ELEMENTOS DE DIBUJO TÉCNICO. Autor: Arq. JENNYFER BARRERA PRIETO BOGOTÁ

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE ELEMENTOS DE DIBUJO TÉCNICO Autor: Arq. JENNYFER BARRERA PRIETO BOGOTÁ

2 ÍNDICE DE CONTENIDO ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO... 9 UNIDAD 2. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA CAPÍTULO 4. PROYECTIVA Lección 16. Axonometría a) Axonometría Caballera b) Axonometría Militar c) Axonometría Isométrica Lección 17. Sistemas de Representación ISO A ISO E a) ISO A b) ISO E Lección 18. Clasificación de Rectas y Planos en el espacio a) Clasificación de Rectas: b) Clasificación de Planos: Lección 19. Interpretación de Sólidos Lección 20. Interpretación de Vistas CAPÍTULO 5. PROYECTIVA II Lección 21. Acotado y Escalas Lección 22. Secciones Lección 23. Proyecciones Auxiliares Lección 24. Búsqueda del Proyecto Lección 25. Aplicación en Proyecto CAPÍTULO 6. DESCRIPTIVA Lección 26. Visibilidad Lección 27. Relaciones espaciales Lección 28. Nociones Topográficas - Líneas Lección 29. Nociones Topográficas - Planos Lección 30. Aplicación en Proyecto CAPÍTULO 7. INTERSECCIONES Lección 31. Intersección Línea Plano, Método del Filo y Plano Cortante Lección 32. Intersección Plano Plano, Método del Filo y Plano Cortante Lección 33. Intersección Plano - Sólido, Método del Filo y Plano Cortante Lección 34. Intersección Sólido - Sólido, Método del Filo Lección 35. Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante. 133 CAPÍTULO 8. DESARROLLOS Lección 36. Método del Giro Lección 37. Desarrollo por Líneas Paralelas en Poliedros Regulares Lección 38. Desarrollo por Líneas Paralelas en Poliedros Irregulares

3 Lección 39. Desarrollo por Líneas Radiales Lección 40. Desarrollo por Triangulación Bibliografía

4 ÍNDICE DE CUADROS Tabla 1. Clasificación de rectas representadas en el Sistema ISO A Tabla 2. Identificación de Rectas en sólido Tabla 3. Resumen de Posición de rectas y sus características en proyecciones principales Tabla 4. Posición de los planos en el espacio, Sistema ISO A Tabla 5. Identificación de Planos Tabla 6. Resumen de Posición de planos y sus características en proyecciones principales Tabla 7. Escalas y su relación matemática

5 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Axonometría Caballera Figura 2. Axonometría Militar Figura 3. Axonometría Isométrica Figura 4. Abstracción de vistas en el Sistema ISO A Figura 5. Símbolo ISO A Figura 6. Símbolo ISO E Figura 7. Proyecciones Principales en ISO A, dentro del espacio Geométrico Figura 8. Representación en ISO A de línea de Verdadera Longitud Figura 9. Representación Sistema ISO A de planos Figura 10. Representación Sistema ISO A de planos con vista Lateral Figura 11. Verdadera Magnitud de una Plano Figura 12. Línea Vertical en Espacio Geométrico Figura 13. Línea Horizontal paralela a línea de Referencia en Espacio Geométrico Figura 14. Línea Horizontal Declinada en espacio Geométrico Figura 15. Línea Horizontal de punta en Espacio Geométrico Figura 16. Línea Inclinada Frontal en Espacio Geométrico Figura 17. Línea Inclinada de Perfil en Espacio Geométrico Figura 18. Línea Inclinada Cualesquiera en Espacio Geométrico Figura 19. Isométrico contenido por las 7 posiciones de las rectas Figura 20. Plano Vertical Frontal en el espacio Geométrico Figura 21. Plano Vertical Vertical ó Declinado en el espacio Geométrico Figura 22. Plano Vertical Lateral ó de Filo en el espacio Geométrico Figura 23. Plano Horizontal en el espacio Geométrico Figura 24. Plano Inclinado Frontal ó Paralelo a Línea de Referencia en el espacio Geométrico Figura 25. Plano Inclinado cualesquiera en el espacio Geométrico Figura 26. Plano Inclinado de perfil ó de Filo en el espacio Geométrico Figura 27. Isométrico contenido con los 7 planos Figura 28. Sólido Figura 29. Sólido dentro de prisma de malla transparente Figura 30. Sólido con planos identificados por colores Figura 31. Malla para vistas principales ISO A Figura 32. Vistas principales de sólido ISO A Figura 33. Vistas principales de sólido con planos identificados por colores Figura 34. Vistas y Sólidos con puntos Figura 35. Proceso 1: inclusión del primer elemento Figura 36. Proceso 2 y 3: Adición de dos elementos Figura 37. Proceso 4 y 5: Adición de un elemento y extracción de uno existente Figura 38. Proceso 1 y 2: posición del primer y segundo volumen

6 Figura 39. Proceso 3 y 4: Adición del tercer y cuarto volumen Figura 40. Proceso 5: Adición del quinto elemento Figura 41. Vistas principales en ISO A y sólido Figura 42. Elementos de la Cota Figura 43. Dimensionamiento en cadena Figura 44. Dimensionamiento en paralelo desde una característica común Figura 45. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota perpendicular Figura 46. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota cerca a cabezas de flecha Figura 47. Dimensionamiento por Coordenadas con tabla de Tabulación Figura 48. Dimensionamiento por Coordenadas con puntos arbitrarios Figura 49. Dimensionamiento Combinado Figura 50. Acotado de elementos equidistantes Figura 51. Acotado de elementos con las mismas características Figura 52. Elemento extraído de un plano general a escala 1:25 y detalles a escala 1: Figura 53. Relación proporcional de la Escala Figura 54. Plano de corte y sección obtenida Figura 55. Sección en planta y Alzado Figura 56. Corte de Terreno Figura 57. Isométrico y coordenadas en vistas Figura 58. Posición de Observador con respecto a la vista Figura 59. Vista Frontal en Depurado Figura 60. Vista Lateral en Depurado Figura 61. Isométrico base para ejercicio Figura 62. Vistas Frontal y Superior de isométrico en el Sistema ISO A y localización de observador Figura 63. Trazo de Línea de Referencia e indicación de líneas de proyección de cada punto del objeto Figura 64. Paso de medidas, ubicación de puntos, unión de puntos y definición de visibilidad Figura 65. Ejercicio para la interpretación de visibilidad Figura 66. Visibilidad correcta del ejercicio Figura 67. Punto sobre recta Figura 68. Punto exterior a Recta Figura 69. Líneas que se cortan y líneas que se cruzan Figura 70. Líneas Paralelas Figura 71. Líneas perpendiculares Figura 72. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 1 y Figura 73. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso Figura 74. Proceso Menor Distancia Normal, Método del Plano

7 Figura 75. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso Figura 76. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 2 y Figura 77. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 4 y Figura 78. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso Figura 79. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 2 y Figura 80.Procedimiento para obtener la Verdadera Longitud Figura 81. Rumbo Figura 82. Azimut Figura 83. Distancia Topográfica Figura 84. Ángulo de Inclinación Figura 85. Pendiente Figura 86. Procedimiento para obtener Verdadera Magnitud Figura 87. Rumbo Figura 88. Buzamiento Figura 89. Ejemplo de Buzamiento Figura 90. Sentido de Caída Figura 1. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Filo. Paso 1 y Figura 2. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Filo. Paso 3 y Figura 3. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Plano cortante. Paso Figura 4. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Plano cortante. Paso 2 y Figura 5. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso 1 y Figura 6. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso Figura 7. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso Figura 8. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso Figura 9. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Plano Cortante. Paso 1 y Figura 10. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Plano Cortante. Paso 3 y Figura 11. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Plano Cortante. Paso Figura 12. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso Figura 13. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso Figura 14. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso Figura 15. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso Figura 16. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso Figura 17. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso Figura 18. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 19. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 20. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3 y Figura 21. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 22. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 6 y Figura 23. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 24. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 25. Poliedros Irregulares: Pirámides: recta, oblicua, truncada

8 Figura 26. Poliedros Irregulares: Prismas: recto, oblicuo, Truncado Figura 27. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 28. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 29. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 30. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 31. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 32. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 33. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Filo. Paso Figura 34. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 35. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 36. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 37. Proceso Intersección Sólido Sólido, Método del Plano Cortante. Paso Figura 38. Isométrico de recta que gira alrededor de un eje. Método del Giro Figura 39. Método del Giro para hallar Verdadera Longitud y ángulo de recta Figura 40. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso Figura 41. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso 2 y Figura 42. Rotación de Plano cualesquiera para proyectar su Verdadera Magnitud. Paso Figura 43. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso Figura 44. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso Figura 45. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso Figura 46. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso Figura 47. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso Figura 48. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas Figura 49. Proceso Desarrollo por Líneas Paralelas. Paso Figura 50. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso Figura 51. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso Figura 52. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso Figura 53. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso Figura 54. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso Figura 55. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso Figura 56. Proceso Desarrollo por Líneas Radiales. Paso 7 y Figura 57. Desarrollo de un Adaptador. Paso Figura 58. Desarrollo de un Adaptador. Paso 2 y Figura 59. Desarrollo de un Adaptador. Paso 4 y Figura 60. Desarrollo de un Adaptador. Paso

9 ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El contenido didáctico del curso académico fue diseñado por Jennyfer Magerly Barrera Prieto, quien es Arquitecta. Se ha desempeñado como docente universitario, residente de obra y diseñadora de proyectos. Para citar este material por favor hacerlo de la siguiente manera: Barrera, J. (2012).. Módulo didáctico. Bogotá: Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. 9

10 Nombre de la Unidad CAPÍTULO 4 Lección 16 Lección 17 Lección 18 Lección 19 Lección 20 CAPÍTULO 5 Lección 21 Lección 22 Lección 23 Lección 24 Lección 25 CAPÍTULO 6 Lección 26 Lección 27 Lección 28 Lección 29 Lección 30 CAPÍTULO 7 Lección 31 Lección 32 Lección 33 UNIDAD 2 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA PROYECTIVA Axonometría Sistemas de Representación ISO A ISO E Clasificación de rectas y planos en el espacio Interpretación de Sólidos Interpretación de Vistas PROYECTIVA II Acotado y Escalas Secciones Proyecciones Auxiliares Búsqueda del proyecto Aplicación en Proyecto DESCRIPTIVA Visibilidad Relaciones espaciales Nociones Topográficas - Líneas Nociones Topográficas - Planos Aplicación en Proyecto INTERSECCIONES Intersección Línea-Plano, Método del Filo y Plano Cortante Intersección Plano-Plano, Método del Filo y Plano Cortante Intersección Plano-sólido, Método del Filo y Plano Cortante 10

11 Lección 34 Lección 35 CAPÍTULO 8 Lección 36 Lección 37 Lección 38 Lección 39 Lección 40 Intersección Sólido-Sólido, Método del Filo Intersección Sólido-Sólido, Método del Plano Cortante DESARROLLOS Método del Giro Desarrollo por Líneas paralelas en Poliedros Regulares Desarrollo por Líneas paralelas en Poliedros Irregulares Desarrollo por Líneas Radiales Desarrollo por Triangulación 11

12 UNIDAD 2. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA CAPÍTULO 4. PROYECTIVA La Proyectiva es la iniciación del dibujo a través de la interpretación de vistas, por medio del cual se entiende la ubicación de los puntos, y unión de éstos en el espacio. La comprensión espacial se logra con la abstracción de las formas reales e interpretación de las mismas, por lo tanto la proyectiva son estrategias encaminadas a la transformación de objetos reales, por lo tanto tridimensionales, a una representación sobre un plano bidimensional, sobre el cual se pueden plasmar dibujos que generen tridimensionalidad, caso de las Axonometrías, hasta la representación proporcional de cada una de las vistas que componen el objeto, y a través de estas se logre visualizar el objeto real desde varios puntos de vista del observador, el cual es el encargado de señalar los puntos de referencia. Lección 16. Axonometría Este sistema permite observar un objeto sobre las tres coordenadas, con sus tres vistas principales. Cada una de las Axonometrías hace énfasis en una vista o conjunto de vista que desea predomine, de tal forma que cada una de estas representaciones tridimensionales de un objeto, lo transforma y lo proyecta con un fin específico, buscando siempre la jerarquía de una proyección ó del conjunto. El dibujo axonométrico trabaja a partir de las tres coordenadas, X, Y y Z, y al variar el ángulo existente entre las mismas se logra transformar el tipo de axonometría que se está representando; con sus ángulos también se transforman las proporciones de la representación, pues aunque la axonometría trabaja con las medidas reales del objeto, dependiendo del tipo de dibujo axonométrico que se desea realizar, se modifican sus proporciones, lo cual busca darle mayor jerarquía a una de sus proyecciones ó simplemente hacer ver el dibujo más armonioso. Para iniciar la explicación de cada una de las axonometrías a estudiar se hará un breve repaso del sistema de coordenadas, ya que para efectos de localización en el espacio se hace necesario tener claridad sobre el significado de cada una de las componentes de las relaciones espaciales. El eje X define la longitud de un objeto y representa el ancho del mismo en su vista Frontal; el eje Y es la profundidad de un elemento, lo que determina el espesor de un 12

13 material o el alejamiento que éste tiene del plano Frontal. El eje Z señala la altura del objeto, entonces este se debe encontrar en los planos de alzado, como las proyecciones Frontal y Lateral. La axonometría permite visualizar los planos principales: Frontal, Lateral y Superior. a) Axonometría Caballera Es una representación tridimensional en la que se jerarquiza la vista frontal de un objeto, por lo tanto la proyección vertical, la cual mantiene las dimensiones reales, por lo tanto el eje X y el Z están en una proporción 1:1. El eje X maneja un ángulo de 0, el eje Z de 90. En el eje Y se manejan ángulos que varían entre 1 y 89, pero el más utilizado es el de 45, pues su uso hace resaltar la vista en alzado. Este eje reduce la proporción de sus medidas reales a la mitad, aunque si se desea obtener una representación caballera exacta, se debe aplicar el factor de reducción gráfico que corresponde a 2/3 de la medida real. Figura 1. Axonometría Caballera b) Axonometría Militar Representación tridimensional en la cual los ejes Y y X son ortogonales y giran sobre un mismo eje, el cual puede variar su ángulo entre 0 y 90, por lo tanto si X tiene un ángulo de 45, Y por su parte tendrá un ángulo de lo que significa que Y = 90 - X. Los ángulos más utilizados para este dibujo son el de 30 y 60. Las proporciones de las coordenadas son 1:1 para X y Y, la coordenada Z disminuye a la mitad su dimensión real, esto con el fin de jerarquizar la proyección superior, plano horizontal ó de la planta. 13

14 Figura 2. Axonometría Militar c) Axonometría Isométrica En esta representación todas sus dimensiones son reales, aunque sus ángulos internos no lo sean, lo que significa que las proporciones de las coordenadas X, Y y Z son 1:1, pero el objeto no contará con los ángulos internos reales, pues esta axonometría se dibuja con un ángulo de 30 para el eje X y para el eje Y, por lo tanto, el interior del objeto se ampliará, aunque su aspecto es bastante real. Esta axonometría es la más utilizada al representar un objeto de forma tridimensional, ya que permite ver sus dimensiones reales, sin disminución alguna. Figura 3. Axonometría Isométrica 14

15 Lección 17. Sistemas de Representación ISO A ISO E La forma adecuada de representar un espacio tridimensional en dos dimensiones, es a través de los Sistemas Internacionales de Representación: ISO A e ISO E; Estos métodos pueden variar su nombre, algunos de estos son: ISO A: Método del tercer ángulo: Sistema Americano: ASA ISO E: Método del primer ángulo: Sistema Europeo: DIN En el primer capítulo se hizo una explicación de la Normativa Técnica Colombiana 1777, la cual hace referencia a los Sistemas de Representación. En esta lección se va a enfatizar en profundizar en el tema y en la aplicación del mismo. a) ISO A Cuando se hace referencia al Sistema de Representación ISO A, se entiende que un objeto real va a ser representado a través de una posición de vistas organizada analógicamente con el significado del nombre de sus proyecciones, por lo tanto, la vista superior debe ser ubicada en un área superior, valga la redundancia; la vista Lateral Derecha es entonces localizada a la derecha de la vista Frontal; la proyección Lateral Izquierda se dibuja a la izquierda de la Frontal y la Vista Inferior, pues es representada en la parte inferior de la Frontal. Como se puede deducir de la descripción realizada, la posición adecuada de las vistas en este Sistema, depende de la localización de los planos en el objeto, los cuales permanecen estáticos en éste y tiene que ser el observador el que gira en torno al elemento. Se podría decir que es un objeto que se encuentra suspendido al interior de un cubo transparente, por lo tanto el observador puede tener contacto con el cubo, análogo al exterior, mas no con el objeto, pues éste se halla en su interior. Para su representación el observador debe recurrir a situarse frente a la proyección deseada y plasmarla en el cubo transparente, lo que significa que la proyección es representada en un plano anterior al objeto y por esta razón la vista puede situarse en la posición lógica, según lo indica su nombre. En el siguiente ejemplo se mostrará un objeto dentro de un cubo transparente. La base del sólido se encuentra en la línea de Tierra, por lo tanto, la base del cubo transparente y la del sólido es la misma. El sólido tiene cada plano identificado con un color diferente, esperando que con esto se le facilite al estudiante abstraer el objeto. La representación consiste en generar líneas paralelas al plano al cual corresponden, lo que quiere decir que para obtener la vista Frontal del sólido se deben trazar líneas de construcción (grises) paralelas al eje Y, debido a que sobre éste se localiza la profundidad del objeto, la cual no es posible observar desde una vista Frontal, ya que ésta representa las coordenadas X y Z, 15

16 las cuales corresponden al ancho y la altura del objeto (Paso 2). Al obtener las líneas de construcción de cada uno de los vértices, identificados con números, se puede iniciar la construcción de la vista. Se observa el sólido y se unen los puntos, lo cual depende específicamente del orden de los mismos en el sólido. Esto quiere decir que el punto 1 se une con 2, 6 y 5, éste último punto se encuentra en la zona posterior del objeto, por lo tanto se encuentra invisible. Los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 se localizan sobre la línea de Tierra, lo que señala esto es que estos puntos se deben ubicar en la línea de inferior de cada proyección realizada, a la que corresponda, en la proyección donde esta línea de Tierra pueda ser visible, por lo tanto esto aplicará solo para las proyecciones en alzado. Figura 4. Abstracción de vistas en el Sistema ISO A 16

17 En la figura anterior se están mostrando los pasos necesarios para la realización de las vistas con el método ISO A, el cual presenta el medio de representación en un plano anterior al objeto y sobre el cual se plasman los trazos que corresponde a la vista. Se deben pasar los puntos por medio de líneas de construcción que se proyectan de forma perpendicular al plano, por lo tanto, paralelas a la coordenada que no se puede proyectar en el plano referente, lo que quiere decir que en el plano Frontal, el cual muestra los ejes X y Z, se deben proyectar líneas de construcción paralelas a la coordenada Y, eje de la vista Lateral. Luego de proyectar cada una de las líneas correspondientes a los vértices de los planos que conforman el sólido, se identifican con números que logran abstraer de forma más clara la morfología del objeto. Las vistas son señaladas con los números del volumen, indicando los puntos que se localizan sobre ese eje que proyecta la línea de construcción, lo que quiere decir que si el plano se muestra de forma perpendicular al plano de proyección que se está realizando, se deben marcar los puntos que se encuentren cercanos y lejanos de éste plano, indicando primero el número más cercano al observador y separado por comas los números que se van alejando. La presentación del proceso de construcción de las proyecciones principales de un sólido en un cubo transparente están dirigidas a dar claridad sobre la metodología del Sistema de Representación y su lógica, la cual está basada en la representación en dos dimensiones de un objeto Tridimensional localizado en un plano anterior al de la proyección. 17

18 Para la identificación del Sistema de Representación bajo el cual se está rigiendo el dibujo se realiza un símbolo que señala la metodología; éste símbolo presenta un cono en dos de sus proyecciones principales, la Frontal y la Lateral derecha. Los dos símbolos de los dos sistemas representan el mismo objeto, pero la posición de las vistas es la que indica el sistema de Representación. En este caso, la vista Frontal tiene en su lado derecho ubicado la vista Lateral derecha, indicando así que éste es el Sistema Americano. Las líneas tipo G que se encuentran en medio del símbolo revelan simetría del objeto. Figura 5. Símbolo ISO A b) ISO E El Sistema de Representación ISO E también puede ser comparado con una caja dentro de la cual se encuentra un objeto, un sólido, pero a diferencia del anterior Sistema, esta caja no es transparente sino que es una caja oscura, la cual no permite que el observador tenga acceso visual a su contenido, por lo tanto se hace necesario ingresar a ésta y observar desde su interior el volumen que se localiza en ella. Al tener que ingresar a la caja el observador se va a encontrar ubicado entre el plano exterior de la caja (plano anterior) y una de las caras del objeto, por lo tanto si se desea hacer una representación bidimensional de este, necesariamente se debe proyectar en el plano posterior de la caja, ya que el observador está dándole la espalda al plano anterior, lo que impide la realización del dibujo en ésta, pues si se hiciera así, no tendría el contacto con los dos elementos principales que intervienen en la proyección: el objeto y el medio en el que se representan los planos, pero si se procede a realizar la proyección de la vista en el plano posterior, el observador tendrá contacto constante con los dos elementos: objeto y medio de representación, por esta razón es que las vistas se localizan de forma diferente, pues si el observador se moviliza en torno al objeto y su proyección se debe realizar después del éste, la ubicación de las vistas será la contraria a lo que indica su nombre. Es así como la lateral derecha se localiza en el lado izquierdo, pues si el observador se encuentra dentro de la caja frente a la vista lateral derecha y su proyección debe realizarse después del objeto, ésta quedará en el lado opuesto de la vista, por lo tanto queda en la cara izquierda del cubo oscuro. 18

