Cámara. Práctica Introducción Proyección

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1 Práctica 5 Cámara 5.1. Introducción En esta práctica se aborda la creación de la cámara virtual, esto es, el medio o forma mediante el cual vamos a poder observar los elementos de la escena. De nuevo, para una mejor explicación, recurrimos al ejemplo del caso real. Pensemos en una persona, la cual usará sus ojos y su cerebro para crear las imágenes, y en una cámara de fotos, que utiliza la lente y la película. En el caso de la persona, si sólo tenemos en cuenta el funcionamiento del ojo, podemos establecer un paralelismo con la cámara fotográfica. Antes de comenzar a explicar cómo se obtiene un modelo de cámara, debemos recordar y hacer hincapié en el tipo de información que hemos necesitado usar para que el ordenador pueda tratarla: los objetos son, básicamente, posiciones en el espacio (geometría), junto con relaciones (topología), que son interpretadas según las capacidades gráficas, dependiendo de las necesidades del usuario. Qué hace el ojo o una cámara? Selecciona una parte de la escena, eliminando el resto, y proyecta dicha información en una superficie bidimensional (la retina o la película). Estos son los dos procesos que vamos a distinguir: posicionamiento y orientación, y proyección. Para facilitar su comprensión, debemos comenzar por explicar la proyección, ya que la misma condiciona la del posicionamiento y orientación Proyección Si nos fijamos, veremos que la mayoría de los medios que estamos usando para representar imágenes son bidimensionales: una hoja de papel, una pizarra, una pantalla, un monitor, etc. En cambio nuestro mundo es tridimensional. Por tanto, debe haber un proceso que permita pasar desde las tres dimensiones a las dos dimensiones: la proyección. En general, la proyección es un proceso que permite el paso desde un espacio de n dimensiones a otro de n 1 dimensiones. Los parámetros que se necesitan son: Centro de proyección: un punto en el espacio, a través del cual pasan todos los proyectores. Proyector: recta que se forma entre el centro de proyección y cada uno de los puntos que son proyectados. Superficie de proyección: superficie de una dimensión menor a la del espacio donde se esta realizando la proyección.

2 56 Cámara Figura 5.1: Proyección de perspectiva. En nuestro caso particular, el espacio es tridimensional y la superficie de proyección es normalmente un plano. Ya sólo nos queda definir que es la proyección. La proyección es la intersección (conjunto de vértices) de los proyectores con el plano de proyección. Existen dos tipos básicos de proyecciones, dependiendo de la posición del centro de proyección: si el centro de proyección no está en el infinito, hablaremos de una proyección de perspectiva, mientras que si el centro de proyección está en el infinito, hablaremos de una proyección paralela (las línea paralelas se cruzan en el infinito). En el resto de la explicación utilizaremos la proyección de perspectiva, ya que es la que se asimila a nuestra forma de ver (la proyección paralela no es realista, pero es útil: planos, etc.). En la figura 5.1 se puede ver gráficamente en qué consiste la proyección y cómo se puede describir mediante un proceso más sencillo, al descomponerlo en 2 procesos bidimensionales. Dada la configuración de la figura, con el plano de proyección z = 0, y el centro de proyección en (0,0,d), si nos fijamos, lo que queremos obtener es el valor de las coordenadas x e y de la proyección, ya que sabemos que z es igual a 0. Si usamos semejanza de triángulos tendremos que: y d = y d+z y = dy d+z y = y 1+ z d dividiendo por d Para las equis queda x = x 1+ z. d Tranformación de vista Una vez se ha visto la proyección, pasamos a describir la definición de la colocación y orientación de la camara, esto es, la transformación de vista. Una característica de la cámara de OpenGL es que el centro de proyección siempre está en el origen, y por defecto orientada (mirando) hacia el eje negativo de las zetas. En relación con lo que hemos explicado sólo habría que desplazar todo en (0,0, d). Para seguir con la explicación, quedémonos con lo importante: el centro de proyección está en el origen, el plano de proyección está en (0,0, d) (el parámetro d lo determina el usuario) y la cámara mira hacia (0,0, 1), y es fija. Esto último es muy importante pues nos dice que, dado que para que un objeto pueda observarse con OpenGL debe estar detrás del plano de proyección (veremos que también es el plano de corte delantero), dicho objeto debe ser movido de forma acorde. Pongamos un ejemplo sencillo que facilitará su comprensión. Imaginemos un cubo de tamaño unidad colocado en el origen del sistema de coordenadas. Deseamos ver el objeto

