Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Cuerpos geométricos GUICEN032MT22-A16V1

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1 GUÍ DE EJERCITCIÓN VNZD Cuerpos geométricos Programa Entrenamiento Desafío GUICEN02MT22-16V1 Matemática Una semiesfera tiene un área total de 4π cm 2. Si se corta por la mitad, de manera de formar dos cuartos de esfera iguales, el volumen de cada uno de estos cuartos de esfera mide ) B) C) D) E) 8 27 π cm 2 2 π cm π cm 4 2 π cm 2 27 π cm Resolución Mis observaciones 1

2 Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Cuerpos geométricos Cuerpo geométrico: es una figura tridimensional que ocupa un lugar en el espacio. Cara: cada una de las superficies que limitan el cuerpo. Poliedros: cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Cuerpos redondos: cuerpos geométricos que poseen al menos una de sus caras curva. rista: segmento donde se encuentran dos caras. Vértice: punto al que concurren tres o más aristas. vértice cara arista 2

3 GUÍ DE EJERCITCIÓN VNZD Tipos de poliedros Prisma: poliedro que tiene dos caras basales paralelas y congruentes. Sus caras laterales son paralelógramos. Pirámide: poliedro que tiene solo una cara basal. Sus caras laterales son triángulos y concurren a un mismo vértice. Poliedros regulares convexos o sólidos platónicos: todas sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí. ltura ltura Tetraedro (4 triángulos equiláteros) base Paralelepípedo: prisma de seis caras, cada una de las cuales es un paralelógramo. base Cubo o hexaedro regular (6 cuadrados) largo ancho Octaedro (8 triángulos equiláteros) alto Dodecaedro (12 pentágonos regulares) Icosaedro (20 triángulos equiláteros)

4 Programa Entrenamiento - Matemática Tipos de cuerpos redondos Cilindro: se forma por el giro de un rectángulo en torno a uno de sus lados. Cono: se forma por el giro de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. Esfera: se forma por el giro de un semicírculo en torno a su diámetro. altura generatriz altura radio radio base radio Área y volumen de cuerpos geométricos Área: en general, se calcula como la suma de las áreas que limitan el cuerpo. Prisma Pirámide Volumen = área base altura Volumen = 1 área base altura Área = 2 (largo ancho + largo alto + ancho alto) Paralelepípedo Volumen = largo ancho alto Área = 6 arista 2 Cubo Volumen = arista Área lateral = 2π radio altura Cilindro Volumen = π radio 2 altura Área total = 2π radio altura + 2π radio 2 Área lateral = π radio generatriz Cono Volumen = 1 π radio2 altura Área total = π radio generatriz + π radio 2 Área = 4π radio 2 Esfera Volumen = 4 π radio 4

5 GUÍ DE EJERCITCIÓN VNZD Ejercicios PSU 1. El área total de un cubo es 84 cm 2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La suma de todas las medidas de las aristas del cubo es 96 cm. II) El volumen del cubo es 24 cm. III) La diagonal del cubo mide 8 cm. ) Solo I D) Solo I y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y II 2. Si la capacidad de un cubo es 8 litros, entonces la suma de las medidas de todas las aristas del cubo es ) 72 cm D) 200 cm B) 96 cm E) 240 cm C) 180 cm. La razón entre las áreas de dos cubos es 9 : 16. Cuál es la razón entre sus volúmenes? ) 729 : D) 9 : 12 B) 27 : 64 E) : 4 C) 9 : Si un paralelepípedo mide 8 cm de largo, 6 cm de ancho y cm de alto, entonces su área total mide ) 84 cm 2 D) 510 cm 2 B) 90 cm 2 E) cm 2 C) 180 cm 2 5. Un cubo tiene arista 2a y otro cubo mayor tiene arista 4a. Si a > 0, cuántas veces el volumen del cubo menor está contenido en el volumen del cubo mayor? ) 2 D) 16 B) 4 E) 64 C) 8 5

6 Programa Entrenamiento - Matemática 6. La medida del ancho, alto y largo de un paralelepípedo suman 18 cm y están en la razón 2 : : 4. Su volumen mide ) 96 cm D) 84 cm B) 192 cm E) ninguna de las medidas anteriores. C) 208 cm 7. La cantidad de caras de un icosaedro es ) 4 D) 12 B) 6 E) 20 C) 8 8. En la figura, el prisma recto tiene una altura de 5 cm y la base es un hexágono regular de lado 2 cm. Su volumen mide ) 15 2 cm B) 10 cm C) 15 cm D) 6 10 cm E) ninguna de las medidas anteriores. 9. Un cubo es un cuerpo geométrico clasificado dentro del grupo de los I) poliedros. II) prismas. III) paralelepípedos. Es (son) verdaderas ) solo III. D) I, II y III. B) solo I y II. E) ninguna de ellas. C) solo I y III. 6