19 La proyección de las vistas es realizada con el mismo procedimiento del otro Sistema, la diferencia radica en la posición del observador con respecto al objeto y el medio de representación, pero una vista lateral derecha siempre va a ser igual desde cualquiera de los dos métodos, ésta no varía, solo cambia la posición en la cual esta se ubica dentro del Sistema de Representación. Para indicar el Sistema con el cual se está dibujando, fue asignado un símbolo para cada método de Representación, que constituye un cono que es mostrado en sus dos vistas principales: Frontal y Lateral Derecha. La localización de la vista Lateral derecha con respecto a la Frontal, es la que define el Sistema de Representación. Figura 6. Símbolo ISO E Lección 18. Clasificación de Rectas y Planos en el espacio. Un objeto se representa con seis proyecciones principales, tomando como base las caras de un cubo, de esta forma se traduce un modelo tridimensional a un espacio geométrico, donde cada cara del cubo señala un punto de vista del observador y debido a que éste se encuentra de forma perpendicular al modelo, los planos que conforman el objeto no podrán localizarse en el espacio con relación a la distancia existente entre éste y el observador, pues el observador logra diferenciar en alguna medida los planos cercanos y los que se encuentran a mayor distancia inician un proceso de distorsión ó deformación que reduce el tamaño a nivel vertical del elemento y la profundidad se ve anulada, a lo que se le llama perspectiva. En el dibujo de dos dimensiones, se busca interpretar un objeto a través de la representación proporcional del mismo, por medio de las proyecciones ó vistas de cada cara del modelo, pero para ello se debe tener previo conocimiento de las líneas y planos que conforman el objeto y lograr comprender su posición en el espacio, para lograr interpretar un sólido, modelo u objeto sin permitir que la perspectiva distorsione la realidad, porque debido a los ángulos de las axonometrías ó de la visión del ser humano, puede parecer que una línea horizontal sea inclinada, por esta se hace necesario 19

20 comprender a cabalidad las características de las posiciones de las líneas y planos en el espacio, lo que involucra entender el comportamiento de éstos en las diferentes proyecciones y su extensión en el espacio infinito. Figura 7. Proyecciones Principales en ISO A, dentro del espacio Geométrico S F L En la anterior figura se encuentran proyectadas las vistas principales en el espacio geométrico representado por un cubo enmallado; A través de líneas de proyección ó de construcción (líneas verdes) se trasladan de forma perpendicular a cada plano los puntos que el observador puede diferenciar, por lo tanto estas líneas de construcción son el rayo visual del observador, ya que este se localiza frente a cada plano que conforman al objeto y por esta razón las líneas que se encuentran de forma perpendicular a él, las va a percibir como un punto y no como línea, pero si la línea es paralela a su posición, el observador la podrá ver con la longitud real que tiene este elemento. Las líneas discontinuas, son líneas ocultas, éstas se encuentran detrás de un elemento al cual se le llama plano, y por tal razón el observador no la logra ver, pero en los dibujos técnicos estas líneas se deben proyectar a través del trazo discontinuo, localizándola en la posición que ocupan en la vista a la cual se hace referencia. 20

21 La Geometría Descriptiva estudia el punto, la línea y el plano, siendo estos elementos conceptuales, ya que no pueden ser palpables, pero es a través de éstos que se logra interpretar un objeto real. El punto ocupa un lugar en el espacio aunque no tiene dimensiones, la línea está conformada por varios puntos lo que permite que ésta tenga una longitud, y el plano tiene un área, pero al igual que los anteriores conceptos, son intangibles. En una representación como la anterior se pueden observar los puntos localizados en la unión de las líneas, éstos son los llamados vértices, y las líneas conforman aristas que uniéndose generan superficies. El estudio de las rectas permite comprender las características y posiciones reales en el espacio y con ello descifrar su verdadera forma, las variaciones visuales que pueden provocar y las diversas presentaciones en las proyecciones. En la Geometría Descriptiva se debe descubrir la verdadera forma de las líneas y planos que conforman un objeto, esto es consecuente con su objetivo el cual va encaminado a la representación de los objetos reales tridimensional traducidos a dos dimensiones de forma proporcional y real, localizando cada punto, línea y plano en el lugar correcto y con su forma adecuada, por lo tanto, el estudio de las rectas y planos debe enfocarse en la traducción de un elemento en su posición real en el espacio a una posición que proporcione las características reales del mismo, con sus dimensiones, ángulos y formas correctas, es por esta razón que se han creado procedimientos guiados a descubrir las Verdaderas Longitudes en las rectas y las Verdaderas Magnitudes en los Planos. La Verdadera Longitud se consigue situando al observador frente al objeto, por lo tanto su posición es paralela a la posición del objeto. Esta característica tiene su razón en que solo al encontrarse de frente a un objeto el ser humano podrá observar su forma real, sin intrusiones de la perspectiva, la cual juega un papel importante en la observación de un elemento, pues es por ésta que no es posible ver un elemento con su longitud real cuando éste se encuentra con una posición declinada sobre la Horizontal o Vertical, y no sobre un mismo plano visual, por lo tanto si un observador está en un plano vertical, sus dos ojos ocupan el mismo plano visual y miran de frente a un objeto, sólo podrán verlo con su forma real cuando éste también se encuentre ocupando un plano paralelo a los ojos del observador. Para dar un ejemplo y que el tema se haga más comprensible, se puede tomar un marcador, esfero ó lápiz, y ponerlo de forma Horizontal sobre una mesa, pero no se va a localizar paralelo al borde de la mesa sino que su posición sobre ésta es declinada; el observador debe situarse frente a la mesa, paralelo al borde de la misma y que sus ojos queden a filo con la parte Horizontal de la mesa, por lo tanto el observador se agachará, se acercará al borde de la mesa y verá sobre la misma el marcador con una longitud cualquiera, pero esta longitud no va a ser la real, ya que su posición en la mesa no está paralela al borde donde se localizan los ojos del observador, el resultado será que el observador va a tener una imagen equívoca del marcador, pues la percepción de su 21

22 longitud será menor a la real, dependiendo del grado de inclinación que se le haya dado al elemento sobre la Horizontal, sobre la mesa; pero si el elemento es girado y puesto de forma paralela al borde de la mesa en el cual los ojos del observador se encuentran ubicados, podrá ser visto en su Verdadera Longitud, pues no existe la intervención de la perspectiva, no existen ángulos diferentes de los planos en los cuales se localizan tanto el observador como el elemento y cada uno ocupa un plano paralelo al otro, con esto se garantiza su morfología real; Esta es la Verdadera Longitud. La Verdadera Longitud presenta las siguientes características en su proyección bidimensional: El elemento (La Recta) se debe encontrar en una vista anterior de forma paralela a la línea de Referencia, lo que indica que en la siguiente proyección se mostrará en su Verdadera dimensión, a lo que se le llama: Verdadera Longitud. Y si se realiza una vista perpendicular a la Verdadera Longitud debe verse como punto, esto es debido a que al encontrarse en una posición perpendicular a la vista del Observador su rayo visual sólo podrá observar el primer punto que contiene la recta, pues éste tapará al posterior. Figura 8. Representación en ISO A de línea de Verdadera Longitud En la figura anterior se puede observar que la recta m,s se localiza en la proyección Frontal con su Verdadera Longitud, debido a que en una vista anterior, en esta caso la proyección Lateral Derecha, la recta m,s se encuentra de forma paralela a la Línea de Referencia, para este caso la línea que separa las dos vistas es la F L, y al realizar una proyección perpendicular a la recta en Verdadera Longitud (VL) ésta aparece como un punto, es el caso de la proyección Horizontal en la cual la línea de Referencia H F se encuentra de forma perpendicular a la recta m,s, dando como resultado en la proyección Horizontal una representación de la recta como un punto identificado como m, s. La Verdadera Magnitud es un término utilizado para los planos, debido a que éstos no solo están conformado por líneas, longitudes, sino que también por ángulos, los cuales permiten establecer una forma, por ello no es suficiente con encontrar la Verdadera Longitud de una de las líneas que conforman un plano sino que se debe encontrar la verdadera relación que hay entre una línea y otra. 22

23 Para hallar la verdadera Magnitud de un plano se debe trabajar con las líneas que lo conforman, y para que sea más comprensible se puede tener en la mente a una escuadra de 60 la cual representaría a un plano triangular. El proceso para hallar la Verdadera Magnitud es el siguiente: Hacer una revisión de las proyecciones del dibujo y verificar si alguna de las líneas que conforman el plano tiene una posición paralela a la Línea de Referencia. Figura 9. Representación Sistema ISO A de planos En el caso de la figura anterior se puede observar que tanto en la proyección Horizontal como en la Vertical las rectas 1,2 y 4,3 se encuentran de forma paralela a la línea de Referencia H F. El siguiente paso es hacer una vista perpendicular a la recta en Verdadera Longitud para verla como un punto. En el caso de la representación que se está analizando se van a tomar como rectas en Verdadera Longitud las líneas 1,2 y 4,3 localizadas en la vista Frontal, esto con el fín de tener en la representación la línea de Referencia perpendicular a las rectas en VL sin necesidad de realizar una vista adicional, sin que quiera decir que las rectas 1,2 y 4,3 de la proyección Horizontal no se encuentran en VL, porque también estas lo están pero para efectos del dibujo se van a tomar las rectas de la vista Frontal. Entonces, recapitulando, se tiene una recta paralela a la línea de referencia, en este caso las rectas 1,2 y 3,4 de la Horizontal, en la siguiente proyección, en la Frontal, éstas rectas estarán en su Verdadera Longitud, y a éstas se les traza una Línea de Referencia perpendicular con el fin de verlas como punto y por lo tanto, encontrar el filo del plano, lo que quiere decir que el plano se mostrará como línea. Figura 10. Representación Sistema ISO A de planos con vista Lateral 23

24 Cuando se obtiene la vista de Filo, al igual que con las líneas, se debe trazar una proyección paralela a ésta para poder ver su Verdadera Magnitud, lo que nos sitúa frente al objeto. Tomando la Escuadra de ejemplo, se toma la escuadra y el observador la inclina, teniendo en cuenta que ésta se debe encontrar por el lado de su espesor, por el filo, por el lado que se ve como si ésta fuese una línea, igual que en la figura anterior, y posterior a ello se gira 90 la escuadra ó el observador se mueve de tal forma que quede frente a la escuadra, la cual se debe ver con su forma real (Triangular), sus ángulos y todas las líneas que la conforman en dimensiones reales. En el ejercicio de la figura anterior no se procederá a realizar el siguiente paso, el cual consiste en trazar una Línea de Referencia paralela al filo porque este tema se verá en las próximas lecciones. Para lograr entender la Verdadera Magnitud se mostrará a continuación una figura que muestra el plano en Verdadera Magnitud, ya que en sus dos proyecciones: anterior y posterior, se muestra como un filo, como una línea, por lo tanto la proyección común a los dos filos se debe encontrar en VM (Verdadera Magnitud). Figura 11. Verdadera Magnitud de una Plano Para lograr entender con mayor claridad el tema y las relaciones existentes entre los puntos, las líneas y los planos se deben comprender las posiciones que toman éstos elementos en el espacio Geométrico. A continuación se procederá a dar explicación de la Clasificación de las rectas y de Planos en el espacio. a) Clasificación de Rectas: Las líneas rectas pueden localizarse en el espacio en diversas posiciones, por lo que en ocasiones éstas se perciben como puntos ó de menor longitud a la real. Las variaciones radican en la posición del observador con respecto a la línea y la posición que ésta asume en el espacio geométrico. Existe una clasificación de las rectas que señala las posiciones típicas de las mismas en el espacio, las cuales se clasifican en siete (7): 24

25 Tabla 1. Clasificación de rectas representadas en el Sistema ISO A Vertical: Esta línea es la perpendicular al plano Horizontal, por lo tanto forma con éste un ángulo de 90 ; Esta es proyectada entonces como un punto en la vista Superior e Inferior, ya que éstas proyecciones son de índole Horizontal. En una vista de Alzado (Frontal, Laterales, Posterior) se va a proyectar como una línea completamente Vertical, por lo que en éstas proyecciones se verá en su Verdadera Longitud, lo que quiere decir que su dimensión al medirla en cualquiera de estas proyecciones de Alzado será la medida real. La recta vertical es la línea que forma un elemento con el centro de la tierra debido a la gravedad, por lo tanto esta recta se establece en el espacio geométrico de forma paralela a las líneas de referencia verticales, tales como la Frontal con la Lateral, y esta con la Posterior. Esta puede ser desplazada en el espacio geométrico, intangible, sin sufrir alteración alguna, pues su posición no se modificará, mantendrá el ángulo con el plano 25

26 Horizontal y sus dimensiones se podrán verificar en las proyecciones de alzados. Figura 12. Línea Vertical en Espacio Geométrico Las líneas verticales son análogas a la recta que forma el hilo de la plomada al encontrarse estática, por lo tanto en una línea que desde cualquier ángulo de alzado se verá siempre vertical. Desde arriba, localizados en un punto superior a la línea recta vertical y mirando hacia abajo se podrá ver la línea como un punto, esto debido a que el punto superior, punto de mayor cercanía al observador, se encuentra tapando el segundo punto, el más lejano al observador, ya que esta línea vertical está en una posición perpendicular al plano Horizontal; Para comprender esta posición, deben ubicar un marcador de forma vertical sobre una mesa, por lo tanto debe estar soportado por la base ó tapa del marcador, cuando se observa alrededor del marcador, paralelo a su longitud, se ve con una longitud real, pero si se mira desde un punto superior a la posición del marcador, sobre la tapa ó la base de mismo, se puede ver solo una parte del marcador, ya sea su tapa ó su base (según la posición en la que se halla ubicado), no se podrá observar su longitud, ésta proyección representa la Horizontal y la vista de la tapa es el punto que se dibuja. Horizontal: Es una línea que tiene sus puntos al mismo nivel, la línea que forma el agua en estado de calma; Un vaso que contenga agua, aunque este sea girado, el agua siempre permanecerá con la Horizontal; a ésta Horizontal se le llama la Horizontal perfecta. Esta línea debe ser paralela entonces al plano Horizontal, lo que quiere decir que en la proyección Horizontal ésta se verá con una longitud real. En las demás vistas puede varias su proyección, pues de forma similar a la aguja de la brújula, ésta se podrá mover en el plano, pero siempre permanecerá paralela a éste, por lo tanto, se establecerá en el plano Horizontal. 26

27 o Horizontal paralela a línea de referencia: Esta línea se localiza de forma paralela a la línea constituida por la proyección Superior y la Frontal; a éstas líneas, Aristas, se les llama Línea de Referencia, pues es a través de ellas que se puede relacionar una superficie, ó vista, con otra, pues si no fuese por la existencia intangible de esta arista, no se podrían identificar los diferentes planos en el espacio. La Recta descansa sobre un nivel Horizontal y se localiza sobre éste plano (Horizontal), sin que ello involucre tener que reposar sobre la cara Superior ó Inferior (Arriba ó abajo del Cubo), pues el Espacio Geométrico está conformado por infinitos planos Horizontales, limitados por el cubo que es su representación tridimensional, pero ésta representación no es más que eso: representación, pues éste puede prolongarse indefinidamente y seguir conformando los planos que contiene; es para efectos del dibujo que se limita el Espacio Geométrico. En la figura siguiente se puede observar con ayuda de las líneas guía punteadas, que la recta Horizontal (de color rojo) reposa en el medio de los límites del Espacio Geométrico, esta posición es paralela a la línea de Referencia. Al proyectar las líneas de construcción a las vistas principales (Frontal, Superior y Lateral Derecha) se obtiene: En la Frontal una línea Horizontal en dimensiones Reales, en su Verdadera Longitud; en la Proyección Superior se encontrará una línea Horizontal con su Longitud Real, en Verdadera Longitud; En la vista Lateral Derecha se verá la línea como un punto, ya que se encuentra de forma perpendicular a la visual del observador y al proyectar los puntos de la línea, el punto más cercano al observador va a ocultar al más lejano. Al abstraer las imágenes a cada una de las proyecciones principales en el Espacio Geométrico, se realiza la representación en el Sistema ISO A, como se muestra en el cuadro de la Figura 12, y se obtiene una línea Horizontal en la Vista Superior la cual es separada de la Vista Frontal a través de una línea paralela a la recta Horizontal de la Superior; en la Vista Frontal la recta se encuentra paralela a la línea de Referencia y por lo tanto, también a la recta en la Horizontal; la Línea de Referencia que separa la Vista Frontal de la Lateral Derecha está en posición perpendicular a la Línea de Referencia H F (Horizontal - Frontal) ya que en éstas vistas se muestran los objetos y sus proyecciones en Alzado, por lo tanto deben señalar Verticalidad. En la Vista Lateral se encontrará como un punto a la recta, la cual debe encontrarse separada de la línea de Referencia F 27

28 L (Frontal Lateral Derecha) con la separación que existe entre la línea de Referencia H F y la recta en la vista Horizontal ó Superior, ya que ocupan el mismo lugar en el espacio y se debe representar de la misma forma, como se observa en las figuras, tanto la Bidimensional como la Tridimensional. Figura 13. Línea Horizontal paralela a línea de Referencia en Espacio Geométrico o Horizontal Declinada: Esta recta se encuentra sobre el plano Horizontal, pero su posición no es paralela ni perpendicular a ninguna de las Líneas de Referencia que limitan el espacio geométrico, pues se encuentra con un ángulo de inclinación variable, sin que éste se presente con una pendiente, por lo tanto la inclinación solo se dará a nivel horizontal no en el vertical, porque su posición, para pertenecer a la condición de esta clasificación de recta, está ceñida por el descanso de ésta sobre un plano horizontal y es en éste que puede sufrir rotación ó giros, sin levantar alguna de las esquinas de la recta. Figura 14. Línea Horizontal Declinada en espacio Geométrico Al proyectar la recta sobre cada uno de las vistas del espacio geométrico se verá de la siguiente forma: en la vista Frontal la recta se encontrará paralela a la Línea de Referencia H F, la cual divide 28

29 las caras Superior y Frontal; esta proyección no mostrará a la recta en su dimensión real, ya que una de sus esquinas se encuentra más cercana al plano donde se halla el observador y la otra esquina está localizada a mayor distancia, por lo tanto no se encuentra paralela al observador. En la vista Lateral, la recta estará perpendicular a la Línea de Referencia que separa la vistas Frontal de la Lateral, y su dimensión tampoco será real debido a que la posición de la recta establece uno de los extremos de sus más lejos y el otro cercano al observador. Al ubicar los ojos del observador en la vista Superior, la recta no tendrá alguna relación de paralelismo ni de perpendicularidad con ninguna de las Líneas de Referencia, ya que se encuentra declinada, por lo que no forma un ángulo recto con ninguna de las Líneas de Referencia; en esta proyección la recta se muestra en su dimensión real, es en esta vista donde se puede ver la Verdadera Longitud de la misma y en la cual se puede medir su distancia, pues aunque su posición no conforme un ángulo recto con ninguno de los límites del espacio Geométrico, la recta está establecida sobre un plano Horizontal paralelo a la posición del Observador. o Horizontal de punta: La recta Horizontal de Punta se localiza sobre un plano Horizontal y forma con la Línea de Referencia H F, que separa la Vista Horizontal de la Frontal, un ángulo de 90, por lo tanto su relación con esta es de perpendicularidad. La característica de esta recta es que en la Vista Superior es vista como una línea transversal a la Línea de Referencia H F, en la vista Frontal se presenta como un punto y en la Lateral como una línea perpendicular a la Línea de Referencia F L, Línea de referencia Vertical. Esta posición permite que tanto en la Vista Superior como en la Lateral, la recta sea proyectada en su dimensión real, por lo tanto, que en estas se pueda ver en su Verdadera Longitud. La Vista Frontal la muestra como un punto, ya que la recta al encontrarse sobre el plano horizontal y de forma perpendicular al plano Frontal (formando un ángulo de 90 con éste), proyecta a la recta por uno de sus lados, por lo tanto el punto más cercano al observador va a ocultar el que se encuentra más lejano, ya que el observador se encuentra en una posición paralela al plano en el que se está proyectando y sólo es posible ver una de las caras de la recta. 29

30 Figura 15. Línea Horizontal de punta en Espacio Geométrico Inclinada: Las rectas inclinadas son las que se ubican en el espacio con alguna pendiente y por lo tanto forman con el plano Horizontal un ángulo diferente a 0 y 90, pero cuando son inclinadas cualesquiera con ninguno de los planos forman ángulos de 0 ó 90. o Frontal: La recta inclinada Frontal se encuentra sobre éste plano, el Frontal, ó uno paralelo a él, por lo tanto la pendiente que tiene ésta es con respecto a la Horizontal y está localizada sobre el plano Frontal ó uno paralelo a éste. Por lo tanto, es en la vista Frontal en la que la recta se va a proyectar con su verdadera dimensión, pues ésta se encuentra en un plano paralelo a la posición del observador, por lo tanto en la vista Frontal es en donde la recta está en Verdadera Longitud. En la vista Superior la recta está en falsa longitud, pues la inclinación de ésta es sobre el eje vertical, por lo tanto en una vista Horizontal no se proyectará como una línea inclinada, sino que parecerá ser una recta horizontal paralela a la línea de Referencia. En la vista Lateral se verá como una línea vertical y no se mostrará real. Figura 16. Línea Inclinada Frontal en Espacio Geométrico 30

