Geometría en el espacio. Poliedros

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1 Geometría en el espacio. Gemma Hermida Granado Trinidad Gómez Ramírez 28 de junio de 2006

2 Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

3 Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

4 Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

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6 Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

7 Objetivos didácticos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer y clasicar los poliedros. Desarrollar los poliedros y obtener la supercie del desarrollo (conocidas todas las medidas necesarias). Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos de longitudes y supercies en los poliedros.

8 Objetivos didácticos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer y clasicar los poliedros. Desarrollar los poliedros y obtener la supercie del desarrollo (conocidas todas las medidas necesarias). Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos de longitudes y supercies en los poliedros.

9 Objetivos didácticos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer y clasicar los poliedros. Desarrollar los poliedros y obtener la supercie del desarrollo (conocidas todas las medidas necesarias). Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos de longitudes y supercies en los poliedros.

10 Objetivos didácticos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer y clasicar los poliedros. Desarrollar los poliedros y obtener la supercie del desarrollo (conocidas todas las medidas necesarias). Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos de longitudes y supercies en los poliedros.

11 Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

12 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

13 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

14 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

15 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

16 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

17 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

18 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

19 Conceptos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Características de los poliedros Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices. Prismas. Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular. Pirámides: características y elementos. Tronco de una pirámide. Los poliedros regulares. Tipos. Secciones planas de un poliedro. Identicación de la posición relativa en que se encuentran dos aristas, dos caras o una arista y una cara en una gura geométrica.

20 Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

21 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

22 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

23 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

24 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

25 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

26 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

27 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

28 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras, número de aristas y vértices, etcétera. Clasicación de los prismas según el polígono de las bases. Desarrollo de un prisma recto. Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas a partir del análisis de su desarrollo en el plano. Cálculo de áreas de ortoedros. Cálculo del área del cubo. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un ortoedro. Desarrollo de una pirámide regular.

29 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

30 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

31 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

32 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

33 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

34 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

35 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

36 Procedimientos Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Cálculo del área de pirámides. Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide. Descripción de los cinco poliedros regulares. Desarrollo en el plano de los poliedros regulares. Cálculo de áreas de poliedros regulares. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas. Proyección de una recta sobre un plano. Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

37 Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

38 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocimiento y apreciación de la geometría para descubrir y resolver situaciones cotidianas. Gusto por identicar guras y relaciones geométricas en los elementos cotidianos. Interés y gusto por la descripción verbal precisa de guras. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas. Sentido crítico ante las representaciones en el plano para efectuar mediciones indirectas.

39 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocimiento y apreciación de la geometría para descubrir y resolver situaciones cotidianas. Gusto por identicar guras y relaciones geométricas en los elementos cotidianos. Interés y gusto por la descripción verbal precisa de guras. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas. Sentido crítico ante las representaciones en el plano para efectuar mediciones indirectas.

40 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocimiento y apreciación de la geometría para descubrir y resolver situaciones cotidianas. Gusto por identicar guras y relaciones geométricas en los elementos cotidianos. Interés y gusto por la descripción verbal precisa de guras. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas. Sentido crítico ante las representaciones en el plano para efectuar mediciones indirectas.

41 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocimiento y apreciación de la geometría para descubrir y resolver situaciones cotidianas. Gusto por identicar guras y relaciones geométricas en los elementos cotidianos. Interés y gusto por la descripción verbal precisa de guras. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas. Sentido crítico ante las representaciones en el plano para efectuar mediciones indirectas.

42 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocimiento y apreciación de la geometría para descubrir y resolver situaciones cotidianas. Gusto por identicar guras y relaciones geométricas en los elementos cotidianos. Interés y gusto por la descripción verbal precisa de guras. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas. Sentido crítico ante las representaciones en el plano para efectuar mediciones indirectas.

43 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee. Curiosidad e interés por la investigación sobre formas geométricas en el plano y en el espacio. Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones. Gusto por la limpieza y precisión en la construcción de guras geométricas.

44 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee. Curiosidad e interés por la investigación sobre formas geométricas en el plano y en el espacio. Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones. Gusto por la limpieza y precisión en la construcción de guras geométricas.

