k b 1 = 0 r = 2 1 k 2 = 1 k 2. Entonces, por(1.3.2), a 1 = 0. Por otro lado, k=2 n=1 k=2

18 1.3. NUMERABILIDAD 15 b 1 = 1 r > b 1 2 = 1 2. De nuevo por (1.3.2), a 1 = 1. Supongamos ahora que b k = a k para todo k n. Entonces Por lo tanto, b n+1 = 0 r r n k=1 n k=1 Por (1.3.3) se tiene que a n+1 = 0. Finalmente, b n+1 = 1 r a k n 2 = r k a k 2 = k k=n+2 n k=1 lo cual implica, por (1.3.3), que a n+1 = 1. k=1 b k 2 k. b k 2 k k=n+2 a k 2 k > b n+1 2 n+1 = 1 2 n+1, 1 k 2 k = 1 2 n+1. Observación La descomposición binaria no es única si no se impone la segunda condición en la proposición : = 1 2. k Se puede probar que ese tipo de situación es la única posible. Es decir, que a k 2 = b k k 2, donde a k, b k k {0, 1} para todo k N 1 1 si y sólo si (cambiando, eventualmente, los roles de {a k } y {b k }) existe k 0 1 tal que 1. a k = b k para todo k < k a k0 = 1 y b k0 = a k = 0 y b k = 1 para todo k > k 0. Proposición El conjunto R tiene el mismo cardinal que el conjunto potencia P(N) del conjunto de los números naturales. Demostración. Sea T el conjunto de sucesiones con valores en {0, 1}. Es claro que la correspondencia dada por (ψ(a)) n = k=2 ψ : P(N) T es una biyección, así como su restricción { 1 si n A, 0 en caso contrario. ψ 0 : P(N) \ P F (N) R.

19 1.3. NUMERABILIDAD 16 Por otro lado, como P F (N) es numerable por la proposición , se sigue del corolario que P(N) y R tienen el mismo cardinal. Corolario El conjunto R de los números reales tiene el mismo cardinal que el conjunto potencia P(N) del conjunto de los números naturales. Demostración. El teorema prueba que R tiene el mismo cardinal que el intervalo (0, 1], el cual, a su vez, tiene el mismo cardinal que R, por el ejemplo Finalmente, por la proposición , R y P(N) tienen el mismo cardinal. Corolario El conjunto R de los números reales es no numerable. Demostración. La afirmación se sigue directamente del corolario y del teorema de Cantor (1.2.8).

20 Capítulo 2 Espacios métricos 2.1. Definiciones y ejemplos Definición Un espacio métrico (E, d) consiste en un conjunto E junto con una función d : E E R, llamada métrica o distancia, que cumple con las siguientes condiciones para todo x, y, z E: 1. d(x, y) d(x, y) = 0 si y sólo si x = y. 3. d(x, y) = d(y, x). 4. (Desigualdad triangular) Ejemplos d(x, z) d(x, y) + d(y, z). (2.1.1) 1. Si d es una métrica en E, un subconjunto F de E es un espacio métrico con la restricción de d a F F, llamada métrica o distancia relativa. 2. La distancia habitual en R, es decir, la función d(x, y) = x y, es efectivamente una distancia. Es la métrica que consideraremos en R y sus subconjuntos, salvo indicación contraria. 3. Son distancias en R n las funciones d 1, d 2 y d dadas por: n d 1 (x, y) = x i y i, i=1 d 2 (x, y) = ( n x i y i 2) 1 2, i=1 d (x, y) = máx{ x i y i : i = 1,, n}, donde x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ). Obsérvese que las tres métricas coinciden con la del ejemplo cuando n = 1. 17