31 o De Perfil: La recta de perfil se encuentra en el espacio Geométrico sobre un plano lateral ó uno paralelo a éste. Su verdadera Longitud es mostrada en una vista de Perfil, de allí su nombre, por lo tanto es en una vista Lateral en donde la recta se muestra en la posición real que ocupa en el espacio, allí se encuentra con la inclinación y la longitud verdadera. En la vista Superior la recta se muestra perpendicular a la Línea de Referencia H F y su dimensión no es la real, ya que la recta está inclinada en la Vertical, no sobre la Horizontal, por lo tanto en la vista superior se verá con menor longitud de la que tiene realmente. En la vista Frontal la recta se presenta como una vertical, perpendicular a la línea de Referencia H F, y debido a que la recta está inclinada en la vista lateral, en la frontal se verá reducida su dimensión, ya que uno de los puntos de la recta está más cercano al observador y el otro se localiza a una mayor distancia. En la Vista Lateral se puede observar con la inclinación real y por lo tanto con su Verdadera Longitud, debido a que el observador se localiza en una posición paralela a la ubicación de la recta. Figura 17. Línea Inclinada de Perfil en Espacio Geométrico o Cualesquiera: Esta recta es la que posee un ángulo diferente a 0 y 90 con todos los planos, por lo tanto no se verá en Verdadera Longitud en ninguna de las proyecciones principales del espacio Geométrico, ya que la posición de la recta en el espacio no se establece sobre un mismo plano, sino que inicia en un plano y termina en otro, por lo tanto, no es paralelo a ninguno de los planos principales del espacio Geométrico. Para ver sus Verdadera Longitud 31

32 se debe proceder a la realización de vistas Auxiliares, que en lecciones posteriores se explicarán. Figura 18. Línea Inclinada Cualesquiera en Espacio Geométrico Para concluir con la posición de las rectas en el espacio Geométrico se mostrará un volumen que contiene las 7 posiciones de las rectas. Figura 19. Isométrico contenido por las 7 posiciones de las rectas. Tabla 2. Identificación de Rectas en sólido Identificación de las Rectas Vertical Vertical 1,6 2,7 3,9 4,10 5,14 Paralela a la Línea de Referencia 1,2 4,5 6,8 11,12 13,14 Horizontal Declinada 2,3 7,9 De punta 1,5 3,4 8,10 11,14 12,13 Frontal 10,13 Inclinada De Perfil 6,11 Cualesquiera 8,12 32

33 En la siguiente tabla se mostrará un resumen de la posición de las rectas en el espacio y las características de las proyecciones en cada una de las tres vistas principales, indicando en qué vista se puede ver en Verdadera Longitud (VL), en cuál en Falsa Longitud (FL) y en dónde se ve como punto. Tabla 3. Resumen de Posición de rectas y sus características en proyecciones principales Tipo de Recta Plano de proyección VERTICAL HORIZONTAL INCLINADA Vertical Paralela a L.R. Declinada De punta Frontal De Perfil Cualesquiera SUPERIOR Punto VL VL VL FL FL FL FRONTAL VL VL FL Punto VL FL FL LATERAL VL Punto FL VL FL VL FL b) Clasificación de Planos: Así como las líneas, los planos también tienen diferentes posiciones en el espacio. Se entiende por plano a una superficie compuesta solo por dos dimensiones: ancho y alto (X - Y), no posee espesor. Este a superficie está limitada por dos líneas extendidas en el espacio y cortadas por otra; estas líneas pueden ser paralelas ó tener diferentes puntos no alineados. Se busca descubrir en el Plano la Verdadera Magnitud (VM) basada en las Verdaderas Longitudes de las líneas que lo componen y la forma real del plano, por lo tanto, sus ángulos correctos. El Plano se proyecta en Verdadera Magnitud cuando tiene una posición paralela al observador, por lo tanto debe verse como filo (como línea) en una proyección anterior, de esta forma se asegura el giro de 90 que tiene que realizar cada proyección, por lo tanto en la siguiente vista, si se encuentra la Línea de Referencia paralela a la posición del Observador, se podrá ver en su Verdadera Magnitud. Son siete las posiciones de los Planos en el espacio Geométrico. A diferencia de las rectas, los planos tienen una única posición Horizontal, tres verticales y tres inclinadas. En la siguiente tabla se mostrará en depurado, las tres vistas principales (Frontal, Superior y Lateral Derecha) y las proyecciones del plano en cada una de estas. 33

34 Tabla 4. Posición de los planos en el espacio, Sistema ISO A Vertical: A diferencia de las rectas, los planos presentan tres posiciones Verticales en el espacio Geométrico, debido a que el plano rota de forma perpendicular al plano Horizontal, estableciendo tres presentaciones características: cuando se localiza paralelamente al plano Frontal, cuando se encuentra de forma oblicua con respecto a las Líneas de Referencia y cuando se presenta de forma paralela a la proyección Lateral. Se debe tener en cuenta que las 3 variedades de esta posición, mantienen la perpendicularidad con la Horizontal, por lo tanto el plano gira sobre un eje que forma con la Horizontal un ángulo de 90. o Vertical Frontal: Este plano se encuentra en una proyección paralela a la vista Frontal, por lo tanto es en ésta vista donde se encuentra 34

35 en su verdadera Magnitud (VM), lo que quiere decir que se puede observar con su forma, área y ángulos reales. Figura 20. Plano Vertical Frontal en el espacio Geométrico o Vertical Vertical ó Vertical Declinado: Este plano no queda paralelo a ninguna de las vistas principales; en la proyección Horizontal se presenta como filo (como una línea), debido a que el plano gira sobre el eje vertical y se muestra de forma declinada en el Horizontal. En la Vista Frontal y en la Vista Lateral se muestran en Falsa Longitud, y en la Vista Horizontal como Filo. Figura 21. Plano Vertical Vertical ó Declinado en el espacio Geométrico o Vertical Lateral ó de Filo: El plano Lateral, como su nombre lo indica, se presenta en una posición paralela a la vista Lateral, por lo tanto se verá con su verdadera forma y ángulos en esta vista, indicando que las todas líneas que componen el plano están en Verdadera Longitud, lo que permite al plano mostrarse en Verdadera Magnitud. En la Vista Superior se verá como un Filo, al igual que en la Frontal, por lo tanto se verán como una línea. En la Vista Lateral se muestra como un plano, pues al estar en posición paralela a la proyección 35

36 Lateral, por lo tanto al Observador, se podrá ver en su Verdadera Magnitud. Figura 22. Plano Vertical Lateral ó de Filo en el espacio Geométrico Horizontal: El plano Horizontal tiene una posición única, que se puede definir como una posición paralela al agua en reposo. En la vista Frontal y Lateral se mostrará como un Filo con una posición perpendicular a la Línea de Referencia F - L, debido a que todos sus puntos se encuentran en un mismo nivel, un mismo plano: el plano es Horizontal. En la vista Superior se verá con su verdadera Magnitud. Figura 23. Plano Horizontal en el espacio Geométrico Inclinado: Este plano forma un ángulo diferente a 0 y 90 con respecto al plano Horizontal. Se pueden presentar tres posiciones diferentes de los planos en el espacio: cuando el plano tiene una inclinación hacia la frontal, cuando se inclina en la vista Lateral y cuando esté inclinado con respecto a todas las proyecciones. o Inclinado Paralelo a la línea de Referencia: En esta posición el plano se presenta inclinado hacia la vista Frontal, por lo tanto en esta vista se presenta en Falsa Magnitud, ya que uno ó varios puntos de los 36

37 que conforman el plano se encuentran en un plano cercano al observador y otros más separados del mismo, por esta razón el observador encontrará reducida el área del plano. En la vista Superior también se muestra en Falsa Magnitud. La proyección Lateral se presenta como un filo (como una línea) debido a que la inclinación tiene relación con la Frontal y ésta es paralela a la Línea de Referencia H F, permitiendo que en la proyección Lateral se oculten los puntos más lejanos del plano por los más cercanos al Observador, pues su posición es perpendicular a la ubicación Lateral del Observador. Figura 24. Plano Inclinado Frontal ó Paralelo a Línea de Referencia en el espacio Geométrico o Inclinado Cualesquiera: Este plano está inclinado con respecto a todas las vistas, por lo tanto está en Falsa Magnitud en todas las proyecciones principales. Figura 25. Plano Inclinado cualesquiera en el espacio Geométrico o Inclinado de Perfil: El plano que pertenece a esta posición, se inclina hacia la vista Lateral de forma paralela, en esta vista se verá en falsa Magnitud, al igual que en la vista Superior, pues su dimensiones son menores a las reales. En la vista Frontal se muestra como un filo, pues el plano está en una posición perpendicular a ésta. 37

38 Figura 26. Plano Inclinado de perfil ó de Filo en el espacio Geométrico A manera de conclusión se presentará un sólido que contiene los 7 planos descritos. Se enumeran los vértices para poder identificar en una tabla los planos que se referencian. En el sólido se realizan líneas ocultas (segmentadas de color rojo) las cuales se encuentran en un plano posterior y es oculto por los planos anteriores. Figura 27. Isométrico contenido con los 7 planos Tabla 5. Identificación de Planos Identificación de las Planos Horizontal Horizontal 1,2,3,4,5 11,12,15,16 12,13,14 Frontal 1,2,6,7 7,8,13 4,5,10,15,16 9,12,14 Vertical Vertical ó de Filo 3,4,9,10 8,9,14 1,5,6,11,16 7,12,13 Declinado 2,3,7,9 Frontal 6,7,11,12 Inclinada De Perfil 9,10,12,15 Cualesquiera 8,13,14 38

39 En la siguiente tabla se indican las características que presentan los planos en las proyecciones Vertical Frontal, Lateral y en la Horizontal. Para indicar la Verdadera Magnitud del plano se reducirá a VM y cuando se muestre en Falsa Magnitud se señalará con FM. Tabla 6. Resumen de Posición de planos y sus características en proyecciones principales Tipo de Recta Plano de proyección HORIZONTAL VERTICAL INCLINADO Horizontal Frontal De Perfil Vertical Frontal De Perfil Cualesquiera SUPERIOR VM FILO FILO FILO FM FM FM FRONTAL FILO VM FILO FM FM FILO FM LATERAL FILO FILO VM FM FILO FM FM Lección 19. Interpretación de Sólidos En las lecciones anteriores se hizo un acercamiento a la abstracción de las vistas a partir de un sólido, pero es en esta lección en la que se profundizará a través de ejercicios que favorecerán la comprensión espacial, por lo tanto, la ubicación de los planos en éste. Se inicia el proceso de aproximación a la comprensión espacial por medio del objeto, pues es factible que observando un cuerpo representado de forma tridimensional, sea más cómodo para el estudiante su configuración espacial y por lo tanto, su traducción a dos dimensiones. Para lograr adquirir habilidades visuales y destrezas manuales, se deben poner en práctica los consejos dados en Lecciones anteriores. Se debe realizar una detallada observación del objeto, analizar los ejes que se están manejando, la ubicación de las líneas en el espacio y su posición: vertical, horizontal ó inclinada, también deben clasificarse los planos y unirlos para conformar el objeto desde la lógica y no desde la representación visual que fomenta la perspectiva, la cual maneja puntos de fuga que no pueden ser aplicados en este tipo de dibujo: el dibujo Técnico empleado en la Geometría Descriptiva. Por lo tanto, la observación debe clasificar los planos que conforman el sólido, empezando por el plano inferior, sobre el cual se apoya el objeto, y se deben identificar las líneas que hacen parte de este plano, con ello se está definiendo la Línea de Tierra que indica una línea de contacto, la línea de suelo, línea de apoyo de todo objeto, pues aunque se esté dibujando con ángulos que provocan efectos visuales de deformación de los planos, se deben manejar continuidades espaciales a 39

40 través de la lógica de los ejes y coordenadas, entendiéndose con esto que las líneas paralelas a la coordenada X, va a ser una línea de tipo Horizontal; las líneas ubicadas sobre la coordenada Y y sus paralelas, son líneas Horizontales pero que se encuentran frente a una vista Lateral; y las líneas que se encuentren sobre la coordenada Z, señalan altura, y sus paralelas son líneas Verticales. Si alguna línea no es paralela a ninguna de estas tres coordenadas va a ser una línea inclinada, conformando un plano inclinado. Figura 28. Sólido Se tiene un sólido con formas variables que lo conforman, a éste se le señalan las líneas invisibles con el fin de clarificar la morfología real del objeto. Para esclarecer la verdadera forma del sólido, a continuación se inserta el volumen dentro de un prisma enmallado, con el cual se pueden observar las divisiones y espacios que ocupan las partes del sólido. Figura 29. Sólido dentro de prisma de malla transparente 40

41 Este mismo sólido es definido por colores que identifican los tipos de planos que lo conforman, señalando cada plano con un color que lo caracteriza. El color Verde señala el plano Vertical Frontal; El color Gris claro indica el plano Vertical Lateral; El color verde tierra identifica el plano Horizontal; El azul es el plano inclinado paralelo a la línea de referencia; el gris oscuro es un plano inclinado de perfil y el café es un inclinado cualesquiera. Los isométricos deben mostrar sus tres vistas principales y a partir de su ubicación en el espacio, se inicia la clasificación de los planos contenidos en el mismo. En este sólido se identifican 4 planos verticales Frontal que ocupan el espacio geométrico a diferentes profundidades, pero necesariamente paralelos (Plano anterior sobre la proyección Frontal, plano del volumen prismático, plano de la cuña y plano posterior); Se identifican 3 planos Horizontales, uno ubicado sobre la proyección Superior, a mayor distancia otro plano Horizontal y el plano de la base: el inferior; Hacen parte del plano Vertical Lateral 2 superficies, la que se puede observar de color gris claro y la que se encuentra en la vista lateral Izquierda; De los planos inclinados son únicos, por lo tanto solo se pueden identificar uno de cada tipo en este sólido. Figura 30. Sólido con planos identificados por colores Al abstraer mentalmente las vistas del sólido y comprender su morfología, se inicia su paso a dos dimensiones. Se trabajará en el Sistema de Representación ISO A (del tercer cuadrante), con tres vistas principales: Superior, Frontal y Lateral Derecha; Las vistas deben separarse por medio de dos líneas tipo K, llamadas líneas de Referencia, que debe cubrir la longitud de la vista principal, la Frontal, y extenderse un poco hacia las vistas Lateral y Superior. A esta disposición se le está añadiendo, como parte de esta explicación, 41

42 una malla que permite modular el sólido, sin que estas sean utilizadas al momento de su realización, sólo cumplen con la función de señalar con mayor claridad la posición de las vistas y cada uno de sus planos. Figura 31. Malla para vistas principales ISO A Cuando se defina el espacio que ocuparán las vistas, se inicia el proceso de proyección de estas, utilizando los códigos de líneas adecuados, teniendo en cuenta que todas las líneas que conforman el sólido son contorno, por lo tanto las vistas estarán compuestas por líneas tipo A. Figura 32. Vistas principales de sólido ISO A 42

43 Se realiza cada una de las proyecciones principales con el mismo tipo de línea, teniendo como base la malla. En la siguiente figura se identificarán los planos a partir de los colores dados en el sólido. Figura 33. Vistas principales de sólido con planos identificados por colores Para mayor claridad en la interpretación de los objetos es conveniente señalar los vértices identificando los puntos, ya sea con números o letras en minúscula, de esta manera se puede comprender de forma más simple la posición de las líneas y planos que componen el sólido en el espacio, pues debido a los ángulos que maneja el isométrico para revelar sus vistas principales, algunas líneas y planos pueden tender a presentarse de forma diferente frente al observador. El sólido que se está utilizando para el estudio de los planos y la abstracción de sus vistas puede presentar inconvenientes visuales, debido a que algunos de sus planos parecen ocupar de forma diferente el espacio y pueden confundirse con las rectas que están involucrados en otros tipos de planos. Es el caso del vértice 17 al cual llegan las líneas 17, 9 (Vertical), 17, 12 (Inclinada Lateral) y 17, 3 (Inclinada Frontal), parecen convertir el plano compuesto por los puntos 17, 3, 2, 9 en un plano Inclinado, cuando éste es Vertical Frontal, debido a la confusión que genera el encontrarse varias líneas en un mismo campos visual del sólido. Para evadir estas confusiones visuales se deben establecer ejes ó identificar las coordenadas, señalando mentalmente un prisma externo que limita el sólido. En el caso del sólido de este análisis, en la figura que se encuentra a continuación, se marca un prisma inicial sobre el cual se realizó un proceso de moldeamiento que terminó constituyéndose como el sólido que contiene varios planos y es base del análisis de esta lección. 43

44 Para la interpretación de un sólido se debe iniciar el análisis del mismo, a partir de los tipos de líneas y planos que lo conforman, también la demarcación de las unidades, los puntos que lo identifican y sus caras. Este sólido está compuesto por seis planos, cuenta con 20 puntos y la base morfológica es un prisma rectangular. Se empieza el descubrimiento de sus vistas, las cuales se van a realizar en el sistema ISO A, y se realizarán las tres vistas principales (Frontal, Superior y Lateral). Figura 34. Vistas y Sólidos con puntos En la interpretación de vistas es muy importante señalar las líneas ocultas, las cuales se encuentran detrás de un plano, por lo tanto el observador no las puede ver, pero se pueden percibir al conocer el sólido en su totalidad, y también se deben señalar los nombres de los puntos, iniciando por los números más cercanos al observador y separados por los más lejanos con una coma. Se mostrará paso a paso el proceso de creación de un sólido y la confusión que puede generar al final si no se mira la individualidad de los planos, sino dejándose llevar por la deformación de la perspectiva. A partir de un prisma cuadrado (Cubo) se inicia un proceso de moldeamiento, instalando en él elementos geométricos que permitirán transformarlo en un sólido conformado por diferentes planos. Cada plano se identificará con un color característico: Plano Vertical Frontal: Verde Plano vertical Lateral: Gris claro 44

45 Plano Vertical Vertical: Fucsia Plano Horizontal: Verde arena Inclinado paralelo a la Línea de Referencia: Azul Inclinado lateral ó de filo: Gris oscuro Inclinado Cualesquiera: Café Figura 35. Proceso 1: inclusión del primer elemento En estas primera figuras se puede observar la inclusión al espacio geométrico de un prisma rectangular conformado por tres planos: Horizontal, Vertical Frontal y Vertical Lateral. Figura 36. Proceso 2 y 3: Adición de dos elementos 45

46 En este proceso se observa la adición de dos elementos al volumen inicial; un prisma triangular con un plano inclinado paralelo a la línea de referencia y un volumen con un plano inclinado cualesquiera, a su vez estos son conformados por planos verticales laterales y uno de ellos también con uno vertical Frontal. Figura 37. Proceso 4 y 5: Adición de un elemento y extracción de uno existente Se adiciona un prisma triangular, también llamado cuña, con plano inclinado de filo, prisma que también está compuesto por el plano Vertical Frontal y Vertical de perfil, este último se localiza en el mismo plano ó espacio del primer volumen, el prisma rectangular, por lo tanto, las líneas verticales que separarían a estos dos prismas se eliminan, porque se localizan en un mismo plano espacial y estas líneas imaginarias son trazadas sólo cuando hay un cambio de nivel ó de profundidad en el espacio geométrico. La quinta intervención en el volumen no es una adición, es una sustracción de un volumen existente, del prisma rectangular, al cual se le extrae una parte en forma diagonal, visto desde la Horizontal, y completamente Vertical, por lo tanto es un plano Vertical Vertical. Al ver el resultado final del proceso realizado, algunos de sus planos son confusos debido a la forma en que se representa un dibujo tridimensional, pero si el observador se detiene a identificar cada una de las líneas y planos que lo conforman e inicia un barrido de identificación de las relaciones espaciales existentes en éste (paralelismo, perpendicularidad, intersecciones), logrará abstraer mentalmente la morfología real del sólido y podrá plasmarlo en dos dimensiones con mayor facilidad. 46

47 Lección 20. Interpretación de Vistas Al haber aprendido a identificar los planos y líneas que conforman un sólido, se procede a trabajar de forma inversa. A partir de las vistas principales, ya sean 3 vistas dadas ó dos, se debe interpretar el sólido. El resultado de esta abstracción conlleva a un mejor manejo de la caracterización de las formas espaciales y su correcto dibujo. Las líneas intangibles con las que se representa un sólido son límites físicos existentes, que en el dibujo se representa a través de la línea. Esta a su vez también permite señalar los cambios de profundidades y asimismo los cambios de direcciones, a lo cual se le ha identificado como tipos de planos (posición de planos). A continuación se procederá a señalar en las vistas principales las formas que van a hacer parte de un proceso de moldeamiento, como se hizo en la lección anterior, pero esta vez desde la vista hacia el sólido. Figura 38. Proceso 1 y 2: posición del primer y segundo volumen En estos dos primeros pasos del proceso se inserta un volumen que se proyecta de forma rectangular en la vista Frontal y la Superior, y en la Vista Lateral como un cuadrado. Al seguir la descripción se puede identificar que en la vista Superior el rectángulo ocupa una posición posterior de la malla guía y en la vista Lateral se localiza en la zona inferior derecha de la malla. En el segundo paso se puede observar la adición de un volumen de forma cuadrada en la vista Frontal y Superior, pero en la Lateral éste se presenta como un triángulo. En la Vista Frontal y Lateral se puede observar que éste nuevo volumen está 47

48 sobrepuesto en el existente. En la vista Superior se ve un rectángulo divido en dos cuadrados. Se debe analizar que en las tres vistas la adición del segundo volumen no ha eliminado las líneas del rectángulo inicial, lo que indica que o son planos diferentes los que se están realizando ó que se encuentran a diferentes profundidades. Figura 39. Proceso 3 y 4: Adición del tercer y cuarto volumen En el tercer paso se adiciona un tercer elemento, el cual en la vista Frontal se muestra como un triángulo con la inclinación a nivel vertical, en la Superior como un triángulo con la inclinación a nivel horizontal y en la Lateral como un triángulo con la inclinación a nivel vertical también; esto indica que este volumen está inclinado en todas las caras. La cuarta adición es un volumen que en la vista Frontal se muestra como un triángulo con inclinación a nivel vertical, en la vista Superior se percibe como un cuadrado y en la Lateral como un rectángulo. La posición de estos dos últimos volumenes es anterior a los primeros, por lo tanto, se encuentran mas cerca del observador. Figura 40. Proceso 5: Adición del quinto elemento 48

