Programa Entrenamiento MT-22

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1 Programa Entrenamiento MT- SOLUCIONARIO Guía de ejercitación avanzada SGUICEN0MT-A6V

2 TABLA DE CORRECCIÓN Guía de ejercitación ÍTEM ALTERNATIVA HABILIDAD D E B 4 C 5 C Comprensión 6 B 7 E Comprensión 8 C 9 D 0 E D C C 4 E 5 B 6 D 7 C 8 B 9 D 0 B C A D 4 D 5 D 6 C 7 D 8 A 9 C 0 D

3 . La alternativa correcta es D. Si Área del cubo = 84 = 6a, encontrando la arista del cubo: 64 = a 8 = a O sea, la arista del cubo mide 8 cm. Luego: I) Verdadera, ya que el total de aristas es, entonces 8 cm = 96 cm. II) Falsa, ya que Volumen = (8cm) = 5 cm III) Verdadera, ya que la diagonal de un cubo de arista a cm mide a Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. cm.. La alternativa correcta es E. Al referirnos a capacidad estamos hablando del volumen del cubo, luego el volumen medido en centímetros cúbicos nos queda: Volumen del cubo a cm Luego, a 8.000cm = 0 cm. Es decir, cada arista mide 0 cm, y en total son aristas, entonces, la suma de las medidas de todas las aristas es 40 cm.. La alternativa correcta es B. Aplicando la fórmula de las áreas, tenemos Área del cubo Área del cubo 6a 6b 9 6 Donde a = arista del cubo, y b = arista del cubo. Luego, a b 9 6 a b 4

4 Luego, la razón entre los volúmenes es Volumen del cubo Volumen del cubo a b 7 64 = 7: La alternativa correcta es C. El área del paralelepípedo se calcula por: Área del paralelepípedo = (largo ancho + ancho alto + alto largo) Luego, reemplazando los valores, tenemos: Área del paralelepípedo = ( ) = 90 = 80 cm 5. La alternativa correcta es C. Comprensión Calculemos los volúmenes de los cubos. Volumen cubo menor = 8a Volumen cubo mayor = 64a El volumen del cubo menor está contenido 8 veces en el cubo mayor. 6. La alternativa correcta es B. Sean a el ancho, h la altura y l el largo del paralelepípedo. como a : h : l = : : 4, entonces a = k, h = k y l = 4k con k constante. Luego: a + h + l = 8 k + k + 4k = 8 9k = 8 k = Por lo tanto: a = k = = 4 cm ; h = k = = 6 cm ; l = 4k = 4 = 8 cm Entonces: Volumen = a h l Volumen = Volumen = 9 cm

5 7. La alternativa correcta es E. Comprensión La cantidad de caras de un icosaedro es La alternativa correcta es C. El volumen de un prisma es igual a Área de la base Altura. Luego, reemplazando: Área = 6 lado 4 5 = = 6 5 = La alternativa correcta es D. I) Verdadera, ya que un poliedro es un cuerpo geométrico en los que todas las superficies que lo limitan son polígonos, por lo tanto, todas sus caras son planas, condición que cumple el cubo. II) III) Verdadera, ya que un prisma es un cuerpo geométrico que tiene una pareja de caras basales que son polígonos congruentes paralelos entre sí y las caras laterales son paralelógramos, condición que cumple el cubo. Verdadera, ya que un paralelepípedo es un cuerpo geométrico en el cual todas sus caras son paralelógramos, condición que cumple el cubo. Por lo tanto, todas son verdaderas.

6 0. La alternativa correcta es E. El volumen de un prisma se calcula: Volumen prisma = área base altura. Si la base es un hexágono regular de lado 4 cm, entonces se puede descomponer en seis triángulos equiláteros de lado 4 cm. Entonces, el área del hexágono regular se calcula lado lado 6. 4 Luego, como el lado del hexágono regular mide 4 cm, entonces el área de la base mide: 4 6 área 4. Como todas las caras del prisma tienen igual área, entonces las seis caras laterales son rectángulos de área 4. Por lo tanto, si la base del rectángulo mide 4 cm, entonces la altura mide 6, y coincide con la altura del prisma. Luego, el volumen del prisma mide 4 6 = 4 6 = 4 cm.. La alternativa correcta es D. El volumen de una pirámide es igual a (Área de la base Altura). Luego: Área = 5 = 5 = =.650 cm

7 . La alternativa correcta es C. Si todas las aristas son de igual medida, entonces las caras laterales son cuatro triángulos equiláteros. Si a es la medida de la arista, entonces el área basal corresponde a un cuadrado de lado a, luego su área es a, y el área lateral está formada por cuatro triángulos equiláteros a de lado a, luego su área es 4 a 4 Por lo tanto, la razón pedida es: área basal a (Simplificando) área lateral a área basal área lateral área basal área lateral (Racionalizando). La alternativa correcta es C. Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AB, se genera un cilindro de radio BC, y altura 0 cm. Como AB : BC = :, entonces BC = 5 cm. Luego, el volumen de ese cilindro es: 0 Volumen cilindro = πr h = 5π 0 = 6.750π cm 5 4. La alternativa correcta es E. El área de un cilindro es igual a la suma de las áreas que lo limitan. Luego: Área cilindro = πr + πrh = π 4 + π 4 6 = π + 48π = 80π cm