21 2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS Espacio métrico discreto. La métrica discreta en un conjunto E es la función { 0 si x = y, d : E E R, dada por d(x, y) = 1 si x y. Para verificar la desigualdad triangular, obsérvese que los dos lados de (2.1.1) valen cero si x = y = z. En caso contrario, el lado derecho es mayor o igual a uno, y, por lo tanto, vale la desigualdad. Las demás propiedades se verifican fácilmente. 5. El conjunto C([a, b])de funciones continuas con valores complejos en el intervalo [a, b] es un espacio métrico con la distancia d(f, g) = sup{ f(x) g(x) : x [a, b]}. Obsérvese que la definición tiene sentido, por el teorema de Weierstrass y la continuidad de las partes real e imaginaria de un número complejo. La desigualdad triangular es consecuencia directa de la desigualdad triangular en R: sup f(x) h(x) sup x [a,b] x [a,b] ( f(x) g(x) + g(x) h(x) ) sup f(x) g(x) + sup g(x) h(x). (2.1.2) x [a,b] x [a,b] También es un espacio métrico, por el ejemplo , el conjunto C R ([a, b]) de funciones continuas con valores reales en el intervalo [a, b] con la restricción de la métrica d. 6. Métricas provenientes de normas. Si V es un espacio vectorial real o complejo, una norma en V es una función : V R que verifica para todo x, y V : a) x 0. b) x = 0 si y sólo si x = 0 V. c) λx = λ x para todo escalar λ. d) (Desigualdad triangular) x + y x + y. (2.1.3) Se verifica en forma inmediata que una norma en V define una métrica d en V por d(x, y) = x y. Las métricas d 1, d 2 y d del ejemplo provienen, respectivamente, de las normas n x 1 = x 1, x 2 = ( n x i 2) 1/2 (2.1.4) i=1 i=1 y x = máx i x i, (2.1.5)

22 2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 19 donde x = (x 1, x 2,, x n ) R n. Las fórmulas en (2.1.4) y (2.1.5) definen también normas en el espacio vectorial complejo C n. Por lo tanto, las fórmulas de las distancias d 1, d 2 y d en el ejemplo también definen métricas en C n. Las distancias definidas en el ejemplo también provienen de normas. El conjunto C([a, b]) es un espacio vectorial complejo con las operaciones (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), (2.1.6) para todo f, g C([a, b]) y todo escalar λ. Se verifica inmediatamente, usando (2.1.2), que la siguiente función sup, llamada norma del supremo, es una norma en C([a, b]) que induce la distancia del ejemplo : f sup = sup f(x). (2.1.7) x [a,b] Análogamente, las fórmulas en (2.1.6) definen en C R ([a, b]) una estructura de espacio vectorial real, con una norma definida como en (2.1.7), que induce la métrica del ejemplo Normas en espacios de sucesiones. Sea l 1 el conjunto de sucesiones complejas x tales que x n <, (2.1.8) n donde, como se hará de aquí en adelante, dada una sucesión x, se indica x = {x n }. El conjunto l 1 es un espacio vectorial con las operaciones definidas por (x + y) n = x n + y n, (λx) n = λx n, (2.1.9) para todo x, y l 1 y para todo escalar λ. En efecto, es claro, a partir de las desigualdades N N N x n + y n x n + y n x n + y n, (2.1.10) n=1 n=1 n=1 N λx n = λ n=1 n=1 n=1 n=1 N x n λ x n, (2.1.11) para todo N N, que las fórmulas en definen, efectivamente, elementos de l 1, y que la función 1 dada por x 1 = x n (2.1.12) n=1 define una norma en l 1. El subconjunto l 1 R l1 de sucesiones con valores reales es un espacio vectorial real, con la estructura definida por las fórmulas en (2.1.9), en el que (2.1.12) define una norma. n=1