3 5.1 Introducción 57 Figura 5.2: Las transformaciones son relativas: se puede obtener el mismo resultado moviendo el cubo o moviendo el observador. desde el eje z. Esto implica que el centro de proyección debe tener las siguientes coordenadas (0,0,d). Además, el plano de proyección debe estar entre el centro de proyección y la cara del cubo. Por tanto, la coordenada z debe cumplir que z c p < z p p < z c. Pongamos que para el centro de proyección la distancia es 2 y para el plano de proyección es 1. En este caso, hemos movido la cámara para poder ver el objeto (éste es el procedimiento normal). Pero sabemos que la cámara de OpenGL es fija. Por tanto deberemos mover el objeto de tal manera que el resultado obtenido sea el mismo (en la realidad, esto no es posible, a veces). Si nos fijamos, sería tan sencillo como aplicar al objeto la transformación que es necesaria para colocar al centro de proyección en el origen, esto es, una traslación de (0,0, 2), y de manera correspondiente, indicar que la coordenada z del plano de proyección es 1 (veremos que en realidad se da sólo una distancia, y que para la proyección de perspectiva siempre es positiva, en este caso, 1). Estados posibilidades se muestran en la figura 5.2. Lo importante de esta explicación es observar que los movimientos de la cámara virtual se convierten en los movimientos inversos u opuestos en los objetos. Y si quisiéramos ver la cara del cubo que está en las equis positivas?. Si el objeto está fijo, tendríamos que girar la cámara 90 grados con respecto al eje y. Si la cámara está fija, el objeto tiene que ser rotado 90 grados!. La secuencia de transformaciones sería primero rotar el objeto y luego trasladarlo. Si estas ideas están claras, el proceso de posicionamiento y orientación es sencillo: queremos colocar la cámara, y orientarla, de tal manera que el usuario vea lo que quiere ver, sabiendo que esto implicará transformar el objeto. Esto es, para colocar la cámara suponemos que la escena es fija y que la que se mueve es la cámara, pero esto nos sirve para calcular las transformaciones que se aplican a los objetos de la escena. La secuencia de acciones que tenemos que seguir para definir el posicionamiento de la cámara es la siguiente:

4 58 Cámara Figura 5.3: Parámetros que definen la cámara. Definición de los parámetros de la cámara Construcción del Sistema de Vista Cálculo de la Transformación de Vista Veamos a continuación los distintos pasos. Lo primero que tenemos que hacer es dar los parámetros que posicionan y orientan la cámara(figura 5.3): La posición: donde está la cámara. A este parámetro lo vamos a denominar V.R.P. (view reference point). Se indica mediante un punto dado con respecto al sistema de coordenadas fijo (de mundo) (x,y,z). Por este punto pasa el plano de proyección. La orientación: hacia donde se mira. A este parámetro lo vamos a denominar V.P.N. (view plane normal). Se indica mediante un vector dado con respecto al sistema de coordenadas fijo (de mundo) (x,y,z). El otro punto del vector es el origen. El sentido del vector es opuesto hacia donde se mira. El vector es perpendicular al plano (en realidad, es este vector el que define su orientación). El sentido hacia arriba. A este parámetro lo vamos a denominar V.Up (view up) o V.U.V. (view up vector). Se indica mediante un vector dado con respecto al sistema Figura 5.4: Efecto del vup.

5 5.1 Introducción 59 Figura 5.5: Cuales son las coordenadas del punto P0 visto desde el SCV?. de coordenadas fijo (de mundo) (x,y,z). El efecto que produce el vup se observa en la figura 5.4. El vpn y el vup no pueden ser paralelos. El segundo paso consiste en la creación del Sistema de Coordenadas de Vista (SCV). Por qué es necesario construir un nuevo sistema de coordenadas?. Porque es el SCV el que permite construir las transformaciones necesarias para colocar los objetos para que puedan ser observados. Veamoslo con el ejemplo de la figura 5.5. Si hacemos que tanto el punto P 0 como el sistema de vista se definan en función del sistema de coordenadas de mundo (la situación normal), se puede comprobar que no se tiene información de cuales serán las coordenadas de P 0 con respecto al SCV. Pero es justamente el SCV el que representa al observador y con respecto al que se va a realizar la proyección. Por tanto, debemos las coordenadas de P 0 con respecto al SCV. Esta transformación, consistente en un cambio de sistemas de coordenadas, se llama transformación de vista. La solución consiste en definir las transformaciones necesarias que convierten el s.c. de vista en el s.c. de mundo. O dicho de otra manera, las transformaciones que alinean el s.c. de vista con respecto al s.c. de mundo. Si pensamos en el ejemplo, la transformación de vista consistiría en la traslación ( 2, 1), y por tanto, las coordenadas del punto serían (1,2)+( 2, 1) = ( 1,1). En el caso general el proceso es un poco más complejo. La creación del sistema de coordenadas de vista se realiza en los siguientes pasos: El vrp es el origen del s.c. de vista (Figura 5.6, a). El eje z del s.c. de vista es el mismo que el del vpn, y se denomina n (Figura 5.6, b). El eje x del s.c. de vista, se calcula como el producto vectorial del vup por el vpn, vup vpn, y se denomina u (Figura 5.6, c). El eje y del s.c. de vista, se calcula como el producto vectorial del vpn por el u, vpn u, y se denomina v (Figura 5.6, d). Una vez definido el sistema de coordenadas de vista, sólo nos queda calcular la transformación de vista, la que pasa de un sistema de coordenadas al otro, de coordenadas de mundo a coordenadas de vista. Los pasos a seguir son (Figura 5.7):

