4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales Presencialidad (41,67%)

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1 CARRERA NOMBRE DEL PROGRAMA FORMATIVO TOTAL DE CRÉDITOS Pedagogía en Matemática / Licenciatura en Educación CPM 4331 Matemática Discreta 4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales Presencialidad (41,67%) No presencialidad (58,33%) 45 horas semestrales, 63 horas semestrales 2 períodos semanales (2,5 hrs) UNIDAD RESPONSABLE DOCENTE RESPONSABLE Eduardo Cabrera de Arrizabalaga DATOS DE CONTACTO CORREO ELECTRÓNICO TELÉFONO ecabrera@upla.cl COMPLEJIDAD ACTUAL Y FUTURA DE LA DISCIPLINA (JUSTIFICACIÓN) Es un curso teórico y de aplicación, destinado a alumnos y alumnas de Pedagogía en Matemática, que deberá permitir a estos el desarrollo de competencias teóricas y de aplicación en los tópicos relativos a: relaciones, correspondencia biunívoca entre conjuntos, conjuntos ordenados, retículos, álgebra booleana, teoría de grafos y algoritmos de optimización en grafos. Este curso desarrolla una base conceptual de modo que a los y las estudiantes les permita desarrollar un nivel de competencias disciplinares matemáticas de mayor complejidad, reconociendo que este desarrollo le permiten resolver situaciones de problemas en contextos diversos y generar procesos de aprendizaje coherentes con el perfil de egreso. Este curso, además, entrega la suficiente información teórica sobre los tópicos mencionados, que permita a los y las estudiantes emprender sus actividades profesionales eficientemente y con un compromiso de investigación y perfeccionamiento permanente. UNIDAD COMPETENCIA GENERAL Al finalizar exitosamente- este curso los y las estudiantes estarán habilitados para aplicar, argumentar y validar las estructuras discretas que subyacen en la matemática enmarcada en los tópicos antes señalados de acuerdo a los Estándares Orientadores para Carreras de Pedagogía en el área de Matemática.

2 N SUB UNIDADES DE COMPETENCIA 1 Fortalecen el conocimiento y aplicación del vocabulario básico referente a Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana, Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en Grafos. 2 Comprenden y valoran los procesos relativos a los tópicos de Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana, Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en Grafos. 3 Resuelven situaciones aplicando los tópicos de Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana, Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en grafos a situaciones teórico-prácticas preestablecidas. 4 Argumentan y demuestran si un aserto dado sobre los tópicos de Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana, Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en grafos es o no tautología. 5 Fortalece una actitud positiva y propositiva frente a la aplicabilidad del conocimiento matemático asociado a las estructuras discretas. Unidades de Aprendizaje (Saberes) Fecha I) Correspondencia Biunívoca entre conjuntos Semana 1 1. Relación binaria Concepto, ejemplos. Propiedades de una relación, caracterización de una relación. Semana 2 2. Función (o aplicación). Concepto, ejemplos. Propiedades fundamentales. Relación entre conjunto imagen directa, conjunto imagen recíproca. Semana 3 3. Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos equipotentes. Conjuntos finitos e infinitos. Propiedades. Conjuntos numerables y a lo sumo numerables (contables). Unión finita y unión numerable. Propiedades.

3 Fecha II) Conjuntos Ordenados y Algebra Booleana Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 7 Semana 8 II.1) Conjuntos Ordenados 1. Relación de orden 2. Representación de una relación de orden 2.1 Grafo dirigido o dígrafo 2.2 Diagrama de Hasse 3. Conjunto ordenado 3.1 Orden inverso o dual 3.2 Orden Producto 3.3 Orden Lexicográfico 3.4 Relación conexa 4. Conjunto totalmente ordenado 5. Elementos característicos de un conjunto ordenado 6. Conjunto ordenado acotado II.2) Retículos 1. Retículo 2. Retículo inverso o dual 3. Retículo producto 4. Definición algebraica de retículo 5. Propiedades de los retículos 6. Subretículo 7. Homomorfismo de retículos 8. Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo de retículo 9. Retículo acotado 10. Propiedades de retículo acotado 11. Retículo distributivo Semana 9 Evaluación 1 Semana Retículo complementario II.3) Álgebra de Boole 1. Álgebra de Boole 2. Propiedades del Algebra de Boole 3. Proposiciones fundamentales del álgebra de Boole 4. Conjunto de átomos de un álgebra de Boole 5. Conjunto de súper-átomos de un álgebra de Boole

