INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

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Susana Gómez de la Fuente
hace 7 años
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1 INTRODUCCIÓN L CÁLCULO VECTORIL 1.- MGNITUDES ESCLRES Y VECTORILES. Mgnitudes esles: son ls que quedn pefetmente definids po el vlo de l medid. Mgnitudes vetoiles: son ls que p definils pefetmente es peiso onoe el vlo de su medid, l dieión y el sentido en que tún. 2.- VECTORES. Un veto es un segmento etilíneo oientdo. Su longitud (MÓDULO) indi el vlo numéio de l mgnitud epesentd, l dieión (LÍNE DE CCIÓN) oesponde l et l que petenee el segmento, el SENTIDO se indi po l punt de un fleh. l oigen del veto, que en ietos sos es peiso onoe, se le denomin PUNTO DE PLICCIÓN Módulo Líne de ión Sentido Punto de pliión Clsifiión de los vetoes: ) Igules: si tienen el mismo módulo, l mism dieión y el mismo sentido. ) Opuestos: si tienen el mismo módulo y dieión peo sentidos ontios. ) Fijos: si eigen, p su deteminión, onoe el punto de pliión donde tún. d) Deslizntes: si pueden tsldse lo lgo de su líne de ión sin que víe su efeto. Como puede vese los vetoes deslizntes, y, únimente vienen detemindos po su mgnitud y po su líne de ión. e) Lies: son los que pueden tsldse plelmente sí mismos sin que víe su efeto. Vienen detemindos tn sólo po su mgnitud, lo que es lo mismo, po sus tes omponentes tesins, es dei po ls poyeiones del módulo soe los tes ejes odendos. 1

2 f) iles: se utilizn p epesent mgnitudes que pueden onsidese omo vetoiles, peo los que po onvenio, hy que signles un sentido. Po ejemplo l veloidd ngul. En este so el módulo epesent el vlo de l mgnitud otionl; l dieión es l de l pependiul l plno de gio, y el sentido viene ddo po el vne del sohos undo éste gi omo lo he el gio. Ls supefiies, onsideds omo límite de sepión de dos medios, tmién pueden epesentse medinte vetoes iles. En este so el módulo epesent el áe; l dieión es pependiul l plno definido po ell, y el sentido se fij suponiendo que el veto tvies l supefiie desde l inteio (negtiv) l eteio (positiv) SUM Y REST DE VECTORES. Se define omo sistem de vetoes l onjunto de vetoes que tún simultánemente soe un mismo punto. Cd uno de ellos se denomin omponentes del sistem. Veto esultnte de un sistem de vetoes es oto veto que po sí sólo eliz el mismo efeto que los omponentes. Mtemátimente se epes sí: = En l et de vetoes se sum l pime veto el opuesto l segundo. =

3 P lul el módulo de l esultnte si son dos vetoes se utiliz el teoem del oseno, si fomn un detemindo ángulo: R 2 = 2 + B 2 2Bos siendo el ángulo que fomn los vetoes. Si tenemos más de dos vetoes lo mejo es situlos soe unos ejes de oodends y desompone los que no estén soe ellos. 4.- DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES. Desompone un veto en otos vios (omponentes) es hll un sistem de vetoes que poduz el mismo efeto que el veto ddo. P esolvelo hy que tene lgunos os omo el ángulo fomdo po los omponentes, vlo de uno de los omponentes, et. Vmos ve un so ptiul que es l desomposiión de un veto en dos o tes omponentes que sen pependiules ente sí. P ello se poyet el veto ddo soe un sistem de ejes de oodends, siendo ls poyeiones los vetoes pedidos. z z y y = os y = os z = os 4.- PRODUCTO Y COCIENTE DE UN VECTOR POR UN ESCLR. El poduto (o oiente) de un veto po un esl es oto veto de l mism dieión y sentido, y uyo módulo es el poduto (o el oiente) del módulo del veto ddo po el esl. 4 = 4 Veto unitio. El onepto de poduto nos pemite onside todo veto omo múltiplo de oto ulquie de su mism dieión y sentido. Si este tiene de módulo l unidd, se denomin veto unitio: = Veto unitio. = / Veto unitio, es el oiente que esult de dividi ente su módulo un veto ulquie. Vetoes i, j y k. Con ests lets se designn los vetoes unitios que tún espetivmente en ls dieiones de los ejes, y y z y tienen sentido positivo. = + y + z = i + yj + zk 3

