Integración de Funciones

Transcripción

1 Cpítulo 9 Integrción de Funciones Hemos visto que l derivd represent l ts de vrición de un función. De hí que luego podmos interpretr l derivd de diferentes mner como l velocidd de vrición de cierto fenómeno que evolucion con respecto l tiempo. En numeross situciones, es más fácil determinr l velocidd de crecimiento que el vlor totl que lcnz un mgnitud. En esos csos debemos ider mecnismos pr, prtir de l función de velocidd, poder deducir l función de vlor totl en cd instnte. Aquí entr en juego el concepto de integrl indefinid y definid. En este cso l interpretción geométric pr l integrl definid como el áre encerrd por un función, nos llevrá tmbién distints plicciones del concepto en distintos contextos. 9. Integrción indefinid L integrción es el proceso inverso l derivción. Dd un función f(x, podemos clculr su derivd f (x. Ahor lo que pretendemos es clculr un función F (x cuy derivd coincid con f(x, es decir, F (x f(x. Es lo que en l siguiente definición llmmos primitiv de f(x. Definición. Ddo un conjunto D R y un función f : D R, llmmos primitiv de f culquier función derivble, F : D R, tl que F (x f(x, x D. Ejemplo. Dd l función f(x x, podemos clculr distints primitivs: Es evidente que F (x F (x F (x x. F (x x, F (x x + 3, F (x x 0. Se puede demostrr que culquier función continu tiene l menos un primitiv. De form más concret tenemos l siguiente propiedd: Propiedd 3. Dd f : (, b R continu, siempre existe F : (, b R derivble tl que F (x f(x, x (, b. Por tnto, el conjunto de funciones pr ls que existe primitiv es mplio e incluye tods ls funciones elementles, tods ls funciones obtenids por composición u operción de funciones elementles y ls funciones definids trozos que sen continus.

2 En relidd, en el Ejemplo vemos que un mism función tiene infinidd de primitivs pero tods ells deben seguir un ptrón común. Si F (x y G(x son primitivs de l mism función, f(x, entonces en todo punto tendremos G (x f(x F (x (G F (x 0. Pero si un función tiene derivd cero, debe ser un constnte sí que G(x F (x C R G(x F (x + C. De este modo, fijd un primitiv F (x, tods ls demás se obtienen ñdiéndole un constnte tl y como sucede en el último ejemplo. Esto mismo prece reflejdo con más precisión continución. Propiedd 4. Se I R un intervlo y un función f : I R, entonces, si l función F : I R es un primitiv de f, se tiene que donde C R. G : I R es un primitiv de f G F + C, Por tnto, dd f(x, l representción de tods sus primitivs será de l form F (x + C, donde C es un constnte que puede tomr culquier vlor. A es representción uniprmétric (prece un único prámetro es lo que llmmos integrl indefinid en l próxim definición. Definición 5. Ddo un intervlo I R y l función f : I R, llmmos integrl indefinid de f y l notmos f dx ó f(x dx culquier fórmul uniprmétric que nos permite, dndo vlores su prámetro, l cul llmremos constnte de integrción, obtener tods ls primitivs de l función f. Obsérvese que, dd un función f : I R, si conocemos un de sus primitivs, F, entonces teniendo en cuent lo nterior l integrl indefinid de f será f dx F + C, siendo C l constnte de integrción. Ejemplo 6. Consideremos l función f(x x definid en todo R. Es evidente que l función F (x x es un primitiv de f. Entonces, l integrl indefinid de f será x dx x + C. Si en l expresión nterior dmos vlores reles l prámetro C podemos obtener tods ls primitivs de l función f(x x. Dd un función f : I R derivble en el intervlo I, es clro que f (x dx f(x + C.

3 9. Cálculo de l integrl indefinid Si bien hemos visto en l sección nterior que tod función continu tiene un primitiv y por tnto integrl definid, el cálculo explícito de es primitiv no siempre es sencillo. El cálculo de l integrl indefinid de un función es un problem complicdo que exige el conocimiento, en primer lugr, de ls derivds de tods ls funciones elementles y de ls regls de derivción y, en segundo lugr, de métodos específicos pr l integrción de funciones más complicds. El conocimiento de ls propieddes de derivción y de ls funciones elementles nos permite obtener ls siguientes regls de integrción que, fin de cuents son l trducción direct de ls propieddes vists en el cpítulo nterior. Dds ls funciones f, g : I R, definids en el intervlo I, se cumple que: (f + gdx f dx + g dx. k f dx k f dx. Dds f : I R y g : J R tles que f(i J, se tiene que g (f(x f (x dx (g f(x. x n dx n + xn+ + C, n N. x α dx α + xα+ + C, α R { }. e kx dx k ekx + C, k R {0}. kx dx k log( kx + C, k R {0}, R. dx log(x + C. x cos(x dx sen(x + C. sen(x dx cos(x + C. cos (x dx tn(x + C. dx rcsen(x + C, x dx rctg(x + C. + x cosh(x dx senh(x + C. senh(x dx cosh(x + C. x dx rccos(x + C. Es evidente que no tod función se just lgun de ls que precen en l list nterior. Pr esos csos hemos de ider mecnismos que permitn reducir l integrl de culquier función l integrl de ls funciones que cbmos de ver. Pr ello empleremos fundmentlmente dos métodos: L integrción por cmbio de vrible y l integrción por prtes. 3