49 Este quinto paso solo se percibe en la vista Superior, siendo una intervención al volumen incial: el rectángulo, y debido a que mantiene los mismo puntos del elemento inicial, no se observa cambio alguno en las otras dos vistas, pues al parecer es un elemento vertical, ya que no se ve en la vista Lateral con alguna inclinación. El proceso de este solido es el inverso al de la lección anterior, pero es el mismo sólido el cual se está representando. A continuación se volverá a colocar la imagen para su análisis y comparación con sus vistas. Figura 41. Vistas principales en ISO A y sólido Como se puede observar, la cuña que se ubica sobre el prima rectangular se muestra como un cuadrado tanto en la vista Superior como en la Frontal, esto debido a que el observador no logra diferenciar las distancias real existente entre él y los puntos del volumen, por esta razón en estas dos vistas el plano inclinado paralelo a la Línea de Referencia se muestra en Falsa Magnitud, porque su área no es la verdadera, es reducida, en la vista Frontal a su altura y en la Vista Superior a su profundidad. La vista Lateral revelaba la forma real de este elemento, porque es en esta donde se muestra que en un perfil es un triángulo. El prisma rectangular se podía ver como un rectángulo en la Vista Superior y Frontal, su posición era inferior y posterior lo que indica la localización dentro del volumen final. La vista lateral de este prisma era cuadrada, con esta vista se determina que este es un elemento básico, que no puede ser un triángulo porque se vería reflejado en esta vista y que no puede ser circular pues en esta vista se tendría que revelar, es entonces como entre las tres vistas principales se van revelando las formas reales de los objetos, debido a que cada una de ellas muestra la posición en el espacio, las características de los planos en el espacio y la morfología de los mismos. Muestran las tres 49

50 coordenadas en lsa tres vistas: En la Frontal se identifican el ancho y la altura de un elemento, en la Superior la profundidad y el ancho, y en la Lateral la profundidad y la altura del objeto. Estas tres vistas se complementan, se deben trabajar en conjunto para lograr interpretar un objeto. 50

51 CAPÍTULO 5. PROYECTIVA II En esta segunda parte de la Proyectiva se procederá a aplicar los conceptos aprendidos a elementos reales, adicional a ello se profundizará en las normativas y sus conceptos serán utilizados en los dibujos que se realizarán en este capítulo, los cuales son la base para la presentación de cualquier proyecto. También se presentarán las bases investigativas para dar inicio al trabajo final de esta asignatura, en el cual se deberán aplicar todos los conceptos aprendidos. Lección 21. Acotado y Escalas El Acotado en un dibujo es el dimensionamiento ó medidas de una edificación, objeto o máquina, la cual está representada de forma proporcional (escalado). Se pueden encontrar varios tipos de dimensionamiento y la utilización de estos depende de la precisión y tolerancia de las medidas, el espacio disponible para su señalamiento y la escala en la que se representará. La tolerancia depende del tamaño de un elemento y de la precisión requerida para su funcionalidad, es la variación que pueda tener una medida, ya sea por el aumento o disminución de decimales en su medida real, pues al disminuir decimales en el señalamiento de una cota, también se estará reduciendo la exactitud de la medida; en algunos elementos no es de gran importancia la incorporación de cierta cantidad de decimales al dibujo, pero cuando en el dibujo se realizan elementos de tamaños reducidos, estos requieren una mayor precisión, por estas razones existen varios tipos de acotado. Se debe tener en cuenta que para acotar un elemento, el texto de la cota debe estar dispuesto de forma clara, en una posición de lectura que siga el criterio de lectura: de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. La letra del valor de la cota no debe llevarse la atención del dibujo, deber ser visible, pero no debe perturbar la comprensión de la representación. El texto de la cota debe tener proporción con el tamaño de los textos de referencia que pueda tener el dibujo, si hubiese varios niveles de textos, el tamaño del valor de la cota debe coincidir con el de un nivel menor, sin perder la visibilidad. El texto de la cota deberá mantener su tamaño aunque se varíen las escalas de los elementos allí representados, lo que quiere decir que si un dibujo se está representando en un plano a escala 1:100 y a en el mismo plano aparece un detalle a escala 1:5, deben mantener el tamaño del texto, no debe sufrir ninguna alteración, ni proporcional, ni de estilo. Las 51

52 terminaciones de las cotas también deben mantener una proporción con el dibujo y con el texto de la cota. Las partes ó elementos de la cota son los siguientes: Figura 42. Elementos de la Cota Dimensionamiento en cadena: Es utilizado cuando la acumulación de tolerancias no interfiere con el resultado y con la funcionalidad del elemento representado. Este tipo de acotado es usado en las edificaciones y elementos a los cuales no se les limita su funcionalidad por la disminución de algunos decimales, por lo tanto, en su mayoría es empleado para elementos de gran tamaño. La representación de este dimensionamiento se realiza de forma continua, estableciendo ejes de medidas paralelos a las aristas del dibujo, en ningún caso podrán situarse sobre alguna de estas y debe evitarse localizarlas al interior del dibujo. Figura 43. Dimensionamiento en cadena 52

53 Dimensionamiento desde una característica común: Es utilizado para dimensionar un objeto que posee un punto común, por lo tanto todas sus medidas tienen origen en el mismo punto y el señalamiento de las medidas se realiza de forma paralela, distribuyendo las medidas de menor a mayor según las cercanía al objeto para evitar cruce de líneas y confusiones. Este tipo de dimensionamiento proporciona mayor exactitud en las medidas y es aplicado a los levantamientos de edificaciones y también para los elementos que no son de gran precisión, pero tienen coincidencia en un punto común. El proceso para acotar un elemento con este tipo de dimensionamiento es, como primer paso, localizar un punto de referencia común para la toma de las medidas, este punto debe estar ubicado en un extremo del objeto para que de éste lugar puedan generarse todas medidas. De forma paralela al segmento a referenciar se localizará la primera cota y seguidamente, desde el mismo punto donde se originó esta medida, se iniciará la definición de la siguiente dimensión, ubicando la línea de cota a mayor distanciamiento del elemento y de forma paralela a la cota anterior. De esta forma se tomarán las medidas que manejen una misma dirección y un punto común. El resultado de este acotamiento es la obtención de una cota final que señale la dimensión total del elemento acotado. El inconveniente de este tipo de acotado es el espacio ocupado por el señalamiento de las cotas en paralelo. Figura 44. Dimensionamiento en paralelo desde una característica común En la Figura anterior se está acotando de forma paralela desde un punto común un objeto constituido por varios elementos, se puede observar que las cotas coinciden en un punto común, el cual es el inicio de todas las medidas establecidas en cada 53

54 una de las dos direcciones de acotamiento, pero debido al gran espacio que pueden ocupar la indicación de todas las medidas de un objeto, se ha creado paralelamente a este tipo de acotado con medidas sobrepuestas, el cual mantiene el punto de referencia, pero a diferencia del acotado que se acaba de describir, solo se realiza una línea de cota y con un círculo en la parte inicial del acotamiento se señala que todas las cotas parten de este punto, también la terminación de las cotas se realiza con un flecha y de forma perpendicular a la terminación se indicará la medida, ó también se podrá señalar de forma paralela a la línea de cota, pero no se situará de forma centrada, sino alineada a la finalización de cada medida. Figura 45. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota perpendicular 1 Figura 46. Dimensionamiento desde una característica común con valor de cota cerca a cabezas de flecha 2 Esta variación de este tipo de dimensionamiento debe realizarse siguiendo las particularidades descritas para evitar confusiones, por lo tanto se debe señalar el punto común con un círculo en la línea de cota y junto a éste el valor de la cota, el cual es cero; para las cotas siguientes se debe señalar el valor de la cota en el segmento cercano a la cabeza de flecha que señala la finalización del fragmento al que se está haciendo referencia. 1 ICONTEC. NTC Bogotá: Instituto Colombiano de Normas Técnicas y certificación (ICONTEC), 1996, p Ibid., p

55 Dimensionamiento por Coordenadas: Este dimensionamiento es útil para la realización de levantamientos topográficos ó señalamiento de puntos distantes, debido a que maneja una tabulación para cada coordenada, dando precisión de la localización de los puntos según las coordenadas X e Y, estableciendo el punto exacto de ubicación, sin necesidad de recurrir al acotamiento de cada punto, dimensionamiento en serie, ni tampoco al dimensionamiento desde un punto común, los cuales pueden convertir la identificación de cada punto en un proceso complejo. Figura 47. Dimensionamiento por Coordenadas con tabla de Tabulación 3 En la figura anterior se tiene un objeto con diferentes perforaciones, localizado en variados puntos del elemento, adicional a ello, cada perforación tiene una característica dimensional diferente. Para que la representación gráfica de este elemento no se torne confusa, se recurre a este tipo de acotado, el cual señala cada perforación con un número que lo identifica y se realiza un tabla en la cual se ubican los puntos señalados en el dibujo, la localización de cada uno de estos vanos en las coordenadas X e Y, y el diámetro de los agujeros. Es importante que en el dibujo se señale el origen de las coordenadas, como se puede ver en la figura anterior, en la cual se establece el punto cero y con las flechas se origen se genera la dirección de las medidas en las coordenadas allí estipuladas. 3 ICONTEC. Op. Cit., p

56 Cuando se tiene un terreno con puntos arbitrarios, se puede realizar un señalamiento de coordenadas con una cuadrícula mental, identificando en cada punto la medida correspondiente a cada coordenada, dependiendo de la medida generada al realizar el levantamiento topográfico. Figura 48. Dimensionamiento por Coordenadas con puntos arbitrarios 4 Dimensionamiento combinado: Cuando sea necesario puede recurrirse a mezclar los tipos de dimensionamiento, por lo tanto se pueden utilizar el dimensionamiento en cadena y desde un punto común, esto con el fin de dar claridad al dibujo. Figura 49. Dimensionamiento Combinado 4 ICONTEC. Op. Cit., p

57 En la figura anterior se mezclaron los dos tipos de dimensionamiento y se tomó como punto común el eje central del elemento al cual se está acotando, pero como el punto común no se encuentra en un extremo se acota en dos direcciones: hacia la izquierda y hacia la derecha, desde el mismo punto común, pero este punto también puede variar debido a que han tomado direcciones diferentes. Al finalizar el acotamiento con punto común se señala una cota general con el dimensionamiento de cadena. Cuando existe un objeto que contenga elementos que se repitan simétricamente ó de forma equidistante, se pueden prescindir del dimensionamiento de cada uno de ellos y simplificar el acotado señalando uno de estos, y a los demás elementos idénticos se les podrá realizar una cota general y una anotación de las repeticiones del elemento y su dimensión individual, si fuera necesario. Figura 50. Acotado de elementos equidistantes También puede utilizarse la simplificación de los elementos repetidos para señalar características de medidas o materialidad. Figura 51. Acotado de elementos con las mismas características 57

58 Al realizar el acotado es de gran importancia tener en cuenta la escala en la cual va a ser presentado el dibujo. Para ello es necesario tener en cuenta los siguientes criterios: Analizar el tamaño del elemento u objeto que va a ser representado, los detalles que éste puede suministrar ó si solo se van a presentar elementos generales. Tamaño y cercanía de elementos. Claridad de elementos que hacen parte de un todo. Cuando se tiene en cuenta qué es lo que se desea mostrar en una representación, se debe empezar a traducir a la implementación de la escala a utilizar. La representación de plantas generales, normalmente se realiza a una escala 1:50, 1:100 ó 1:200, depende de su tamaño. Elementos que hacen parte de una estructura general, pero que se desean extraer del todo, se puede representar a una escala de 1:25. Cuando son acercamientos de elementos de reducido tamaño como son las piezas, se pueden dibujar a escala 1:10, 1:12.5 ó 1:5, dependiendo del detalle al cual se quiera llegar. Figura 52. Elemento extraído de un plano general a escala 1:25 y detalles a escala 1:12.5 Se deben tener las diferentes escalas en un mismo juego de planos, pero el tamaño del texto y los elementos de la cota deben coincidir en su tamaño, y las medidas que se señalen deben ser las verdaderas, las del objeto real. Si un objeto tiene 10 mts y en el dibujo estos 10 mts se ven reducidos a una medida real de 10 cms, se debe traducir la medida según la escala e indicar la medida del objeto en su realidad, por lo tanto, la cota debe indicar los 10 mts del objeto real, no se señalará la medida del objeto representado, 58

59 del objeto escalado, sino que el dibujo permitirá ver en un tamaño menor ó mayor al tamaño real de un objeto, según sea el caso, pero que le brinda todo el dimensionamiento necesario para poder trabajar a partir de este. Figura 53. Relación proporcional de la Escala En la figura anterior se está realizando el objeto real y su representación; presentan una relación proporcional y su geometría se mantiene intacta. La intervención de la escala es buscar que el dibujo se muestre a un tamaño adecuado, ya sea ampliando o reduciendo el objeto en la representación. En esta figura se está representado un objeto que tiene una relación de 1 : 2, en donde 1 corresponde a la realidad y el 2, las veces que se ha reducido o aumentado en el dibujo esa realidad, en este caso como es 1 : 2 se ha reducido dos veces, por lo tanto una unidad en el dibujo corresponde a dos unidades del objeto real, lo que quiere decir que si un objeto real tiene 2 cms de altura, en el dibujo se dibujará 1 cm, pues su relación es de 1 : 2. Existe una manera fácil de obtener las medidas en la escala correspondiente: Medida Realidad = 1 = 9.25 m = mt = 9.25 cms = Escala 1 : 100 Escala La anterior fórmula puede utilizarse con cualquiera de las escalas de reducción (1 : X), pues en las de ampliación (Y : 1), la posición en la forma de nombrar fue diferente y por lo tanto también es diferente la posición de las unidades en la fórmula, por lo tanto es la unidad de la escala la que debe colocarse sobre la unidad de la realidad: Escala = 10 = 10 = 125 cms = Escala 5 : 1 Medida Realidad 1 8 cms 59

60 Tabla 7. Escalas y su relación matemática Escalas y su relación Matemática Escala Equivalente Planos de aplicación 1 : cm = 2000 cm = 20 mts Planos Generales 1 : cm = 500 cm = 5 mts Localización General 1 : cm = 200 cm = 2 mts Plantas de grandes dimensiones 1 : cm = 100 cm = 1 mt Planta de edificación ó lote 1 : 50 1 cm = 50 cm = 0.5 mt Cortes y plantas de objetos 1 : 20 1 cm = 20 cm = 0.2 mt Elementos ó piezas generales 1 : 10 1 cm = 10 cm = 0.1 mt Cortes de elementos ó piezas 1 : 5 1 cm = 5 cm = 0.05 mt Detalles constructivos 1 : 2 1 cm = 2 cm = 0.02 mt Detalles de uniones, de taller Lección 22. Secciones Las secciones son utilizadas para observar el interior de un objeto, edificación ó elemento; Esta vista es generada a través de planos de corte que traspasan al objeto y lo parten en dos, un plano anterior al corte y uno posterior. Las secciones se pueden realizar en un plano Horizontal ó vertical, por lo tanto las plantas son secciones de un plano Horizontal. Figura 54. Plano de corte y sección obtenida 60

61 En la anterior figura se puede observar un objeto que está siendo atravesado por un plano cortante, el cual representa la línea del recorrido de la sección que en este caso es Vertical; la figura se divide en dos partes, una anterior y otra posterior, la sección que se escoge para ser dibujada es la que se encuentra achurada, debido a la posición del observador, el cual señala que está en una posición anterior y dirige su mirada a una posición posterior del plano cortante. Se dibujará en la sección todo lo que se encuentre sobre el plano cortante ó que sea visible desde el área de corte, por lo tanto, que no haya ningún plano que interrumpa la representación de algún elemento posterior al plano cortante. Las secciones ó también llamados cortes, pueden ser totales ó parciales, depende de lo que se desee mostrar ó aclarar. Figura 55. Sección en planta y Alzado En la anterior figura se está representando un detalle de un elemento que es tomado de un plano general y abstraído de este para señalar sus dimensiones, materialidad y características. Se realiza una sección en planta y a partir de ésta se indica una sección en alzado. En la sección en alzado se está cortando el tubo hueco (el de color verde), la 61

62 platina (color azul) y el pedestal donde se van a posar (color cían); Los anclajes se encuentran en un plano posterior al que indica el corte 1.1 pero son visibles porque no existen ningún otro elemento anterior que los obstruya ó impida verlos. El siguiente corte es de un terreno y se hace necesario representarlo para señalar la existencia del Talud en el mismo, la inclinación y también puede señalarse el tipo de terreno, las dimensiones, ángulo de inclinación y/ó pendiente que este posea. Figura 56. Corte de Terreno 5 Con el uso de las secciones se puede tener acceso al interior del objeto y según su escala de representación, hasta su materialidad, espesor y detalles que no son posibles observar cuando se está representando un elemento desde el exterior. Se realizan los cortes cuando se necesite señalar los compartimentos internos, los elementos que conforman un objeto ó las secciones que se puedan encontrar en el interior de un objeto y que no puedan ser percibidas desde una vista exterior. Los cortes ó secciones deben indicar las dimensiones que mejor representen; en el caso de una sección Vertical, estará cortando los elementos Horizontales, por lo tanto las mejores medidas que puede señalar este tipo de sección son las que tienen características de Verticalidad. Las Secciones Horizontales cortan los elementos Verticales, en este caso se deben señalar las dimensiones Horizontales. Para los cortes es importante tener en cuenta las intensidades de las líneas y los achurados de los elementos, ya que no todos los elementos los estará cortando el plano cortante y tampoco todos se encontrarán sobre el mismo plano. Los elementos a achurar son sólo los que se localicen en el plano cortante, por lo tanto, elementos que se estén cortando por el efecto imaginario del traspaso del plano cortante. La intensidad de línea de los elementos cortados por el plano cortante, será de mayor grosor debido a que se 5 SENA. Construcción de casas Sismorresistentes de uno y dos pisos. Cimentaciones y Desagües. SENA, P

63 encuentran a mayor cercanía del observador y los elementos que se vayan alejando del observador, se les disminuirá la intensidad de la línea. Lección 23. Proyecciones Auxiliares Las vistas Auxiliares son proyecciones diferentes a las principales, por lo tanto el observador se podrá ubicar desde cualquier otro punto visual alrededor del objeto y con un ángulo cualquiera, resultando de estas posiciones infinitos puntos de vista que adicionarán información al objeto. Las vistas Auxiliares son utilizadas para obtener la forma real de un objeto, analizar uniones de elementos, detalles constructivos ó analizar las relaciones espaciales de los elementos. Las vistas principales de un objeto señalan medidas referentes al ancho, alto y espesor, pero debido a que todas las formas que se encuentran en un objeto no pertenecen solo a estas tres coordenadas, sino que pueden encontrarse entre dos ó tres coordenadas, se hace necesario recurrir a las vistas auxiliares para determinar sus medidas reales. En la siguiente figura se tiene un objeto representado de forma axonométrica y se identifican cada una de sus proyecciones con un color diferente. Adyacente al isométrico se establecen las medidas que representan las vistas principales, las cuales se encuentran organizadas arbitrariamente. Figura 57. Isométrico y coordenadas en vistas X = Ancho Y = Alejamiento Profundidad Z = Altura 63

64 Debido a que la posición del observador con respecto a cada una de las vistas principales es paralela al plano de representación de su proyección, cuando se hallan planos inclinados en alguna de sus vistas, éstos no se percibirán en un plano localizado paralelo a éste, sino que serán identificados en un plano perpendicular a éste, pues se mostrará la inclinación que posee. En la siguiente figura se señala la posición del observador con respecto a cada una de las tres vistas principales y se revela la imagen que se obtendrá del plano inclinado desde la vista Superior, vista en la cual se encuentran localizados los planos inclinados del objeto. En la vista Superior se puede observar una línea de color magenta que indica la longitud real de una arista que compone el plano inclinado; a través de una proyección perpendicular a la vista Superior se proyecta el inicio y el final de la línea inclinada para colocarla en una posición paralela al plano Superior, dando como resultado una línea, representada de color amarillo, de menor dimensión a la real debido a que el plano principal, en este caso Horizontal, no tendrá en cuenta la inclinación del plano, sino que tomará como longitud y forma la proyección del inicio y final del plano representado, estableciéndolo en una posición paralela a la vista que se está representando, en este caso la superior. Figura 58. Posición de Observador con respecto a la vista 64

65 La dimensión del plano inclinado y las líneas que lo conforman son reducidas, debido a que la proyección a la cual se está representando, no es paralela a los planos que la conforman. En la siguiente figura se mostrará el objeto con el cual se está trabajando en esta lección (casa con cubierta a dos aguas) de forma depurada, lo que significa que se desplegarán cada una de sus vistas principales y se localizarán en un mismo plano, permitiendo que se visualicen en dos dimensiones, pues todas sus vistas (en este caso las tres principales) deben localizarse en un mismo plano. En el caso de la siguiente figura, se está tomando como referencia la vista Frontal y a partir de ésta se van a desplegar las otras dos vistas principales (Superior y Lateral Derecha). Debido a que la vista Superior está compuesta por dos planos inclinados (cubierta a dos aguas), el giro de esta vista no va a completar los 90 que son necesario realizar para la visualización real de las vistas, por esta razón sus planos no se podrán observar con las dimensiones reales, pues para poder establecerse en el mismo plano en el cual se encuentran las vistas Frontal y Lateral Derecha, no puede girar los 90 que gira la vista Latetal Derecha, la cual si se puede observar en Verdadera Magnitud, ya que su posición es paralela al plano de representación. Figura 59. Vista Frontal en Depurado Se debe buscar entonces que los planos inclinados, localizados en la vista Superior, giren 90 para poder obtener su Verdadera Magnitud. Se trabajará entonces a partir de la vista Lateral, la cual posee las aristas reales de la inclinación de los planos de la proyección Superior. A partir de esta vista se buscará establecer las otras dos vistas en un mismo plano y observarlas en su Verdadera Magnitud. Se tiene entonces como vista común a la Proyección Lateral Derecha, a partir de ésta se desplegarán las otras dos vistas que hacen parte de las vistas principales. La proyección Frontal gira 90 y queda con su Verdadera Magnitud y sobre el mismo plano que se ubica la vista Lateral Derecha; la Vista superior, 65

