PROPUESTA A. 2. Se pide:

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1 PROPUESTA A. Dada la ecuación matricial I X A X B a) Resuelve matricialmente la ecuación. (.7 puntos) b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 7 orden. (.7 puntos). En una tienda de ropa figura la siguiente afirmación: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta cuatro jerses. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas cuatro jerses. Un pantalón, una camiseta un jerse cuestan 8 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (. puntos) b) Determina el precio del pantalón, de una camisa de un jerse. (. puntos). Se considera la función ( ) f ( ) si si. Se pide: a) Continuidad en =. (. puntos) b) Etremos relativos en el intervalo (, ). ( punto). La función f() = + a + b tiene un mínimo en el punto (, ). Se pide: a) Determina el valor de a de b. ( punto) b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es creciente. (. puntos). En una empresa se producen dos tipos de sillas: A B, en una proporción de a, respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es. de que una silla de tipo B sea defectuosa es.9. a) Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (.7 puntos) b) Se escoge al aar una silla resulta no defectuosa, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.7 puntos) 6. La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica segundos. Se toma una muestra de llamadas la media de duración obtenida en esa muestra es de segundos. Se pide: a) Calcular un intervalo de confiana al 97 % para la duración media de las llamadas. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (. puntos) c) Crees que sería válido el intervalo de confiana obtenido, si la encuesta se hubiera realiado con llamadas de un único empleado? Raona tu respuesta. (. puntos)

2 PROPUESTA B. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones queremos que la cantidad invertida en las acciones de tipo A no pueda superar los. euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los. euros la suma de las cantidades invertidas no pueda eceder de. euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del % el ofrecido por las acciones del tipo B es del %. a) Dibuja la región factible. ( punto). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo maor posible. (. puntos). Al % del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al % del total les gusta sólo el baloncesto el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (. puntos) b) Calcula el total de alumnos el número de aficionados al fútbol al baloncesto. (. puntos). Se considera la función 6 8 si f ( ) si. Se pide: 6 8 si a) Límites laterales de la función f en el punto =. (. puntos) b) Representación gráfica de la función f. ( punto). La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión T(t) = t ( t), en donde t. Se pide: a) Temperatura que habrá a los minutos de comenada la reacción. (. puntos) b) En qué momento se alcana la máima temperatura cuál es ésta? (. puntos). Según un estudio, el % de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el % tiene contratada televisión por cable, el % disponen de ambos servicios. a) Si elegimos un hogar al aar tiene televisión por cable, cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? (.7 puntos) b) Se selecciona un hogar europeo al aar. Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (.7 puntos) 6. Se ha etraído una muestra de familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 9987, 96, 99, 6,, 7,, 99, 78, 69. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de deviación típica euros. a) Encontrar un intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (. puntos) c) Crees que sería válido el intervalo de confiana obtenido, si la encuesta se hubiera elegido entre familias con más ingresos del barrio? Raona tu respuesta. (. puntos)

3 SOLUCIONES PROPUESTA A. Dada la ecuación matricial I X A X B a) Resuelve matricialmente la ecuación. (.7 puntos) b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad 7 de orden. (.7 puntos) a) Resuelve matricialmente la ecuación. (.7 puntos) Mediante los siguientes cambios algebraicos llegamos a la solución, I X A X B X A X B I (I A) X B I Siendo I la matri identidad del mismo orden que X. En tal caso, eclusivamente cuando la matri (I + A) tenga inversa (es decir, sea cuadrada tenga determinante no nulo), podremos despejar la matri X del modo: X ( I A) ( B I) Además, para que (I + A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I además tengan el mismo orden. Por lo tanto, X ( I A) ( B I), si ( I +A) posee matri inversa, A e I a son del mismo orden su número de columnas es igual que el de filas de (B I). b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad 7 de orden. (.7 puntos) La ecuación tendrá solución, siempre cuando la matri A tenga matri inversa, esto es, cuando su determinante sea. Calculamos el determinante de A, A 7 Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según, A X I X A I A