4 Integrción por cmbio de vrible Consideremos l integrl indefinid de l función f, f(x dx. Est integrl prece expresd en términos de l vrible x. Sin embrgo podrí ser interesnte expresrl en función de otr vrible que esté relciond con x medinte ciert fórmul. Supongmos que l vrible t está relciond con l vrible x medinte l ecución ϕ(t φ(x. Derivemos est expresión medinte l siguiente regl mnemotécnic en l que introducimos el diferencil con respecto t, dt, y el diferencil con respecto x, dx, ϕ (tdt φ (xdx. Si reunimos ests dos igulddes obtenemos dos ecuciones, { ϕ(t φ(x, ϕ (t dt φ (x dx, trvés de ls cules podemos despejr x en función de t y dx en función de dt y t pr posteriormente sustituir los resultdos obtenidos en l integrl que pretendemos clculr. Se resuelve l integrl en función de l vrible t y luego se deshce el cmbio. Ejemplos 7. Clculr (x + e x +x dx. (x + e x +x dx ( t x + x dt (x + dx dx dt x+ ( deshciendo el e x +x + C. cmbio e t dt e t + C Clculr dx. x Ln (x dx x Ln (x ( ( sen(t Ln(x t rcsen Ln(x cos(t dt x dx dx xcos(t dt cos(t dt cos(tdt cos (x cos(t dt t + C xcos(t dt x sen (x rcsen(ln(x + C. ( deshciendo el cmbio Integrción por prtes El método de integrción por prtes se bs en l propieddes de derivción del producto de funciones. Sbemos que (f(x g(x dx f(x g(x + C 4

5 y demás (f(x g(x dx (f (x g(x + f(x g (x dx f (x g(x dx + f(x g (x dx de mner que uniendo ls dos igulddes f (x g(x dx + f(x g (x dx f(x g(x + C de donde f(x g (x dx f(x g(x f (x g(x dx + C y finlmente, incluyendo el prámetro de integrción, C, en l integrl indefinid del segundo miembro, hemos demostrdo l siguiente: Propiedd 8. Sen f, g : I R funciones derivbles en el intervlo I, entonces f(x g (x dx f(x g(x f (x g(x dx. L propiedd nterior no se utiliz directmente sino trvés del siguiente esquem que se denomin método de integrción por prtes pr el cálculo de l integrl f(xg(xdx: { } ( f(x g(x dx (u(x v u(x f(x (x dx }{{}}{{} v (x g(x u (x f (x v(x g(x dx u(x v (x ( usndo l propiedd u(x v(x u (x v(x dx. Ejemplo 9. x log(x dx u log(x v x x log(x x x u (log(x x v x dx x dx x log(x x dx x log(x x 4 + C. El método de integrción por prtes se puede plicr pr obtener l integrl de funciones del tipo p(x f(x, donde p(x es un polinomio y f(x es un función logrítmic, exponencil o trigonométric. En tles csos es posible que se necesrio plicr l integrción por prtes sucesivmente pr obtener el resultdo. Tmbién es indicdo el uso del método de integrción por prtes pr el cálculo de l integrl del producto de un función trigonométric por un exponencil. Ejemplos 0. Clculr (x + x e x dx. (x + x e x dx 5

6 { } u x + x v e x u x + v e x dx e x (x + x e x { } (x + e x u x + dx v e x u v e x dx e x ( (x + x e x (x + e x e x dx (x + x e x (x + e x + e x + C (x xe x + C. Clculr log(x dx. Vése que log(x log(x y tenemos el producto de un polinomio de grdo 0 (p(x por un función logrítmic (f(x log(x, con lo que plicremos integrción por prtes como sigue: log(x dx u log(x v u x v dx x x log(x x x dx x log(x x + C. 3 Clculr x cos(xdx. Tenemos el producto de un polinomio, p(x x, por un función trigonométric, f(x cos(x. Resolveremos integrndo por prtes: u x x cos(xdx v cos(x xsen(x u v cos(xdx sen(x sen(xdx xsen(x + cos(x + C. 4 Tmbién podemos empler el método de integrción por prtes pr clculr l integrl del producto de un función exponencil por un trigonométric. En este cso será necesrio plicr integrción por prtes dos veces pr poder despejr l integrl desed. Vemos un ejemplo. e x cos(xdx u cos(x u sen(x v e x v e x dx e x ex cos(x + e x sen(xdx u sen(x u cos(x v e x v e x dx e x e x cos(x + e x sen(x e x cos(xdx En definitiv, tenemos que e x cos(xdx e x cos(x + e x sen(x e x cos(xdx 6