66 debido a que la vista Lateral Derecha no está compuesta por una sola línea en el costado adyacente a la proyección Superior, se fragmentará en dos planos desplegados desde las aristas que proyecta la vista lateral derecha. Estos planos se mostrarán en verdadera Magnitud, ya que están girando los 90 necesario para encontrarse de forma paralela al plano de proyección y para localizarse sobre el mismo plano en que se están proyectando las otras dos vistas principales. Figura 60. Vista Lateral en Depurado Por lo tanto, se debe buscar que cada una de las vistas gire los 90 necesarios, para poder verlas en Verdadera Magnitud, esto se consigue a partir del análisis de las líneas y planos que conforman el objeto que se está representando. En este caso, las líneas que conforman el plano Superior son líneas inclinadas de perfil, por lo tanto, en la vista Frontal y en la Superior se van a mostrar en Falsa longitud, pero en la vista Lateral se mostrarán en verdadera Longitud, lo que quiere decir que es a partir de esta vista que se puede obtener la verdadera forma de los planos que conforman la Proyección Superior, pues también, al integrar las líneas y conformar el plano, éste se encuentra en una posición paralela a la línea de referencia y se muestra como filo en la vista lateral; indica que su posición con respecto a la proyección Lateral es completamente perpendicular, por lo tanto al girar hacia la vista lateral, tendrá que desplazarse 90 hacia esta proyección, pues para ser perpendicular a la vista, debe enconetrarse con relación a la Vista Lateral a 90, y cómo descubrir que es compeltamente perpendicular a la proyección lateral: pues en el depurado se puede observar que en la vista lateral sólo se muestran dos inclinaciones, como si el plano superior estuviera conformado por dos líneas inclinadas; con lo cual se puede descubrir que las líneas que conforman el plano superior están de forma perpendicular a éste plano, pues para que el punto mas cercano al observador oculte el 66

67 punto más lejano de la línea que hace parte del plano inclinado, es necesario que cumpla con este requisito. Figura 61. Isométrico base para ejercicio Las vistas auxiliares son proyecciones adyacentes, las cuales mantienen una vista común para no perder contacto entre ellas. En las vista de depurado, que se ponían como ejemplo en las figuras anteriores, la vista común, en la primera representación de depurado era la Frontal, y en la segunda representación era la Vista Lateral Derecha, pues es a través de estas que las otras dos vistas se pueden relacionar, porque no existe contacto directo entre estas al realizar el depurado ó al realizar su representación en dos dimensiones, solo es a través de la vista común que puede obtenerse una continuidad espacial. Para la realización de las vistas auxiliares se requiere una posición cualquiera del observador, la cual se señalará con la definición de la línea de Referencia, ésta se colocará de forma perpendicular a la proyección visual del observador. Comúnmente se inicia el proceso de vistas auxiliares a partir de dos principales, ya sean Frontal y Superior ó Frontal y Lateral Derecha. En el ejercicio que se va a realizar como 67

68 ejemplo en esta lección se tomarán las vistas Superior y Frontal como las proyecciones iniciales. A partir del isométrico representado se obtienen las proyecciones. En la vista Frontal se encuentra el plano Vertical Frontal y el plano inclinado paralelo a la línea de Referencia de la cubierta. Para mayor claridad en cada vértice se señalarán los puntos que indican las vistas, puntos que se localizaron en el isométrico. Al dibujar la vista Frontal se deben trazar las líneas de construcción ó de proyección, las cuales se indicarán de forma perpendicular a la Línea de Referencia H F; con estas líneas se podrán obtener los límites Laterales de la vista Superior, ya que la vista Frontal tiene relación con la Horizontal sólo con las medidas que hacen referencia a la coordenada X, por lo tanto, al ancho. La profundidad de la vista Superior solo se podrá definir tomando como referencia el isométrico, ó si existiera la vista Lateral, a partir de la profundidad de esta. En este caso, las medidas se tomaron del isométrico y de forma proporcional se realizaron las proyecciones. Se debe tener en cuenta que para la realización de la vista Superior, la medida que se toma para la profundidad de la misma es la longitud que forma la arista imaginaria que va desde los puntos 6 al 7; no debe tenerse en cuenta la medida real de las aristas 6, 10 ó 10, 7 ó 5,9 ó 9, 8, esto debido a que estos planos no son paralelos a la proyección superior y por lo tanto no se verán con su verdadera forma, sino como la proyección de sus puntos a través de la perpendicular de cada uno de éstos hacia la proyección Superior, por lo tanto se reducirá en la medida que se elimine la inclinación. Figura 62. Vistas Frontal y Superior de isométrico en el Sistema ISO A y localización de observador 68

69 El observador se encuentra en una posición, con referencia al objeto, de 45, por lo tanto se debe trazar la Línea de Referencia de forma perpendicular a la línea de proyección visual del observador, indicada en la figura con la Flecha. La Línea de Referencia, de color magenta, se establece con una longitud adecuada para que las líneas de construcción se localicen dentro de ésta. El tipo de Línea de la Línea de Referencia debe ser tipo K y su grosor debe ser capaz de hacer ver en el dibujo los límites de las vistas. Las líneas de construcción ó de proyección, están identificadas con color amarillo, deben trazarse desde cada punto de la proyección anterior a la Auxiliar (en este ejemplo, la proyección anterior es la Horizontal) y de forma perpendicular a la Línea de referencia extenderse hasta la vista Auxiliar (en este caso es identificada con la letra mayúscula W). Figura 63. Trazo de Línea de Referencia e indicación de líneas de proyección de cada punto del objeto Para armar la vista auxiliar se debe trabajar tanto con la vista anterior (H) como con la adyacente a la común (F). La vista adyacente a la común servirá de apoyo con las medidas, lo que significa que es de la Frontal, en este caso, las medidas que se van a tomar para trasportarlas a la vista auxiliar y crear la vista que pertenece a esta proyección. Estas medidas se toman debido a que la vista auxiliar que se está creando tiene relación con la 69

70 proyección anterior (H) sólo para la localización de los puntos, pero para determinar el distanciamiento de estos, se debe recurrir a la proyección adyacente a la común (F), porque es en ésta en donde se encontrarán las medidas de la coordenada que se necesitan para trazar la segunda parte de las medidas de una vista. Una vista está compuesta por dos medidas, una de esas medidas es ofrecida por la proyección anterior (H) de la cual surge la posición horizontal de los puntos, pero se necesita otra medida para poder establecer la vista, es por ello que se recurre a la vista Frontal para tomar el distanciamiento del objeto con respecto a la Línea de Referencia Común (H - F). También se puede explicar de la siguiente forma: si generamos de la proyección en dos dimensiones, nuevamente un cubo que represente el espacio geométrico, se podrá observar que la vista anterior, por lo tanto la Horizontal, queda en la parte superior del cubo; la vista Frontal queda en un plano anterior Vertical, y el plano auxiliar W se va a localizar de forma vertical declinada, en un plano adyacente al plano Posterior y Lateral, y sólo podrá tener relación con el plano Frontal a través del plano Horizontal que se une con estas dos vistas por medio de las aristas que los separan, aristas identificadas como Líneas de Referencia. Debido a que tanto la Vista Frontal como la auxiliar W tienen en común las medidas verticales, éstas son pasadas a la vista auxiliar, y es a través de la vista común H que se pueden conectar y mantener el distanciamiento Horizontal de los puntos. Las medidas tomadas entonces, para decirlo de otra forma, son las localizadas en la tercera distancia, contada desde la proyección Horizontal en la relación que tiene la vista con la Línea de Referencia de la vista Auxiliar. La segunda medida es la distancia de la vista Horizontal con la Línea de referencia de la Frontal. La tercera medida es la de la Línea de Referencia H F con la vista Frontal, y es ésta medida la que debe ser tomada para localizar los puntos en la vista auxiliar. Sobre cada línea de construcción ó proyección se deben localizar las distancias tomadas desde la tercera distancia, entendiendo que cada línea de proyección viene desde un punto específico, lo que quiere decir es que si la línea de construcción sale del punto 4, la medida que se va a localizar sobre esta línea debe ser la del punto 4, la cual fue tomada de la tercera distancia con relación al punto 4, de la proyección Frontal en este caso, y teniendo en cuenta que las medidas a pasar deben tomarse de la tercera distancia, establecida desde la Línea de Referencia H F (en este caso), individualmente, hasta cada punto de la vista Frontal; estas medidas son pasadas a la Auxiliar desde la Línea de Referencia H W (en este caso) hasta donde marque la medida abstraida de la tercera distancia y sobre la línea correspondiente al punto a pasar. En el ejemplo que se está desarrollando, debido a que las aristas 9,10; 5,8 con 6,7; y 1;4 con 2,3 son paralelas a Línea de Referencia, las medidas a tomar son solo tres, ya que la distancia del punto 9 y el 10 es la misma, y la distancia de los puntos 5, 8, 6 y 7 va a ser la misma debido a que se encuentran a la misma distancia de la Línea de Referencia, estos puntos se encuentran paralelos a la Línea de Referencia. Al pasar los puntos a la vista 70

71 Auxiliar, estos puntos también van a quedar paralelos a la línea de Refencia debido a que las medidas son las mismas en la tercera distancia y por lo tanto, en la Vsita Auxiliar estas medidas no tienen por qué variar. En la vista Auxiliar se tienen los puntos 9, 10 a una distancia de 2.57 con respecto a la línea de referencia; los puntos 8, 7, 5, 6 se encuentran a una distancia de 5.57 de la línea de Referencia y los puntos 2, 3, 1, 4 se encuentran a de la Línea de Referencia. Figura 64. Paso de medidas, ubicación de puntos, unión de puntos y definición de visibilidad Para la unión de los puntos se debe recurrir a observar los puntos que se unen en el isométrico. Los puntos 8 y 3 no se van a unir nunca porque se encuentran en lugares distantes. El punto 8 se une con los puntos 4, también con el punto 9 y con el 7. Entonces, 71

72 se inicia el proceso de unión de los puntos en la vista Auxiliar. El punto 4 se une con los puntos 3, el 8 y el 1. El punto 9 se une con el punto 10, con el 5 y el 8. Así se hace con todos los puntos, se verifica que todos los puntos ya tengan todas las líneas que llegan a él y esto se puede hacer de forma organizada ó aleatoria, como en el caso de esta explicación, la cual no se hizo con un órden lógico sino fue arbitrario. Al tener la unión de los puntos se debe descubrir la visibilidad de las líneas, porque hay partes del objeto que van a ser tapadas por planos anteriores y que no van a permitir que éstos puedan ser vistos por el Observador. Las reglas de la visibilidad son las siguientes: Todo contorno es visible: en el caso de la vista auxiliar, el contorno de esta vista está conformado por los puntos 9, 8, 4, 3, 1, 2, 6, 10; estos puntos son contorno debido a que son los que se encuentran más alejados del centro del objeto de esta vista (W), los que se localizan en el exterior de la vista. Los puntos más cercanos al Observador son Visibles: Se está descubriendo la visibilidad de la vista Auxiliar, por lo tanto, el observador se encuentra en la Vista Auxiliar mirando hacia la vista Anterior (H) y los puntos que él tenga más cerca y sin ningún obstáculo, punto ó arista anterior, se pueden ver perfectamente. Por lo tanto, el punto 7, 3 es completamente visible, porque es el punto más cercano al observador. Después siguen los puntos 8, 4, también el 10 y el 6, 2, los cuales no encuentran ningún obstáculo entre el observador y el punto. Pueden ser invisibles los puntos que tienen obstrucción en la extensión de la línea de construcción, caso de los puntos 9 y 5, 1, éstos se encuentran al final de la vista Horizontal y además la línea de proyección tiene que atrevasar aristas de la misma vista. Por líneas que se cruzan: Cuando no hay claridad en la deducción de puntos cercanos ó más lejanos para definir visibilidad, se recurre al método de líneas que se cruzan, el cual es el más seguro. Consiste en revisar en la vista a la cual se le está descubriendo la visibilidad si se están cruzando líneas, porque dos líneas que se cruzan no pueden ser visibles, una de ellas tiene que ser visible y la otro oculta; luego de verificar cuáles líneas se cruzan se recurre a la vista anterior, en este ejemplo es la vista H, para verificar cuál de esas dos líneas que se estaban cruzando está en una posición más cercana al observador. De esta forma se termina una vista Auxiliar y si se desea realizar otra vista auxiliar a partir de la Auxiliar W se tiene que proceder de la misma forma: se identifica una ubicación arbitraria del observador, luego se dibuja la línea de Referencia de forma perpendicular a la proyección visual del observador, luego se trazan las líneas de construcción desde cada punto de la vista anterior, que en este supuesto caso sería la vista anterior sería la Auxiliar W, se toman las medidas de la tercera distancia, adyacente a la común (la común en este caso sería la auxiliar W, y la adyacente a la común es la H) y se transladan a la Auxiliar identificada con una letra mayúscula cualquiera; luego se unen los puntos y se determina la visibilidad. 72

73 Lección 24. Búsqueda del Proyecto En esta parte del curso el estudiante debe iniciar una investigación de manera individual, en la cual de forma objetiva se asesore y enfatice una línea de investigación, teniendo en cuenta que su escogencia debe estar guiada al abordaje de la disciplina desde el dibujo técnico, por lo tanto debe ser aplicable en el desarrollo de proyectos. Cuando el estudiante haya decidido qué línea tomar, iniciará su proceso de recolección de información, contextualización y observación de referencias, a través de proyectos ó ejercicios desarrollados en libros, para con ello conformar un repertorio ó también llamado estado del arte que permita tener un soporte teórico y gráfico al futuro desarrollo del proyecto final. Lección 25. Aplicación en Proyecto Para la realización de cualquier proyecto, se debe tener en cuenta cómo hacer un adecuado levantamiento del terreno; en la lección de acotado se señala cómo a partir de coordenadas se puede realizar la ubicación de los puntos y la estructuración de un límite determinado de lote. Es importante tener especial cuidado con la presentación y la escala en la cual va a ser representado, pues si la información que se quiere mostrar es de carácter general, como la localización del lote en donde se va a trabajar, la escala debe ser mayor que si se va a mostrar un detalle del funcionamiento de una máquina o un motor. El tamaño del texto, la importancia de las referencias y de los valores de las cotas deben mantener un mismo tamaño, aunque se manejen varias escalas de presentación, no puede habar variedad entre los tamaños ni la fuente que se ha tomado en el juego de planos. Debe analizarse qué tan cerca del plano se debe hacer el observado, par con ello definir por lógica el tamaño adecuado para el texto, sabiendo que éste no debe captar toda la atención del observador, pero tampoco puede quedar perdido entre el dibujo. Las líneas de cota no pueden confundirse con las líneas que conforman el dibujo, por lo tanto, su ubicación y el grosor de sus líneas deben variar del dibujo. Para la realización de los cortes, se deben hacer cortes de terreno, estableciendo tipos de terreno y definiendo con el achurado las materialidades, acotando, si fuera necesario, los espesores, longitudes ó áreas. Siempre se debe hacer corte de los elementos que puedan ampliar la información, ó sobre alguna información que no se encuentre consignada en alguno de los demás dibujos, ó los que puedan aclarar aspectos de funcionamiento, dimensionalidad ó relación entre elementos. Cuando se realizan los cortes es de gran importancia el manejo de las intensidades, debido a que un corte debe mostrar profundidad en el dibujo y si ésta no es manejada con intensidades, es muy probable que 73

74 el dibujo parezca plano y no represente correctamente la realidad del objeto. Sólo debe achurarse lo que se está cortando, por lo tanto, se deben achurar los elementos a los cuales traspase el plano cortante. Las proyecciones auxiliares van a ser de gran ayuda al buscar definir las formas de los planos que conforman el objeto a analizar ó realizar, para conseguir las vistas verdaderas de cada uno y a través de esto, si fuera necesario, lograr desarrollar el objeto en la realidad. Se deben conjugar todos los conocimientos hasta aquí adquiridos para iniciar el desarrollo del proyecto, la realización de planos y el análisis de su funcionamiento, para saber qué debe presentarse para que el proyecto sea realizable y que se muestre con claridad y buena presentación. 74

75 CAPÍTULO 6. DESCRIPTIVA La Geometría descriptiva es una ciencia aplicada de carácter multidisciplinario, cuyo objetivo consiste en resolver gráficamente problemas representables, relacionados con las áreas afines a la medición, el diseño, y la construcción; ésta permite localizar, comprender, y analizar los elementos geométricos situados en el espacio para relacionarlos entre sí; posteriormente, interpretar y manejar dicha información en un medio bidimensional. 6 En la Geometría descriptiva se deben tener en cuenta los conceptos de dibujo previos: las vistas auxiliares, las metodologías, la interpretación de vistas, la precisión, y debe existir un gran sentido de lógica para lograr abstraer las figuras que se están representando de forma bidimensional, a elementos reales que se relacionan con otros tridimensionalmente. Lección 26. Visibilidad En el capítulo anterior se presentaba una introducción de visibilidad en los elementos. En esta lección se va a profundizar en estos conocimientos y a partir de aplicaciones en ejercicios se demostrará la forma correcta de obtener la visibilidad. Existen 3 procedimientos para obtener la visibilidad correcta de un elemento en determinada vista, los cuales son: la regla del contorno, la de cercanía y la de líneas que se cruzan. Estas tres reglas de visibilidad son reales y tienen una lógica aplicada a las representaciones bidimensionales que pueden utilizarse en ejercicios de proyecciones de un objeto u elementos desde cualquier punto visual. Cuando se trabaja con un solo objeto se puede deducir la visibilidad por las dos primeras reglas: contorno y cercanía; pues se va a hacer evidente la posición de las aristas con respecto al observador, entendiendo que estas aristas no son líneas que no poseen ningún espesor en el espacio, sino que son planos conformados por líneas y por lo tanto tienen un área llamada superficie. La superficie se puede relacionar con un muro de una vivienda, en la cual existen diferentes posiciones de muros con respecto al plano Horizontal (piso y placa); la visibilidad que el observador pueda tener de algún elemento que se encuentre en la vivienda depende de la posición del observador, que consisten en ubicar los ojos del observador en un lugar determinado y con un ángulo visual establecido; los elementos 6 VALENCIA GARCÍA, German. Geometría Descriptiva, paso a paso. Bogotá: Ecoe Ediciones, P

76 que conforman la vivienda, al igual que los elementos de las vistas, se encuentran estáticos en el espacio, pero la visual de determinado elemento varía por la posición que adquiera el observador. Por ejemplo, el observador se encuentra dentro de una habitación en la cual se encuentra la puerta abierta completamente, el observador se encuentra en el muro opuesto a la puerta, pero su mirada está dirigida hacia la puerta; Qué puede ver el observador? Observa el marco de la puerta, el espesor de la hoja de la puerta, el muro junto a la puerta y de pronto, depende del diseño de la habitación, un muro que se encuentra al borde de la puerta de forma perpendicular; esto es lo que el observador ve dentro de la habitación, pero como la puerta de la habitación se encuentra abierta y el observador está dirigiendo su mirada hacia la puerta, el observador también puede ver lo que se encuentra posterior al plano en el cual se localiza la puerta y el muro adyacente a esta; entonces, en el vano de la puerta el observador alcanza a visualizar un muro posterior del Hall de habitaciones, de pronto alcanza a ver las escaleras; allí se crea ya en la mente del dibujante un espacio real, el cual debe ser traducido a un espacio geométrico. Cuando sucede lo contrario, cuando se inicia desde el espacio Geométrico y se busca interpretarlo mentalmente para lograr verlo como un espacio real, allí es donde entra la lógica y la capacidad de abstracción del dibujante. Figura 65. Ejercicio para la interpretación de visibilidad En la figura anterior se tienen dos vistas principales, Horizontal y Frontal, y una proyección auxiliar resultante de la vista Frontal. La visibilidad de las proyecciones Superior y Frontal no tienen algún inconveniente, ya que las aristas se ocultan entre ellas, lo que quiere decir 76

77 que, en la proyección Frontal, la arista e, b oculta a la arista e, c ya que al mirar la vista Horizontal se puede ver la posición perpendicular que tiene la arista b, c con respecto a la Línea de Referencia y los rectas se encuentran en verdadera Longitud debido a la relación que estas tienen con la Línea de Referencia, se encuentran de forma paralela a la Línea de Referencia con lo cual se puede deducir que en la siguiente proyección se encuentran en Verdadera Longitud, y en las dos vistas principales, las aristas toman una posición paralela y otra perpendicular a la Línea de Referencia, por lo tanto, en las dos proyecciones éstas líneas se encuentran en Verdadera Longitud. A la vista Auxiliar M se le debe señalar su visibilidad correcta, lo cual consiste en revisar desde la posición del observador qué es lo que éste alcanza a ver. La localización del observador es anterior a la Línea de Referencia de la Vista Auxiliar, por lo tanto el observador se encuentra en la vista Auxiliar M, ya que es a esta vista la que le debemos descubrir la visibilidad, y los rayos visuales del observador están representados por las líneas de construcción (de color amarillo), pues éste se encuentra de forma paralela a la Línea de Referencia F M, mirando hacia la proyección anterior (F) y por lo tanto su mirada tiene rayos de proyección perpendiculares a la Línea de Referencia. Según las reglas de Visibilidad, lo que se encuentre en el contorno es Visible, por lo tanto, en la vista Auxiliar M el contorno está conformado por las aristas que forman los puntos a, e, d, c, b; ya que son estos puntos los que se encuentran más alejados del centro del dibujo en esa vista. Ahora, queda faltando definir la visibilidad de la recta a, d, la cual debe descubrirse por la regla de la Cercanía. Entonces, si el Observador se encuentra en M mirando hacia F lo primero que él encuentra, sin alguna interrupción es la arista conformada por e, b y junto a ésta, a la misma distancia está la arista e, c; éstas líneas si no se encontraran en el contorno de la proyección Auxiliar, serían visibles, porque su posición con respecto al observador es cercana y no se hallan elementos que interrumpan la visual del observador con respecto a éstas (cuando se especifica que no hay elementos que obstruyan la visual de alguna recta, se refiere a que las líneas de construcción ó de proyección tienen un recorrido hasta la Línea de Referencia sin algún obstáculo, por lo tanto sin la presencia de alguna línea adicional anterior a la que se hace referencia). Ahora bien, la línea a la cual se le debe descubrir la visibilidad es la a, d, la cual tiene una posición lejana con respecto al observador, ya que es el último punto que se encuentra, el más alejado de la visual del observador, que en este caso se podría decir que el observador es la misma Línea de Referencia F M, entonces este punto probablemente sea invisible, ya que es el punto más lejano con respecto a la posición del observador. Ahora bien, se dice que probablemente sea invisible, debido a que no todos los lejanos son invisibles necesariamente, ya que algunos puntos lejanos pueden ser visibles por el tamaño que tengan, ya que algunos pueden tener una altura mayor a los elementos anteriores y por lo tanto pueda visualizarlo el observador. 77

