Sistemas informáticos industriales. Algebra de Boole

Transcripción

1 Sistemas informáticos industriales 2016 lgebra de oole

2 lgebra oole Se denomina así en honor a George oole ( ). El algebra de oole se emplea en sistema de control digitales, desde los sistemas de refrigeración hasta los complejos sistemas de control de vuelo. unque los circuitos electrónicos de estos sistemas pueden tener niveles de complejidad muy diferentes, todos se basan en combinaciones de elementos muy simples, llamados puertas lógicas. Estados lógicos y función lógica: los elementos que constituyen estos sistemas digitales solo tienen dos estados: 0 o 1 o en forma equivalente falso o verdadero. Tabla de verdad S(llave) bierto(0) Cerrado(1) L(foco) pagado(0) Encendido(1)

3 lgebra oole Función lógica: es la función que relaciona las entradas con las salidas de un sistema lógico. Se puede expresar mediante: Tabla de verdad: En ella se representan a la izquierda todos los estados posibles de la entradas y a la derecha el estado correspondiente de cada salida. Función booleana: es una expresión algebraica que usa operadores booleanos. Operadores lógicos elementales: Se definen como elementos lógicos que toman como entrada una o dos señales binarias y devuelve una salida lógica binaria en función de estos valores.

4 lgebra oole Compuerta ND: el funcionamiento de la compuerta ND es equivalente a tener dos llaves en serie, es necesario que las dos llaves estén cerradas para que la lámpara se encienda. L=^ L=^

5 lgebra oole Compuerta OR: el funcionamiento de la compuerta OR es equivalente a tener dos llaves en paralelo, es necesario que alguna de las dos llaves esté cerrada para que la lámpara se encienda. L=+ L=

6 lgebra oole Compuerta NOT: la salida de la compuerta NOT es simplemente el complemento de la entrada. Si la entrada es 0 la salida es 1 y viceversa. L=NOT L = ~

7 lgebra oole Compuerta NND: L=~ (^) L= ~ (^) Compuerta NOR: L=~ (+) L= ~ (+)

8 lgebra oole Compuerta XOR: L= L = + L= ( ) Compuerta XNOR: L=~ ( ) L = + L= ~ ( )

9 lgebra oole Propiedades: Conmutativa + = + ^= ^ Idem. Potencia + = ^ = Distributiva sociativa DeMorgan ( + ) = + ( ^ ) ( ) ^( ) ^ C ^ ^C + C = + + C ( ) = ( ) ( ) ( ) ^ ^C ^ ^C + + C = + + C Elem. nulos ^ = + + = ^ + 0 = ^1=

10 lgebra de boole: ese definen variables, constantes y funciones para describir sistemas binarios: Constantes booleanas: son dos, 0 (falso) y 1 (verdadero). Variables booleanas: son magnitudes que pueden tomar distintos valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada o de salida y reciben nombres de caracteres alfabéticos (,, C). Toman valores binarios. Funciones booleanas: describen el comportamiento de un sistema. Se expresa con notación de algebra booleana.

11 lgebra oole Tabla de verdad: es un tabla que contiene el valor de la función de salida para cada entada. Si tiene una definición para cada combinación posible se denomina completa, caso contrario incompleta. X 2 X 1 X 0 F(X 2, X 1. X 0 ) F(0,0,0) F(0,0,1) F(0,1,0) F(0,1,1) F(1,0,0) F(1,0,1) F(1,1,0) F(1,1,1)

12 lgebra oole Representación de funciones lógicas: se pueden describir funciones booleanas a partir de la tabla de verdad de dos formas: mintermino o maxtermino. a) Mintermino: se genera un mintermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale Un mintermino contiene el producto de cada variable de entrada. Tal que la variable de entrada esta negada si para esa fila vale 0 y no negada si vale La expresión total es la suma de todos los minterminos. b) Maxtermino: se genera un maxtermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale Un maxtermino contiene la suma de cada variable de entrada. Tal que la variable de entrada esta negada si para esa fila vale 1 y no negada si vale 0 (a la inversa que para mintermino). 2. La expresión total es el producto de todos los maxterminos.

13 lgebra oole Ejemplo Mintermino: Fila F (, ) Se genera un mintermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale 1. Para la fila 1 se tiene el término producto: m(, ) = ^ 1 Para la fila 3 se tiene el término producto: m(, ) = ^ 3 -La expresión total es la suma de todos los minterminos: ( ) ( ) ( ) F(, ) = m, = m, + m, i = ^+ ^ 1 3

14 lgebra oole Ejemplo Maxtermino: Fila F (, ) Se genera un maxtermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida vale 0. Para la fila 0 se tiene el término suma: M(, ) = + 0 Para la fila 2 se tiene el término suma: M (, ) = + 2 -La expresión total es el producto de todos los maxterminos: ( ) ( ) ( ) F(, ) = M, = M, ^ M, i = ( + )^( + ) 0 2