7 y observmos que en mbos miembros de l iguldd hemos obtenido l integrl que pretendímos clculr. Entonces, será suficiente despejr pr obtener e x cos(xdx (ex cos(x + e x sen(x + C. Veremos continución un relción de técnics que nos permiten resolver ciertos tipos específicos de integrles usndo pr ello los dos métodos que cbmos de ver, cmbios de vrible e integrción por prtes, en diferentes puntos. 9.. Integrles inmedits Cundo, pr l resolución de un integrl, podemos plicr directmente lgun regl de integrción procedente de l tbl que hemos visto en l págin 3, decimos que tl integrl es un integrl inmedit. A continución enumermos lgunos tipos de integrles inmedits de interés: Integrles inmedits de tipo potencil Son integrles que pueden fácilmente trnsformrse hst l form f(x α f (x dx α + f(xα+ + C. Ejemplos. Clculr x (3x Tenemos que x (3x x (3x dx ( f(x 3x f (x 9x 9 4 (3x C. Clculr x ( (x + 4 x ( (x + 4 dx dx. En este cso procederemos como sigue (x ( (x + 4 dx ( f(x (x + 4 f (x (x ( (x + 4 ( (x C. 3 Clculr cos(x sen 3 (x dx. Tenemos que cos(x sen 3 (x dx ( f(x sen(x f (x cos(x 4 sen4 (x + C. 4 Clculr x ( (x + 4 dx. x ( (x + 4 dx (x ( (x + 4 dx ( f(x (x + 4 f (x (x 7

8 ( (x + 4 ( (x C. 5 Un integrl del tipo Por ejemplo, dx con n > puede resolverse como sigue: (Ax + B n (Ax + B n dx A A(Ax + B n dx (Ax + B n+ A n + (9x 7 dx 9 ( 6 ( f(x Ax + B f (x A + C. A( n + (Ax + B n (9x 6 54(9x 6 + C. Cundo n no es posible resolver l integrl emplendo este método y hy que recurrir l último prtdo de est sección en el que se trtn ls integrles inmedits de tipo logrítmico. 6 Clculr l integrl x dx con n >. Tenemos: (Ax + B n Ax + B B x (Ax + B n dx A (Ax + B n dx A (Ax + B n dx B A (Ax + B n dx. Ahor, l integrl (Ax+B dx puede resolverse siguiendo el ejemplo nterior y podemos hcer los mismo n pr (Ax+B siempre que n >. Cundo n (es decir, cundo n, como hemos menciondo n ntes, tendremos que resolver como se indic en el prtdo dedicdo integrles logrítmics. Integrles inmedits de tipo exponencil Son integrles que pueden justrse l form f (x f(x dx log( f(x + C Ejemplos. Pr sen(xe cos(x dx. Resolvemos como sigue: sen(xe cos(x dx sen(xe cos(x dx ( f(x cos(x f (x sen(x e cos(x + C. Clcúlese x 7 x3 +5 dx. x 7 x3 +5 dx 3 3x 7 x3 +5 dx ( f(x x f (x 3x 3 3 log(7 7x +5 + C. 8

9 Integrles inmedits de tipo logrítmico Son integrles en ls que prece un función dividiendo su derivd. Son del tipo f (x dx log(f(x + C. f(x Ejemplos 3. Clculr tn(x dx. sen(x tn(x dx cos(x dx ( f(x cos(x f (x sen(x log(cos(x + C. Obténgse 4x 3 + 6x + x 4 + x 3 + x 4x 3 + 6x + x 4 + x 3 + x dx dx. Tenemos que ( f(x x 4 + x 3 + x f (x 4x 3 + 6x + log(x 4 + x 3 + x + C. 3 Clculemos l integrl Ax + B dx A dx pr cierts constntesa, B R. Ax + B ( A f(x Ax + B Ax + B dx f log(ax + B + C. (x A A Por ejemplo, 3x + 6 dx log(3x C. 3 4 Clculr x Ax + B dx. x Ax + B dx A Ax + B B Ax + B dx Ax + B A Ax + B dx B A Ax + B dx x A B log(ax + B. A 9.. Integrción de funciones rcionles Un función rcionl es un función del tipo p(x q(x, donde p(x y q(x son dos polinomios. Comenzmos viendo vrios csos de funciones rcionles que pueden ser integrds de form sencill: Integrles de l form (Ax + B n dx, x dx, n N. (Ax + B n 9