23 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 20 Otros ejemplos importantes de espacios normados de sucesiones son l 2 = {{x n } C : x n 2 < } (2.1.13) n=1 y l = {{x n } C : sup x n < }. (2.1.14) n Razonando en forma análoga a la empleada en el caso de l 1, se prueba que las fórmulas en (2.1.9) definen una estructura de espacio vectorial complejo tanto en l 1 como en l con norma 2 y, respectivamente, donde x 2 = ( x n 2) 1/2 y x = sup x n. (2.1.15) n n Como en el caso de l 1, los subconjuntos l 2 R l2 y l R l de sucesiones reales son espacios vectoriales reales normados, con las mismas fórmulas. Observación Sea (E, d) un espacio métrico. Si x, y, z E, entonces d(y, z) d(x, z) d(x, y). Demostración. Por la desigualdad triangular, Esto implica que d(x, z) d(x, y) + d(y, z) y d(x, y) d(x, z) + d(y, z). d(x, z) d(x, y) d(y, z) y d(x, y) d(x, z) d(y, z), lo cual concluye la demostración Conjuntos abiertos en espacios métricos Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Dados x E y ɛ > 0, la bola abierta de centro x y radio ɛ es el conjunto B ɛ (x) = {y E : d(x, y) < ɛ}. Cuando pueda haber lugar a confusión con respecto al espacio métrico E en el que se considera la bola, la indicaremos con B E e psilon(x). Ejemplo Sean (E, d) un espacio métrico discreto, x E y ɛ > 0. Entonces { {x} si ɛ 1, B ɛ (x) = E si ɛ > 1. Observación Sean (E, d) un espacio métrico, F E, x F y ɛ > 0. Sean B E ɛ (x) y B F ɛ (x) la bola de centro x y radio ɛ en E y en F con la métrica relativa, respectivamente. Entonces B F ɛ (x) = F B E ɛ (x).

24 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 21 Observación Sean (E, d) un espacio métrico, x E y 0 < ɛ 1 ɛ 2. Entonces B ɛ1 (x) B ɛ2 (x). 0. Proposición Sean (E, d) un espacio métrico, x, y, z E y ɛ 1, ɛ 2 > 1. Si y B ɛ1 (x), entonces B ɛ1 d(x,y)(y) B ɛ1 (x). 2. Si y B ɛ1 (x) B ɛ2 (z), entonces B δ (y) B ɛ1 (x) B ɛ2 (z), donde δ = mín{ɛ 1 d(x, y), ɛ 2 d(z, y)}. Demostración. 1. Si u B ɛ1 d(x,y)(y), entonces d(u, x) d(u, y) + d(y, x) < ɛ 1 d(x, y) + d(x, y) = ɛ 1. Por lo tanto, u B ɛ1 (x). 2. Por la parte anterior, B ɛ1 d(x,y)(y) B ɛ1 (x) y B ɛ2 d(z,y)(y) B ɛ2 (z). La afirmación es ahora consecuencia de la observación Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Un subconjunto A de E es abierto (en E) si para todo a A existe ɛ > 0 tal que B ɛ (a) A. Ejemplos Las bolas abiertas en un espacio métrico son conjuntos abiertos, por la parte 1 de la proposición El intervalo I = (0, 1] no es abierto en R: 1 I pero, para todo ɛ, B ɛ (1) I porque 1 + ɛ 2 I. 3. El intervalo I = (0, 1] es abierto en (, 1], por la observación y porque B x (x) I (, 1], para todo x I. 4. Todo intervalo abierto (a, b) en R es abierto en R: alcanza con observar, en virtud del ejemplo , que (a, b) es la bola abierta de centro a + b a y radio b a Todo subconjunto de un espacio métrico discreto es abierto, por el ejemplo El conjunto A = {x l 1 : x 0 0}

