Cómo graficar curvas en el plano con la ClassPad? Prof. Robinson Arcos

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1 Cómo graficar curvas en el plano con la ClassPad? Prof Robinson Arcos INTRODUCCIÓN: La Aplicación Gráficos & Tablas de la Class Pad, permie dibujar porciones de curvas en plano caresiano cuando ellas represenadas por: La gráfica de una función real de variable real, epresada de manera eplícia por la ecuación = f() ó = [ ] f(), donde la variable independiene oma valores en un inervalo cerrado acoado a, b Una ecuación del ipo r = f( θ) en coordenadas polares, donde θ oma valores en un inervalo cerrado acoado [ ] θ, θ Sus ecuaciones paraméricas = f() ; = g(), donde el parámero oma valores en un inervalo cerrado acoado [ a, b] En ese maerial insruccional enconrará procedimienos para graficar esos ipos de curvas en la ClassPad Enconrará ambién información básica acerca de los menús, comandos, boones configuración de la venana de visualización de la Aplicación Gráficos $ Tablas Cuando se aciva la Aplicación Gráficos & Tablas, aparece una venana dividida en panalla: la venana del edior de gráficos la venana de gráficos R Figura En esa venana dividida enconrará, en la pare inferior, el cuadro de mensajes que puede mosrar epresiones algebraicas valores numéricos En ocasiones puede ser uilizado para la edición enrada de daos La venana del edior de gráficos esá dividida en hojas Las hojas se encuenran numeradas del al 5 cada una puede conener hasa 0 ecuaciones de curvas De manera que se pueden almacenar hasa un máimo de 00 ecuaciones de curvas

2 Cómo razar la gráfica de una función? Para raar algunos aspecos sobre cómo debe realizarse el proceso de razado de una curva en la Aplicación Gráficos & Tablas, veamos primeramene los siguienes ejemplos: Trace la gráfica de cada una de las siguienes funciones: a) = 4 b) = 00 c) = sen40 d) = sen + cos50 50 Operación con la Class Pad () En el panel de iconos de la ClassPad oque el icono permanene () Para acivar la Aplicación Gráficos & Tablas, en la venana de las Aplicaciones Incorporadas, oque el icono () Toque la venana del edior de gráficos seguidamene, en la barra de menús, oque primeramene [Edi] luego oque [Borrar odo] [Acep] Eso limpia la venana del edior de gráficos la venana de gráficos Para razar la gráfica de la función = 4 proceda como sigue: (4) En la barra de menús oque [Tipo] luego oque [Tipo =] Eso indica que el ipo de gráfica a razar iene ecuación = f() (5) En la venana del edior de gráficos, oque el cuadro de enrada, juso por la derecha del número de línea : Eso ubica el cursor en el cuadro de enrada de la línea (6) Oprima la ecla para acivar el eclado virual oque la lengüea para acceder al eclado virual D (7) Toque Luego oprima en la ecla direccional elípica [ ] para ubicar el cursor delane de la epresión Toque ahora En la línea de edición, aparece el cuadro de verificación indicando que la ecuación esá acivada para su graficación Para razar la gráfica de la curva debe ajusarse la Venana de Visualización Figura Figura (8) En la barra de herramienas oque para acceder a la venana de visualización Toque [Memoria], al desplegarse el menú oque [Inicial] Observe que al elegir esa opción, se esá configurando una venana donde sólo se visualiza la porción del gráfico de la curva en el recángulo [ 77, 77] [ 8, 8] con escala uniaria en ambos ejes coordenados Los parámeros de esa venana son: (9) Toque [Acep] = 77 ; Má = 7 7 ; escala = = 8 ; Má = 8 ; escala = (0) En la barra de herramienas oque el boón luego oque en el panel de iconos para maimizar la venana de gráficos Aparece la gráfica de la función en la venana de gráficos (Figura 4) Figura 4