10 Y hemos visto que ests integrles pueden resolverse como integrles inmedits de tipo potencil o logrítmico. Integrl del tipo (x dx. Resolveremos hciendo un cmbio de vrible pr + b trnsforml en l integrl inmedit +x dx rctn(x + C (está en l tbl de l págin 3. Veámoslo: (x + b dx ( dx b (x b + b ( x dx b + ( t x b dt b b dx dx b dt t + b dt b t + dt ( deshciendo el b rctg(t ( x cmbio b rctg. b x 3 Integrl del tipo (x dx. Puede resolverse utilizndo el prtdo nterior y los + b métodos pr integrles inmedits de tipo logrítmico. Pr ello hcemos lo siguiente: x (x + b dx x + (x + b dx x (x + b dx + (x + b dx. Ahor bien, l integrl (x +b dx puede clculrse como en el prtdo y l integrl x (x +b dx es de tipo logrítmico y que, ( x f(x (x (x + b dx + b f (x (x log ( (x + b + C. A prtir de ests integrles sencills podemos intentr resolver otrs integrles rcionles más complejs. Pr clculr p(x p(x q(x dx, l ide es expresr l función rcionl q(x como l sum de frcciones simples de ls que precen en los prtdos, y 3 que cbmos de ver. Ello lo hcemos siguiendo los psos que indicmos continución en dos csos distintos: p(x Cálculo de dx cundo grdo(p(x grdo(q(x. q(x Si grdo(p(x grdo(q(x efectumos l división de p(x entre q(x de mner que obtengmos un resto r(x de grdo inferior l de q(x. Esquemáticmente tenemos: p(x r(x p(x q(x s(x + q(x q(x. r(x s(x grdo(r(x < grdo(q(x Posteriormente efecturemos l integrl de l expresión obtenid, ( s(x + r(x dx s(xdx + q(x r(x q(x dx. Vemos que prece l integrl del polinomio s(x que es fácil de clculr. Tmbién prece l integrl de l función rcionl r(x q(x pero hor tenemos que el grdo del numerdor (grdo de r(x es menor que el grdo del denomindor (grdo de q(x. Pr resolver est últim integrl procedemos como se indic en el cso b. 0

11 Ejemplo 4. Clculr l integrl x 6 9x x 4 33x 3 5x + 69x 8 x 5 0x x 3 7x dx. + 6x 0 Se trt de l integrl de un función rcionl. Puesto que el grdo del numerdor es myor que el del denomindor dividiremos mbos polinomios: Es decir, y por tnto x 6 9x x 4 33x 3 5x + 69x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0 x 4 5x 3 + 7x 8 x + x 6 9x x 4 33x 3 5x + 69x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0 x 4 5x 3 + 7x 8 x + + x 5 0x x 3 7x + 6x 0 x 6 9x x 4 33x 3 5x + 69x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0 x 4 5x 3 + 7x 8 (x + dx + x 5 0x x 3 7x + 6x 0 dx x + x + x 4 5x 3 + 7x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0 dx. Qued pendiente de resolver l últim integrl en l que prece un función rcionl pro hor con grdo del numerdor inferior l grdo del denomindor.. b Cálculo de múltiples. p(x dx cundo grdo(p(x < grdo(q(x y q(x no posee ríces complejs q(x Si grdo(p(x < grdo(q(x descompondremos l función rcionl en un sum de frcciones simples en l form f(x p(x q(x S + S + + S k, donde ls expresiones S, S,... S k son del tipo indicdo en los prtdos, y 3 de est sección. Pr determinr cuáles son ls frcciones S, S,... S k seguimos los siguientes psos:. Clculremos tods ls soluciones reles y complejs de l ecución polinómic q(x 0. Ejemplo 5. Siguiendo con el Ejemplo 4, pr resolver l integrl que quedó pendiente, igulremos cero el denomindor x 5 0x x 3 7x + 6x 0 0 y clculremos ls soluciones de l ecución sí obtenid. El cálculo de ests soluciones lo hcemos emplendo el método de Ruffini como sigue:

12 Obtenemos l solución x dos veces (es decir x con multiplicidd y l solución x un vez (x con multiplicidd, quedndo sin resolver el trmo de l ecución que corresponde l polinomio x 6x + 0. Por tnto, pr encontrr tods ls soluciones, debemos resolver por último, x 6x Aquí podemos plicr directmente l fórmul pr encontrr ls soluciones de un ecución de segundo grdo y obtendremos ls soluciones complejs x 3±i con multiplicidd (es decir x 3+i y x 3 i mbs precen un sol vez. En definitiv hemos obtenido ls siguientes soluciones: x, con multiplicidd, x, con multiplicidd, x 3 ± i, con multiplicidd.. Por cd solución rel, α R con multiplicidd k N, ñdiremos l descomposición de l función rcionl el siguiente grupo de frcciones simples A x α + A (x α + + A k (x α k. Vése que si hy multiplicidd de k ñdiremos k frcciones simples pr l solución α. Los coeficientes A, A,..., A k son, en principio, desconocidos y deberán ser clculdos un vez sepmos tods ls frcciones simples que intervienen en l descomposición de l función que estmos integrndo. 3. Por cd pr se soluciones complejs, k ± b k i con multiplicidd, ñdiremos l descomposición un sumndo del tipo M k + N k x (x k + b k utilizndo tntos sumndos como pres de soluciones complejs simples hy. Nuevmente los coeficientes M k, N k son desconocidos y se clculn después de hber ñdido ls frcciones simples correspondientes tods ls soluciones. Ejemplos 6. Continundo con el ejemplo 5, vemos qué frcciones simples ñdiremos pr cd solución: L solución α tiene multiplicidd. Pr ell ñdiremos dos frcciones simples, A x + A (x. L solución α tiene multiplicidd. Pr ell ñdimos un sol frcción simple, A 3 x. L prej de soluciones complejs α 3 ± i tiene multiplicidd. Todo número complejo es de Mx+N l form + bi. En este cso 3 y b. Añdiremos un frcción del tipo (x +b, es decir, Mx + N (x 3 +. Hemos estudido ls frcciones ñdir pr cd solución. Reuniremos tods ell pr obtener l descomposición en frcciones simples de l función que intentábmos integrr: x 4 5x 3 + 7x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0