25 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 22 es abierto en l 1 porque, si x A, entonces B x0 (x) A. En efecto, si z B x0 (x), entonces z 0 x 0 z x 1 < x 0. Entonces, por la observación 2.1.3, z 0 z0 x 0 x 0 > 0. Proposición Sea (E, d) un espacio métrico. Entonces: 1. Los conjuntos E y son abiertos. 2. Si {A i } i I es una familia de conjuntos abiertos en E, entonces i A i es abierto. 3. Si A 1, A 2,, A n son conjuntos abiertos en E, entonces n i=1 A i es abierto. Demostración. 1. La afirmación es obvia. 2. Dado x i A i, sea i 0 I tal que x A i0. Como A i0 es abierto, existe ɛ > 0 tal que B ɛ (x) A i0 A i, i como queríamos probar. 3. Dado x n i=1 A i, para cada i = 1, 2,, n existe ɛ i > 0 tal que B ɛi (x) A i. Sea ɛ = mín{ɛ i : i = 1, 2., n}. Entonces ɛ > 0 y B ɛ (x) i Observación La afirmación 3 de la proposición no vale si la cantidad de conjuntos no es finita, como lo prueba el siguiente ejemplo: ( 1 n, 1 n ) = {0}. n=1 Proposición Sea (E, d) un espacio métrico. Un subconjunto no vacío de E es abierto si y sólo si es unión de bolas abiertas. Demostración. Sea A E un conjunto abierto. Entonces, para cada a A existe ɛ a > 0 tal que a B ɛa (a) A y, por lo tanto, A i. A = a A B ɛa (a). La afirmación recíproca es consecuencia del ejemplo y de la parte 2 de la proposición Observación Se probó, en particular, en la demostración de la proposición que si A es un conjunto abierto en un espacio métrico, para cada a A existe ɛ a > 0 tal que A = a A B ɛa (a).

26 2.2. CONJUNTOS ABIERTOS EN ESPACIOS MÉTRICOS 23 Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Un subconjunto F de E es cerrado (en E) si su complemento es abierto. Ejemplos Bolas cerradas. Si x es un elemento de un espacio métrico E y r > 0, la bola cerrada de centro x y radio r es el conjunto: B r (x) = {y E : d(x, y) r}. Una bola cerrada es un conjunto cerrado: si y B r (x) y z B d(x,y) r (y), entonces d(x, z) d(x, y) d(y, z) > d(x, y) d(x, y) + r = r. Se probó así que B d(x,y) r (y) B r (x) c si y Br (x) c, lo cual prueba que Br (x) c es abierto, es decir, que Br (x) es cerrado. 2. Un intervalo cerrado [a, b] es cerrado en R porque es la bola cerrada de centro a + b a y radio b a Por el ejemplo , el conjunto es cerrado en l 1. F = {x l 1 : x 0 = 0} Proposición Sean (E, d) un espacio métrico y F E. 1. Un subconjunto A de F es abierto en F si y sólo si A = F S, donde S es un conjunto abierto en E. 2. Un subconjunto A de F es cerrado en F si y sólo si A = F S, donde S es un conjunto cerrado en E. Demostración. 1) Si A es abierto en F, entonces, por la proposición , existe una familia de bolas abiertas {B F ɛ i (x i )} tal que Entonces, por la observación 2.2.3, A = B F ɛ i (x i ). A = B F ɛ i (x i ) = ( F B E ɛi (x i ) ) = F B E ɛ i (x i ) = F S, (2.2.1) donde S = B E ɛ i (x i ) es abierto en E. Recíprocamente, si A = F S, donde S es abierto en E, dado a A, existe ɛ > 0 tal que B ɛ (a) S. Por lo tanto, lo cual prueba que A es abierto en F. B F ɛ (a) = F B ɛ (a) F S = A,