78 Para poder resolver con claridad la visibilidad de este punto se debe recurrir a la regla de las Líneas que se cruzan, la cual consiste en revisar en la vista Auxiliar qué línea se cruza con la recta a la cual se le desea hallar la visibilidad. Entonces, e, b se está cruzando con a, d; ahora, una de las dos líneas es visible y la otra es invisible, debido a que no son líneas solamente sino que son la representación de los límites de un plano que tiene superficie, por lo tanto dos líneas que se cruzan no pueden ser visibles, una de ellas es visible y la otra es oculta. Al haber identificado las líneas que se cruzan en la vista Auxiliar, se debe recurrir a la proyección anterior para revisar cuál es la línea que se encuentra en una posición anterior para así definir su visibilidad. En la proyección Frontal la línea e, b se encuentra antes que la recta a, d, con lo cual se define que la recta e, b es visible y la línea a, d es invisible. Figura 66. Visibilidad correcta del ejercicio También es importante hacer un análisis de la posición del observador con respecto al objeto antes de iniciar a definir visibilidades, pues al identificar mentalmente cómo está mirando el observador se puede entender qué planos serán visibles y cuáles quedarán ocultos. En este caso el observador tiene una posición inclinada superior del objeto, por lo tanto, por lógica se puede afirmar que la base de la pirámide estará oculta: a, d, c, b son los puntos que conforman la base de la pirámide y el plano conformado por estos puntos no es visible en la vista Auxiliar, debido a que el observador está mirando desde un punto superior a la pirámide. 78

79 Lección 27. Relaciones espaciales En esta lección se estudiarán las Relaciones espaciales de los elementos que conforman el espacio geométrico, a través de las propiedades geométricas del punto, la recta y el plano, referidas al cruzamiento, el paralelismo, la perpendicularidad y la intersección de estos elementos en el espacio geométrico. Se deberá tener en cuenta para el análisis de los comportamientos de elementos en el espacio, la abstracción mental de las posiciones que cada elemento que interviene en determinado comportamiento toma en cada proyección, ya que el tener claridad sobre la posición del elemento, se podrán determinar características que éste puede ofrecer en determinadas vistas. Se hace una introducción elemental, en la cual se localiza una recta a, b en una posición cualesquiera, a la cual acompañan en el espacio dos puntos: m y n; En la proyección Horizontal los puntos m y n se encuentran entre la proyección de la recta a, b, pero en la proyección Vertical el punto m se percibe fuera de la recta, por lo tanto se concluye que el punto m no pertenece a la recta, pero el punto n, por encontrarse en las dos proyecciones sobre la recta, pertenece a la misma. Figura 67. Punto sobre recta En la siguiente figura se proyectan la recta a, b con los puntos m y r, en las vistas Horizontal, Vertical y Lateral Derecha; La posición de la recta en el espacio es inclinada de perfil, por lo tanto se muestra en falsa longitud tanto en la vista Frontal como en la Superior, pero en la vista Lateral se mostrará con su posición verdadera y su longitud real. Se observa que los puntos m y r se muestran sobre la recta en la vista Horizontal y vertical; en la vista Lateral el punto m se sitúa sobre la recta a, b pero el punto r se encuentra a un 79

80 lado de la recta, por lo tanto el punto r no pertenece a la recta y el punto m pertenece a la recta. Figura 68. Punto exterior a Recta En la siguiente figura se presentan dos casos de líneas que poseen diferentes direcciones en el espacio geométrico y es posible que se corten en el espacio ó se presente el caso de cruzamiento, por lo tanto las rectas no se tocarían. Figura 69. Líneas que se cortan y líneas que se cruzan El corte de las rectas consiste en tener un punto común de contacto entre las dos rectas que intervienen en el comportamiento geométrico; La recta a, b (color azul) y la recta c, d (color negro) tienen una posición cualesquiera en el espacio, pero al relacionar las 80

81 proyecciones que se presentan en la vista Horizontal y Vertical, se puede encontrar correspondencia entre el supuesto punto de contacto, al cual se llamará punto 1, 2, lo que quiere decir que por encontrarse el punto de contacto relacionado perpendicularmente en las dos proyecciones, el punto es común, por lo tanto las rectas a, b y c, d se interceptan. En el segundo caso que se presenta en la anterior figura (lado derecho), las rectas a, b y c, d también tienen una posición cualesquiera en el espacio geométrico, pero en este caso el punto de contacto (1,2) no está correlacionado en las dos vistas, por lo tanto, el punto de contacto 1,2 en la Horizontal, es diferente al punto de contacto en la proyección Vertical, ya que no mantienen la perpendicularidad de los puntos, indicando que no existe un punto común de contacto, ya que este no se mantiene en las dos proyecciones, señalando que las rectas no se tocan sino que se cruzan en el espacio geométrico. El siguiente caso presenta la propiedad geométrica del paralelismo, en la cual se describen dos rectas a, b y c, d en tres proyecciones: Horizontal, Vertical y Lateral. Para que exista paralelismo en el espacio geométrico, las líneas deben presentarse de forma paralela en todas sus proyecciones, ya que el paralelismo indica que las rectas se encuentran en planos adyacentes y aunque éstas se extendieran infinitamente jamás se tocarían, ya que mantienen la misma dirección y ángulo, pero están sobre diferentes planos espaciales. Figura 70. Líneas Paralelas Para entender la perpendicularidad es necesario repasar el Teorema 10 el cual dice lo siguiente: 81

82 Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando una de las rectas se visualiza en Verdadera Longitud, y se proyecta el ángulo de 90 entre ambas Por lo tanto para encontrar la perpendicularidad entre dos rectas, debe presentarse una de ellas en Verdadera Longitud y formar con otra de las líneas que llega a ésta un ángulo de 90. Recapitulando, para que una recta se encuentre en Verdadera Longitud, debe situarse de forma paralela a la línea de Referencia en una proyección anterior. En la figura siguiente se presenta un plano triangular a, b, c que tiene una de sus rectas, a, b, en la proyección Horizontal de forma paralela a la Línea de Referencia H F, por lo tanto la siguiente proyección, en este caso la vista Frontal, se presentará la recta a, b en Verdadera Longitud, ésta a su vez forma con la recta a, c un ángulo de 90, señalando que su correspondencia es de perpendicularidad. Figura 71. Líneas perpendiculares A la perpendicularidad también se le llama Menor Distancia Normal, ya que es la distancia más corta dada desde un punto externo a la recta, unida a ésta a través de otra recta que se conecta de forma perpendicular. La menor distancia es útil, por ejemplo, para problemas de tuberías, en los cuales se presenten dos tuberías y se necesite hallar una tercera que las una por el lugar más corto, es en este caso donde se utiliza el proceso de la menor distancia. Las siguientes figuras van a guiar el proceso correcto para conseguir la menor distancia entre una recta a, b y un punto m localizado al exterior de la recta. 82

83 Figura 72. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 1 y 2 Recordando el Teorema 10, se debe buscar ver la recta en Verdadera Longitud para lograr unir el punto con la recta a, b a través de una segunda recta que forma con ésta un ángulo de 90. Para conseguir ver la recta a, b en Verdadera Longitud se trazará una proyección Auxiliar J paralela a la misma y en ésta se proyectará con su Verdadera Longitud. Al tener la recta a, b con su Verdadera Longitud en la proyección Auxiliar J, se procederá a trazar una línea desde el punto m hasta la recta de forma perpendicular a ésta, por tanto, la línea con origen en el punto m, debe formar con la recta a, b un ángulo de 90 en la proyección auxiliar; el punto de contacto entre la recta a, b y la línea que tiene origen en el punto m se identificará con alguna letra, en este caso la letra n. Para obtener la Verdadera Longitud de la menor distancia, recta m, n, se debe realizar una vista Auxiliar L paralela a la recta y se mostrará con su verdadera Longitud. Ahora, se debe proceder a pasar la menor distancia a las demás proyecciones anteriores siguiendo el siguiente proceso: a partir del punto n de la proyección Auxiliar J, se trazará una línea de proyección (de forma perpendicular a la Línea de Referencia) y cuando ésta haga contacto con la recta a, b se señalará el punto n y se unirá con el punto m. Siguiendo este procedimiento se debe llevar el punto a las demás vistas, en las cuales se mostrará la 83

84 menor distancia de la recta a, b, en falsa longitud y solo en la Vista Auxiliar J se mostrará la perpendicularidad existente entre la recta a, b con la recta m, n. Figura 73. Proceso Menor Distancia Normal, Método directo. Paso 3. También es posible obtener la menor Distancia siguiendo otro procedimiento, por el método del Plano, el cual consiste en unir la recta a, b con el punto m a través de líneas imaginarias y de esta forma conformar el plano a, b, m. El procedimiento a seguir es el siguiente: a partir de la línea a, b que se presenta en las vistas Horizontal y Vertical, de cada extremo de la línea se extienden líneas imaginarias que unen el punto m con la recta y de esta forma se convierte a la línea con el punto en un plano con una posición cualesquiera en el espacio geométrico. Luego se debe buscar dejar el plano en Verdadera Magnitud, por lo tanto se traza una línea auxiliar paralela a la línea de referencia H V y al trasladar los puntos a la siguiente 84

85 proyección, la línea Auxiliar quedará en Verdadera Longitud. El siguiente paso es ver el plano como filo, para ello se busca que la línea en Verdadera Longitud quede como punto y de esta forma el plano se verá como filo, entonces se traza una proyección Auxiliar J perpendicular a la línea en Verdadera Longitud y es en ésta proyección donde se presentará el plano como filo. Después de tener el plano como filo se debe trazar una proyección Auxiliar U paralela al filo para lograr ver el plano con su Verdadera Magnitud. El anterior procedimiento es necesario para lograr tener el punto y la línea en un mismo plano y que la línea de la menor distancia quede verdaderamente de forma perpendicular a la recta a, b. Ahora, teniendo el plano imaginario en Verdadera Magnitud se debe trazar una recta desde el punto m hasta la recta a, b, de forma perpendicular una línea a la cual se le llamará m, n; ésta es la Menor Distancia y se presentará en la vista auxiliar U con su Verdadera Longitud. Después de haber trazado la menor distancia en la vista Auxiliar U se devuelve el punto n (punto de encuentro de la recta con origen m hacia la recta a, b) a las proyecciones anteriores de forma perpendicular a cada una de las Líneas de Referencia correspondientes. De esta forma se señala la Menor Distancia Normal en cada una de las proyecciones correspondientes, pero ésta solo se presenta con su Verdadera Longitud en la proyección Auxiliar U. Tanto el método directo como el del plano es seguro y es posible utilizarlo para conseguir la Menor Distancia Normal de una línea a un punto exterior a la recta. Figura 74. Proceso Menor Distancia Normal, Método del Plano 85

86 En el caso de los planos, para obtener la Menor Distancia de un punto externo al plano se debe realizar de la forma anterior, pero cuando se tiene un plano que posee una de sus líneas en una posición perpendicular a la Línea de Referencia, por lo tanto que contenga una de sus líneas con una posición inclinada de perfil (recta a, b), se debe seguir el siguiente procedimiento: Se tiene un plano a, b, c y un punto externo m ; Se debe trazar una línea auxiliar al plano en una de sus proyecciones, en este caso se toma la proyección vertical, y se traza la línea auxiliar desde uno de los vértices del plano hacia el costado opuesto, quedando una recta con origen en el punto c hasta un punto localizado en la arista a, b y denominado j. Este punto j se debe trasladar a la proyección H, pero cómo buscar el lugar en donde se localizará el punto j cuando la recta es perpendicular a la Línea de Referencia y no existe ningún punto que pueda cortar con la arista a, b en el punto j. Figura 75. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 1 En este caso, cuando el plano presenta una de sus líneas en una posición perpendicular a la Línea de Referencia se debe trazar otra línea auxiliar que corte a la línea auxiliar c, j en un punto determinado. Se traza entonces una recta que inicia en el vértice a y culmina en el punto o localizado en la arista b, c. Cuando se tiene el punto de corte, al cual se denominará t se trasladan los puntos de la recta auxiliar a, o a la proyección H, y también se localiza el punto de corte t en ésta proyección; teniendo como referencia el punto por el cual debe pasar la línea auxiliar c, j se traza una recta en la proyección H que inicie en el vértice c y que pase por el punto t, ésta se prolongará hasta que corte con la arista a, b, y éste será el punto j. De esta forma se obtiene la línea auxiliar c, j. 86

87 Figura 76. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 2 y 3 El siguiente paso a seguir es obtener el filo del plano con la ayuda de la línea auxiliar c, j; para ello se traza una proyección Auxiliar J perpendicular a la línea en Verdadera Longitud y se pasan las medidas tomadas desde la tercera distancia, en este caso desde el plano a, b, c y el punto m de la proyección Vertical con relación a la Línea de Referencia H V, y se trasladan a la proyección J. Al tener el plano a, b, c como filo y el punto m en la proyección Auxiliar J, se procede a trazar la Menor Distancia Normal, la cual consiste en formar un ángulo de 90 entre la recta que tiene origen en el punto m, con el filo del plano a, b, c; el punto de contacto de la recta de origen en el punto m con el plano a, b, c, se identifica con una letra, para esta ocasión con la letra n. Después de trazar la Menor Distancia Normal en Verdadera Longitud desde el punto m hasta el filo del plano, se devuelven el punto n hacia las anteriores proyecciones. En la Vista Horizontal la Menor Distancia Normal es señalada desde el punto m hasta el n, pero con qué ángulo debe colocarse? la posición de la recta es la lógica de la posición que debe tener una línea en la proyección anterior cuando ésta se muestra con su verdadera Longitud en la siguiente proyección, por lo tanto en la Proyección Horizontal ésta línea m, n estará de forma paralela a la Línea de Referencia H J, pues es la única forma de que en la proyección J ésta recta m, n se presente en verdadera Longitud. Para pasar el punto n a la proyección Vertical, se debe pasar la ubicación del punto con la línea de proyección desde la Horizontal hacia la Vertical, y la localización exacta del punto se hará con la toma 87

88 de la tercera distancia, ésta es la medida habida desde el punto n hacia la Línea de Referencia H J y ésta se traslada a la proyección Vertical, midiendo desde la Línea de referencia H V hasta donde lo indica la distancia tomada en la proyección J, teniendo en cuenta que esta medida debe colocarse sobre la línea de construcción que viene de la proyección Horizontal. De esta forma queda señalada la Menor Distancia Normal en todas sus proyecciones. Figura 77. Proceso Menor Distancia Normal de un punto a un plano, Paso 4 y 5 En el siguiente caso se presentará un ejercicio de un plano con un punto exterior al mismo y se deberá indicar la Menor Distancia Normal, la Menor Distancia Horizontal y la Menor Distancia con un ángulo señalado. Hasta el momento sólo se ha estudiado la Menor Distancia Normal, ahora se añadirán a ésta las otras dos Menores Distancias, las cuales pueden trabajarse de forma independiente ó en conjunto, como en este caso. La Menor Distancia Horizontal es la que es señalada de forma paralela a la Horizontal, por lo tanto, a la Línea de Referencia H K que es la que indica la presencia de un plano Horizontal, lo que quiere decir que es una vista en planta de un objeto y debido a que la línea de Referencia H J es la que tiene relación con esta proyección, cualquier línea Horizontal que se quiera mostrar, debe presentarse en una posición paralela a ésta. La Menor Distancia con un ángulo dado es la que forma con la Horizontal un determinado ángulo, el cual debe ser señalado en el problema, y a partir del ángulo se trazará la recta desde el punto m hacia el plano como filo. 88

89 En el siguiente ejemplo se presenta un plano a, b, c en la proyección Horizontal y Frontal y un punto exterior m; el plano a, b, c presenta una de sus rectas en una posición paralela a la línea de referencia H V en la proyección Vertical, por lo tanto no es necesario trazar una línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia para proyectarla en la siguiente vista en Verdadera Longitud, pues en las líneas contenidas en el plano ya existe una con esta posición; la línea que presenta una posición paralela a la Línea de Referencia H V es la arista a, b, por lo tanto en la proyección Horizontal ésta se muestra con su Verdadera Longitud. El siguiente paso es realizar una Vista Auxiliar K perpendicular a la línea en Verdadera Longitud (a, b) para proyectar el plano como filo; desde el punto m se trazará la Menor Distancia Normal hacia el filo del plano a, b, c. Se devolverá el punto n a cada de las proyecciones, teniendo en cuenta que la recta m, n en la proyección Auxiliar K se muestra con su Verdadera Longitud, por lo tanto en la proyección H (proyección anterior) ésta recta tendrá una posición paralela a la Línea de Referencia H K. Para el paso de la menor Distancia a la proyección Vertical, deberá tomarse la tercera distancia. Figura 78. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 1 La Menor Distancia Horizontal será trazada desde el punto m hasta el filo del plano a, b, c con una posición paralela a la Línea de Referencia, por lo tanto una posición Horizontal. El corte de la línea Horizontal con el plano de filo se identificará con una letra, en este caso la p. Después se devolverá el punto p a las proyecciones anteriores, recordando que la Menor Distancia Horizontal se encuentra en Verdadera Longitud, lo que conlleva a que se 89

90 muestre de forma paralela a Línea de Referencia H K en la proyección anterior H. El paso de la Menor Distancia Horizontal a la proyección vertical, se deberá hacer con las medidas de la tercera distancia. Figura 79. Proceso Menor Distancia Normal, Horizontal y con ángulo. Paso 2 y 3 El señalamiento de la Menor Distancia con un ángulo dado debe trazarse con respecto a la Horizontal, teniendo en cuenta que un ángulo de inclinación debe verse en una proyección Vertical, como en este caso en donde la Vista Auxiliar K es adyacente a la Horizontal, por lo tanto es una proyección en alzado. El ángulo que debe señalar es de 25, el cual se debe indicar desde la Horizontal, en este caso se tiene como referencia la línea de la Menor Distancia Horizontal y es partir de ésta que se indicarán los 25 y con esta inclinación se trazará la recta que tiene origen en el punto m y se prolonga hasta el filo del plano a, b, c. El paso del punto e, el cual identifica la recta con ángulo de 25, será pasado a las anteriores vistas siguiendo el proceso de las anteriores Menores Distancias, por lo tanto en la proyección anterior K ésta se verá de forma paralela a la Línea de Referencia H K, pues en la proyección K se encuentra en Verdadera Longitud. Lección 28. Nociones Topográficas - Líneas En esta lección se estudiarán las características de las que puedan dotarse los elementos en el espacio, pues cada uno de éstos se localiza en uno o varios planos del espacio, pero la información de su posición exacta aún no se ha especificado y para ello se estudian las nociones topográficas de los elementos, en este caso: las líneas. 90

91 Las nociones topográficas, en este caso de líneas, incluyen una descripción exacta de la relación de la recta en el plano Horizontal y las coordenadas, también su distancia topográfica; la relación de ésta con el plano vertical, por lo tanto señalan el ángulo de inclinación y la pendiente. Son estas características de posicionamiento las que permiten entender a cabalidad la situación de un elemento en el espacio geométrico. La verdadera Longitud es la distancia real que existe entre un extremo de la recta con el otro y su obtención es posible cuando la recta se encuentra en una posición paralela a la Línea de Referencia ó cuando se muestra como un punto en una proyección anterior. Estas indicaciones son lógicas al trasladar el dibujo bidimensional a un espacio tridimensional, en el cual el observador es el que define la localización de la Línea de Referencia y por ello, solo al encontrarse completamente frente a la recta será posible verla con su verdadera posición en el espacio y con su verdadera dimensión. Cuando la recta se presenta como punto, la siguiente proyección será Verdadera Longitud debido a que cuando se muestra como punto se está indicando que el observador se encuentra de forma perpendicular a la recta, por lo tanto el punto más cercano de la recta oculta al más lejano, y cuando se realiza la siguiente proyección se estará seleccionando un plano paralelo a la posición que ocupa la recta, ya que si se recuerda, cada Vista ó proyección gira 90 con relación a la siguiente, por esta razón es la siguiente proyección al punto la que se presentará en Verdadera Longitud. Figura 80.Procedimiento para obtener la Verdadera Longitud 91

92 Al haber obtenido la verdadera posición de una recta y su Verdadera Longitud se debe poder traducir a un espacio real y para ello se debe indicar la dirección que ésta tiene en el plano sobre el cual se localiza, a esto se le conoce como Rumbo, el cual consiste en señalar la dirección de una línea recta estableciendo su desplazamiento desde su punto inicial, el cual se localiza en el origen de los puntos cardenales, hasta el otro punto de la recta. El rumbo es una orientación geográfica en un plano Horizontal, por lo tanto para señalar el rumbo de una recta, ésta debe encontrarse sobre el plano Horizontal, sin necesidad de presentarse en ésta con su Verdadera Longitud, ya que el terreno posee altibajos que no interfieren en el señalamiento del desplazamiento Horizontal de la recta. El rumbo debe indicarse teniendo como referencia el Norte (N) y el Sur (S) y la variación de éstos son el Este (E) y el Oeste (O), lo que quiere decir que los ángulo con los cuales se deberá localizar una recta con su rumbo deben varia de 0 hasta 90 de la siguiente forma. Recta a 60 Nor Este (N - E), recta a 30 Nor Oeste (N - O), recta a 60 Sur Este (S - E) y recta a 25 Sur Oeste (S - O); por lo tanto la recta debe señalarse en uno de los cuatro cuadrantes de los ejes cardinales y siempre va a tener relación con los ejes mayores: Norte y Sur, y éstos se referenciarán con los horizontales: Este y Oeste. Para lograr indicar la dirección de la recta es importante tener en cuenta que se hará en la proyección Horizontal, se dibujará en el origen de la recta los ejes cardinales en una dimensión apropiada y que no reduzca la jerarquía de la recta, y teniendo en cuenta que el Norte (N) será el punto más lejano de la Línea de Referencia y el Sur (S) el más cercano a la línea de Referencia. En la siguiente imagen se muestra una recta en las proyecciones Horizontal y Frontal, y es en la proyección Horizontal en la cual se establece su rumbo enunciando el ángulo de desviación que posee con respecto al eje Norte y referenciado con el Este; por lo tanto su rumbo es 60 Nor Este (N - E) Figura 81. Rumbo 92