3 Los parámeros de la venana de visualización pueden ser ajusados por el usuario Veamos eso razando la gráfica de la función presenada en el inciso b) = 00 : () Toque para acivar la venana del edior de gráficos luego oque para inercambiar las venanas de la panalla dividida () Toque el cuadro de verificación para desacivar la ecuación de la curva en la línea () Toque el cuadro de enrada de la línea : Acive el eclado virual oprimiendo [Keborad] edie la epresión 00 Toque (4) Toque Observe que a pesar de que la gráfica ha sido razada, no es posible su visualización Eso se debe a que la venana de visualización que se encuenra configurada es la venana Inicial en ella no se encuenran punos de la gráfica Si no se iene idea de los máimos los mínimos relaivos de la función o de la eensión de los valores de las variables independiene o dependiene, se puede elegir la opción de venana de visualización Indefinido Figura 5 (5) Toque la venana de edición de gráficos luego oque (6) En el cuadro de dialogo de la venana de visualización, oque [Memoria] [Indefinido] [Acep] Aparece ahora la gráfica de la curva (7) Toque nuevamene En el cuadro de diálogo insere en cada campo el cursor, sobrescriba configure los siguienes parámeros: = 0 ; Má = 0 ; escala = = 500 ; Má = 500 ; escala = 00 Tenga presene que para regisrar un número negaivo, debe oprimir primeramene la ecla luego regisrar la pare numérica Los parámeros puno puno se configuran auomáicamene (8) Toque [Acep] Figura 6 (9) Toque la venana del edior de gráficos luego oque (0) Toque para maimizar la venana de gráficos Observará el gráfico de la función en el recángulo [ 0, 0] [ 500, 500] La escala en el eje OX es de unidades, mienras que en el eje OY es de 00 unidades Veamos qué configuración podemos uilizar para razar la gráfica de la curva c) = sen40 : Figura 7 () Toque para acivar la venana del edior de gráficos luego oque para inercambiar las venanas de la panalla dividida () Toque el cuadro de verificación para desacivar la ecuación de la curva en la línea () Toque el cuadro de enrada de la línea : Acive el eclado virual oprimiendo [Keborad] Toque la solapa para acivar el eclado maemáico Toque (4) Toque para acceder al eclado rigonomérico

4 Recuerde que las funciones rigonoméricas son funciones reales de variable real en consecuencia, la unidad angular de rabajo debe ser el radián La barra de esado que se encuenra en la pare inferior de la panalla debe indicar que la calculadora esá configurada en formao radián como se indica en la Figura 8 En caso de que la unidad angular esé configurada en grados seagesimales (Gra) ejecue la siguiene insrucción De lo conrario haga caso omiso de ella (5) Toque [Preferencias ] [Configuración ] [Formao básico] En el cuadro de diálogo oque en la opción [Ángulo] Al desplegarse el menú oque [Radián] luego oque [Def] De esa manera la calculadora esará configurada en el formao radián Figura 8 Figura 9 (6) En la venana de edición de gráficos oque para acivar la venana de visualización Toque [Memoria] [Trigonomérico] [Acep] (7) Toque Observará la gráfica de una función sinusoidal de frecuencia circular mu ala (Figura 9) La opción Trigonomérico de la venana de visualización ajusa auomáicamene la escala en el eje OX en unidades de π / La frecuencia circular de la función = sen40 es ω = 40 por lo ano su período es T = π / 40 = π / 0 Para visualizar la gráfica con más dealle, usemos en el eje OX, una escala de un cuaro de ese período, eso es, π / 80 Figura 0 (8) Toque en el cuadro de diálogo, con el eclado virual acivado, configure los siguienes ajuses: = 05 ; Má = 0 5 ; escala = π / 80 = ; Má = ; escala = 0 5 (9) Toque [Acep] luego Observe ahora la apariencia del gráfico de la función Veamos qué oras paricularidades podemos enconrar razando la gráfica de la función del inciso d): Figura (0) Toque para acivar la venana del edior de gráficos luego para inercambiar las venanas de la panalla dividida () Toque el cuadro de verificación para desacivar la ecuación de la curva en la línea () Toque el cuadro de enrada de la línea 4: Acive el eclado virual oprimiendo [Keborad] () El la línea 4, regisre la epresión sen + cos 50 Toque 50 (4) Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: = 45 ; Má = 45 ; 5 ; Má = 5 (5) Toque [Acep] Aparece una gráfica semejane a la anerior con algunas prouberancias Al hacer un acercamieno podemos apreciar más dealles 4 Figura

