CÁLCULO DE PROBABILIDADES :

Transcripción

1 CÁLCULO DE PROBBILIDDES : Experimeto aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Álgebra de sucesos. Frecuecias. Propiedades. Probabilidad. Resume de Combiatoria. Probabilidad codicioada. Teoremas.

2 PROBBILIDD Existe dos tipos de feómeos: - determiistas, que so aquellos cuyos resultados se puede predecir de atemao, y - estocásticos o aleatorios, que so los que depede del azar (o se puede predecir). Se llama prueba al proceso mediate el cual se obtiee u resultado. Y se llama experimeto aleatorio a todo feómeo aleatorio. Se llama espacio muestral, uiverso o població al cojuto de todos los posibles resultados de u experimeto aleatorio, y se represeta por E. Se llama suceso aleatorio a todo subcojuto del espacio muestral. Se llama suceso elemetal a u suceso uitario. Se llama espacio de sucesos al cojuto formado por todos los sucesos, y se represeta por Ω. Se llama suceso imposible al que o se verificará uca, y se represeta por. Se llama suceso seguro al que se verificará siempre, y se represeta por E. Se dice que u subcojuto Ω se ha realizado o se ha verificado cuado el resultado de la prueba coicide co algú compoete del subcojuto. Se dice que u suceso implica a otro B cuado siempre que se verifica, se verifica B: B. Diremos que dos sucesos so iguales cuado B y B. Álgebra de sucesos.- Ω Ω Ω B es el suceso que se verifica si y, B sólo si se verifica uo de los dos. ( ) B Ω Ω Ω B es el suceso que se verifica cuado, B se verifica los dos a la vez. ( ) B Ω C Ω C, complemetario de, es el suceso que C se verifica cuado o se verifica.

3 Propiedades: Como las defiicioes de uió, itersecció y complemetació de sucesos so idéticas a las de los cojutos, estas operacioes para sucesos cumple las mismas propiedades que para los cojutos. i) Comutativa: B = B B = B ii) sociativa: (B C) = ( B) C (B C) = ( B) C iii) Idempotete: = = iv) Simplificació: ( B) = B v) Distributiva: (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) ( B) = B vi) Existecia de elemeto eutro: = E = vii) bsorció: E = E = viii)complemetació: E C = ix) Ivolució: ( C ) C = C = E x) Leyes de Morga: ( B) C = C B C ( B) C = C B C Álgebra de Boole: U cojuto dotado co dos leyes de composició (operacioes) que cumple la comutatividad, distributividad, existecia de elemeto eutro y existecia de complemetario, se llama álgebra de Boole. sí pues, (Ω ;, ) es u álgebra de Boole. Dos sucesos se dice icompatibles si B =. U sistema completo de sucesos so sucesos 1, 2,..., que verifica las dos siguietes codicioes: i) = E ii) i j =, i, j = 1, 2,...,, i j. Frecuecias.-

4 Sea u suceso Ω. Si efectuamos pruebas de u experimeto aleatorio, desigaremos por el úmero de veces que se ha verificado el suceso. El úmero se llama frecuecia absoluta del suceso. Se llama frecuecia relativa del suceso al cociete etre la frecuecia absoluta y el úmero de pruebas: fr() =. Como cosecuecia de la propia defiició, resulta las siguietes propiedades: fr( E ) = 1 y fr( ) = 0 (debido a que = 0 y E = ) (debido a que 0 ) Ω, 0 fr() 1 Si y B so dos sucesos icompatibles, fr( B) = fr() + fr(b) (como B =, será = + ) B B Probabilidad.- La idea ituitiva de probabilidad se basa e la llamada ley de los grades úmeros, euciada por Beroulli: La frecuecia relativa de u suceso tiede a estabilizarse e toro a u úmero, a medida que el úmero de pruebas del experimeto crece idefiidamete. Es decir, si es u suceso, podríamos hablar del lim fr() = lim Este úmero al que la frecuecia relativa se acerca es lo que llamaremos la probabilidad del suceso. Se represetará como ). Defiició clásica de probabilidad: (Regla de Laplace) La probabilidad de u suceso se calcula como el úmero de casos favorables al suceso, partido por el úmero de casos posibles del experimeto aleatorio: casos favorables ) = casos posibles

5 Defiició axiomática de probabilidad: (xiomas de Kolmogorov) La probabilidad es ua ley que asiga a cada suceso Ω u úmero real p : Ω R y que verifica: ) i) ) 0, Ω ii) E) = 1 iii) si y B so sucesos icompatibles, B) = ) + B) Como cosecuecia de estos tres axiomas, se verifica además las siguietes propiedades: iv) C ) = 1 ) v) ) = 0 vi) si B, ) B) vii) ) 1, Ω viii)si 1, 2,..., so icompatibles dos a dos, etoces ) = 1 ) + 2 ) ) ix) si, B Ω so dos sucesos cualesquiera, etoces B) = ) + B) B) Combiacioes, variacioes y permutacioes.- Se llama variacioes de elemetos tomados de m e m a los grupos de m elemetos escogidos de los elemetos de u cojuto, teiedo e cueta que dos grupos so distitos si difiere e algú elemeto o e el orde de colocació de ellos. Si los elemetos se puede repetir se llama variacioes co repetició. Si m = se llama permutacioes de elemetos. Si el orde o importa se llama combiacioes. Variacioes: V m = (-1)... (-m+1) Variacioes co repetició: VR m = m so los distitos grupos de m elemetos so los distitos grupos de m elemetos, distitos que se puede formar co repetidos o o, que se puede formar co elemetos, teiedo e cueta el orde. elemetos, teiedo e cueta el orde.! Combiacioes co repet.: CR m Combiacioes: C m = = =C m + m 1 m m! ( m)! so los distitos subcojutos de m so los distitos subcojutos de m elemetos, repetidos o o, que se puede elemetos distitos que se puede formar formar co elemetos.

6 co elemetos. Permutacioes: P = V =! so todas las distitas ordeacioes que se puede formar co elemetos, todos distitos. Probabilidad codicioada.- a, b,... k! Permut. co repet.: P = a! b!... k! so las distitas ordeacioes que se puede formar co elemetos, teiedo e cueta que u elemeto se repite a veces, otro b veces,..., etc., siedo a+b+...+k=. E muchas ocasioes, la verificació o o de u suceso se estudia e fució de otro suceso de cuya verificació depede o del cual está codicioado. Se dice probabilidad codicioada del suceso B respecto del suceso, y se represeta B ), al valor B B) ) =, siempre que ) 0. ) E cosecuecia, B) = ) B ). Dos sucesos, B Ω se dice idepedietes si B) = B ). Es decir,se cumplirá que ) B) = B) Si y B so idepedietes, etoces y B C idepedietes, y C y B C so idepedietes. so idepedietes, C y B so Teorema de la probabilidad total: Si 1, 2,..., so u sistema completo de sucesos tal que i ) 0, i = 1,..., etoces la probabilidad de u suceso B cualquiera es: B) = 1 ) B )+ 2 ) B )+...+ ) B ) 1 2 Teorema de Bayes: Si 1, 2,..., so u sistema completo de sucesos tal que i ) 0, i = 1,..., etoces para u suceso B cualquiera se verifica: i ) = B 1 ) B ) + y esto para cualquier i = 1,...,. 1 i ) B ) i 2 ) B ) ) B ),