45 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee. Curiosidad e interés por la investigación sobre formas geométricas en el plano y en el espacio. Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones. Gusto por la limpieza y precisión en la construcción de guras geométricas.

46 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee. Curiosidad e interés por la investigación sobre formas geométricas en el plano y en el espacio. Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones. Gusto por la limpieza y precisión en la construcción de guras geométricas.

47 Actitudes Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de vista. Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee. Curiosidad e interés por la investigación sobre formas geométricas en el plano y en el espacio. Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones. Gusto por la limpieza y precisión en la construcción de guras geométricas.

48 Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

49 Criterios de evaluación Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer y clasicar los poliedros. Conoce y nombra los distintos elementos de un poliedro (aristas, vértices, caras, caras laterales de los prismas, bases de los prismas y pirámides...). Selecciona, entre un conjunto de guras, las que son poliedros y justica la elección realizada. Clasica un conjunto de poliedros. Describe un poliedro y lo clasica atendiendo a las características expuestas.

50 Criterios de evaluación Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Desarrollar los poliedros y obtener la supercie del desarrollo (conocidas todas las medidas necesarias). Dibuja de forma esquemática el desarrollo de un ortoedro y se apoya en él para calcular su supercie. Dibuja de forma esquemática el desarrollo de un prisma y se apoya en él para calcular su supercie. Dibuja de forma esquemática el desarrollo de una pirámide y se apoya en él para calcular su supercie. Dibuja de forma esquemática el desarrollo de un tronco de pirámide y se apoya en él para calcular su supercie.

51 Criterios de evaluación Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares Ante un poliedro regular: justica su regularidad, lo nombra, lo analiza dando el número de caras, aristas, vértices, caras por vértice y dibuja esquemáticamente su desarrollo. Nombra los poliedros regulares que tienen por caras un determinado polígono regular. Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos de longitudes y supercies en los poliedros. Calcula la diagonal de un ortoedro. Calcula la altura de una pirámide recta conociendo las aristas básicas y las aristas laterales. Calcula la supercie de una pirámide cuadrangular regular conociendo la arista de la base y la altura. Resuelve otros problemas de geometría.

52 Criterios de evaluación Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares Ante un poliedro regular: justica su regularidad, lo nombra, lo analiza dando el número de caras, aristas, vértices, caras por vértice y dibuja esquemáticamente su desarrollo. Nombra los poliedros regulares que tienen por caras un determinado polígono regular. Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos de longitudes y supercies en los poliedros. Calcula la diagonal de un ortoedro. Calcula la altura de una pirámide recta conociendo las aristas básicas y las aristas laterales. Calcula la supercie de una pirámide cuadrangular regular conociendo la arista de la base y la altura. Resuelve otros problemas de geometría.

53 Conocer las posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Identicar los distintos tipos de poliedros y describir sus principales características. Calcular el área de paralelepípedos, ortoedros, prismas, pirámides y poliedros regulares. Desarrollar en el plano un poliedro sencillo.

54 Conocer las posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Identicar los distintos tipos de poliedros y describir sus principales características. Calcular el área de paralelepípedos, ortoedros, prismas, pirámides y poliedros regulares. Desarrollar en el plano un poliedro sencillo.

55 Conocer las posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Identicar los distintos tipos de poliedros y describir sus principales características. Calcular el área de paralelepípedos, ortoedros, prismas, pirámides y poliedros regulares. Desarrollar en el plano un poliedro sencillo.

56 Conocer las posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio. Identicar los distintos tipos de poliedros y describir sus principales características. Calcular el área de paralelepípedos, ortoedros, prismas, pirámides y poliedros regulares. Desarrollar en el plano un poliedro sencillo.

57 Sesiones Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

58 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

59 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

60 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

61 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

62 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

63 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

64 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

65 Sesiones Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción y recordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect). Segunda Sesión: Denición y clasicación de los poliedros regulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..). Tercera Sesión: Ejercicios. Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros, deniciones, areas y volumenes. Ejemplos. Quinta Sesión: Pirámides: Denición área y volumen. Ejercicios. Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas. Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas. Octava Sesión:.