8 5. La alternativa correcta es B. Volumen cilindro = π r h Como el cilindro está lleno en 4 de su capacidad con agua, entonces: Volumen agua = 4 π r h Volumen agua = 4 π (4 cm) 0 cm Volumen agua = 0 π cm 6. La alternativa correcta es D. V cilindro = πr h (Reemplazando π por y r por 0) V cilindro = 0 h V cilindro = 00h Como el cilindro se llena completamente con, litros de agua (.00 cm³), significa que: 00h =.00, luego h = 4 cm 7. La alternativa correcta es C. El cuerpo que se genera está formado por dos conos iguales, de altura y radio r h V = V = 8 V = (Sustituyendo) (Calculando)

9 Debemos multiplicar el volumen por, luego el volumen del cuerpo generado es 6 8. La alternativa correcta es B. Al rotar indefinidamente el segmento PQ de coordenadas P(6, ) y Q(, 7) en torno a la recta x =, se genera un cono de radio y altura 4. Luego, calculamos el volumen de ese cono. Volumen cono = r h 4 Volumen cono = Volumen cono = 9. La alternativa correcta es D. El cuerpo que se genera es un cono de altura 5 y radio 5: r h V = 5 5 V = 5 V = cm 0. La alternativa correcta es B. Si se ubican los puntos en el plano cartesiano resulta el dibujo adjunto. Luego, el triángulo ABC corresponde a un triángulo rectángulo de catetos a y a. Si el triángulo se gira indefinidamente en torno al lado BC se genera un cono de radio a y altura a.

10 r h El volumen de un cono se calcula: Volumen cono = Por lo tanto, reemplazando radio = a y altura = a, se obtiene: Volumen cono = Volumen cono = Volumen cono = (a) a 9a a 6a (Calculando). La alternativa correcta es C. En un cono, el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo, donde el radio y la altura son los catetos y la generatriz es la hipotenusa. Por lo tanto, la generatriz es mayor que el radio y que la altura, pero entre la medida del radio y la medida de la altura no existe una relación de orden establecida. Por lo tanto: I) Verdadero. II) III) Verdadero, ya que como generatriz > radio (Multiplicando por π radio) π radio generatriz > π radio Área lateral > Área basal Entonces, el área lateral es mayor que el área basal. Falso. Por lo tanto, solo I y II son verdaderas.

11 . La alternativa correcta es A. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 0 cm, entonces, por trío pitagórico, la hipotenusa mide 5 cm. Además, al trazar la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible calcular la medida de esa altura y de las proyecciones mediante el teorema de Euclides, como lo indica el dibujo Luego, al girar el triángulo en torno a la hipotenusa resultan dos conos de base común cuyo radio mide cm, y con alturas de 9 cm y 6 cm, como muestra el dibujo. El volumen de un cono se calcula: Volumen cono radio altura 9 6 Luego, como uno de los conos tiene radio = cm y altura = 9 cm, entonces su volumen mide: Volumen cono 9cm 44 9cm 4 cm Además, el otro cono tiene radio = cm y altura = 6 cm, entonces su volumen mide: Volumen cono 6cm 44 6cm 768 cm Por lo tanto, volumen total mide: 4 cm cm =.00 cm.

12 . La alternativa correcta es D. El volumen de una esfera se calcula como 4 Luego, radio = 4 8 cm radio. El área de una esfera se calcula como 4π radio². Luego, Área = 4π 8 cm² Al desarrollar la raíz, resulta 8 88 Por lo tanto, el área de la esfera mide (4π ) = cm². 4. La alternativa correcta es D. El volumen de una esfera de diámetro 6 cm y radio cm, es: Volumen esfera = 4r = = Luego, el volumen de la esfera es 6π cm = 6 5. La alternativa correcta es D. Debemos analizar en cuánto varía el radio. Si el radio es r, y aumenta en un 0% el nuevo radio es 6 r. 5 Luego, el volumen con el nuevo radio es: 88 r 5

13 88 Dividiendo: =,78 = 7,8% 5 Por lo tanto varía en un 7,8% 6. La alternativa correcta es C. La razón entre las áreas de dos esferas es igual al cuadrado de la razón entre sus radios. La razón entre los volúmenes de dos esferas es igual al cubo de la razón entre sus radios. Por lo tanto, como el área de la esfera original mide A, si se asignan las variables: R : radio de la esfera original R : radio de la segunda esfera A : área de la segunda esfera V : volumen de la esfera original V : volumen de la segunda esfera V R Entonces se puede plantear:. Como la esfera original se divide en dos partes V R iguales, cada una de ellas tiene la mitad del volumen de la esfera original, es decir: V V V, o sea: V. Luego, R R, entonces R R. Por otro lado, A A R R, entonces A A. Por lo tanto, 4 A A. 4 A Luego, el área de la segunda esfera es. 4

14 7. La alternativa correcta es D. () La diagonal del cubo mide 6 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área del cubo, ya que se puede determinar la arista del cubo. () El volumen del cubo mide 6 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área del cubo, ya que podemos determinar la arista del cubo. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 8. La alternativa correcta es A. ()El área de una de las caras circulares del cuerpo formado es 6π cm y el área del rectángulo es cm. Con esta información, sí es posible determinar el volumen del cilindro generado, ya que se puede saber que el radio mide 4 cm y la altura 8 cm. ()La altura del cilindro formado mide 8 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen del cilindro generado, ya que falta el radio de la base. Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 9. La alternativa correcta es C. () El perímetro de la base mide cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, ya que se puede conocer el radio pero no la altura. () La altura del cono mide 9 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, pues no se conoce el radio.

15 Con ambas informaciones, sí es posible determinar el volumen del cono, ya que podemos determinar el radio y la altura es conocida. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 0. La alternativa correcta es D. () El radio de la esfera mide 9 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área de una esfera, ya que solo reemplazamos en la fórmula. () El volumen de la esfera mide 97 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área de una esfera, ya que podemos determinar el radio. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

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