P(U)=, 5, 8, 9, b, 5, 8, 5, 9, 5, b, 8, 9, 8, b, 9, b, 5, 8, 9, 5, 8, b, 5, 9, b, 8, 9, b, U. {8,b} Figura 1

Transcripción

1 Algebras de Boole Cojuto de partes. Dado u cojuto =,, podemos eumerar todos los subcojutos posibles de A, o dicho de otro modo todos los cojutos icluídos e A. Costruímos etoces u uevo cojuto co todos esos cojutos como elemetos, este uevo cojuto se llama cojuto de partes de A y se idica: =,,,,,,,,,,,, Notemos que todos los elemetos de P(A) se escribe etre llaves porque so cojutos, salvo el cojuto vacío que se escribe si llaves. A su vez P(A) tambié es u cojuto por lo tato se ota tambié co llaves. Formalmete: Dado u cojuto U, se defie el cojuto P(U) de partes de U al que tiee como elemetos todos los subcojutos de U. Los elemetos de P(U) so cojutos, todos los que está coteidos e U, icluyedo el vacío que está coteido e cualquier cojuto y el cojuto total U ( U, U U) X ; X U P(U) ={ } E palabras: X es u elemeto de P(U) si y sólo si X está icluido e U E símbolos: X P(U) X U Si U es u cojuto fiito (o sea tiee u úmero fiito de elemetos), el úmero de elemetos de P(U) es 2. El cojuto vacío tiee 0 elemetos, P( ) ={ }tiee como úico elemeto al vacío 0 (porque ), tambié vale e este caso 2 =1. { b} P { { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } } Ejemplo 1. Dado el cojuto U= 5,8,9,, el cojuto (U) de partes de U por etesió es P(U)=, 5, 8, 9, b, 5, 8, 5, 9, 5, b, 8, 9, 8, b, 9, b, 5, 8, 9, 5, 8, b, 5, 9, b, 8, 9, b, U U {5,8,9 } {5,8,b } {5,9,b } {8,9,b } {5,8} {5,9} {5,b} {8,9} {8,b} {9,b} {5} {8} {9} {b} Figura 1 E la figura 1 se represeta los cojutos por iveles de acuerdo co el úmero de elemetos. Las líeas de abajo hacia arriba idica la iclusió al ivel imediato siguiete, se omite las líeas por trasitividad. Tambié idica las uioes al ivel imediato superior, por ejemplo {8,9} {8,b} {9,b} = {8,9,b}. 1

2 De arriba hacia abajo idica las iterseccioes al ivel imediato iferior como {5,8,b} {5,9,b} = {5,b}. Esta represetació recibe el ombre de diagrama de Hasse de P(U). Álgebra de Boole. Defiició. Ejemplos Defiicioes auiliares: Dado u cojuto co ua operació defiida, decimos que es biaria si se realiza etre dos elemetos del cojuto, y decimos que es sigular si se realiza sobre u elemeto del cojuto. Formalmete: Dado u cojuto o vacío A, ua operació biaria e A es ua fució de AA e A y ua operació sigular es ua fució de A e A. Defiició. U álgebra de Boole es u cojuto B co al meos dos elemetos distitos (primer y último elemetos) desigados e forma geeral co los símbolos 0 y 1, dos operacioes biarias (deomiada "supremo") y (deomiada "ífimo"), y ua operació sigular (deomiada "complemeto"), co las siguietes propiedades para elemetos cualesquiera, y, z B (B1) y = y, comutatividad: (B2) y = y (B3) ( y z) = ( y) ( z) distributividad: (B4) ( y z) = ( y) ( z) (B5) B, 0 = (B6) B, 1 = (B7) B, = 1 (B8) B, = 0 2 ( ) U álgebra de Boole tambié puede idicarse B = B,,,,0,1 cuado sea ecesario referirse a las operacioes y al 1ero y último elemetos. Observacioes. 1) E este coteto el 0 y el 1 so símbolos para idicar primero y último elemetos de la defiició de u álgebra de Boole e geeral. E cada ejemplo particular primer y último elemetos será los que correspoda de acuerdo co el tipo de elemetos de cada caso. 2) Tambié so válidas la asociatividad de y de, ( y z) = ( y) z = y z ( y z) = ( y) z = y z las que se puede deducir a partir de alguas de las propiedades ateriores y de otras obteidas como cosecuecia de ellas. 3) El supremo y el ífimo so operacioes biarias, es decir fucioes de B B e B; el complemeto, como operació sigular, es ua fució de B e B. El hecho de que sea fucioes asegura que para todo par, y de elemetos de B, y B, y B y so úicos y que el complemeto B y es úico.