4 Calculamos la matri inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula, A A Adj A t Siendo A t la matri transpuesta de A adj[a t ] la matri adjunta de la transpuesta. Realiamos las operaciones correspondientes: 7 7 ] ) [ 7 A A adj A t t En ese caso, la solución X será: 7 / / A X. En una tienda de ropa figura la siguiente afirmación: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta cuatro jerses. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas cuatro jerses. Un pantalón, una camiseta un jerse cuestan 8 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (. ptos) b) Determina el precio del pantalón, de una camisa de un jerse. (. puntos) a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (. ptos) Llamamos al precio de cada pantalón; al precio de cada camiseta; al precio de cada jerse. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta cuatro jerses Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas cuatro jerses Un pantalón, una camiseta un jerse cuestan 8 euros 8 Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por: 8 Que ordenado será: 8

5 b) Determina el precio del pantalón, de una camisa de un jerse. (. puntos) Resolvemos el sistema por el método de Gauss colocando la tercera ecuación como la primera. 8 8 La matri de Gauss queda determinada por: 8 Cambiamos la columna de las por la de las : 8 Multiplicamos la primera ecuación por la sumamos a las otras dos: F F F F F F Multiplicamos la segunda fila por se la sumamos a la tercera, F F F Si reescribimos la matri como sistema, podemos resolver de modo sencillo, /

6 8 6 6 Por lo tanto, ha pantalones, camisas jerses.. Se considera la función ( ) f ( ) si si. Se pide: a) Continuidad en =. (. puntos) b) Etremos relativos en el intervalo (, ). ( punto) a) Continuidad en =. (. puntos) Para que una función sea continua en un valor de abcisa = a se debe cumplir que los límites laterales en el punto = a coincidan con a imagen de la abcisa = a. Dicho de otro modo, lim a f ( ) lim a f ( ) f ( a) En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en =. Por lo tanto, estudiaremos los límites laterales el valor de la función en el punto =. lim f ( ) lim ( ) lim f ( ) lim f () ( ) Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f es continua en =. b) Etremos relativos en el intervalo (, ). (. puntos) Para el estudio de los etremos relativos, descartamos realiar derivadas por cuanto la función es a troos ha un valor absoluto de por medio. Procedemos a localiarlos mediante la representación gráfica. 6

7 En tal caso, la primera epresión algebraica ( ) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la epresión, e igualando a cero, obtenemos, [ ( + ) + ] = (+) ( + ) = = Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia arriba sin más que observar el coeficiente del monomio de grado dos. Calculamos algunos valores a iquierda derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que nuestro dominio para tal epresión es. = ( + ) En esta tabla ha que tener en cuenta que no pertenece al intervalo (, ) aunque si pertenece al dominio de la epresión que representamos. Por otra parte, la epresión +, tendrá un punto especial en aquel valor que anula el valor absoluto (ahí es donde se produciría el cambio de signo de la función si no es por el valor absoluto). En tal caso, ese valor es: = = + Observamos que, para valores de abcisa superiores a =, el valor absoluto no cambia el signo de la función a que, si <, + = + = Mientras que para valores de abcisa inferiores a =, el valor absoluto cambia el signo de la función a que, si <, + = + + = Puesto que el dominio de nuestra epresión es (, ) entonces, tendremos que la representación serán dos segmentos (parte de la rectas = + e = ). Tomamos algunos valores, < = + = < = + = 7

8 En esta tabla ha que tener en cuenta que = no es un punto del nuestro intervalo aunque sí nos sirve para representar nuestra epresión. Además, sabemos que lim f ( ) lim Por lo tanto, la representación gráfica pedida será: Concluimos que eiste un máimo relativo absosluto de la función f en el intervalo (, ) en el punto (, ) eisten dos mínimos relativos absolutos de la función f en el intervalo (, ) en los puntos (, ) (, ).. La función f() = + a + b tiene un mínimo en el punto (, ). Se pide: a) Determina el valor de a de b. ( punto) b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es creciente. (. puntos) a) Determina el valor de a de b. ( punto) Puesto que tiene un mínimo en (, ) entonces f () =. Como la derivada de f() es f () = + a, entonces si f () = tendremos que: De donde a = a =, 8