5 (6) Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: = 0 ; Má = 0 ; escala = π / 00 = 0 ; Má = 0 ; escala = 0 05 (7) Toque [Acep] luego oque Observará que la gráfica presena cambios pequeños en la concavidad En una venana de visualización basane alejada se observa la fuere influencia de la gráfica de la función = sen, mienras que la pare que corresponde a = cos50, por ser un érmino mu pequeño con una 50 frecuencia mu ala, se disipa en la suma Eso puede observarse eperimenalmene haciendo uso de las eclas para hacer un acercamieno o un alejamieno respecivamene Figura (8) Oprima consecuivamene la ecla para realizar alejamienos observe como cambia la curva (9) Oprima la ecla para realizar acercamienos observe como cambia la visualización de la curva Cómo razar, en un mismo sisema coordenado, las gráficas de varias curvas? Trace : a) Las gráficas de la función = ( ) + para, su inversa la función Use los siguienes ajuses: b) La gráfica de la función Use los siguienes ajuses: + = si + si ; Má = 7 ; escala = ; Má = 0 : escala = 0 0 < si < = 4 ; Má = 5 ; escala = ; Má = 5 ; escala = = Tracemos las gráficas de las funciones presenadas en el inciso a): 4 Operación con la Class Pad (40) Toque Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] (4) Toque [Tipo] [Tipo =] (4) Acive el eclado virual D en la línea de edición, edie la epresión ( ) + Anes de confirmar con [Ejec] debemos indicar que se desea razar la gráfica de la función únicamene para Para eso es necesario hacer uso del operador ( wih ) para resringir los valores de la variable independiene al inervalo 0, [ [ 5

6 (4) En el eclado virual oque la lengüea luego oque (44) Con el cursor, al lado de la epresión ediada, oque en los boones cenrales Con eso se edia el operador wih (45) Seguidamene oque De ese modo enemos regisrada la primera función La función inversa correspondiene iene regla de correspondencia = + para Podemos ediar esa función o ediar la relación Figura 4 inversa = ( ) + para Elijamos esa úlima opción: (46) Coloque el cursor en la edición Toque [Tipo] [Tipo =] (47) Edie la epresión ( ) +, luego oque Regisremos ahora la ercera función: (48) Coloque el cursor en la edición Toque [Tipo] [Tipo =] (49) Toque Observe que cada una de las res líneas de edición ienen acivados los cuadros de verificación (50) Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: (5) Toque [Acep] ; Má = 7 ; escala = ; Má = 0 ; escala = Se obienen las gráficas de las res funciones Es posible que al razar las gráficas, la calculadora no respee la configuración realizada en la venana de visualización Si eso ocurre, ingrese nuevamene en la venana de visualización realice nuevamene los ajuses De ese modo la calculadora acepa la configuración deseada Para diferenciar cada gráfica se puede elegir el esilo de línea del razado Para lograr eso, se procede de la siguiene manera: Figura 5 (5) Toque Observe que en la venana del edior de gráficos, al lado de las ecuaciones de las curvas, aparece el Marcador de Línea [ ] indicando el esilo de línea con que será realizado el razado de la gráfica Esa línea puede ser susiuida, a volunad, por el usuario (5) Toque en la línea de edición el marcador [ ] (54) En el cuadro de diálogo Tipo marcador, oque la opción Trazos gruesos luego oque [Acep] (55) De ese modo la gráfica de la función inversa aparecerá con razos gruesos 6 Figura 6 (56) Toque en la línea de edición el marcador [ ] Toque la opción Cuadrados luego [Acep] (57) Toque Aparecen las gráficas razadas en disinos ipos de línea La función presenada en el inciso b) es una función a rozos Para obener su gráfica, basa regisrar cada una de las funciones que componen su regla de correspondencia e indicar, para cada una de ellas, el inervalo dominioveremos nuevamene, en ese caso, el uso del operador wih para indicar el inervalo de variación de la variable independiene en cada función