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67 Introducción "No entre aquí quien no sepa geometría" Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la Academia de Platón (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutir problemas de losofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una idea de la importancia que desde antiguo se ha concedido al conocimiento de la Geometría.

68 Concepto previos Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son: Las caracteristicas de los polígonos. Las fórmulas de las áreas de los polígonos Las caracteristicas son: Número de aristas. Número de vértices.

69 Concepto previos Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son: Las caracteristicas de los polígonos. Las fórmulas de las áreas de los polígonos Las caracteristicas son: Número de aristas. Número de vértices.

70 Concepto previos Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son: Las caracteristicas de los polígonos. Las fórmulas de las áreas de los polígonos Las caracteristicas son: Número de aristas. Número de vértices.

71 Concepto previos Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son: Las caracteristicas de los polígonos. Las fórmulas de las áreas de los polígonos Las caracteristicas son: Número de aristas. Número de vértices.

72 Concepto previos Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son: Las caracteristicas de los polígonos. Las fórmulas de las áreas de los polígonos Las caracteristicas son: Número de aristas. Número de vértices.

73 Concepto previos Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son: Las caracteristicas de los polígonos. Las fórmulas de las áreas de los polígonos Las caracteristicas son: Número de aristas. Número de vértices.

74 Recordamos algunos polígonos con sus características. Triángulo: Polígono regular con 3 aristas y 3 vértices (3 lados). Su área es A = base altura 2 Cuadrado: Polígono regular con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = lado lado

75 Recordamos algunos polígonos con sus características. Triángulo: Polígono regular con 3 aristas y 3 vértices (3 lados). Su área es A = base altura 2 Cuadrado: Polígono regular con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = lado lado

76 Recordamos algunos polígonos con sus características. Triángulo: Polígono regular con 3 aristas y 3 vértices (3 lados). Su área es A = base altura 2 Cuadrado: Polígono regular con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = lado lado

77 Recordamos algunos polígonos con sus características. Triángulo: Polígono regular con 3 aristas y 3 vértices (3 lados). Su área es A = base altura 2 Cuadrado: Polígono regular con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = lado lado

78 Recordamos algunos polígonos con sus características. Triángulo: Polígono regular con 3 aristas y 3 vértices (3 lados). Su área es A = base altura 2 Cuadrado: Polígono regular con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = lado lado

79 Rectángulo: Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = base altura Rombo: Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = diagonal mayor diagonal menor 2

80 Rectángulo: Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = base altura Rombo: Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = diagonal mayor diagonal menor 2

81 Rectángulo: Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = base altura Rombo: Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es A = diagonal mayor diagonal menor 2

82 Polígono regular: Polígono con el número de aristas y número de vértices según indique el tipo de polígono, es decir, pentágono, 5 aristas y 5 vértices, hexágono 6 aristas y 6 vértices, ect. Su área es: A = perímetro apotema 2

83 Polígono regular: Polígono con el número de aristas y número de vértices según indique el tipo de polígono, es decir, pentágono, 5 aristas y 5 vértices, hexágono 6 aristas y 6 vértices, ect. Su área es: A = perímetro apotema 2

84 Denición Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares. Denición En los poliedros distinguimos: Vértices: puntos donde concurren tres aristas Aristas: lados de los polígonos regulares Caras: polígonos regulares

85 Denición Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares. Denición En los poliedros distinguimos: Vértices: puntos donde concurren tres aristas Aristas: lados de los polígonos regulares Caras: polígonos regulares

86 Ejemplo

87 Un poco de historia POLIEDROS REGULARES Entre todos los poliedros que existen hay unos especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real: los poliedros regulares. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto ( a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro(el fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco),

88 Un poco de historia el aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y uidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro(el agua, el más móvil y uido de los elementos, debe tener como forma propia o "semilla", el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que el dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden nal).

89 Un poco de historia A nales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.

90 Denición Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden. Los poliedros regulares son los cinco siguientes:

91 Denición Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden. Los poliedros regulares son los cinco siguientes:

92 regulares El TETRAEDRO: Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su supercie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

93 regulares El CUBO: Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

94 regulares El OCTAEDRO: Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

95 regulares El DODECAEDRO: Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.