3 4) Toda álgebra de Boole fiita admite ua represetació mediate u diagrama de Hasse y los elemetos e el ivel imediato superior al 0 se deomia átomos. Ejemplos E los aiomas (B1) a (B8) se evidecia la semejaza de las propiedades co las coocidas e los cálculos co cojutos y co proposicioes, por ejemplo: c A B = B A ; A ( B C) = ( A B) ( A C); B B = ( p q ) ( q p) ; p ( q s) ( p q) ( p s) E efecto, se tiee los siguietes ejemplos: 2) Dado u cojuto U, el cojuto P(U) co la uió como supremo, la itersecció como ífimo, el complemeto para cojutos, el vacío como 1er elemeto y U como P U,,, c,, U es u álgebra de Boole, usualmete llamada último elemeto, ( ) ( ) álgebra de partes de u cojuto. Si el cojuto U es fiito P(U) admite ua represetació por u diagrama de Hasse como el de la figura 1, los cojutos uitarios (los que tiee sólo u elemeto) so sus átomos. E ese ejemplo los átomos so {5}, {8}, {9} y {b}. 3) U cojuto de proposicioes cerrado bajo los coectivos cojució, disyució y egació cumple las propiedades (B1) a (B8) pero o forma u álgebra de Boole. E primer lugar la igualdad debe ser reemplazada por el símbolo (o ) de equivalecia lógica, por ejemplo p q y q p o so iguales sio lógicamete equivaletes. Además el primer elemeto desigado e geeral co 0, e este caso o sería úico, podría ser cualquier proposició de la forma p p (cotradicció), para que cumpla la codició (B8), tampoco habría u úico último elemeto 1 porque podría ser cualquier proposició de la forma p p (tautología), para que cumpla la codició (B7). Las propiedades so válidas teiedo e cueta esas salvedades y utilizado el símbolo (o ) que correspode. Para obteer el álgebra de Boole del cálculo proposicioal debe procederse del siguiete modo: Se toma [ p] represetado el cojuto de todas las proposicioes p 1, p 2, p 3,... equivaletes co p ; así tambié resulta úico el primer elemeto 0 represetado por [ p p] y el último 1 por [ p p]. E estas codicioes se defie: [p q ] = [p ] [ q ], [ p q ] =[p ] [q ], [ p] = [ p] Es correcto usar el símbolo de igualdad y vale las propiedades (B1)-(B8) de álgebra de Boole. 3

4 4) El cojuto B= {0,1} co las operacioes e dadas por las tablas La operació complemeto defiida por 0 =1, 1 = 0 es u álgebra de Boole. 5) E el cojuto D 70 = {1,2,5,7,10,14,35,70 } de los divisores positivos de 70 se defie las operacioes máimo comú divisor (mcd) como el ífimo, el míimo comú múltiplo 70 (mcm) como el supremo, el complemeto está dado por =. Por ejemplo: 5 14 = 1 ; 5 14=70 ; 10 35=5 ; 10 35=70; 2 5=1; 2 5 = 10; 5 = 14 ; 2 =35 ; 10 =7 D 70 co esas operacioes, el 1 como primer elemeto y el 70 como último, es u álgebra de Boole. Se puede graficar co u diagrama de Hasse, sus átomos so 2, 5 y Figura 2 Observació. Sea N, > 1 y D el cojuto de los divisores positivos de. D o siempre es u álgebra de Boole. Para todo par de úmeros siempre eiste e dados respectivamete por el mcm y el mcd, pero o siempre eiste el complemeto. Es el caso, por ejemplo, de D8 = { 1,2,4,8 } cojuto de los divisores aturales de 8 que o es u álgebra de Boole. Nótese que el 1er elemeto es 1, el último es 8 y que los aiomas de complemeto (B7) y (B8) o se cumple. Las siguietes so propiedades importates sobre D : 4