27 2.3. MÉTRICAS EQUIVALENTES 24 2) Es consecuencia directa de la parte anterior y del hecho de que el complemento en F de F S, con S E, es F S c, donde S c es el complemento de S en E. Ejemplo El conjunto A = [0, 1) es abierto y cerrado en E = [0, 1) (2, 3], porque [0, 1) = [0, 1] E = ( 1, 1) E. Proposición Sean d 1 y d 2 métricas en un conjunto E. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Para toda bola abierta B d 1 ɛ (x) en (E, d 1 ) existe δ > 0 tal que δ (x) Bd 1 ɛ (x), B d 2 donde B d 2 δ (x) es la bola abierta en (E, d 2). 2. Todo conjunto abierto en (E, d 1 ) es abierto en (E, d 2 ). Demostración. 1 2: Sea A un conjunto abierto en (E, d 1 ). Entonces, como en la observación , A = a A B d 1 ɛ a (a). Sea ahora, para cada a A, δ a > 0 tal que Entonces Por lo tanto, B d 2 δ a (a) B d 1 ɛ a (a). A B d 2 δ a (a) B d 1 ɛ a (a) = A. a A a A A = a A B d 2 δ a (a) y, por la proposición , A es abierto en (E, d 2 ). 2 1: La bola abierta B d 1 ɛ (x) es abierta en (E, d 2 ) y contiene a x. Por lo tanto, existe δ > 0 tal que δ (x) Bd 1 ɛ (x). B d Métricas equivalentes Definición Dos métricas d 1 y d 2 en un conjunto E son equivalentes si un subconjunto A de E es abierto en (E, d 1 ) si y sólo si lo es en (E, d 2 ). Observación En virtud de la proposición , las métricas d 1 y d 2 son equivalentes si y sólo si, dadas bolas abiertas B d 1 ɛ 1 (x) y B d 2 δ 1 (x), existen ɛ 2 > 0 y δ 2 > 0 tales que B d 2 δ 2 (x) B d 1 ɛ 1 (x) y B d 1 ɛ 2 (x) B d 2 δ 1 (x).

28 2.3. MÉTRICAS EQUIVALENTES 25 Ejemplo La métrica discreta y la métrica habitual en Z son equivalentes: con ambas son abiertos todos los subconjuntos de Z. Suele probarse en cursos de Cálculo que las métricas d 1, d 2 y d en R n son equivalentes. La siguiente proposición extiende ese resultado a otros productos cartesianos de espacios métricos. Proposición Sea (E i, m i ) un espacio métrico para i = 1, 2,, n, y sea E el producto cartesiano Sean d 1, d 2 y d las funciones definidas por d 1 (e, f) = E = E 1 E 2 E n. d 1, d 2, d : E E R n m i (e i, f i ), d 2 (e, f) = ( n (m i (e i, f i ) 2) 1/2 i=1 i=1 y d (e, f) = máx{m i (e i, f i ) : i = 1,, n}. i donde e = (e 1, e 2,, e n ) y f = (f 1, f 2,, f n ). Entonces d 1, d 2 y d son métricas equivalentes en E. (2.3.1) Demostración. No es difícil probar directamente que d α es una métrica para α {1, 2, }. También se puede observar que d α (e, f) = m(e, f) α para todo α {1, 2, }, e E y f F, donde, si e = (e 1, e 2,, e n ) y f = (f 1, f 2,, f n ), m(e, f) R n es el vector m(e, f) = (m 1 (e 1, f 1 ), m 2 (e 2, f 2 ),, m n (e n, f n )) y 1, 2, son las normas en R n definidas en (2.1.4) y (2.1.5). Si x, y R n, x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) son tales que 0 x i y i, i = 1,, n, entonces, como y i x i = y i x i y i, para todo i = 1, 2,, n, se tiene que x α y α para todo α {1, 2, }. Por lo tanto, dados e, f, g E, y α {1, 2, }, d α (e, g) = m(e, g α m(e, f) + m(f, g) α (2.3.2) m(e, f) α + m(f, g) α = d α (e, f) + d α (d, g), (2.3.3) lo cual prueba la desigualdad triangular. El resto de las propiedades en la definición de distancia se verifican fácilmente a partir del hecho de que m i es una distancia y α una norma para todo i = 1,, n y α {1, 2, }. Las tres métricas son equivalentes por la observación 2.3.2, ya que ɛ (e) B d 2 ɛ (e) Bɛ d (e) B d 1 nɛ(e), (2.3.4) B d 1