4 Semana 10 Semana 11 Semana Las álgebras de Boole [0,1] n II.4) Funciones Booleanas 1. Funciones Booleanas 2. Representación de una función Booleana 2.1 Tabla de verdad 2.2 Expresiones Booleanas Forma normal disyuntiva (f.n.d) Forma normal conjuntiva (f.n.c) 3. Diagramas Lógicos 4 Simplificación de expresiones Booleanas 4.1 Simplificación de expresiones booleanas mediante leyes del álgebra de Boole. 4.2 Simplificación de expresiones Booleanas por Mapas de Karnaugh i. Mapa de Karnaugh de dos, tres y cuatro variables. ii. Mapa de Karnaugh de cinco o más variables. 4.3 Método de simplificación de expresiones Booleanas mediante el algoritmo de Quine-McCluskey. 5 Aplicaciones del álgebra Booleana Semana 13 Evaluación 2 Semana13 III) Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización. 1. Grafos. Elementos de un grafo. Definición, ejemplos. 2. Grafos y subgrafos: grafo completo, bipartidos, n-partido, n- partido completo. Complementarios. Matriz de adyacencia y matriz de incidencia. 3. Operaciones entre grafos: unión, suma, producto cartesiano, producto lexicográfico (composición), sustitución. Semana Realización de un grafo. Sucesión de grados, Teo de Havel- Hakimi, Teo de Erdos y Gallai. 5. Homeomorfismo e Isomorfismo de grafos. Subgrafos inducidos; por vértices, por líneas. Subgrafo gererador. 6. Distacia en grafo (simples y pesados), excentricidad de vértice, radio de un grafo, diámetro y centro de un grafo. Semana Digrafos, multigrafos y grafos pesados. Caminos, trayectorias y circuitos: eulerianos (algoritmo de Fleury), hamiltonianos. Caminos más cortos en grafos ponderados (pesados). Algoritmo de Dijkstra. Problema del vendedor viajero. Grafos planares, grafos planos. Teorema de Kuratowski.

5 Semana 16 Árboles. Definiciones, propiedades y ejemplos. Árboles enraizados y su longitud de caminos. Árboles pesados y prefijos codificados. Árboles generados y conjuntos de corte. Árboles generadores mínimos. Algoritmos de Kruskal y Prim. Redes de transporte. Teorema del flujo máximo-corte mínimo Semana 17 Síntesis y Evaluación 3 Semana 18 Síntesis, pruebas pendientes, examen final Competencias I Competencias Conocimiento y comprensión de los Clasifican las relaciones binarias según sus fundamentos teóricos que sustentan la características correspondencia entre conjuntos Demuestran o refutan que una relación binaria es o no aplicación Empleo de diagramas para visualizar Emplean pseudodigrafos y diagramas para definiciones, proposiciones y representar una relación. propiedades referentes Reconocen y distinguen los elementos correspondencia entre conjuntos característicos de una relación y en especial de una aplicación. Discriminan si una relación entre conjuntos es biunívoca o no basándose en su definición y de manera visual utilizando esquemas afines. Habilidad para trabajar de forma autónoma en la resolución de ejercicios que involucren los conceptos asociados a correspondencia entre conjuntos Aplican teoremas, definiciones y proposiciones en la resolución de ejercicios como en la argumentación para demostrar asertos dados. Utilizan de manera precisa la terminología