5 Proposició 1. 2 Si cumple que k > 1, k o divide a, etoces todo D tiee complemeto =. E D 8 el 4=2 2 es u cuadrado que divide a 8, la Proposició 1 o se cumple. No hay igú e D 8 que cumpla (a la vez) 4 = 8 y 4 = 1 (aiomas (B7) y (B8)), 4 o tiee complemeto, luego D 8 o es u álgebra de Boole. Tampoco lo so D = 1,3,9 } o D = 1,2,3,4,6,8,12,24 e los que está, respectivamete, los { { } 9 24 cuadrados 9 y 4. Por el cotrario o hay cuadrados que divida a 70, D 70 es u álgebra de Boole. Tambié 30 cumple la Proposició 1, luego e D 30 = {1,2,3,5,6,10,15,30 } todo elemeto tiee su complemeto y es u álgebra de Boole. Otra forma similar de aalizarlo es la siguiete: Escribiedo 70 y 30 como producto de sus factores primos, 70=2.5.7, 30=2.3.5 se ve que todos aparece co potecia 1. E cambio 8=2 3, 9=3 2 y 24=2 3.3 tiee al meos u factor primo co epoete mayor que 1. Se defie que u atural es libre de cuadrados si e su factorizació como producto de primos, todos tiee epoete 1. Y se tiee el siguiete criterio: Proposició 2. Sea N, > 1. D es u álgebra de Boole si y sólo si es libre de cuadrados. E los casos mecioados 70 y 30 so libres de cuadrados mietras que 8, 9 y 24 o lo so. E D =5 pues 70 = 5, siedo 70=2.5.7 y 14=2.7, el úico primo que falta de la factorizació 14 de 70 es el 5. D 210 es u álgebra de Boole porque 210= , el complemeto de 10 es 210 =21, 10 se factoriza 10 10=5.2 y 21=3.7 los primos de la factorizació de 210 que o está e la de 10. Se muestra que si es libre de cuadrados, etoces todo tiee complemeto: Sea = p1. p2. p pi..... pt, co todos los pi úmeros primos distitos (es decir par i, k tales que 1 i, k t, i k p p ). Tomado por ejemplo D, = p. p. p..... p, es i+ 1 i k i = p..... p. Siedo todos los primos distitos y o tiee iguo e comú, etoces su t míimo comú múltiplo es el producto de todos y su máimo comú divisor es 1. p i i+ 1 t Se cumple (B7): = mcm(, ) = (. p. p..... p ).( p..... p ) = ( es el último elemeto de D ); y (B8): mcd(, ) =1 (1 es e de D ). Etoces es = el complemeto de. = l primer elemeto 5