29 2.3. MÉTRICAS EQUIVALENTES 26 para todo e E y ɛ > 0. Las dos últimas inclusiones son claras, y la primera se debe a la desigualdad ( n ) 2 n a i a 2 i, si a i 0 para todo i = 1, 2, n, i=1 i=1 que se verifica desarrollando el término de la izquierda. Definiciones Sea F un subconjunto de un espacio métrico (E, d). El diámetro de F es cero si F =, y es diám(f ) = sup{d(x, y) : x, y F } R {+ }. 2. Se dice que un subconjunto F de un espacio métrico (E, d) está acotado si su diámetro es finito. 3. Se dice que una distancia d en un conjunto E está acotada si el diámetro de E es finito (es decir, si E es un conjunto acotado). Observación Un subconjunto F de un espacio métrico E está acotado si y sólo si está contenido en una bola cerrada. Por un lado, si F está acotado y D es el diámetro de F, F B D (x) (2.3.5) para todo x F. Por otro lado, si F verifica (2.3.5) para algún D > 0, entonces diám(f ) 2D. En particular, la noción de acotación definida en la definición coincide, en R n, con la habitual. Proposición Toda distancia d en un conjunto E es equivalente a una distancia acotada d 0 que verifica para todo x, y E. d 0 (x, y) 1, Demostración. Sea d 0 (x, y) = mín{1, d(x, y)}. Para probar que d 0 verifica la desigualdad triangular d 0 (x, z) d 0 (x, y) + d 0 (y, z), (2.3.6) obsérvese que si uno de los dos sumandos en el lado derecho de (2.3.6) es igual a uno, la desigualdad se verifica porque En caso contrario, se tiene que d 0 (x, z) 1 d 0 (x, y) + d 0 (y, z). d 0 (x, z) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = d 0 (x, y) + d 0 (y, z). Se verifica ahora sin dificultad que d 0 es una distancia. Finalmente, d 0 es equivalente a d porque, como B d ɛ = B d 0 ɛ para todo ɛ tal que 0 < ɛ 1, las dos métricas inducen los mismos conjuntos abiertos.

30 Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1. Definiciones y ejemplos Se prueba a menudo en los cursos de Cálculo que, a muchos efectos, trabajar con cualquiera de las tres métricas habituales en R n es equivalente. Esto se debe, en el fondo, a que las tres métricas inducen los mismos conjuntos abiertos (proposición 2.3.4), y sugiere la idea de concentrarse no en la métrica sino en la familia de conjuntos abiertos. Ese es el mecanismo por el cual uno pasa del estudio de los espacios métricos al de una clase más general: la de los espacios topológicos, en los que hay una noción de conjunto abierto que no necesariamente proviene de una distancia en el espacio. Formalizamos esta idea en la siguiente definición. Definición Un espacio topológico (X, τ) consiste en un conjunto X junto con una familia τ de subconjuntos de X, llamada topología, que verifica: 1. X τ, τ. 2. Si {A i } i I τ, entonces i I A i τ. 3. Si A 1, A 2, A n τ, entonces A 1 A 2 A n τ. Los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos de X. Los elementos de X a menudo se llaman puntos. Ejemplos Sea (E, d) un espacio métrico. La proposición prueba que τ d = {A E : A es abierto en (E, d)} define una topología en E. Además, dos métricas d 1 y d 2 en E son equivalentes si y sólo si las topologías que inducen son iguales. Se dice que una topología es metrizable si proviene de una distancia. 2. La topología discreta en un conjunto X es τ = P(X). Obsérvese que, por el ejemplo , la topología inducida por la métrica discreta es la topología discreta. 3. La topología indiscreta en un conjunto X es τ = {, X}. 27