6 Competencias II.1 Competencias Conocimiento y comprensión de los Demuestran o refutan que una dupla fundamentos teóricos que sustentan ordenada formada por un conjunto y una los conjuntos ordenados. relación definida en él, es un conjunto ordenado. Clasifican los conjuntos ordenados en parcialmente ordenados y totalmente ordenados. Empleo de diagramas para visualizar Emplean pseudodigrafos y diagramas de definiciones, proposiciones y Hasse para representar conjuntos ordenados. propiedades referentes a los conjuntos Reconocen y distinguen los elementos ordenados. característicos de los conjuntos ordenados en base a su definición y de manera visual utilizando su representación en diagramas de Hasse. Discriminan si un conjunto ordenado es acotado, acotado superiormente, acotado inferiormente o no es acotado basándose en su definición y de manera visual utilizando su representación en diagrama de Hasse. Habilidad para trabajar de forma autónoma en la resolución de ejercicios que involucren los conceptos asociados a conjuntos ordenados. Aplican teoremas, definiciones y proposiciones en la resolución de ejercicios. Utilizan de manera precisa la terminología

7 Competencias II.2 Competencia Conocimiento y comprensión de los Usan las definiciones 1 y 2 de retículo. fundamentos teóricos que sustentan Demuestran que ciertos conjuntos los retículos. ordenados son retículos. Demuestran las propiedades de retículos. Utilizan la definición de Homomorfismo de retículos. Definen monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo de retículo. Discriminan si un Retículo es acotado y demuestran sus propiedades. Identifican los retículos distributivos utilizando diferentes criterios y las propiedades distributivas. Identifican los retículos complementarios y sus características. Empleo de diagramas para visualizar Utilizan diagramas de Hasse para definiciones, proposiciones y visualizar las definiciones, proposiciones y propiedades referentes a los retículos. propiedades referentes a los retículos. Esquematizan los monomorfismos, Habilidad para trabajar de forma autónoma en la resolución de ejercicios que involucren los conceptos asociados a los retículos. epimorfismos e isomorfismos de retículo. Crean, analizan y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas sobre homomorfismo de retículos. Utilizan de manera precisa la terminología

8 Competencias II.3 Competencia Conocimiento y comprensión de los Demuestran que ciertos retículos son fundamentos teóricos que sustentan el álgebras de Boole. álgebra Booleana. Comprenden las proposiciones fundamentales del álgebra Booleana para determinar si un conjunto ordenado es un álgebra de Boole. Utilizan las proposiciones fundamentales del álgebra Booleana para determinar si un conjunto ordenado es un álgebra de Boole. Demuestran las propiedades del álgebra Booleana. Empleo de diagramas para visualizar definiciones, proposiciones y propiedades referentes al álgebra de Boole. Habilidad para trabajar de forma autónoma en la resolución de ejercicios que involucren los conceptos asociados al álgebra Booleana. Utilizan diagramas de Hasse para visualizar las definiciones, proposiciones y propiedades del álgebra Booleana. Esquematizan la isomorfía de álgebras Booleanas. Aplican teoremas, definiciones, proposiciones y propiedades del álgebra Booleana en la resolución de ejercicios. Crean y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas sobre el álgebra de Boole. Analizan y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas sobre el álgebra de Boole. Utilizan precisamente la terminología