6 60 Cámara (a) (b) (c) (d) Figura 5.6: Creación del sistema de coordenadas de vista. Trasladar el vrp, con coordenadas (x vrp,y vrp,z vrp ) al origen del s.c. de mundo mediante una traslación T( x vrp, y vrp, z vrp ) (Figura 5.7, a). Se alinean los ejes mediante tres rotaciones (como máximo). El orden de las rotaciones es indiferente (para la explicación el orden es x, y y z). Para ello, lo primero es alinear el eje n con el eje z, y por último, alinear el eje v con el y. Las transformaciones serían: Rotación con respecto al eje x del vpn. Esto supone calcular el ángulo para que el vpn se tumbe en el plano y = 0 (Figura 5.7, b). Es importante notar que se obtiene un nuevo vpn que llamaremos vpn. Se obtiene el ángulo α. Rotación con respecto al eje y del vpn, para alinearlo con el eje z (Figura 5.7, c). Se obtiene el ángulo β. Rotación con respecto al eje z del u o del v (los vectores obtenidos despues de las dos transformaciones anteriores), para alinearlo con ele eje x o el eje y, respectivamente (Figura 5.7, d). Se obtiene el ángulo γ. Por tanto, la secuencia de transformaciones que habría que aplicar a todos los vértices de los objetos seria la siguiente: V = V T f inal siendo T f inal = T vrp R α R β R γ (recordar que el orden en OpenGL depende del uso de la pila). Con esto se consiguen alinear los sistemas de coordenadas (Figura 5.7, e), pero para OpenGL, el centro de proyección siempre está en

7 5.2 Objetivos 61 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 5.7: Transformación de vista. el origen. Por tanto, habrá que añadir la traslación que coloca el centro de proyección en el origen, quedando la transformación final como T f inal = T vrp R α R β R γ T cp (Figura 5.7, f) Objetivos Se incluirá en la práctica anterior el código que permita la definición de una cámara virtual, generando la transformación de vista Desarrollo Para esta práctica se entrega el código que permita dibujar varios objetos del mismo tipo en distintas posiciones y orientaciones. Al ejecutar el programa debemos indicar el número de objetos que queremos. Se entrega el código para visualizar un objeto del tipo tablero de ajedrez, sobre el que se colocarán el resto de objetos, así como una clase para matrices (matrix.h). También se entrega el código de una clase llamada _random que permite obtener valores aleatorios dado un intervalo. Por ejemplo, el siguiente código define una variable tipo _random que tiene como limites 1 y 1. La siguiente instrucción permite obtener un valor aleatorio de Prueba, el cual puede variar en un ±20%. _random Random(-1,1); 1 En en programa que se está entregando, no se da la distancia del centro de proyección al plano de proyección, sino la distancia del plano delantero al origen, lo cual es equivalente

8 62 Cámara Figura 5.8: Resultados. float Prueba=10; Prueba=Prueba*(1+.2*Random.value()); Para obtener los valores de las rotaciones de la cámara es importante la función atan2, teniendo en cuenta los valores que devuelve cuando alguno de los parámentros es 0. Los valores del VRP, VPN y VUP se obtienen mediante una subventana. El código que se entrega muestra cómo crear una subventana y como se pueden. en lazar"variables (float, int, etc.) a objetos que respondan a eventos (FXDataTarget), para que cuando se introduzca un valor en el objeto gráfico, el mismo se vea reflejado en la variable, y viceversa Evaluación Se evaluarán los siguientes puntos: Creación de la transformación de vista Temporización: 2h 5.6. Mejoras Como posibles mejoras están: Definir la proyección paralela Definir las vistas de frente, alzado y perfil.

9 5.7 Bibliografía Bibliografía Mark Segal y Kurt Akeley;The OpenGL Graphics System: A Specification (version 1.5); Edward Angel;Interactive Computer Graphics. A top-down approach with OpenGl; Addison-Wesley, 2000 J. Foley, A. van Dam, S. Feiner y J. F. Hughes; Computer Graphics: Principles And Practice, 2 Edition; Addison-Wesley,1992

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