13 A x + A (x + A 3 x + Mx + N (x 3 +. Los coeficientes A, A, A 3, N y M hn de ser clculdos hor. Pr ello dremos distintos vlores l vrible x pr obtener un sistem de ecuciones del que despejremos dichos coeficientes. x 0 A + A A 3 + N 0 5 x A + A 4 A3 3 + N M x A 3 + A 9 A N M x 3 A + A 4 + A 3 + 3M + N 9 4 x 3 A 4 + A 6 A3 5 + N 3M Resolviendo este sistem obtenemos ls siguientes soluciones: A, A, A 3, M, N. Por tnto, sustituyendo estos vlores, l descomposición en frcciones simples es x 4 5x 3 + 7x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0 x (x + x + x (x 3 +. L integrl de tods l frcciones simples que precieron puede relizse emplendo métodos indicdos nteriormente. Así, l primer y l tercer son inmedits de tipo logrítmico, l segund es inmedit de tipo potencil y l últim se just los csos y 3 que vimos l principio de est sección. Así pues, x 4 5x 3 + 7x 8 x 5 0x x 3 7x + 6x 0 x (x + x + (x 3 +. x (x 3 + log(x + (x + log(x + 5 rctn(x 3 + log ( (x C. Clculr l integrl x 3 x + 9 x 4x + 9 dx. El grdo del numerdor es myor que el del denomindor sí que efecturemos l división de uno entre el otro x 3 x + 9 x 4x + 9 3x + x + 3 de mner que x 3 x + 9 x 4x + 9 dx ( x x + x 4x + 9 dx x + 3x + 3x + x 4x + 9 dx. Pr clculr est últim integrl obtendremos ls ríces de l ecución x 4x

14 que l ser un ecución de segundo grdo se resuelve fácilmente siendo sus soluciones x + 5i y x 5i mbs complejs y de multiplicidd. Por lo tnto l función rcionl integrr se descompondrá en l form 3x + x 4x + 9 Mx + N ( M 3 (x + 5 N 3x + (x + 5 de mner que 3x + x 4x + 9 dx 3x + 3(x + 8 (x + 5 dx (x + 5 dx x 3 (x + 5 dx + 8 (x + 5 dx 3 log ( (x rctg ( x 5 + C. Finlmente tendremos que x 3 x + 9 x 4x + 9 x dx + 3x + 8 ( x rctg log ( (x C. c Cálculo de p(x dx cundo grdo(p(x < grdo(q(x y q(x posee ríces complejs múltiples. q(x En el cso en que q(x pose ríces complejs múltiples, plicremos el Método de Hermite el cul p(x permite trnsformr nuestr integrl dx en nuevs integrles donde tods ls ríces son simples (reles q(x o complejs. (Este método tmbién es válido en el cso en que sólo hubiese ríces reles múltiples, si bien su utilizción no es necesri, tl como se h visto en los csos nteriores. Método de Hermite. En el cso de tener ríces (reles y/o complejs múltiples, l descomposición de q(x será del tipo: q(x (x α n (x α n... (x α k nk ((x + b m ((x + b m... ((x r + b r mr donde l menos lgún n i será myor que uno en el cso de que q(x pose ríces reles múltiples y l menos lgún m j será myor que uno en el cso de que q(x pose ríces complejs múltiples. Pr relizr este tipo de integrl expresremos nuestr integrl como sum de los siguientes términos: p(x q(x + F (x dx G(x + M x + N ((x + b dx + A (x α dx + A (x α dx M x + N ((x + b dx A k (x α k dx+ M r x + N r ((x r + b r dx donde G(x (x α n... (x α k n k ((x + b m... ((x r + b r m r y F (x es un polinomio de grdo un unidd menor que el grdo de G(x y cuyos coeficientes, l igul que los A i, M j y N j hbrá que hllr. Pr ello, usremos l relción entre derivción e integrción tl como se muestr en el siguiente ejemplo. 4