6 Pricipio de Dualidad y Leyes e u álgebra de Boole Dualidad. El euciado dual de ua proposició e u álgebra de Boole B es el que se obtiee itercambiado las operacioes e y los elemetos 0 y 1 e la proposició origial. E la defiició (B1) y (B2) so duales ua de la otra, lo mismo (B3) y (B4), (B5) y (B6), (B7) y (B8). Por la simetría de estos aiomas que defie u álgebra de Boole B, cualquier proposició e B es verdadera si y sólo si su dual lo es. Este hecho se cooce como pricipio de dualidad. Teorema 1. (Leyes de Idempotecia). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualquier B, =, = Demostració. Por los aiomas (B5), (B8), (B3) y (B7) = ( ) 0 = ( ) ( ) = ( ) = 1 = Y por dualidad =. Teorema 2. (Leyes de acotació). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualquier B, 1 = 1, 0 = 0 Demostració. Por (B8), asociatividad, idempotecia y de uevo (B8) 0 = ( ) = ( ) = = 0 Por dualidad 1 = 1. Teorema 3. (Leyes de absorció). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualesquiera, y B, ( y) =, ( y) = Demostració. Por (B6), (B7), distributividad ((B3)) ( y) = ( 1) ( y) = [ (y y )] ( y) = = [( y) ( y )] ( y) = por asociatividad y comutatividad ((B1)) = [( y) ( y)] ( y ) = por idempotecia aplicada al elemeto ( y ), distributividad ((B3)), (B7) y (B6) = ( y) ( y ) = (y y ) = 1 = Por dualidad tambié es verdadero ( y) =. Teorema 4. (Ivolució). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualquier = (el complemeto del complemeto de es de uevo ) B, ( ) Demostració. Por (B7) y (B8): = 1 y = 0 Por las comutativas (B1) y (B2): = 1, = 0 Y el complemeto es úico (Observació 3 de la defiició de álgebra de Boole), luego ( ) =. 6

7 Teorema 5. (Leyes de De Morga). Sea B u álgebra de Boole, etoces para, y B, ( y) = y y = y ( ) Demostració. Se demuestra que y y = 1 (parte 1) ( ) ( ) ( y) ( y ) y que = 0 (parte 2) por lo que, por uicidad del complemeto ( ) y = y parte 1: Por distributiva (B4), comutatividad y asociatividad del, (B7), acotació ( y) ( y ) ( y) ( y) y = ( ) y ( y y ) = [ 1 y] [ 1 ] = 1 1=1 = = parte 2: Por comutativa (B2) y distributiva (B3), asociativa y comutativa de, (B8) y ley de acotació ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = [ 0 y ] [ 0 ] = 0 0 = 0 y y = y y y = y y y = Se obtuvo que ( y) = y. Por dualidad tambié vale y = y. ( ) Isomorfismo de álgebras de Boole Defiició. Sea B 1 y B 2 dos álgebras de Boole. U isomorfismo etre B 1 y B 2 es ua fució biyectiva f: B1 B2 que cumple las siguietes propiedades: par, y B (i) f ( y) = f ( ) f ( y) 1 (ii) f ( y) = f ( ) f ( y) (iii) f ( ) = [ f ( )] Es decir que la image por f del supremo y etre e y es igual al supremo f ( ) f ( y) etre f() y f(y), la image por f del ífimo y es el ífimo f ( ) f ( y) etre sus imágees y la image por f de (el complemeto de ) es igual al complemeto [ f ( )] de su image, siedo e y elemetos de B 1 y f(), f(y) elemetos de B 2. U isomorfismo es ua biyecció que coserva las operacioes. Cuado eiste tal isomorfismo etre B 1 y B 2, se dice que B 1 y B 2 so isomorfas. B 1 y B 2 tiee elemetos distitos pero tiee la misma forma comportádose igual co respecto a sus operacioes. 7

8 Ejemplos 6) Dados el cojuto D de los divisores positivos de 6 y el cojuto B formado por las 6 proposicioes p, p, el primer elemeto 0 = p p, el último 1 = p p, e este caso so úicos, la fució f : D B dada por f (0)=1, f ( p) = 2, f ( p) = 3, f (1) = 6 6 es u isomorfismo etre D y B. 6 Se observa que sus respectivos diagramas de Hasse coicide 1 6 p p Figura 3 Nótese que e D 6 el 1 es el úmero 1, mietras que e B tato 1 como 0 so símbolos que represeta lo idicado. 7) El álgebra de Boole D 70 =( D 70, mcm, mcd, 70/, 1, 70) del Ejemplo 5 que tiee tres átomos 2, 5, 7, es isomorfa a u álgebra de partes de u cojuto U que tega tres elemetos, c por ejemplo U={a, b, c} co las operacioes propias de P(U), P(U) = ( P(U),,,,, U), defiiedo el isomorfismo mediate la fució f de D 70 e P(U), e el que los cojutos uitarios {a}, {b},{c} so los átomos, dada por f(2)={a}, f(5)={b}, f(7)={c}, f(10)= {a, b}, f(14)={a, c}, f(35)={b, c}, f(70)={a, b, c}, f(1)=. Es biyectiva y respeta las operacioes. Para hacer más simple la correspodecia se puede tomar como cojuto U ={u 2, u 5, u 7 } co sus elemetos subideados co los átomos de D 70 o directamete U = { 2, 5, 7 } co los átomos como elemetos, teiedo e cueta que cada álgebra tiee sus propias operacioes y que e tal elecció de U, los átomos de P(U) so los cojutos uitarios {2}, {5}, {7}, e tato que e D 70 los átomos so los úmeros 2, 5 y 7. Eligiedo U={a, b, c}, e la figura 4 se muestra el diagrama de Hasse de P(U) que coicide co el de D 70 dado e la figura 2 U {a, b} {a, c} { b,c} {a} {b} {c} Figura 4 8