31 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS La topología de los complementos numerables en un conjunto X es la topología τ = {A X : A = o A c es numerable}. En efecto, por las leyes de De Morgan (proposición 1.1.1), si A i τ para todo i I, entonces ( ) c A i = A c i, i I que es numerable, a menos que A i = para todo i I, en cuyo caso i I A i =. En cualquier caso, entonces, i I A i τ. Por otro lado, si A 1, A 2,, A n τ, entonces ( n ) c A i = A c i, i=1 que es numerable por la proposición , a menos que A i = para algún i = 1,, n, en cuyo caso n A i = τ. i=1 i 5. La topología de los complementos finitos en un conjunto X es la topología τ = {A X : A = o A c es finito}. La verificación de que τ es una topología es análoga a la del ejemplo 4, y se deja a cargo del lector. 6. Sean (X, τ) un espacio topológico e Y X un subconjunto. La topología relativa a τ en Y es τ Y = {A Y : A τ}. Se prueba fácilmente que τ Y es, efectivamente, una topología en Y. Obsérvese que, por la proposición , si τ está inducida por una métrica d en X, entonces la topología relativa τ Y está inducida por la métrica relativa d Y en Y. 7. La topología del cero en R es la topología con respecto a la cual un conjunto A R es abierto si es vacío o si contiene al cero. Mencionamos esta topología porque será un ejemplo importante a lo largo del curso, pero es un caso particular de la topología que, como se prueba sin dificultades, se obtiene en un conjunto no vacío X al elegir x 0 X y declarar abiertos los conjuntos que son vacíos o contienen a x 0.

32 8. La topología par-impar en Z es 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 29 τ = {A Z : 2n A 2n 1 A, para todo n Z}. Se verifica fácilmente que τ es una topología. Definición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Un conjunto U X es un entorno de x si existe un conjunto abierto A tal que x A U. Indicaremos con N x la familia de entornos del punto x. Ejemplos En la topología de los complementos numerables (finitos) en un conjunto X, para todo x X N x = {A X : A es abierto y x A}. Es claro que los conjuntos abiertos que contienen a x son entornos de x. Por otro lado, si U N x, existe un conjunto abierto A X tal que x A U. Entonces U c A c, y, por lo tanto, U c es numerable (finito). Entonces U es abierto. 2. En el espacio topológico del ejemplo , un conjunto V Z es un entorno de 3 si y sólo si {3, 4} V. Por un lado, si V N 3 existe un abierto A tal que 3 A V. Por lo tanto, 4 A y se tiene que {3, 4} V. Recíprocamente, como {3, 4} es abierto, V N 3 si {3, 4} V. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y x X. Entonces 1. N x. 2. Si V N x y V U X, entonces U N x. 3. Si V N x, existe U N x tal que U es abierto y U V. 4. Si U, V N x, entonces U V N x. 5. Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si A N a para todo a A. Demostración. 1) X N x. 2) y 3) son obvios a partir de la definición. 4) Sean A y B conjuntos abiertos tales que Entonces A B es abierto y x A U y x B V. x A B U V, de donde resulta que U V N x. 5) Es claro que si A es abierto, entonces A N a para todo a A. Recíprocamente, si A es un entorno de todos sus puntos, para cada a A existe un conjunto abierto U a tal que a U a A.

33 Por lo tanto, A = a A U a es abierto DEFINICIONES Y EJEMPLOS 30 Definiciones Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Un punto a A es interior a A si A N a. El interior de A es el conjunto Å = {a A : a es interior a A}. Observaciones Por la parte 5 de la proposición 3.1.5, un conjunto A es abierto si y sólo si A = Å. 2. Sea (X, τ) un espacio topológico. Si A y B son subconjuntos de X tales que A B, entonces Å B: Si a Å, entonces A N a. Por la parte 2 de la proposición 3.1.5, B N a ; es decir, a B. Proposición Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces Å es el mayor subconjunto abierto de X contenido en A. Demostración. Es claro que Å A. Además, Å es abierto: si a Å, existe un conjunto abierto U tal que a U A. Entonces todos los puntos de U son puntos interiores de A. Por lo tanto, a U Å, de donde se concluye que a es interior a Å; es decir, Å es un entorno de a. Entonces Å es abierto, por la parte 5 de la proposición Finalmente, si B X es abierto y está contenido en A, por las observaciones 3.1.7, B = B Å. Corolario Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Entonces Å = Å. Demostración. La afirmación es consecuencia inmediata de la observación , y de la proposición Ejemplo Consideremos el espacio topológico R con la topología del cero. Dado A R, es claro, a partir de la proposición 3.1.8, que { A si 0 A, Å = si 0 A, Definiciones Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. 1. La clausura de A es el conjunto Ā = {x X : V A para todo V N x }. 2. Un punto x X es un punto de acumulación de A si ( V \ {x} ) A, para todo V N x. 3. Un punto x A es un punto aislado de A si no es de acumulación de A.