15 4x Ejemplo 7. Clculr l integrl (x dx. Viendo el denomindor de l frcción integrr es + inmedito que se trt de un polinomio con ríces complejs (i, i y con multiplicidd. Así pues, plicmos el método de Hermite. Plntemos l siguiente iguldd, donde l nuev integrl es un frcción donde el denomindor es un polinomio con ls misms ríces, (i,, pero con multiplicidd uno, y el numerdor un polinomio de grdo uno con coeficientes determinr: 4x F (x Mx + N (x dx + G(x + (x + dx Por otr prte, como inicilmente el denomindor de l frcción integrr er de multiplicidd dos, G(x será un polinomio nálogo l denomindor inicil pero con un unidd menos en el exponente. En este cso, l psr de grdo dos grdo uno, G(x (x + y, l ser un polinomio de grdo dos, F (x será un polinomio de grdo uno con coeficientes tmbién determinr. Así pues: 4x (x + dx P x + Q Mx + N (x + + (x + dx Pr determinr P, Q, M y N, derivmos en l iguldd plnted, teniendo en cuent que l derivr un integrl lo que se obtiene es el integrndo: 4x (x + P x Qx + P (x + + Mx + N (x + Sumndo ls dos frcciones del segundo término de l iguldd obtenemos: 4x (x + Mx3 + (N P x + (M Qx + N + P (x + e igulndo términos se tiene que M Q 0, P y N. Sustituyendo los vlores obtenidos e integrndo obtenemos el siguiente resultdo: 4x x (x dx + (x + + (x + dx x (x + + rctg(x 9..3 Integrción por cmbio hst un integrl rcionl Denotremos medinte R( y R(, b culquier expresión que se obtiene medinte sum producto y división de ls expresiones y/ó b y de constntes. Ejemplos 8. L expresión log 3 (x + log (x + log 3 (x es un expresión de tipo R(log(x y que se obtiene medinte operciones de sum, producto y división en ls que intervienen log(x y vlores constntes. L expresión cos (x + xcos(x + x + x + cos 3 (x 5

16 es un expresión de tipo R(x, cos(x y que se obtiene sumndo multiplicndo o dividiendo ls expresiones x, cos(x y vlores constntes. Sin embrgo no es un expresión de tipo R(x ni de tipo R(cos(x. Pr resolver l integrl donde h(x puede ser lgun de entre efecturemos el cmbio R(h(xh (x dx, x, > 0 e x log(x rccos(x rcsen(x rctg(x t h(x. Ejemplos 9. e x + e x Clculr e x dx. Se trt de l integrl de un expresión del tipo R(e x y por lo tnto tomremos el cmbio t e x en el siguiente modo: e x + e x e x dx e x + (e x ( t e e x dx x x log(t t + t dx t dt t t dt ( + t t dt + dt t + log(t + C t ( deshciendo el e x + log(e x + C. cmbio Obténgse rcsen(x rcsen (x x ( + rcsen (x dx En l integrl nterior prece un función del tipo R(rcsen(x por lo que hremos el cmbio t rcsen(x: rcsen(x rcsen (x x ( + rcsen (x dx ( t rcsen(x dt dx dx t t x x x dt dt x ( + t t t ( (t ( + t dt ( + t + t dt t ( + t dt + ( + t dt + t dt 6

17 ( (t + + ( deshciendo el cmbio t ( + t + rctg(t rcsen(x + + rcsen (x + C. rctg(t + C t + t + + C 9..4 Integrción de funciones trigonométrics Estudiremos en est sección el cálculo de integrles del tipo R(cos(x, sen(x dx, donde l expresión R tiene el significdo que se indic en l págin 5. Pr resolver est integrl tenemos tres opciones posibles en función de ls propieddes que teng l expresión R: i Se dice que l expresión R es impr en sen(x si se verific que R(cos(x, sen(x R(cos(x, sen(x, lo cul se produce generlmente cundo en R precen potencis impres de sen(x. Entonces utilizremos el cmbio: cos(x t x rccos(t dx dt t y demás tendremos que cos (x + sen (x sen(x cos (x sen(x t. Ejemplo 0. Clcúlese sen 3 (x cos 4 (x dx. Tenemos l integrl de un expresión del tipo R(sen(x, cos(x que es impr en sen(x (ls potencis de sen(x que precen son impres. nterior conseguimos: sen 3 (x cos 4 (x dx Aplicndo el cmbio ( 3 (cos(x t t t 4 dt ( t t 4 dt t ( t t 4 dt ( deshciendo el cmbio (t 4 t 6 dt t7 7 t5 5 + C cos7 (x 7 cos5 (x 5 + C. ii Se dice que l expresión R es impr en cos(x si se verific que R( cos(x, sen(x R(cos(x, sen(x 7

18 lo cul se produce generlmente cundo en R precen potencis impres de cos(x. Entonces utilizremos el cmbio: sen(x t x rcsen(t dx dt t y demás tendremos que cos (x + sen (x cos(x sen (x cos(x t. Ejemplo. Resolver l integrl Tenemos que cos(x dx. cos(x es un expresión del tipo R(cos(x, sen(x impr en cos(x (ls potencis de cos(x que precen son impres y por lo tnto utilizremos el cmbio sen(x t: cos(x dx dt (sen(x t t t t dt ( t + dt t log(t + log(t + C ( deshciendo el ( sen(x + cmbio log + C. sen(x iii Independientemente de que l expresión R se pr o impr en sen(x ó en cos(x siempre podremos plicr el siguiente cmbio que se denomin usulmente cmbio generl ( x t tn x rctg(t dx dt + t Utilizndo ls fórmuls trigonométrics hbitules, de ls ecuciones del cmbio se deducen ls siguientes expresiones pr cos(x y sen(x: cos(x t + t sen(x t + t Ejemplo. Clculr + cos(x + sen(x dx ( ( x t tn + cos(x + sen(x dx. + t +t + t + t +t dt + t dt + t + t + 4t + t 8