93 El Azimut es el ángulo que forma la línea recta con el Norte, por lo tanto sólo deberá tenerse como referencia el Norte, estableciendo los ángulos de desplazamiento en sentido de las manecillas del reloj, lo que quiere decir que el ángulo aumentará de izquierda hacia la derecha. Figura 82. Azimut La Distancia Topográfica es la medida de una recta desde un punto extremo hasta el otro, tomada en la proyección Horizontal y sin que sea relevante su Verdadera Longitud, ya que la distancia Topográfica es la medida que se determina a vuelo de pájaro de la tierra, sin que interese la inclinación, la profundidad ó sus pendiente, solo es necesario medir la distancia que es proyectada en la horizontal. Esta distancia es la que se señala en los planos ó mapas del territorio, en los cuales se está midiendo desde arriba sin aumentar la longitud de las líneas de curvas de nivel por su profundidad. Figura 83. Distancia Topográfica 93

94 Tanto el rumbo, como el Azimut y la Distancia Topográfica son medidas que se obtienen en la proyección Horizontal. Ahora, el Ángulo de Inclinación es el ángulo que una línea recta forma con el plano Horizontal, éste ángulo puede ser de ascenso ó descenso y puede variar entre los 0 hasta los 90. Para poder medir el ángulo de Inclinación, la recta tiene que estar proyectada en una Vista de alzado, Vertical, y debe mostrarse con su Verdadera Longitud. En el siguiente ejemplo se tiene una recta a, b en una posición cualesquiera que se muestra en las proyecciones Horizontal y Vertical. Debido a que el ángulo de Inclinación debe tomarse en una proyección de Alzado y con relación a la Horizontal, no es correcto que se realice una proyección Auxiliar a partir de la vista Frontal, ya que esta proyección sería una vista probablemente Horizontal, por lo tanto la línea de Tierra (representación de la Horizontal) no se vería como filo sino que por lo contrario ocuparía el fondo de la recta y ésta se posaría sobre la horizontal, lo que quiere decir que el observador vería la recta sobre el plano Horizontal. Para poder señalar el Ángulo de Inclinación debe ser una proyección adyacente a la Horizontal y al tener la VL en ésta se traza una línea paralela a la Línea de Referencia Horizontal H A y se toma el ángulo en relación a ésta. Figura 84. Ángulo de Inclinación 94

95 La pendiente también es tomada en una proyección Vertical, pero a diferencia del ángulo de Inclinación, ésta no necesita que la recta se presente con su Verdadera Longitud, pues ésta consiste en señalar la relación existente entre la distancia topográfica y la altura. El dato de la pendiente es dado en porcentaje. La operación puede realizarse de dos formas, la primera de ellas es tomar la altura o variación que tiene el extremo de la recta (extremo más lejano de la línea de Referencia) en relación al otro punto de la recta, señalándolo desde la línea que indica el plano Horizontal: línea de Tierra, y dividirlo con la distancia Topográfica y ésta relación se multiplicará por 100. Pendiente = altura x 100 Distancia topográfica También es posible señalar un valor conocido en la distancia topográfica, el cual representará las cien unidades de la distancia topográfica de la recta y éste punto se trasladará a la proyección Vertical, en la cual se medirá la altura; la altura será la pendiente de la recta. Figura 85. Pendiente 95

96 Lección 29. Nociones Topográficas - Planos Para la definición y caracterización de los planos, también es importante reconocerlos y abstraerlo, por ello se debe adquirir habilidad en los procesos necesario para obtener los resultados necesarios, y esto es posible a través de la comprensión espacial de los elementos que se establecen en éste. La Verdadera Magnitud de un plano es la forma real de un plano y por lo tanto, las verdadera Longitudes de sus aristas y las relaciones entre éstas, por lo tanto sus ángulos reales. Figura 86. Procedimiento para obtener Verdadera Magnitud Para obtener la Verdadera Magnitud (VM) se debe buscar una línea paralela a la Línea de Referencia en cualquiera de sus dos proyecciones principales, si no existiera alguna, se debe trazar una línea Auxiliar en el plano, paralela a la Línea de Referencia en una de sus 96

97 dos proyecciones. La siguiente proyección mostrará a la recta con su Verdadera Longitud y con referencia a éste se trazará una proyección Auxiliar, en este caso J, de forma perpendicular (perpendicular a la recta a, e) y en ésta proyección el plano se verá de filo y la línea Auxiliar quedará como un punto. Ahora, se proyectará una Línea de Referencia paralela al filo, con lo cual se consigue ver el plano con su Verdadera Magnitud. En la proyección Auxiliar V el plano se presenta con su forma real. Para obtener el Rumbo del plano dele trabajarse con una línea que se encuentre en Verdadera Longitud en la proyección Horizontal, si el plano no la contiene debe trazarse una línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia H F en la proyección Frontal y trasladar los puntos para que en la siguiente proyección (H) ésta recta auxiliar se presente con su verdadera Longitud. Se debe definir el origen del plano, en este caso se toma el punto a como punto de inicio, y es en éste en el cual se localizan los ejes de los puntos cardinales, los cuales pueden ser dibujados con solo un eje mayor, en el caso de la siguiente figura se podría mostrar solo la línea del eje del Sur (S), ya que el ángulo de la recta del plano hace referencia a éste, pero se dibujan todos los ejes para evitar confusiones en este ejemplo. Debido a que se define que el origen es el punto a éste debe localizarse en el foco de los ejes cardinales, y ya que la recta va descendiendo se debe relacionar con el eje Sur (S) del plano Cardinal y con relación al Este, formando un ángulo de 53 Sur Este (S -E). Figura 87. Rumbo Para definir el ángulo de inclinación de un plano se hace por medio del Buzamiento, el cual señala el ángulo de declinación de un plano visto de filo en un plano de proyección 97

98 adyacente a la Horizontal, por lo tanto, en un plano de Alzado. El buzamiento indica el sentido de hundimiento y no el sentido de elevación. Figura 88. Buzamiento El Buzamiento mide el ángulo de inmersión del plano con respecto al plano Horizontal, por lo tanto se toma el punto b del plano como el punto más lejano, lo que está a mayor distancia del plano Horizontal y el punto a es el que toca al plano Horizontal, el cual también se muestra como filo. En el ejemplo de la siguiente figura se tiene un plano a, b, c y se proyecta a una vista auxiliar su filo y tomando como su base el punto más lejano a a línea de Referencia H J se debe trazar una línea de tierra paralela a ésta que pase por el punto a, y con referencia en ésta se señala el ángulo de declinación ó de hundimiento del plano a, b, c. 56 es el Buzamiento del plano a, b, c. Figura 89. Ejemplo de Buzamiento 98

99 Es necesario que cuando se defina el Buzamiento también se señale el Sentido de caída, el cual indica en un plano Horizontal la declinación del plano. Esto es como si se tuviera una mesa con una declinación y se colocara sobre ésta una gota de agua, la dirección que tomaría la gota de agua sobre la mesa es el sentido de caída del plano. El sentido de caída es el paso siguiente a la definición del Buzamiento, ya que éste se define con la estipulación del Buzamiento. Ahora bien, en la proyección anterior al filo donde se definió el Buzamiento, por lo tanto en la proyección Horizontal, a partir de la Línea de Verdadera Longitud se debe señalar con una flecha el sentido de caída, por lo tanto el sentido de caída es una línea perpendicular a la línea del rumbo del plano (VL) en su proyección Horizontal, y teniendo claro que el Norte el el punto más lejano de la Línea de Referencia H V y que es perpendicular a ésta, se debe señalar el sentido de caída con respecto a los ejes cardinales. En este caso, el sentido de caída tiene una dirección Nor Oeste. Es importante tener claro que la flecha que indica el sentido de caída dede dirigirse hacia la inclinación que posee el plano en la proyección de filo, por lo tanto la flecha de caída está señalando que el punto b es el que está más cercano a la Línea de Referencia H J en la zona izquierda del plano de proección, y el punto a es el que se encuentra más lejano a ésta Línea de Referencia y se localiza en la zona inferior derecha del plano de proyección Auxiliar J. Figura 90. Sentido de Caída 99

100 Lección 30. Aplicación en Proyecto Todo proyecto debe ser expuesto y dado a conocer, y esto es posible a través de la información gráfica que se brinda de éste, por tal razón es necesario aprender a expresar las ideas a través de dibujos, ya sean bidimensionales ó tridimensionales. Las representaciones gráficas deben ser lo suficientemente claras para todos los observadores, por esta razón deben seguir criterios de presentación Universales, leyes que se deben aplicar a cada interpretación gráfica, por lo tanto la forma en que se expresa debe ser lo más cercana a la realidad del objeto y para ello la expresión gráfica, enfatizada en las proporciones, las intensidades de líneas, manejo de escalas correctamente, tipos de líneas y adecuado dimensionamiento, ejercen un papel de gran importancia, y estas características pueden enaltecer un proyecto ó perjudicarlo. De igual forma, la interpretación dada a un objeto en un dibujo debe ser abstraída correctamente, esto se evidencia en las vistas de un dibujo, en donde la visibilidad juega un papel importante, pues si no se comprende a cabalidad la información proporcionada desde cada proyección en el espacio geométrico, su construcción real implicará afectaciones económicas, temporales, de mano de obra y hasta empresariales; por lo tanto, en la claridad y veracidad de una representación está el principio de una correcta interpretación, ulterior construcción y adecuado funcionamiento, de un elemento planteado a nivel gráfico. Para evitar los errores de interpretación y de dibujo, el estudiante deberá tener una abstracción mental desarrollada, la cual pueda ser planteada gráficamente, a través de normas de presentación fijadas. CAPÍTULO 7. INTERSECCIONES Las Intersecciones hacen parte de los tipos de relaciones espaciales existentes entre los elementos geométricos; ésta se presenta cuando el elemento no se encuentra en una posición de paralelismo con otro, ó cuando una recta no está haciendo parte de un plano, cuando no se presentan las anteriores situaciones nombradas, entonces se intercepta con el elemento al que hace referencia. 100

101 La intersección por lo tanto es el encuentro de dos elementos geométricos que se cortan entre sí, formando una sección de penetración, la cual puede ser un punto, una línea ó un área, esto depende de los elementos que se estén relacionando. La intersección entre un plano y una recta da como resultado una penetración que conforma un punto; la sección de la intersección de dos planos, es una línea; la intersección de un plano con un poliedro, resulta en una sección recta, y de la intersección de dos poliedros resulta una sección conformada por varias líneas localizadas en diferentes planos espaciales y unidas entre sí, conociéndose como la curva de intersección espacial. Lección 31. Intersección Línea Plano, Método del Filo y Plano Cortante La intersección de una recta con un plano es un punto común a los elementos geométricos. Esta intersección es fundamental para el buen desarrollo y aplicación de las demás intersecciones, ya que la abstracción mental de la penetración de un elemento, como la recta, con otro, el plano, en un espacio geométrico, permitirá señalar posiciones de formas geométricas, a las cuales no se tiene acceso, ya que éstas están conformadas por líneas imaginarias que limitan un espacio y localizan un plano real en un espacio geométrico, pero que al ser entendidas desde su elemento básico: la recta, se podrá llegar a comprender los demás elementos que se conforman por este primordial. Existen dos métodos por los cuales se pueden llegar a obtener el punto de penetración real de los dos elementos que intervienen en la relación espacial: el método del Filo ó de Perfil, y el Método del Plano Cortante. Los dos métodos son confiables y deben llegar al mismo resultado, ya que están expresando la consecuencia de una relación espacial real entre dos elementos. El Método del Filo ó también llamado de Perfil, busca llevar al plano que interviene en la intersección a Filo, por lo tanto, busca hacerlo ver como una línea, y con ello conseguir el punto de contacto entre los dos elementos (la recta con el plano). El Método del Plano Cortante trabaja con las dos vistas dadas (Horizontal y Vertical), a partir de ellas selecciona elementos que parezcan intervenir en la relación espacial y a uno de ellos, en una de sus proyecciones, le traza un plano cortante imaginario que se extiende infinitamente hacia el otro elemento que se está interviniendo, por lo tanto necesariamente lo va a traspasar y con ello se consigue que se corten en determinados puntos que luego se transformarán en un solo punto de penetración, a través de un proceso que se explicará más adelante. 101

102 En esta Lección se enseñará a obtener el punto de penetración de dos elementos que se interceptan en el espacio geométrico, trabajando a partir de ejemplos que se presentarán por medio del proceso a realizar en todos los ejercicios relacionados, por lo tanto se mostrará paso a paso el proceso que el estudiante debe seguir para obtener el punto de penetración. El primer método que se va a presentar es el de Filo, el cual es el más seguro, ya que al dejar al plano en una vista auxiliar, adicional a las dadas, como filo se hace más fácil señalar el punto de contacto y la visibilidad en las proyecciones. Figura 91. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2 Se presenta un plano a, b, c con una recta m, n, la cual al parecer lo interceptará, ya que ésta no está mostrándose paralela a ninguna de las rectas que conforman el plano y se encuentra en una posición cualesquiera, al igual que el plano, por lo tanto debe llevarse a filo para comprobar si existe un contacto, una penetración. Para llevar el plano a Filo se procede de la forma en que siempre se debe hacer: si no existe una línea contenida en el plano que sea paralela a la Línea de Referencia, se trazará una recta auxiliar paralela a la Línea de Referencia, la cual surgirá desde un punto del plano; luego ésta se proyectará a la siguiente Vista, en la cual se mostrará con su Verdadera Longitud; Luego se deberá trazar una proyección Auxiliar de forma perpendicular a la Línea en Verdadera Longitud (c, e) para verla como punto y por lo tanto 102

103 al plano como filo. Al obtener la vista del filo también se proyectará la recta, con ello se consigue el punto contacto entre el plano y la recta, punto al cual se le denominó p. Figura 92. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Filo. Paso 3 y 4 El punto de penetración debe devolverse a las vistas Horizontal y Frontal para así localizar la intersección en todas sus proyecciones. La forma adecuada para devolver tal punto es a través de las líneas de proyección, las cuales se trazan de una proyección a otra de forma perpendicular a la Línea de Referencia a la que atraviesan, y se situará el punto en donde tenga contacto la línea de proyección con la recta m, n. La visibilidad de la línea será definida por cercanía ó por el método de las líneas que se cruzan. El método de cercanía se utilizará para obtener la visibilidad correcta en la proyección Horizontal, ya que ésta se basa en la proyección de Filo para obtenerla. En ésta se debe observar que en la proyección Auxiliar J se tiene la recta m, n con el plano como filo, y lo que queda antes del plano es la segmento de la recta m hasta el punto de penetración p, por lo tanto de la recta el segmento m hasta el punto de contacto con el plano, punto p, será visible, luego la recta se volverá invisible, hasta los límites del plano a, b, c, por lo tanto, lo que esté después del punto de penetración será invisible, ya que se encuentra por detrás del plano y el observador no podrá verlo. Esto es en el caso de los elementos en la proyección Horizontal. Para descubrir la Visibilidad de la proyección Frontal, el observador debe estar localizado en ésta y debe mirar hacia la proyección Horizontal pues es de ésta de la cual se obtendrá la visibilidad de los elementos de la Frontal. En este caso se trabajará a partir de las líneas que se cruzan, entonces, en la proyección Frontal se cruzan la recta m, n con la línea c, a, del plano; el observador debe mirar hacia la proyección Horizontal desde la proyección frontal y verificar en qué posición se encuentran las líneas que se cruzan en la vista 103

104 Frontal; La línea m, n se encuentra en una posición anterior que la línea c, a, ya que el punto m es el más cercano al observador, mientras que la recta c, a, tiene a la recta m, n antes que ella, por lo tanto la recta visible va a ser el segmento de la recta m hasta la intersección p, debido a que el punto m es el que se encuentra antes del plano y el punto n está después del plano y del punto de penetración, por lo tanto, solo el segmento m, p es el visible. Ahora, por el Método del Plano Cortante se debe escoger un eje, una línea, el cual será extendido de forma perpendicular a la posición de la recta y se prolongará indefinidamente, de modo que corte el plano a, b, c, en algún punto necesariamente, sin importar su posición en el espacio, pues como el plano cortante no es limitado tendrá que hacer contacto con éste. Figura 93. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Plano cortante. Paso 1. El ejercicio presenta el plano a, b, c y la recta m, n, elementos que se interceptan en algún punto, el cual va a ser definido a través de la configuración de un Plano Cortante imaginario, el cual se localizará en la prolongación de la recta m, n y se extenderá de forma perpendicular a ésta, buscando cortar el plano a, b, c y definir dos puntos de contacto del plano con el Plano Cortante 1. El Plano Cortante 1 se puede señalar en cualquiera de las proyecciones, en este caso se realiza en la proyección Horizontal y éste debe indicarse con un tono de línea inferior al de los elementos y con el tipo de línea K. Los puntos en los que corta el Plano Cortante al plano a, b, c, se definirán con un número ó letra, en este caso se utilizaron los número 1 y 2. Los puntos de contacto se trasladarán a la siguiente proyección, en este caso a la 104

105 Frontal, y se establecerán sobre la arista del plano a, b, c, que esté cortando el Plano Cortante, por lo tanto el punto 1 corta la arista c, b y el punto 2 corta a la arista a, b, por ello al trasladar los puntos de contacto a la siguiente proyección se establecerán sobre las aristas del Plano a, b, c; se debe unir el punto 1 con el 2 en esta proyección con línea tipo F. Figura 94. Proceso Intersección Recta Plano, Método del Plano cortante. Paso 2 y 3. La intersección de la recta formada por el punto 1 y el 2 en la proyección Frontal con la línea m, n, es el punto real de intersección: punto p ; éste punto debe devolverse a la proyección anterior, proyección Horizontal, y donde corte la línea de proyección con la recta m, n, se indicará el punto p. Para la definición de la visibilidad se deberá realizar necesariamente por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal la recta m, p se cruza con la línea c, b, el observador ubicado en esta proyección deberá mirar hacia la proyección Frontal para la verificación de la posición de las rectas; se puede ver que el segmento m, p, se encuentra antes que la recta c, b, por lo tanto la recta m, p, será la visible en la Vista Horizontal y la recta p, n, será oculta hasta el límite del plano a, b, c. En la proyección Frontal se tomarán dos líneas que se cruzan: m, p con c, a. El observador dirigirá su mirada hacia la proyección Horizontal y verificará cuál de las dos se encuentra en una posición anterior, por lo tanto más cerca del observador. La recta m, p se localiza más cerca al observador que la recta a, c, por lo tanto la recta m, p en la proyección Frontal será el segmento de la recta visible y el segmento p, n será oculto hasta los límites del plano a, b, c. 105

106 Lección 32. Intersección Plano Plano, Método del Filo y Plano Cortante Se continuará trabajando con los dos métodos aprendidos en la lección anterior, pero se varían los elementos que se relacionan. En este caso los elementos que entran en contacto son dos planos. En el método del Filo ó también llamado de Perfil, se debe colocar a uno de los dos planos como un Filo en una proyección Auxiliar. En el ejemplo que se presentan en esta lección se traza una línea auxiliar al plano m, n, o, de forma paralela a la Línea de Referencia H F y se proyecta a la siguiente Vista, en este caso a la Horizontal, en la cual se mostrará en Verdadera Longitud; a partir de esta recta se trazará un Línea de Referencia perpendicular para definir el plano m, n, o, como un Filo y se haga evidente los puntos de contacto con el plano a, b, c. Figura 95. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2 En la proyección Auxiliar se definen los dos puntos de contacto del Filo con el plano a, b, c, y se identifican con una letra ó un número, en este caso el punto 1 se localiza sobre la arista c, b, y el punto 2 sobre la arista a, b. Estos puntos se deben devolver a las proyecciones anteriores a través de las líneas de construcción ó de proyección, las cuales deben quedar de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atraviesan y localizarse sobre las aristas que se encuentran, según lo indica el Filo. El punto 1 se traslada de la proyección Auxiliar J a la proyección anterior H y deben situarse en las aristas correspondientes; el punto 1 sobre la arista c, b, el punto 2 sobre la arista a, b. Debido a que la recta de la intersección formada por el punto 1 y el punto 2 en 106

107 la proyección Horizontal se encuentra por fuera del cruce de los dos planos, el segmento del punto 1 que se encuentra sobre uno de los planos (a, b, c) se debe acortar, señalando el punto 1, el cual forma con el punto 2 la intersección real de los planos. Los puntos 1 y el 2 se deben trasladar a la proyección siguiente, proyección Frontal, y localizarse sobre las aristas que se encuentran en la Horizontal. El punto 2 sobre la arista a, b, y el punto 1 sobre la arista o, n. Los puntos 1 y 2 se deben unir con una línea continua e intensa que señale la intersección de los dos planos. Figura 96. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso 3. Se debe definir la visibilidad correcta de los planos y para ello se debe proceder a la proyección anterior para verificar el segmento del plano más cercano al observador. Para definir la visibilidad de los planos en la Horizontal se observa la proyección Auxiliar J, en la cual el plano m, n, o, se presenta como filo; el segmento a, c, se encuentra antes que el segmento de la recta m, o, por lo tanto a, c, va a ser visible hasta la línea de intersección, después de la intersección cambia la visibilidad, entonces, el plano a, b, c, deja de ser visible y pasa a ser invisible, lo que quiere decir que después de la intersección el plano a, b, c, queda por debajo del plano m, n, o. Si no se tiene seguridad absoluta sobre la definición de la visibilidad, se verificará con otras líneas, por ejemplo, el segmento n, m, será visible porque en la proyección anterior (J) se están mostrando antes que el segmento del plano a, b, c, por lo tanto en la parte superior de la intersección de la 107