9 Por otra parte, puesto que pasa por el punto (, ), entonces f() =. Sustituendo en la epresión algebraica de la función tendremos que: Es, decir, 8 + a + b = a + b = Puesto que a = 8, sustituendo tendremos el valor de b, Por lo tanto, a = 8 b =. 6 + b = b = + 6 b = b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es creciente. (. puntos) Sea f() = 8 +. Si queremos calcular el intervalo donde la función es creciente, debemos resolver la inecuación f () >. La derivada de la función es f () = 8, de donde, resolviendo la inecuación f () >, 8 > > 8 > Concluimos que la función es creciente en (, + ).. En una empresa se producen dos tipos de sillas: A B, en una proporción de a, respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es. de que una silla de tipo B sea defectuosa es.9. a) Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (.7 puntos) b) Se escoge al aar una silla resulta no defectuosa, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.7 puntos) a) Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (.7 puntos) El problema se puede epresar mediante el siguiente diagrama de árbol: 9

10 En ese caso, la sillas defectuosas se puede calcular mediante el teorema de la probabilidad total según: P( defectuosa) P( defectuosa / A) P( A) P( defectuosa / B) P( B)) 9 9 Por lo tanto, la proporción de defectuosas es 9/. b) Se escoge al aar una silla resulta no defectuosa, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.7 puntos) En ese caso, la probabilidad de que la silla sea del tipo B se puede calcular mediante el teorema de Baes según: 9 P ( B / no defectuosa ) P( No P( No defectuosa / B) P( B) defectuosa / A) P( A) P( No defectuosa / B) P( B) Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 76 aproimadamente. 6. La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica segundos. Se toma una muestra de llamadas la media de duración obtenida en esa muestra es de segundos. Se pide: a) Calcular un intervalo de confiana al 97 % para la duración media de las llamadas. (pto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (. puntos) c) Crees que sería válido el intervalo de confiana obtenido, si la encuesta se hubiera realiado con llamadas de un único empleado? Raona tu respuesta. (. puntos) a) Calcular un intervalo de confiana al 97 % para la duración media de las llamadas. (pto) Sea la variable aleatoria X que mide la duración de las llamadas de teléfono. Según los datos del problema esta variable se distribue mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = s. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = componentes nos dicen que su media muestral es X s. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confiana con α = 97 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X /, X n / n

11 Puesto que α = 97, entonces α = α/ = por lo que α/ = 7. Por tanto, sustituendo en la fórmula del intervalo: 7, 7 (7 8, 7) Concluimos que el intervalo de confiana al 97 % para la duración de las llamadas es (7 8, 7). b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (. puntos) La interpretación es sencilla. Ha una probabilidad del 97 % de que tomada una llamada al aar, dure entre 7 8 segundos 7 segundos. c) Crees que sería válido el intervalo de confiana obtenido, si la encuesta se hubiera realiado con llamadas de un único empleado? Raona tu respuesta. (. puntos) Únicamente sería válido si se entiende que estamos analiando la duración de las llamadas de ese empleado en concreto. Si lo que se está analiando es la duración de las llamadas de cualquier persona de una población determinada con más de un individuo, está claro que estamos sesgando la muestra al tomar un solo comunicante a que este puede no representar a la población en estudio. Por ejemplo, si tenemos una población de personas que invierten mucho tiempo en sus llamadas, tomamos como muestra al aar a aquella persona que no usa casi el teléfono, estamos claramente sesgando el resultado porque los resultados no serán representativos de lo que realmente ocurre.

12 SOLUCIONES PROPUESTA B. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones queremos que la cantidad invertida en las acciones de tipo A no pueda superar los. euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los. euros la suma de las cantidades invertidas no pueda eceder de. euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del % el ofrecido por las acciones del tipo B es del %. a) Dibuja la región factible. ( punto). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo maor posible. (. puntos) a) Dibuja la región factible. ( punto) Si llamamos al número de acciones de tipo A e al número de acciones el tipo B, tendremos que los datos anteriores nos llevan a una epresión algebraica de la región factible del tipo:.,.. Las dos primeras epresiones nos determinan dos rectas verticales, = =., junto con dos horiontales = e =. que restringen la ona de soluciones a un rectángulo. En cuanto a la tercera epresión, +., representamos el semiplano de posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta =. =... Representamos la recta el rectángulo en un mismo plano cartesiano determinando la pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (,), (que la verifican todos). La región coloreada en amarillo es la región factible.