19 dt + 4t ( deshciendo el cmbio dt + t log( + t + C ( log + tn ( x + C Integrción de funciones irrcionles A l hor de integrr funciones irrcionles distinguiremos los siguientes csos: i Funciones irrcionles en cuyo rdicndo precen potencis de un polinomio (o de un cociente de polinomiosde primer grdo, esto es, un expresión del tipo: ( (x p (x pk R x, q + b + b,..., qk dx, p i, q i N cx + d cx + d Pr resolver este tipo de integrles relizremos el cmbio de vrible: t M x + b cx + d donde M m.c.m.(q,..., q k ii Funciones irrcionles cuyo rdicl es de grdo y el rdicndo es un polinomio de segundo grdo. En tl cso, o bien el polinomio se corresponde con un cudrdo perfecto, o bien el problem se reduce uno de los tres siguientes csos: R (x, k x dx. Se plic el cmbio x k sen t. b c R (x, x k dx. Se plic el cmbio x k cos t. R (x, k + x dx. Se plic el cmbio x k tn t. Ejemplo 3. Clculr l siguiente integrl x 3 x 4x + 4 dx. Como x 4x+4 (x, l ríz cudrd se cncel con el cudrdo de (x y l integrl se trnsform en un sencill integrl polinómic: x 3 x 4x + 4 dx x 3 (x dx x5 5 x4 + C. Clculr l integrl + x x dx. El cmbio que efectumos pr relizr l integrl es t + x. Despejndo de quí l vrible x en x función de t obtenemos que x t 4t t, y derivndo se tiene que dx + (t dt. Así pues, relizndo el + cmbio tenemos que: + x t x dx 4t (t + dt 9 4t (t + dt

20 Pr finlizr, hbrí que relizr l integrl rcionl obtenid y deshcer el cmbio de vrible. Se dej plnted est finlizción si bien l resolución de l integrl puede verse en el Ejemplo 7 de este tem. 9.3 Integrl definid L integrl indefinid de un función f(x es, más un constnte de integrción, un primitiv de l función F (x. Si tommos un intervlo (, b en el que está definid l función f(x definiremos en est sección lo que se denomin integrl definid de f(x entre y b. Mientrs que l integrl indefinid es un función (l función primitiv, l integrl definid será un número. Por sus importntes plicciones l integrl definid es un herrmient fundmentl en mtemátics y otrs disciplins. L relción entre l integrl definid y l indefinid qued estblecid en lgunos de los resultdos más importntes del nálisis mtemático como el Teorem Fundmentl del Cálculo, regl de Brrow, etc. El estudio de esos resultdos se escp de los objetivos del curso pero nos bsremos en ellos pr dr un definición sencill de integrl definid. Vemos continución l definición precis de integrl definid. Definición 4. i Se f : D R un función rel y sen, b R, < b, tles que (, b D. Supongmos que f es continu y cotd en (, b y que existe un función F : [, b] R continu tl que es derivble en (, b y que x (, b F (x f(x, es decir, F es un primitiv de f en (, b. Entonces llmmos integrl definid de f entre y b l número rel ddo medinte b f(x dx F (b F (. ii Se f : D R un función rel, sen, b R, < b, tles que (, b D y supongmos que f es cotd en (, b y continu en (, b excepto lo sumo en los puntos x 0 < x < x < < x n b entonces llmmos integrl definid de f entre y b l número rel ddo medinte b f(x dx x x 0 f(x dx + x Definimos l integrl definid de f entre b y como b f(x dx x f(x dx + + b f(x dx. xn x n f(x dx. Dd f : D R cotd y ddo R definimos l integrl definid de f entre y como f(x dx 0. L diferenci F (b F ( suele denotrse como [F (x] b con lo que tenemos b f(xdx [F (x] b. Con est definición ls propieddes clásics de l integrl definid surgen de form inmedit. En prticulr el Teorem Fundmentl del cálculo será consecuenci de l definición y de l propiedd vist en el cpítulo nterior pr l derivción de funciones definids trozos. Asimismo, l fórmul del cmbio de vrible es un consecuenci direct de l regl de l cden pr l derivción de funciones. 0