96 regulares El ICOSAEDRO: Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación con su supercie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.

97 Ejercicios 1 Rellena la siguiente tabla: Nombre Forma de las caras Caras Vértices Aristas Tetraedro Cuadrados

98 Ejercicios 2 Di a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.

99 Ejercicios 3 Indica cuál de los siguientes desarrollos dan lugar a un cubo

100 Ejercicios 4 ¾Cuáles de estos poliedros son regulares?

101 Ejercicios con teselas 5 El tetraedro. Une dos triángulos por un lado. La gura resultante puede moverse en torno a la ARISTA común. Une otro triángulo a uno de los anteriores Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La gura obtenida ya es rígida pero aún es abierta. Utiliza otro triángulo para CERRAR la gura y obtendrás un poliedro regular.

102 Ejercicios con teselas 6 El tetraedro. Une dos triángulos por un lado. La gura resultante puede moverse en torno a la ARISTA común. Une otro triángulo a uno de los anteriores Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La gura obtenida ya es rígida pero aún es abierta. Utiliza otro triángulo para CERRAR la gura y obtendrás un poliedro regular.

103 Ejercicios con teselas

104 Ejercicios con teselas 7 Otros poliedros de orden 3 (En cada vértice tres caras). Parte ahora del cuadrado y repite el proceso anterior hasta cerrar la gura. Obtendrás un poliedro regular muy conocido. Inténtalo ahora con pentágonos. Prueba con hexágonos. ¾Qué pasa?

105 Ejercicios con teselas 8 de orden superior a 3. Hasta ahora hemos unido tres caras en cada vértice. Podemos intentarlo con más. Prueba con cuatro triángulos en cada vértice. Ahora con cuatro cuadrados o con cuatro pentágonos. ¾Qué pasa? Inténtalo con cinco triángulos en cada vértice. Prueba con seis triángulos, con siete...

106 Ejercicios con teselas 9 Por qué no hay más. Los cinco poliedros regulares que has construido son los únicos posibles. En la construcción de un poliedro: ¾Cuántos triángulos equiláteros caben en un vértice? ¾Cuántos cuadrados pueden concurrir en un vértice? ¾Cuántos pentágonos regulares? ¾Por qué no puede construirse un poliedro regular con hexágonos?

107 Muestra de guras con teselas

108 Muestra de guras con teselas

109 Prismas Denición Los prismas son poliedros limitados por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales. Ejemplo

110 Prismas Denición Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases. Denición Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos.

111 Prismas Denición Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases. Denición Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos.

112 Prismas Denición Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:

113 Prismas Denición En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.

114 Prismas Denición En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.

115 Prismas Denición En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.

116 Prismas Denición Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es: = perímetro de la base altura. A lat Denición El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases: = área lateral +2 área de la base. A tot Denición El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura: V = área de la base altura.

117 Prismas Denición Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es: = perímetro de la base altura. A lat Denición El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases: = área lateral +2 área de la base. A tot Denición El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura: V = área de la base altura.

118 Prismas Denición Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es: = perímetro de la base altura. A lat Denición El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases: = área lateral +2 área de la base. A tot Denición El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura: V = área de la base altura.

119 Prismas Denición Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

120 Paralelepípedos Denición Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos. Ejemplo:

121 Paralelepípedos Nota Un paralelepípedo es un caso particular de prisma, por tanto las fórmulas anteriormente enunciadas (área y volumen) son válidas para esta gura.

122 Pirámides Denición Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

123 Pirámides Denición La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono... Denición Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

124 Pirámides Denición La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono... Denición Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

125 Pirámides Denición La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono... Denición Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

126 Pirámides Denición La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono... Denición Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

127 Pirámides

128 Pirámides Nota ¾Cómo calculamos la apotema? Utilizamos el teorema de Pitágoras en el espacio. Teorema Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos: a 2 = b 2 + c 2 a = b 2 + c 2

129 Pirámides Denición El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es: y el área total: A tol = perímetro de la base apotema 2 A tot = A lat + A base

130 Pirámides Denición El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es: y el área total: A tol = perímetro de la base apotema 2 A tot = A lat + A base

131 Denición El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura: V = 1 3 A base altura

132 Ejercicios de prismas 1 Dibuja un prisma hexagonal recto y un prisma pentagonal oblicuo (regulares o irregulares). Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro. Un caso particular de paralelepípedo rectángulo es un sólido platónico que ya has estudiado. ¾Cuál es?