13 Calculamos los vértices de la región factible: Punto A de intersección de las rectas + = e =, da como solución A(, ). Punto B de intersección de las rectas + = con =, da como solución B(, ). Punto C de intersección de las rectas = con =, da como solución C(, ). Punto D de intersección de las rectas = con =, da como solución D(, ). Punto E de intersección de las rectas = con =, da como solución E(, ). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo maor posible. (. puntos) Sea la función que determina el beneficio vendrá dada por la epresión algebraica: F(,) =.+. Aplicando los puntos de la región factible a la función encontraremos de entre ellos a aquel que tenga maor beneficio. Ese punto es el punto de maor beneficio de toda la superficie limitada. F(, ) =. +. = + = 6 F(, ) =. +. = + = F(, ) =. +. = + = F(, ) =. +. = + = F(, ) =. +. = + = En conclusión, hemos obtenido que los valores de maor beneficio se encuentran si compramos = acciones de tipo A e = acciones del tipo B.. Al % del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al % del total les gusta sólo el baloncesto el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (. puntos) b) Calcula el total de alumnos el número de aficionados al fútbol al baloncesto. (. puntos) a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (. puntos) Llamamos al número de alumnos de la clase; al número de alumnos que sólo les gusta el fútbol; al número de alumnos que sólo les gusta el baloncesto. Observar que si al % sólo les gusta el fútbol al % sólo les gusta el baloncesto, entonces al % no les gusta ninguno de estos deportes. En tal caso el sistema vendrá dado por: 6

14 b) Calcula el total de alumnos el número de aficionados al fútbol al baloncesto. (. puntos) Resolvemos el sistema anterior a partir de la tercera ecuación: 6 6 / Por lo tanto, el total de alumnos es, los alumnos que sólo les gusta el fútbol son mientrás que los que sólo les gusta el baloncesto son.. Se considera la función 6 8 si f ( ) si. Se pide: 6 8 si a) Límites laterales de la función f en el punto =. (. puntos) b) Representación gráfica de la función f. ( punto) a) Límites laterales de la función f en el punto =. (. puntos) El límite lateral por la iquierda en = será: lim f ( ) lim ( 6 8) ( ) 6 ( ) 8 8 El límite lateral por la derecha en = será: lim f ( ) lim b) Representación gráfica de la función f. ( punto) Para dibujar la gráfica vamos estudiando las tres funciones por separado en sus respectivos dominios. Representación de = 6 8 para Se trata de una parábola con ramas hacia abajo por ser un polinomio de grado dos. Su máimo lo alcana para el valor de abcisa que anula su derivada =, es decir, 6 = 6 = = que es un valor de abcisa dentro del dominio. El punto de Máimo es (, ( )) = (, ).

15 Con cinco puntos sobre el dominio (hasta = incluido) construimos la parte de las dos ramas que nos interesa: Representación de = con < + = Se trata de un segmento horiontal sobre el eje OX entre (sin incluir) (incluido). Representación de = para > Se trata de una parábola con ramas hacia arriba por ser un polinomio de grado dos. Su máimo lo alcana para el valor de abcisa que anula su derivada =, es decir, 6 = = 6 = que es un valor de abcisa dentro del dominio >. El punto de Mínimo es (, ()) = (, ). Con cinco puntos sobre el dominio (a partir de = ) construimos la parte de las dos ramas que nos interesa: lim = f ( ) 6 8 Por lo tanto, la gráfica de la función a troos determinada en el enunciado es:

16 . La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión T(t) = t ( t), en donde t. Se pide: a) Temperatura que habrá a los minutos de comenada la reacción. (. puntos) b) En qué momento se alcana la máima temperatura cuál es ésta? (. puntos) a) Temperatura que habrá a los minutos de comenada la reacción. (. puntos) Puesto que la variable t se mide en horas, debemos saber qué temperatura habrá a los minutos, deberemos sustituir en la función por el valor horas. T(t) = ( ) = º Concluimos que habrá una temperatura de º a la media hora del inicio de la reacción química. b) En qué momento se alcana la máima temperatura cuál es ésta? ( puntos) Primero hallamos una epresión más simplificada de la función T(t) operando: T(t) = t ( t) = t t Calculamos los máimos relativos de la función T(t) por medio de la derivada: T (t) = t Si anulamos la derivada tendremos que el valor de etremo relativo es t = horas. En estas condiciones, sabiendo que la función T(t) en realidad es una parábola con ramas hacia abajo, tendremos que t = horas es un máimo absoluto de la función T(t) por lo tanto, concluimos que una hora después de iniciada la reacción tendremos la máima temperatura. El valor de la temperatura máima queda determinado por T( ), T( ) = ( ) = º Concluimos que la temperatura máima se alcana a la hora de iniciada la reacción ésta es de º 6

17 . Según un estudio, el % de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el % tiene contratada televisión por cable, el % disponen de ambos servicios. a) Si elegimos un hogar al aar tiene televisión por cable, cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? (.7 puntos) b) Se selecciona un hogar europeo al aar. Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (.7 puntos) a) Si elegimos un hogar al aar tiene televisión por cable, cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? (.7 puntos) Llamamos suceso A a tener contratado acceso a internet llamamos suceso B a Tener contratada televisión por cable. Se observa entonces que, por las condiciones del problema, P(A) = P(B) = P(A B) = En ese caso, se nos está preguntando por la probabilidad del suceso condicionado A/B. Dicha probabilidad se puede calcular a partir de la fórmula: P( A/ B) P( A B) P( B) Aplicando los valores correspondientes tendremos que, P( A B) P ( A/ B) 6 P( B) Por lo que concluimos que ha una probabilidad de 6 6 % aproimadamente de que un hogar que tenga televisión por cable, tenga también internet. b) Se selecciona un hogar europeo al aar. Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (.7 puntos) Se nos está pidiendo la probabilidad del suceso complementario al suceso tener contratado alguno de los dos servicios. La probabilidad de tener al menos uno de los dos servicios es la probabilidad del suceso A B, cuo cálculo se puede realiar mediante la fórmula: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Aplicando las condiciones numéricas del problema tendremos que esta probabilidad es: P(A B) = + = 7

18 Y entonces concluimos que la probabilidad de no tener contratado ninguno de los dos servicios es la probabilidad del suceso complementario a A B, que se calcula mediante la fórmula, Por lo tanto, P((A B) c ) = P(A B) P((A B) c ) = = 7 la probabilidad de no tener contratados ambos servicios es del 7 %. 6. Se ha etraído una muestra de familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 9987, 96, 99, 6,, 7,, 99, 78, 69. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de deviación típica euros. a) Encontrar un intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (. puntos) c) Crees que sería válido el intervalo de confiana obtenido, si la encuesta se hubiera elegido entre familias con más ingresos del barrio? Raona tu respuesta. (. puntos) a) Encontrar un intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media. ( punto) Sea la variable aleatoria X que mide la renta familiar. Según los datos del problema esta variable se distribue mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = euros. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = de la que podemos calcular su media muestral: X En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confiana con α = 9 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X /, n X / n Puesto que α = 9, entonces α = α/ = por lo que α/ = 96. Por tanto, sustituendo en la fórmula del intervalo: 96, 96 (99, 7 7) Concluimos que el intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar es (9.9,.7 7). 8

19 b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (. puntos) La interpretación es sencilla. Ha una probabilidad del 9 % de que tomada una familia al aar tenga una renta comprendida entre c) Crees que sería válido el intervalo de confiana obtenido, si la encuesta se hubiera elegido entre familias con más ingresos del barrio? Raona tu respuesta. (. puntos) Si lo que se está analiando es la renta familiar de las familias del barrio, está claro que estamos sesgando la muestra al tomar un sólo aquellas familias con más ingresos a que puede no representar a la población en estudio. Por ejemplo, si tenemos una población de familias mu pobres tomamos como muestra al aar las familias con más ingresos, obtendremos resultados acerca de la población que cuantitativamente van a ser superiores a lo que es la realidad del barrio. 9