9 Competencia Conocimiento y comprensión de los fundamentos teóricos que sustentan las funciones Booleanas. Conocimiento y comprensión de las formas de representar una función Booleana. Comprensión y empleo del concepto de expresión booleana. Empleo de distintos métodos de simplificación de expresiones Booleanas. Habilidad para trabajar de forma autónoma en la resolución de ejercicios que involucren los conceptos asociados las funciones Booleanas. Competencia Aplicación y relación de los conocimientos matemáticos asociados al álgebra Booleana con otras áreas del saber, como por ejemplo la computación y la electrónica. Competencias II.4 Determinan funciones Booleanas a partir de su definición y reconocen la relación con el álgebra de booleana. Representan funciones Booleanas a través de tablas de verdad. Representan funciones Booleanas mediante expresiones Booleanas. Determinan la forma normal disyuntiva de una expresión Booleana. Determinan la forma normal conjuntiva de una expresión Booleana. Representan expresiones Booleanas mediante diagramas lógicos. Simplifican expresiones Booleanas mediante leyes de álgebra de Boole. Simplifican expresiones Booleanas mediante mapas de Karnaugh. Simplifican expresiones Booleanas utilizando el método de Quine-McKluskey. Aplican teoremas, definiciones, proposiciones y propiedades del álgebra Booleana en la resolución de ejercicios asociados a las funciones Booleanas. Crean, analizan y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas sobre funciones booleanas. Utilizan precisamente la terminología Competencias II.5 Diseñan circuitos lógicos que permitan simular situaciones reales. Implementan en un software diferentes circuitos lógicos para visualizar su funcionamiento. Implementan en una protoboard los circuitos lógicos utilizando diferentes componentes electrónicos.

10 Competencia Conocimiento y comprensión de los fundamentos teóricos que sustentan los Grafos y Digrafos Competencias III Determinan los elementos de un grafo y sus relaciones a partir de su definición y reconocen la relación de ellos. Conocimiento y comprensión de las formas de representar y operar grafos. Comprensión y empleo del concepto de Homeomorfismo e Isomorfismo de grafos. Comprensión y empleo del concepto de la Realización de un grafo.. Habilidad para trabajar de forma autónoma en la resolución de ejercicios que involucren los conceptos asociados a la teoría de grafos. Aplicación y relación de los conocimientos matemáticos asociados a la optimización en grafo vía algoritmos, en grafos y dígrafos. Representan grafos asociados a la operación entre ellos (unión, suma, producto, sustitución).. Representan la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo Determinan la relación (morfismo) existente entre grafos. Determinan susbgrafos inducidos y subgrafo generado.. Caracterizan la sucesión de grados de un grafo. Determinan si la sucesión es realizable en un grafo o familia de grafos. Aplican el Teorema de Havel-Hakimi para la realización de un grafo Aplican teoremas, definiciones, proposiciones y propiedades en la determinación de elementos característicos de un grafo (excentricidad, radio, diámetro, centro de un grafo) Crean, analizan y usan diferentes estrategias y modelos para determinar grafos Eulerianos y grafos Hamiltonianos Utilizan precisamente la terminología Determinan caminos, trayectorias y circuitos. Describen grafos planares y grafos planos vía teorema de Kuratowski. Determinan, vía algoritmo de Dijkstra, caminos más cortos en grafos ponderados (pesados). Determinan, vía algoritmo de Kruskal y de Prim, árboles generadores mínimos.

11 Bibliografía Básica: Abellanas, M., Lodares, D. Matemática Discreta. Editorial Macrobit Editores, Mexico, Ross, Kenneth A. Wright, Charlesm R.B. Matemáticas Discretas. Editorial Prentice-Hall Hispanoamérica, S. A., México, Chartrand, G. & Lesniak, L. Graphs and Digraphs. Ed. Chapman and Hall. 3ª Edition, Complementaria: Brown, John W., Sherbert, Donald R. Methods of Finite Mathematics. Editorial John Wiley & Sons, Inc., U.S.A., Grimaldi, Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria. Addison-Wesley Iberoamérica, México,1989. Liu, C. L. Elementos de Matemáticas Discretas. McGraw-Hill, segunda edición, México, Mizrahi, Abe. & Sullivan, Michael. Matemáticas Finitas - aplicaciones en ciencias sociales y administrativas. Editorial Limusa, México, Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas Discretas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, Robledo, Alamiro. Lecciones de Álgebra Elemental Moderna. Editorial Universitaria S. A., Tomo I, Santiago, 1971.