9 Se observa por ejemplo que: f(5 7) = f(35)= { b,c} = {b} {c} = f(5) f(7); f(10 35) = f(5) = {b} = {a, b} { b,c} = f(10) f(35) E D es el complemeto de 2, f(35)={b, c}, f(2)={a} y {b, c} es el complemeto de {a} c e P(U), o sea se cumple que f (2 ) = f (35) = b, c} = a { { } El Ejemplo 7 se puede geeralizar para todo álgebra de Boole co u úmero fiito de elemetos. Teorema 6. Sea B u álgebra de Boole fiita. Etoces eiste u cojuto U tal que B es isomorfa al álgebra de partes P(U). Para demostrarlo se toma U el cojuto de los átomos de B, la biyecció que a cada átomo a i de B le asiga el cojuto uitario { a i }, a partir de ahí se costruye u isomorfismo f etre B y P(U). Teorema 7.(Corolario del Teorema 6). El úmero de elemetos de u álgebra de Boole fiita es ua potecia de dos, co >0. 2 Demostració. Si B es u álgebra de Boole fiita y U es el cojuto de sus átomos, por el teorema aterior el úmero de elemetos de B es igual al úmero de elemetos de P(U) y, como se idica al comiezo (Ver Cojuto de partes), si U tiee elemetos, P(U) tiee 2 elemetos. El úmero debe ser mayor que 0 porque B tiee por lo meos dos elemetos: el primero y el último. Observació. La codició euciada e el Teorema 7 es ecesaria, por lo que si el úmero de elemetos de u cojuto o es ua potecia de dos, se puede cocluir que tal cojuto o es u álgebra de Boole. La codició o es suficiete, por ejemplo el cojuto D 24 ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} de divisores positivos de 24 tiee 2 3 elemetos y o es u álgebra de Boole. El hecho de que u cojuto tega 2 elemetos, co 1, o asegura que sea u álgebra de Boole. Ejercicios 1) Ecotrar los cojutos de partes de u cojuto co 3 elemetos y otro co 4 elemetos y graficar sus respectivos diagramas de Hasse. Idicar los átomos e cada caso. 9