7 GUÍ DE EJERCITCIÓN VNZD 10. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular de lado 4 cm. Si todas las caras del prisma tienen igual área, cuánto mide el volumen del prisma? ) 64 cm D) 192 cm B) 96 cm E) 42 cm C) 144 cm 11. En la figura, la pirámide tiene base cuadrada de lado 15 cm y una altura de 22 cm. Cuánto mide su volumen? ) 220 cm B) 0 cm C) 660 cm D) cm E) cm 12. Una pirámide recta de base cuadrada tiene todas sus aristas de igual medida. La razón entre el área basal y el área lateral de la pirámide es ) 12 D) 2 B) 6 E) 4 C) 1. En la figura, BCD es un rectángulo y B : BC = 2 : 1. Si se rota indefinidamente el rectángulo BCD en torno al lado B, se genera un cuerpo geométrico cuyo volumen mide ) 900π cm D 0 cm C B).600π cm C) 6.750π cm D) 1.500π cm E) ninguna de las medidas anteriores. B 7

8 Programa Entrenamiento - Matemática 14. El radio de un cilindro mide 4 cm y su altura mide 6 cm. Cuánto mide su área total? ) 40π cm 2 D) 64π cm 2 B) 48π cm 2 E) 80π cm 2 C) 52π cm Se tiene un recipiente cilíndrico de 4 cm de radio y 10 cm de altura con 4 de agua. La cantidad de agua que tiene el recipiente es de su capacidad lleno ) 160π cm D) 0π cm B) 120π cm E) ninguna de las medidas anteriores. C) 40π cm 16. Considerando π = en el cilindro de la figura, cuánto mide la altura del cilindro si se llena completamente con 1,2 litros de agua? ) 1,0 cm B) 2,5 cm C),4 cm D) 4,0 cm E) 6,5 cm 20 cm h cm 17. En la figura, BCD es un cuadrado de lado 8. Si el cuadrado se rota indefinidamente en torno a una de sus diagonales, el volumen del cuerpo generado es ) 16π D C B) 8π C) 16π B D) 8π E) ninguno de los valores anteriores. 8

9 GUÍ DE EJERCITCIÓN VNZD 18. Si el segmento PQ de coordenadas P(6, ) y Q(, 7), se rota indefinidamente en torno a la recta x =, entonces el volumen del cuerpo generado, en unidades cúbicas, es ) 6π D) 6π B) 12π E) faltan datos para determinarlo. C) 18π 19. Un triángulo BC isósceles y rectángulo en C, se rota indefinidamente en torno a la trasversal de gravedad que nace en el ángulo C. Si la hipotenusa mide 10 cm, cuál es el volumen que se genera? ) 1.000π cm D) 125π cm B) 1.000π cm E) Ninguna de las medidas anteriores. C) 125π cm 20. Sean (0, a), B(a, a) y C(a, a) tres puntos en el plano cartesiano, tal que a es un número real positivo. Si se gira indefinidamente el triángulo BC en torno al lado BC, el volumen generado es ) 4πa D) 18πa B) 6πa E) 27πa C) 9πa 21. Con respecto a un cono recto, siempre es verdadero que I) la generatriz es mayor que el radio. II) el área lateral es mayor que el área basal. III) el radio es menor que la altura. ) Solo I D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y II 22. Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 cm y 20 cm. l girar indefinidamente el triángulo en torno a su hipotenusa, el volumen del cuerpo generado mide ) 1.200π cm D) 1.800π cm B) 1.48π cm E).600π cm C) 1.680π cm 9

10 Programa Entrenamiento - Matemática 2. Si el volumen de una esfera mide 24π cm, entonces su área mide ) 4π 6 cm 2 D) 12π 12 cm 2 B) 8π cm 2 E) 2π cm 2 C) π 12 cm Si el diámetro de una esfera mide 6 cm, entonces su volumen mide ) 8π cm D) 6π cm B) 12π cm E) ninguna de las medidas anteriores. C) 24π cm 25. Si el radio de una esfera aumenta en un 20%, en qué porcentaje aumenta su volumen? ) 20% D) 72,8% B) 60% E) 80% C) 66,6% 26. Una esfera de plasticina de área se divide en dos partes iguales. Una de esas partes se amolda de manera que toma forma de esfera. El área de esta esfera es ) 4 D) 2 B) 2 E) 2 C) Se puede determinar el área de un cubo si: (1) La diagonal del cubo mide 6 cm. (2) El volumen del cubo mide 216 cm. ) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) mbas juntas, (1) y (2). 10

11 GUÍ DE EJERCITCIÓN VNZD 28. El rectángulo de la figura, se rota indefinidamente en torno a C. Se puede determinar el volumen del cilindro generado si: D C B (1) El área de una de las caras circulares del cuerpo formado es 16π cm 2 y el área del rectángulo es 2 cm 2. (2) La altura del cilindro formado mide 8 cm. ) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) mbas juntas, (1) y (2). 29. Se puede determinar el volumen de un cono si: (1) El perímetro de la base mide 12π cm. (2) La altura del cono mide 9 cm. ) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) mbas juntas, (1) y (2). 0. Se puede determinar el área de una esfera si: (1) El radio de la esfera mide 9 cm. (2) El volumen de la esfera mide 972π cm. ) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) mbas juntas, (1) y (2). 11

12 Programa Entrenamiento - Matemática Tabla de corrección Item lternativa Habilidad 1 SE 2 plicación SE 4 plicación 5 Comprensión 6 plicación 7 Comprensión 8 plicación 9 SE 10 SE 11 plicación 12 SE 1 SE 14 plicación 15 plicación 16 plicación 17 plicación 18 SE 19 plicación 20 plicación 21 SE 22 SE 2 plicación 24 plicación 25 SE 26 SE 27 SE 28 SE 29 SE 0 SE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial. 12

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