133 Ejercicios de prismas 2 Construye el prisma cuyo desarrollo es:

134 Ejercicios de prismas 3 Dibuja un cubo, un ortoedro y un romboedro.

135 Ejercicios de paralelepípedos 4 ¾Cuántas diagonales tiene un paralelepípedo? ¾Se cortan? ¾Dónde?

136 Ejercicios de paralelepípedos 5 Una regla de 60 cm. ¾cabe dentro de un cajón de una mesa de 27 cm. de ancho, 54 cm. de largo y 18 cm. de alto? ¾Cabrá echada en el fondo?

137 Ejercicios de pirámides 6 En una pirámide regular, se llama apotema a la altura de una cualquiera de sus caras laterales. La apotema, la altura de la pirámide y la apotema de la base forman un triángulo, ¾de qué tipo es?

138 Ejercicios de pirámides 7 Si tomamos dos pirámides de bases iguales y las unimos de forma que ajusten completamente sus bases, obtenemos un poliedro llamado bipirámide. ¾Puede ser una bipirámide un sólido platónico? ¾Cuál?

139 Ejercicios de pirámides 8 Una pirámide tiene por base un cuadrado cuya diagonal mide 3 cm. Hallar su área lateral y total sabiendo que su arista mide 7 cm.

140 Ejercicios de pirámides 9 Me han encargado que presupueste la construcción de una pirámide regular de base hexagonal, en el centro de una plaza. Los lados son de chapa metálica, a razón de 30 euros el metro cuadrado y el cortado de la chapa se valora en 250 euros. Si la base ha de ir inscrita en una circunferencia de 8 m de diámetro y la altura es de 6 m ¾qué presupuesto he de presentar teniendo en cuenta que mis ganancias son del 20 % del coste? (Se considera que se necesitan otras 180 euros en gastos varios).

141 Geometría en el espacio. 1 Programación de la unidad Objetivos didácticos Conceptos Procedimientos Actitudes Criterios de evaluación 2 3 Sesiones 4

142 Posición de rectas en el espacio Denición Dos rectas: Son paralelas cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Se cortan cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común. Son coincidentes cuando están en el mismo plano y tienen al menos dos puntos en común. Se cruzan cuando están en planos distintos.

143 Posición de rectas en el espacio Denición Dos rectas: Son paralelas cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Se cortan cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común. Son coincidentes cuando están en el mismo plano y tienen al menos dos puntos en común. Se cruzan cuando están en planos distintos.

144 Posición de rectas en el espacio Denición Dos rectas: Son paralelas cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Se cortan cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común. Son coincidentes cuando están en el mismo plano y tienen al menos dos puntos en común. Se cruzan cuando están en planos distintos.

145 Posición de rectas en el espacio Denición Dos rectas: Son paralelas cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Se cortan cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común. Son coincidentes cuando están en el mismo plano y tienen al menos dos puntos en común. Se cruzan cuando están en planos distintos.

146 Posición de rectas en el espacio Denición Dos rectas: Son paralelas cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Se cortan cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común. Son coincidentes cuando están en el mismo plano y tienen al menos dos puntos en común. Se cruzan cuando están en planos distintos.

147 Posición de recta y plano Denición Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Una recta y un plano se cortan cuando tienen un punto en común. Una recta y un plano son paralelos cuando no tienen ningún punto en común.

148 Posición de recta y plano Denición Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Una recta y un plano se cortan cuando tienen un punto en común. Una recta y un plano son paralelos cuando no tienen ningún punto en común.

149 Posición de recta y plano Denición Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Una recta y un plano se cortan cuando tienen un punto en común. Una recta y un plano son paralelos cuando no tienen ningún punto en común.

150 Posición de dos planos Denición Dos planos: Se cortan cuando tienen una recta común. Son paralelos cuando no tienen ningún punto en común. Son coincidentes cuando tienen al menos dos recta en común.

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