10 2) Sea B y D cojutos tales que B D. Probar que P( B) P( D) 3) Graficar el diagrama de Hasse del álgebra de Boole D 30, idicar sus átomos y el complemeto de cada elemeto. 4) Determiar si los cojutos D 40, D 15, D 170, D 21, D 6, D 18, D 42, D 54 so o o álgebras de Boole, justificado las respuestas. E caso que sea u álgebra de Boole, graficar el diagrama de Hasse e idicar cuáles so sus átomos 5) Determiar si el cojuto D 390 es o o u álgebra de Boole. E caso afirmativo graficar su diagrama de Hasse, idicar los átomos y ecotrar el complemeto de cada elemeto. 6) Sea =Z, la suma usual de eteros, el producto usual de eteros y para cada Z, se defie a = -a. Es B u álgebra booleaa? 7) Simplificar (hasta su míima epresió) las siguietes epresioes, idicado las propiedades usadas ( y) ( y = = ( ) ( ) ( y ) ( y y) y ( = = ( ) 8) a) Probar la Ley de De Morga ( y ) = y b) Epresar las Leyes de De Morga e los cojutos y e el cálculo proposicioal, co los símbolos y operacioes que correspode e cada caso 9) Sea : u isomorfismo de algebras booleaas. Si llamamos 0 0 al 0 de respectivamete y 1 1 al 1 de respectivamete, demostrar que 0 =0 y 1 =1 10) Ecotrar u cojuto U tal que el álgebra de partes P(U) sea isomorfa a D 390, idicar primer elemeto, último elemeto y los átomos e cada álgebra de Boole y el úmero total de elemetos que tiee. Obteer los complemetos e D 390 de los elemetos 15, 78, 10, 13, 39, supremo e ífimo e D 390 de 15 y 10, 15 y 39, 30 y 78, 10 y 30, 10 y 39. Y los correspodietes por el isomorfismo e P(U) 11) Mediate el Teorema 7 establecer si D 40, D 18, D 9 so o o álgebras de Boole. 10

11 Ua aplicació: Los circuitos Ua aplicació del álgebra de Boole es el álgebra de circuitos de comutació. U circuito de comutació es ua red eléctrica formada por iterruptores coectados por cable, co dos estados que so cerrado y abierto, a los que se les asiga, respectivamete, los valores 1 y 0, y dos termiales s y t. La corriete eléctrica fluye de s a t a través del puto dode está localizado u iterruptor si y sólo si éste está cerrado s figura 5 t E la figura 5 se muestra u circuito co u solo iterruptor. El circuito de la figura 6 está cerrado si y sólo si o y está cerrados. Esta combiació de iterruptores se idica co y y se dice que los iterruptores, y está e paralelo s t y figura 6 Dos iterruptores e y está e serie si está coectados como e la figura 7 s figura 7 y t E este caso el circuito está cerrado si y sólo si ambos e y lo está, esta combiació de iterruptores se idica co y. La operació supremo es la coeió e paralelo y el ífimo es la coeió e serie. Los valores que puede tomar los iterruptores so sólo dos: {ON, OFF} o bie {1,0}. Si dos iterruptores opera e tal forma que cuado uo está abierto el otro está cerrado, y viceversa etoces se desigará uo de ellos co ua letra y el otro por su complemeto. Se idica co 0 al circuito que está siempre abierto y co 1 al que está siempre cerrado. Co estas operacioes el cojuto de circuitos de comutació es u álgebra de Boole y tiee todas sus propiedades. E el diseño actual de redes eléctricas los iterruptores se reemplaza por otros dispositivos llamados compuertas lógicas, que se correspode co las operacioes booleaas, y complemeto (egació). 11

12 Reseña histórica E el siglo XIX, el matemático George Boole ( ), e sus libros: "The Mathematical Aalysis of Logic" (1847) y "A Ivestigatio of The Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposicioes lógicas podía ser tratadas mediate herramietas matemáticas siguiedo el comportamieto de reglas algebraicas. Igual que e álgebra tradicioal, tambié se trabaja co letras para deomiar variables y formar ecuacioes para obteer el resultado de ciertas operacioes mediate ua ecuació o epresió booleaa. Los trabajos de Boole y los de sus discípulos resultaro etraños e su época porque e aquel mometo parecía o teer aplicacioes. A mediados del siglo XX el álgebra de Boole resultó de ua gra importacia práctica, importacia que se ha ido icremetado hasta uestros días, e el maejo de iformació digital. Gracias a ella, Claude Shao ( ) pudo formular su teoría de la codificació y Joh Vo Neuma ( ) pudo euciar el modelo de arquitectura que defie la estructura itera de las computadoras desde la primera geeració. Por lo tato, Boole es hoy cosiderado uo de los fudadores de las Ciecias de la Computació y de la base teórica para la era digital. Bibliografía Ramó Espiosa Armeta, Matemática Discreta. Elliott Medelso, Boolea Algebra ad Switchig Circuits, McGraw-Hill. 12