4 5.- PRODUCTO ESCLR DE DOS VECTORES. Se llm poduto esl de dos vetoes un esl que se otiene multiplindo los módulos de los dos vetoes po el oseno del ángulo que fomn ente sí. B = B os Cundo los vetoes vienen ddos en funión de los vetoes unitios, el poduto esl de mos vendí ddo po: = i + yj + zk B = Bi + Byj + Bzk B = (i + yj + zk) ( Bi + Byj + Bzk) Efetundo ls opeiones indids y teniendo en uent que los podutos: i i = j j = k k = 1 i j = j k = i k = 0 quedí finlmente: B B = B +y By +z Bz 6.- PRODUCTO VECTORIL DE DOS VECTORES. El poduto vetoil de dos vetoes es oto veto uyo módulo es el poduto de los módulos po el seno del ángulo que fomn sus dieiones, su dieión es l de l pependiul l plno que definen dihos vetoes y uyo sentido viene ddo po l egl de Mwell (vne del sohos) en el supuesto de que el pime veto vy hi el segundo po el mino más oto. P P = B P = B sen B P = B P = B sen B P Cundo los vetoes vienen epesdos en funión de los vetoes unitios: = i + yj + zk B = Bi + Byj + Bzk B = B ii + By ij + Bz ik + y B ji + y By jj + y Bz jk + z B ki + z By kj + z Bz kk 4

5 Los podutos ii = jj = kk = 0. En los demás sos se tiene: ij = k ik = -j ji = -k jk = i ki = j kj = -i k i j i j = k B = (y Bz z By) i + (z B Bz) j + ( By y B) k Epesión que oinide on el módulo de este deteminnte: i j k B y z y Bz i z B j By k y B k Bz j z By i B By Bz B = (y Bz z By) i + (z B Bz) j + ( By y B) k 7.- MOMENTO DE UN VECTOR. ) Momento de un veto espeto de un punto O: Consideemos un veto uyo oigen espeto l punto O viene detemindo po el veto de posiión. Se define omo momento de un veto espeto l punto O l poduto vetoil del veto de posiión po el veto. M O d Mo = Mo = sen P detemin l dieión y sentido de M hy que tene en uent que es un poduto vetoil. Si desplzmos el veto lo lgo de l líne de su dieión el momento no ví. 5

6 O M p P Mo = Si estmos Mo Mo =( ) ( ), que se puede epes de l siguiente mne Mo Mo =( ), omo ( ) = pp y pp = 0 lo que impli que Mo = Mo. ) Momento de un veto espeto un eje: Se design sí l esl que se otiene l poyet soe el eje el momento de un veto ddo espeto ulquie punto del eje. e M Me Me = Mo Ue = Mo 1 os Ue (veto unitio) 8.- DERIVD DE UN VECTOR RESPECTO UN ESCLR. Se R un veto que ví en módulo o dieión, o en mos l vez, espeto un esl t; l deivd de R espeto t oespondeá l límite que tiende el oiente R/t undo t 0: dr lim t 0 R t Es siempe un veto. po: Si R viene epesdo en funión de i, j, y k, l funión deivd vendá dd dr dr i dry j drz k 6

7 Po ejemplo el so de l veloidd instntáne: Vinst S lim t t0 ds z 1 2 S y Deivd de un polinomio: Deivds tigonométis: f ( ) n f ( ) sen f ( ) os f '( f f ) n '( ) n1 ' os '( ) ' sen 9.- INTEGRCIÓN DE UN POLINOMIO. L integión es omo un sumtoio, podímos dei que es l inves de l deivd. En el so de que quisiémos lul el espio eoido po un uepo que no llev veloidd onstnte tendímos: v P intevlos de tiempo muy pequeños podemos onside l veloidd onstnte po lo que l sum de tods ls áes de esos etángulos pequeños me dí el espio totl eoido. ds 1 = V 1 t 1 ds 2 = V 2 t 2 ds 3 = V 3 t 3... S = V 1 t 1 + V 2 t 2 + V 3 t Integles: S v( t) t d osd sen 1 n1 n d n 1 send os d lg 7

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