7 (58) Toque Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] (59) Toque [Tipo] [Tipo =] (60) Acive el eclado virual D (6) Toque el cuadro de enrada de la línea : Toque (6) Toque la ecla elípica direccional [ ] oque (6) En la línea de dicción, oque Figura 7 (64) En la línea de edición, oque (65) Toque configure los siguienes ajuses: (66) Toque [Acep] (67) Toque = 4 ; Má = 5 ; escala = ; Má = 5 ; escala = Aparece la gráfica de la función definida a rozos Figura 8 Cómo razar la gráfica de una curva descria por su ecuación en coordenadas polares? En la Aplicación Gráficos & Tablas podemos razar la gráfica de una curva cua ecuación en coordenadas polares es de la forma r = f( θ) En esa sección veremos algunos ejemplos de cómo debe procederse para obener el razado correco de la curva: 5 Trace las gráficas de las curvas dadas por las ecuaciones: a) r = sen(6θ / 5) b) r = sen ( θ ) + sen (5θ / ) c) r = ( + cos( θ )) d) r = θ Para razar la primera curva se necesia esablecer el inervalo dominio de la variable θ Precisemos eso, recuerde que la función r = sen(6θ / 5) es periódica en consecuencia se desea esablecer cuánas vuelas se precisan dar, en senido anihorario, anes de que los punos sobre la curva comiencen a repeirse Eso se resuelve conesando a la preguna: cuál es el menor valor que debe omar el enero posiivo n para que 6( θ + nπ) 6θ nπ 6θ nπ sen = sen + = sen? Eso se ve saisfecho si es un múliplo par de π, en consecuencia eso sucede por primera vez si n = 5 De manera que el inervalo dominio es 0 θ π 6 Operación con la Class Pad (68) Toque Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] (69) Ubique el cursor en el cuadro de enrada de la primera línea oque [Tipo] [Tipo r =] 7

8 (70) Acive el eclado virual mh (7) Acive la opción [TRIG] para acceder a las funciones rigonoméricas (7) Edie la epresión sen(6θ / 5) oque (7) Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: 5 ; Má = 5 ; escala = = ; Má = ; escala = Mín θ = 0 ; Má θ = π Para configurar los dos úlimos parámeros, oque varia veces el boón de la barra de desplazamieno que se encuenra a la derecha (74) Toque [Acep] (75) Toque Aparece la gráfica de la curva de ecuación r = sen(6θ / 5) Figura 9 Para razar la curva del inciso b) omamos como inervalo dominio 0 θ 0π Dicho inervalo se deduce 5( θ + nπ) 5θ 0nπ 5θ realizando un análisis análogo al anerior, aquí debe enerse que sen = sen + = sen, es decir, 0 n π debe ser un múliplo par de π, lo cual sucede por primera vez si n = Por ora pare, dado que el período de la función r = sen( θ) es π, ambién es de período 0 π De manera que el inervalo dominio de la función suma r = sen ( θ ) + sen (5θ / ) es 0 θ 0π (76) Toque (77) Toque el cuadro de verificación para desacivar la ecuación de la curva en la línea r (78) Toque el cuadro de enrada de la línea r: Oprima [Keboard] (79) Edie la epresión sen( θ ) + sen (5θ / ) oque (80) Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: (8) Toque [Acep] 5 ; Má = 5 ; escala = = ; Má = ; escala = Mín θ = 0 ; Má θ = 0π (8) Toque Aparece la gráfica de la curva de ecuación r = sen ( θ ) + sen (5θ / ) Figura 0 Para razar la gráfica de la función r = (+ cos( θ )) uilizaremos el inervalo 0 θ π que corresponde al período de la función coseno (8) Toque (84) Toque el cuadro de verificación para desacivar la ecuación de la curva en la línea r (85) Toque el cuadro de enrada de la línea r: Oprima [Keboard] (86) Edie la epresión (+ cos( θ)) oque 8