108 proyección Horizontal, la recta n, m es la visible por localizarse más cerca del observador y antes que la recta b, c. Esta definición es el resultado del método de las líneas que se cruzan. Para la definición de la visibilidad en la proyección Frontal debe procederse de la misma forma: el observador se localiza en la proyección Frontal y verifica dos líneas que se crucen en esta proyección, mira hacia la proyección Horizontal y verifica cuál de las dos líneas se encuentra en una posición anterior a la otra. Figura 97. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso 4. La siguiente figura muestra de forma clara la intersección real de dos planos, en este paso se omitieron las líneas ocultas y se achuró uno de los planos, para que existiera mayor claridad sobre la verdadera intersección entre los planos, la cual es una intersección parcial, no es total, debido a que el plano m, n, o, no atraviesa por completo el plano a, b, c. Figura 98. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Filo. Paso

109 El método del Plano Cortante consiste en establecer dos aristas de un plano que se crucen completamente con el otro, y en estas se establecerán dos planos cortantes que atravesarán al otro plano. En el ejemplo se tomó como referencia el plano a, c, b, y los planos cortantes se establecen sobre las aristas a, c, como Plano Cortante 1, y a, b, como Plano Cortante 2. Cada Plano Cortante corta al otro plano (m, n, o) en dos puntos: El plano Cortante 1 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 1 y 2, y el plano Cortante 2 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 3 y 4. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección y colocarse sobre las aristas que el Plano Cortante intercepta, por lo tanto el punto 1 se localizará sobre la arista m, o, debido a que el plano Cortante 1 tiene contacto con esta arista en el punto 1; el Plano Cortante 1 también tiene contacto con el otro plano en la arista n, o, en el punto 2. El Plano Cortante 2 tiene contacto con el plano m, n, o en los puntos 3 y 4; el punto 3 se localiza en la arista m, o, y el punto 4 sobre la arista m, n. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección (Frontal) y situarse sobre las aristas correspondientes del plano m, n, o. Figura 99. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Plano Cortante. Paso 1 y

110 En la proyección Frontal se deben identificar los puntos que pertenecen al mismo plano Cortante: 1 y 2 son del PC-1, 3 y 4 son del PC-2. Los puntos que pertenecen a cada plano se unirán por medio de líneas discontinuas, formando dos rectas segmentada en la proyección Frontal. Esta recta que conforman los puntos de contacto deben pasar, tocar ó interceptar a las aristas sobre las que se localizan los planos cortantes. El plano Cortante 1 es una extensión de la arista a, c y el plano Cortante 2 de la arista a, c, por lo tanto las líneas que unen los puntos de contacto en la proyección Frontal deben pasar ó tocar a las aristas del plano Cortante al cual pertenezcan. Esto quiere decir que la recta conformada por el punto 3 y 4 deberá pasar ó tocar a la arista que contiene el Plano Cortante 2, del cual resultaron estos puntos de contacto, y efectivamente, en la proyección Frontal la recta 3, 4, pasa por la arista a, b: Éste es el punto real de intersección, al cual se le llamará p. En el caso de los puntos 1 y 2, pertenecientes a la arista a, c, no llegan a tener contacto con la arista que contiene el plano cortante, ya que el punto 2 queda sobre la arista n, o, del otro plano, y la línea de los puntos de contacto no pasa por la arista a, c. El procedimiento a seguir es la extensión de las líneas que deben tocarse (1, 2 con a, c) en la dirección que poseen. La línea 1, 2 y la línea de la arista a, b, se prolongan para que pueda darse la intersección en un punto común. Esto se debe realizar sabiendo que los planos son infinitos y que son limitados a través de unas líneas. Se localiza entonces la intersección de la recta 1, 2 con la arista a, c, en el punto 2 ó 2. Se deben unir los puntos de intersección p y 2, pero debido a que se sale del contacto real de los dos planos, se debe limitar la línea de intercepción a los límites de los dos planos, limitar al contacto de los dos planos, por lo tanto la línea de intersección real es la establecida desde el punto 110

111 p hasta el punto e. Los puntos se trasladan a la proyección anterior (H) y se localizan sobre las aristas correspondientes: p sobre a, b, y e sobre n, o. Figura 100. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4. Luego de haber definido la línea de la intersección real entre los dos planos, el siguiente paso es señalar la visibilidad correcta, ésta se realiza por medio del método de las líneas que se cruzan. Para identificar los segmentos de los planos que van a ser visibles en la proyección Horizontal, se ubicará al observador en ésta Vista e identificará dos líneas que se crucen y se procederá a su verificación en la siguiente proyección; la posición de cada una de estas con respecto al observador, será la clave para la determinación de la visibilidad. La línea a, c, se cruza con la línea m, o, en la proyección Horizontal, al verificar la localización de éstas en la proyección Frontal, se puede ver que la línea a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, o, por lo tanto en la proyección Horizontal la recta visible es la a, c. Esto significa que a, c es completamente visible y las líneas que lleguen a estos puntos serán visibles hasta la línea de intersección, después de la intersección cambiará la visibilidad, lo que quiere decir que al otro lado de la línea de intersección el plano m, n, o será el visible y el a, b, c, será el invisible. Para determinar la visibilidad de los planos en la proyección Frontal, se ubica al observador en esta proyección y se identifican dos líneas que se crucen en ésta vista, se verifica la posición de las mismas en la siguiente proyección (H) y se determina cuál de las 111

112 dos rectas es la visible y a partir de esta definición, el resto de la visibilidad se hará por lógica. En la proyección Frontal se cruzan las líneas a, c, con m, n. En la proyección Horizontal la recta a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, n, indicando que a, c, será la visible y todas la líneas que lleguen a ésta hasta la intersección, después de ésta cambia la visibilidad. Figura 101. Proceso Intersección Plano Plano, Método del Plano Cortante. Paso 5. Lección 33. Intersección Plano - Sólido, Método del Filo y Plano Cortante En el campo de la Ingeniería y en el de la arquitectura se hace uso de la Geometría Descriptiva para descifrar la relación real entre los elementos que intervienen en el diseño de tuberías, ductos, cubiertas, columnas y vigas, entre otros. Las relaciones existentes entre éstos elementos debe descifrarse en el diseño y establecerse a plenitud, para que en el momento de su ejecución no haya campo de error, lo cual pueda perjudicar el adecuado funcionamiento de los elementos, y también intervenir en la fidelidad de las cantidades de obra y la compra de materiales, y con ello afectar el resultado del diseño, poner en riesgo vidas humanas y como consecuencia de éstos errores también se comprenderían las pérdidas económicas. 112

113 La intersección de elementos en un diseño debe asumirse con responsabilidad, y a través de la técnica establecer las relaciones geométricas reales entre los mismos, definiendo con exactitud los ángulos, la sección de intersección, las longitudes y magnitudes reales de los objetos que están involucrados en el diseño. En el proceso que se definirá en las figuras mostradas a continuación se estará señalando la sección de contacto de los dos elementos que intervienen en la relación geométrica y la cual puede ser obtenida a través del método del Filo ó el método de los Planos Cortantes. En las primeras figuras se realizará paso a paso el proceso del Método del Filo, para obtener la sección entre un prisma rectangular y un plano triangular. Figura 102. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso 1. Se presenta un prisma rectangular con aristas paralelas identificadas como: 1-1, 2-2, 3-3 y 4-4 ; el plano triangular se identifica con las letras a, b, c. Para obtener la sección de la intersección por el método de Perfil, se debe llevar al plano a filo, por lo tanto se realizará una proyección Auxiliar perpendicular a una de las líneas contenidas en el plano (a, b, c) en Verdadera Longitud, si ésta no existiera se trazaría una línea auxiliar de forma paralela a la Línea de Referencia, ubicada en cualquiera de las dos proyecciones (H ó F), en este caso se toma como paso inicial la proyección Horizontal y es en ésta donde se traza la línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia, luego se trasladan los puntos a la siguiente proyección (F) con la ayuda de las líneas de proyección, las cuales deben trazarse de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atravesarán. Figura 103. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso

114 En la proyección Frontal se encuentra la línea auxiliar a, e, en Verdadera Longitud y con relación a ésta se debe trazar una proyección Auxiliar perpendicular (J) en la cual se visualizará el plano a, b, c, como filo. La idea de llevar el plano a, b, c, a filo es identificar con claridad los puntos por los que el plano atraviesa ó tiene contacto con el sólido, señalando el punto de contacto del filo con las aristas del prisma rectangular. En esta figura, se muestra en la proyección auxiliar el plano como filo y el sólido sin visibilidad, debido a que la visibilidad es identificada en este momento, en donde el estudiante debe revisar la proyección anterior (F) ubicado desde la proyección Auxiliar (J) y verificar por cercanía ó por líneas que se cruzan (método de mayor seguridad) las líneas que serían visibles en la proyección Auxiliar. Figura 104. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso

115 En esta figura se define la visibilidad del prisma rectangular en la proyección Auxiliar (J), determinado por medio del método de las líneas que se cruzan, entonces como en la proyección J se están cruzando las aristas 3,3 con la 2,1 se revisa la proyección anterior F y se obtiene que la arista anterior es la 3,3 y que la arista 2,1 se encuentra en la zona posterior, por lo tanto es la que se localiza más lejos del observador, por esta razón la arista 3, 3 va a ser visible en la proyección Auxiliar y la arista 2, 1 será invisible; con el resto de las visibilidades de procede de las misma forma, sabiendo que el contorno siempre va a ser visible, por lo tanto las aristas 2, 1, 4, 4, 3, 2 van a ser visibles por estar localizadas en el contorno de esta proyección. Se localizan los puntos de contacto entre el prisma rectangular y el plano de filo, puntos localizados de la siguiente manera: punto p en la arista 4, 4 ; punto m localizado sobre la arista 1, 1 ; punto n sobre la arista 3, 3 y por último el punto u encontrado en la arista 2, 2. De esta manera se devolverán los puntos a las proyecciones anteriores, siguiendo los criterios de localización ya enunciados. 115

116 Figura 105. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso 4. Teniendo los puntos sobre las aristas correspondientes en todas las proyecciones, se deben unir con orden lógico, lo que quiere decir que un punto localizado sobre la arista 2, 2 se podrá unir con otro que se encuentre en un plano adyacente, por ejemplo: 1, 1 ó 3, 3, pero no podrá unirse a otro que se localice en una cara que no tenga relación directa con ésta, como por ejemplo un punto que situado en la arista 4, 4. Por lo tanto, se unirán los puntos y se definirá simultáneamente la visibilidad de los mismos con ayuda de la lógica, pues si los puntos conforman una línea sobre una cara invisible, no podrán los puntos de la sección ser visibles. En la proyección Frontal, el punto p, localizado en la arista 4, 4 se unirá a los puntos que se encuentren en las aristas 3, 3 y 1, 1, por lo tanto se unirá con los puntos n y m, simultáneamente; éstos puntos se unirán a través de líneas visibles, ya que se localizan sobre caras visibles, pues la cara conformada por los puntos 1, 4, 4, 1 es visible y sobre ésta se encuentra la línea p, m; ahora, la cara en la cual se localiza la línea p, n es la 116

117 conformada por los puntos 4, 3, 4, 3, la cual también es visible, según lo evidencian las líneas que conforman las caras, ya que son continuas, señalando por lo tanto que son caras visibles. El punto u se establece en la arista 2, 2 y en proyección Frontal ésta arista es invisible, por lo tanto, toda línea que se origine de ésta arista va a ser invisible por localizarse en una cara invisible, pues al abstraer mentalmente el prisma, se podrá ver con claridad que las caras ocultas son las 2, 2, 3, 3 y 2, 2, 1, 1, por lo tanto las líneas de la sección que se localicen sobre estas caras también estarán ocultas, lo que quiere decir que la recta m, u y n, u, serán invisibles. Se debe proceder de la misma forma en la proyección Horizontal, uniendo puntos adyacentes a través de líneas y definiendo la visibilidad en éstas a través de la lógica de las caras. Entonces en la proyección Horizontal se establecerá la sección con las rectas u, m, p siendo visibles y p, n, u quedarán ocultas. Figura 106. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso

118 El paso 5 consiste en definir la visibilidad de los elementos que se relacionan, pues ya está definida la sección de la intersección, pero ahora es necesario hacer lógica la intersección, por lo tanto, entenderla. Se inicia el proceso de visibilidad desde el filo hacia la Frontal. El observador se localiza en la proyección Frontal, ya que es a ésta vista a la cual se le debe definir la visibilidad; el observador mirará hacia la proyección auxiliar (J) y definirá qué sección del filo es la visible y qué sección del sólido no está interferida por el plano de filo, esto lo que quiere decir en otras palabras, es que al trazar las líneas de proyección hacia la Frontal desde la Auxiliar, las líneas de proyección que no sean interrumpidas por otra arista, serán visibles, por ejemplo, la línea de proyección que sale del punto c, del punto p, del punto 4 y del punto a, no están obstruidas por ninguna arista, lo que las hace visibles, a diferencia de las líneas de proyección que se originan en los puntos 2, b, u, los cuales son interrumpidos por aristas como 3, 3, 4, 4, las cuales impedirán su visibilidad. Entonces, el segmento 4, p del sólido es visible completamente y el segmento c, a hasta el punto p será visible. Con estas dos definiciones de visibilidad se puede obtener el resto de las visibilidades. Si 4, p es visible, estará indicando que todo el segmento del prisma localizado en la zona posterior de la sección de intersección será visible (las caras visibles) y la sección del plano a, b, c, que pasen por este segmento de visibilidad del prisma serán invisibles. Por lo tanto: 4, p m, 1 n, 3-1, 4, 3, serán visibles, por localizarse en el segmento en el cual el prisma queda sobre el plano, situación manifiesta en la proyección auxiliar con la localización del segmento 4, p totalmente visible, lo que define que el segmento del prisma posterior a la sección es visible. Ahora, como a, c, también se identificó plenamente como visible en la proyección Auxiliar, entonces en la Frontal ésta quedará sobre el prisma y será visible completamente, ocultando los segmentos del prisma que se localicen en los límites del plano a, b, c, antes de la sección de intersección. Para la definición de la Visibilidad de la Horizontal se realizará con ayuda del método de las líneas que se cruzan, por lo tanto el observador situado en la proyección Horizontal establece dos líneas que se crucen para definir su visibilidad mirando la posición de las dos líneas en la proyección anterior, en este caso en la Frontal. Se deben tener varias opciones de líneas que se crucen, ya que algunas no se muestran con tanta claridad y se deberá verificar con otras que sean contundentes. Por ejemplo, a, b se cruza con 1, 1, quién es visible?, se supone que a es el punto más cercano al observador, entonces a, b, sería visible, pero no es tan claro, por lo tanto es mejor comprobar con otros puntos que se muestren con mayor claridad, caso de las líneas c, b, con 1, 1, al revisar la proyección anterior (F) la línea 1, 1 está en una posición anterior, con respecto al observador, que la línea c, b, la cual se encuentra lejos del observador, lo que quiere decir que 1, 1 va a ser visible y c, b, será invisible en la proyección Horizontal, teniendo en cuenta que 1, 1 cambiará su visibilidad después de la sección de intersección, por lo tanto la línea visible es 1, m. A partir de la definición de dos líneas contundentes como 1, 1 y c, b, se puede obtener por lógica la visibilidad del resto de los elementos, teniendo claro que la visibilidad de un elemento cambia antes y después de la sección de intersección. 118

119 En la siguiente figura se muestra de forma más clara la intersección de los dos elementos y se puede verificar la visibilidad. En la proyección Horizontal, antes a la sección el prisma es visible y después de la sección el visible es el plano. En la proyección Frontal antes de la sección es visible el prisma y después de la sección es el plano. Figura 107. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Filo. Paso 6. Para obtener la sección de la intersección del prisma y el plano a, b, c, por medio del Método del Plano cortante se debe proceder de la siguiente forma: se toma uno de los elementos que intervienen en la intersección, puede ser el plano ó el prisma, en el caso del ejercicio se toma el prisma, debido a que todas sus aristas son paralelas y de esta manera es más fácil de identificar los puntos de contacto. Se identifican las aristas del sólido que entran en contacto con el plano, en este caso todas las aristas se cruzan con el plano, pero si el plano triangular tuviese su vértice b antes que la arista 2, 2, no sería necesario tomar en cuenta esta arista, ya que no tendría objeto alguno señalar un Plano cortante sobre ésta si ésta no se relaciona con el plano. 119

120 Ahora, como todas las aristas del sólido se cruzan con el plano a, b, c, se deben señalar Planos cortantes sobre cada una de éstas aristas, definiendo los planos con líneas tipo K que se prolongan con la misma dirección de las aristas sobre las que se posan e identificando cada Plano Cortante con un nombre determinado y un orden lógico. En el caso del ejemplo se señalan los planos por medio de colores para dar mayor claridad y con nombres: el Plano Cortante 1 (PC-1) se establece sobre la arista 1, 1 ; el PC-2 sobre la arista 2, 2 ; el PC-3 en la arista 3, 3 y el PC-4 sobre la 4, 4. También los planos Cortantes pueden ser determinados por el orden de consecución de las aristas, por ejemplo, la arista 2, 2 es la que se encuentra en la zona superior de la representación, entonces ésta puede ser el PC-1, el PC-2 podría ser la arista 3, 3 que consecutivamente se localiza, éste también puede ser un orden lógico. Figura 108. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1. Luego de definir los Planos Cortantes deben señalarse los puntos de contacto entre cada Plano Cortante y el plano a, b, c. El Plano Cortante 2 traspasa al plano a, b, c, en las aristas a, b, en el punto m y en la arista c, b, en el punto n. Éstos puntos se intersección se trasladarán a la proyección siguiente (F) y se establecerán sobre las aristas correspondientes. Entonces, el punto m se pasa con ayuda de una línea de proyección perpendicular a la Línea de Referencia (color gris) y se localiza en la intersección de ésta con la arista que corta el plano cortante, lo que quiere decir que el punto m se pasa a la proyección Frontal y en donde corte la línea de proyección con la arista a, b, allí se colocará el punto m. Para localizar el punto n se debe proceder de la misma forma, por lo tanto, en la proyección Frontal, el punto n se localizará sobre la arista c, b. Como los puntos m y n pertenecen al mismo plano Cortante, se unirán a través de una línea punteada (tipo F). 120

121 Figura 109. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2. Para los siguientes planos se debe proceder de la misma forma, encontrando los puntos de contacto del plano Cortante con las aristas del plano a, b, c. Figura 110. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3 y

122 Se obtienen todos los puntos de intersección, dos puntos por cada plano cortante: El PC-2 tiene los puntos m y n, donde m se localiza sobre la arista a, b y n sobre la arista c, b; el PC-3 señala los puntos de contacto q y r, q sobre la arista a, b y r sobre c, b; PC-1 corta en los puntos f y s, donde f se localiza sobre la arista a, b y s sobre la arista c, b; el PC-4 identifica dos puntos x y y, donde x corta a la arista a, b, y y a la c, b. Se trasladan los puntos a la vista Frontal y se unen los que pertenecen al mismo plano Cortante. El paso 5 consiste en definir un solo punto de intersección por Plano Cortante, lo cual se consigue de la siguiente forma: la recta conformada por los puntos m, n pertenecen al PC- 2, el cual se posa sobre la arista 2, 2, por tal razón, la recta m, n debe interceptar la arista 2, 2 y es allí en donde se localiza la intersección real; éste punto de intersección, identificado como 2f, debe devolverse a la proyección anterior (H) y situarse sobre la arista correspondiente, arista 2, 2. Figura 111. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 5. La recta q, r pertenece al PC-3 (color cián) por lo tanto debe interceptar la arista que contiene este Plano Cortante, arista 3, 3, el punto de contacto será la intersección real y se trasladará a la anterior proyección (H) donde se ubicará sobre la arista 3, 3, arista que contiene el Plano Cortante correspondiente a los puntos q, r. Posterior a ello se deben 122

123 unir los puntos de intersección real, analizando qué puntos pueden unirse: 2 con 3, 2 con 1, 3 con 4, 4 con 1. Figura 112. Proceso Intersección Plano Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 6 y 7. Siguiendo este proceso se determinan todos los puntos de intersección real, por lo tanto cada recta conformada por los puntos de corte del Plano Cortante con el plano a, b, c, señalará un punto de intersección real, el cual estará ubicado sobre la arista en la cual se posa el Plano Cortante determinado, posterior a ello se trasladará el punto de intersección real a la proyección anterior y se unirán definiendo los puntos que son adyacentes y pueden tener relación directa, por lo tanto los puntos se unirán así: 1 con 2, 2 con 3, 3 con 4 y 4 con 1, de esta forma se cierra la sección de intersección, la cual es completa, ya que el plano y el sólido se están atravesando plenamente, ya que si fuera parcial, la intersección no formarían una sección rectangular, sino que se conformaría una sección en forma de U. También es importante definir la visibilidad simultáneamente al trazo de las líneas de la sección, para evitar borrar después de haberlas dibujado, por lo tanto se debe analizar la cara sobre la cual va a quedar definida una línea y dependiendo de si la cara es visible ó por el contrario está oculta, las líneas como consecuencia también adoptarán sus características de visibilidad. Las caras visibles son las conformadas por los puntos 2, 2, 1, 1, también la cara 1, 1, 4, 4, por lo tanto las líneas que se localicen sobre estas caras serán visibles, pero las trazadas sobre las caras 2, 2, 3, 3 y 3, 3, 4, 4, serán ocultas debido a que estas caras no son visibles, por lo tanto las líneas trazadas sobre éstas serán dibujadas con líneas segmentadas. 123