34 4. La frontera de A es el conjunto 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 31 A = Ā Ac. 5. Se dice que el conjunto A es cerrado si A = Ā. Observación Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Un punto x A es aislado si y sólo si el conjunto {x} es abierto en A. En efecto, si x es un punto aislado de A, por la parte 3 de la proposición 3.1.5, existe un entorno abierto U de x tal que (U \ {x} ) A =. Es decir, {x} = U A, que es abierto en A. Es claro que vale la afirmación recíproca. Observaciones Sean A y B subconjuntos de un espacio topológico (X, τ). Es claro, a partir de la definición de clausura, que 1. A Ā. 2. Si A B, entonces Ā B. El siguiente resultado muestra que, como cabe esperar, las definiciones de conjunto cerrado en un espacio topológico y en un espacio métrico coinciden. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. El conjunto A es cerrado si y sólo si A c es abierto. Demostración. Si A c es abierto, sea x Ā. Para cualquier V N x se tiene que V A ; es decir V A c. Por lo tanto, x no es interior a A c. Como A c es abierto, se tiene que x A. Se probó así que Ā A, de donde se concluye que A es cerrado, por la observación Recíprocamente, si A es cerrado y x A c, entonces x A = Ā. Por lo tanto, existe V N x tal que V A =. Es decir, existe V N x tal que V A c. Entonces x es interior a A c. En consecuencia, A c es abierto. Corolario Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces 1. X y son cerrados. 2. Si {A i } i I es una familia de conjuntos cerrados en X, entonces i I A i es cerrado. 3. Si A 1, A 2, A n son conjuntos cerrados en X, entonces es cerrado. A 1 A 2 A n Demostración. Las afirmaciones se obtienen directamente a partir de la definición 3.1.1, la proposición y las leyes de De Morgan. Por ejemplo, para probar 2), ( ) c A i = A c i, i I i I

35 3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 32 que es abierto. Entonces, por la proposición , i I A i es cerrado. Las demás afirmaciones se prueban en forma análoga. Ejemplos Sea (X, τ) un espacio topológico discreto. Todo subconjunto de X es cerrado, por la proposición Por lo tanto, todo conjunto A X tiene frontera vacía: A = Ā Ac = A A c =. Además, como el conjunto {x} es abierto, todo punto x X es aislado. 2. En R, con la topología del cero, un conjunto A R es cerrado si y sólo si 0 A. El único punto aislado es 0, ya que {0} N 0 y que, para todo x R, 0 V para todo V N x. Si A R, { R si 0 A, Ā = A si 0 A. 3. En Z con la topología par-impar, un conjunto es cerrado si y sólo si es abierto: A Z es cerrado si y sólo si A c es abierto, es decir, si y sólo si, para todo n Z, Es decir, si 2n A 2n 1 A. 2n A 2n 1 A, que es equivalente a que A sea abierto. 4. Sean (E, d) un espacio métrico, x E y r > 0. Entonces B r (x) B r (x). En efecto, si y B r (x), entonces d(y, x) > r. Eso implica, por la desigualdad triangular, que B d(y,x) r B r (x) = y, por lo tanto, que y B r (x). La inclusión puede ser estricta: si E es un espacio métrico discreto con más de un punto y x E, entonces B 1 (x) = B 1 (x) = {x} E = B 1 (x). Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico y A X. Entonces (Ā)c = (A c ).

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