9 (87) Acive la venana de visualización oque [Memoria] [Inicial] [Acep]: (88) Toque Aparece la gráfica de la curva de ecuación r = (+ cos( θ)) Por defeco, la venana Inicial iene para θ la configuración: Mín θ = 0 ; Má θ = π Para razar la gráfica de la relación enerse presene que θ 0 r = θ, presenada en el inciso d), debe por ora pare, la gráfica de esa relación esá compuesa por unión de las gráficas de las funciones r = θ r = θ para θ 0 De modo que razaremos ambas gráficas para ener la gráfica complea de la relación Figura (89) Toque (90) Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] (9) Ubique el cursor en el cuadro de enrada de la primera línea oque [Tipo] [Tipo r =] (9) Acive el eclado virual D (9) Toque (94) En la línea de enrada r, oprima oque (95) Acive la venana de visualización Toque [Memoria] [inicial] (96) Toque varias veces configure los siguienes ajuses: Mín θ = 0 ; Má θ = 5 (97) Toque [Acep] (98) Toque Aparece la gráfica de la relación r = θ Figura Cómo razar la gráfica de una curva represenada por sus ecuaciones paraméricas? Una curva C iene una represenación paramérica cuando los punos (, ) sobre ella, son función de una ercera variable, de al manera que podemos escribir = f() ; = g(), donde oma valores en un dominio común de las funciones f g Esas ecuaciones son llamadas las ecuaciones paraméricas de la curva C Para razar la gráfica de una curva que iene una represenación paramérica, basa regisrar sus ecuaciones paraméricas configurar los valores Min θ Ma θ donde varía el parámero Veamos cómo se procede en ese caso: 7 Trace las gráficas de las curvas represenadas por las ecuaciones paraméricas: = + = sen a) ; b) = = sen 4 + ; 0 π 9

10 Tracemos la gráfica de la curva del inciso a): 8 Operación con la Class Pad (99) Toque (00) Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] (0) Ubique el cursor en el cuadro de enrada de la primera línea oque [Tipo] [Tipo de parámero] (0) Acive el eclado virual D (0) En la línea de edición : regisre la epresión oque + (04) En la línea de edición : regisre la epresión + oque (05) Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: = ; Má = ; escala = = 5 ; Má = 5 ; escala = θ = ; Má θ = Figura (06) Toque [Acep] Aparece la gráfica de la curva del inciso a) Cuál es la gráfica de la curva si < < +? Tracemos la gráfica de la curva del inciso b) para 0 π : (07) Toque (08) Acive el eclado virual mh (09) Toque [TRIG] (0) Toque el cuadro de verificación para desacivar la ecuación de la curva en las líneas () En la línea de edición : regisre la epresión sen () oque () En la línea de edición : regisre la epresión sen (4) oque () Acive la venana de visualización configure los siguienes ajuses: (4) Toque [Acep] = ; Má = ; escala = = 5 ; Má = 5 ; escala = Mín θ = 0 ; Má θ = π Figura 4 (5) Toque Aparece la gráfica de la curva del inciso b) 0

11 9 PROBLEMAS Y EJERCICIOS: Dibuje en un mismo sisema coordenado la gráfica de la función cua regla de correspondencia es + = la de su asínoa oblicua de ecuación = Use diferenes líneas de razo configure los siguienes ajuses: = 4 ; Má = 4 ; escala = = 5 ; Má = 5 ; escala = Dibuje en un mismo sisema coordenado las gráficas de las funciones cuas reglas de + correspondencia son: = ; = Use diferenes líneas de razo configure los siguienes ajuses: = 4 ; Má = 4 ; escala = = 5 ; Má = 5 ; escala = Qué relación asinóica encuenra enre ambas curvas? Trace las gráficas de cada una de las siguienes funciones: Uilice como configuración de la venana de visualización, la venana Inicial a) = sen( an( ) ) b) = an sen c) 0sen = d) 4 Trace las gráficas de cada una de las siguienes funciones: Uilice una configuración adecuada de la venana de visualización a) = b) = c) + = Trace simuláneamene las gráficas de las siguienes curvas: = + e an Uilice como configuración de la venana de visualización, la venana Esándar a) r = b) r = c) r = + cos θ cos θ + senθ 6 La curva de ecuación caresiana + = se llama folio de descares a) Haga = susiua en la ecuación para hallar las ecuaciones paraméricas de la curva b) Trace la gráfica de la curva para Configure los siguienes ajuses: = 5 ; Má = 5 ; escala = = ; Má = ; escala = θ 00 ; Má θ = 00 ; paso θ = 0 5 c) La asínoa a la gráfica de la curva iene ecuación + + = 0 Trace su gráfica 7 Trace la gráfica de cada una de las siguienes curvas: + cos sen a) ; 4π 4π b) ; 0 6π c) + cos cos cos ; 0 π sen