21 Propieddes 5. i Sen f, g : D R y, b R, < b, tles que (, b D, de modo que f y g están en ls condiciones del prtdo ii de l Definición 4 pr dicho intervlo, entonces:. α, β R,. c [, b], b b (αf + βg dx α f(x dx c b f(x dx + f(x dx + β b c b f(x dx. f(x dx. 3. (Teorem fundmentl del cálculo Si considermos l función F : [, b] R x F (x f(t dt, entonces F es un función continu en [, b] y derivble en todos quellos puntos x (, b en los que f es continu, teniéndose en tles csos que F (x f(x. 4. Si modificmos l función f en un conjunto finito de puntos, el vlor de su integrl entre y b no vrí. ii Se f : [, b] R continu en [, b] y derivble en (, b entonces b f (x dx f(b f(. iii (Fórmul del cmbio de vrible Sen f : [, b] R y g : [c, d] [, b] en ls condiciones del prtdo ii de l Definición 4 pr sus respectivos dominios. Supongmos que g es derivble en [c, d], entonces g(b f(xdx b g( f(g(xg (xdx El áre como integrl definid L definición del concepto de áre h constituido un problem de envergdur lo lrgo de l histori de ls mtemátics. Nosotros no profundizremos en el specto mtemático de es cuestión y nos contentremos con dmitir que existen ciertos subconjuntos, A R, los cules se les puede socir un número, áre(a, que llmremos áre verificndo ls siguientes propieddes: El áre del recinto encerrdo por un rectángulo cuyos ldos miden l y l es el producto l l. Si A B, áre(a áre(b. Si A B, áre(a B áre(a + áre(b. Consideremos un función f : (, b R en ls misms condiciones del prtdo i de l Definición 4. Admitiremos que l función f(x es positiv en todo el intervlo (, b. Pr cd punto x (, b, llmemos A(x l áre encerrd por l función y ls rects verticles que psn por el punto inicil y por x.

22 A(x x b Es evidente que pr cd vlor de x [, b, el áre A(x será diferente, demás, podemos ceptr que A( 0 y que cundo x l nchur de l bnd considerd será nul y que A(b es el áre totl sobre el trmo (, b. En definitiv, A es un función que depende de x definid en el intervlo [, b], A : [, b] R A(x áre encerrd por f en el trmo [, x]. Tomemos un punto x 0 [, b] y comprobemos si l función A(x es derivble en ese punto. Pr ello, debemos estudir el límite A(x A(x 0 lim. x x 0 x x 0 Puesto que l función f es continu, tenemos que lim f(x f(x 0. x x 0 Entonces, elegido ε R +, es posible encontrr un trmo izquierd y derech de x 0, digmos (x 0 δ, x 0 +δ, en el que los vlores de l función no se slen de l bnd mrcd por el intervlo (f(x 0 ε, f(x 0 + ε. Tomemos x (x 0 δ, x 0 + δ dentro de ese trmo y observemos l gráfic correspondiente, f(x 0 + ε f(x 0 f(x 0 ε A(x 0 A(x A(x0 f(x 0 ε f(x 0 + ε x 0 x }{{} x x 0 b Es evidente que A(x 0 es el áre del trmo de l gráfic con sombredo más oscuro. Por su ldo, A(x corresponde l áre del trmo oscuro junto con el áre del trmo sombredo en color más clro. L diferenci entre A(x y A(x 0 es justmente ese trmo sombredo en color clro que por tnto tendrá áre igul A(x A(x 0. Es inmedito que dicho trmo está contenido en el rectángulo de bse el intervlo (x 0, x y de ltur f(x 0 + ε y que l mismo tiempo contiene l rectángulo con bse (x 0, x y ltur f(x 0 ε. Aplicndo ls propieddes que ntes hemos fijdo pr el áre tendremos que áre rectángulo de bse (x 0, x y ltur f(x 0 ε zon de áre sombredo áre clro rectángulo de bse (x 0, x y ltur f(x 0 + ε

23 (f(x 0 ε(x x 0 A(x A(x 0 (f(x 0 + ε(x x 0 f(x 0 ε A(x A(x 0 x x 0 f(x 0 + ε. Puesto que est mism demostrción es válid pr ε tn pequeño como deseemos, no es difícil deducir de quí que A(x A(x 0 lim f(x 0. x x 0 x x 0 Puesto que x 0 es culquier punto de [, b], obtenemos dos conclusiones: L función A(x, que mide l áre en el trmo desde el punto hst el punto x, es derivble en [, b]. L derivd de l función A(x es A (x f(x, x [, b]. Por tnto, A(x es un primitiv de f(x. Si plicmos l Definición 4, sbemos que x Puesto que A( 0 finlmente deducimos que f(xdx A(x A(. A(x x f(xdx y l integr definid entre dos puntos proporcion el áre encerrd por l función sobre el intervlo determindo por ellos. Propiedd 6. Dd l función f : (, b R en ls condiciones del prtdo ii de l Definición 4, el áre comprendid entre el eje y 0, ls rects verticles x y x b y l gráfic de l función f se clcul medinte l integrl definid b f(xdx de modo que si f es positiv en (, b dich integrl proporcionrá el áre con signo positivo y si f es negtiv lo hrá con signo negtivo. Como se indic en l propiedd, puesto que b f(xdx b f(xdx, si l función f es negtiv, l integrl definid entre y b proporcionrá el vlor del áre pero con signo negtivo. Ello debe ser tenido en cuent l hor de trbjr con funciones que cmbin de signo. Dds dos funciones f, g : [, b] tles que f(x g(x, x [, b], podemos hcer uso de l últim propiedd pr clculr el áre, A, comprendid entre ls gráfics de mbs funciones. f A g b 3

24 Es clro que A será l diferenci entre el áre que qued bjo f y l que qued bjo g. Por tnto, A b f(xdx b g(xdx b (f(x g(xdx. A este respecto, nuevmente es preciso tener en cuent los posibles puntos de corte entre ls funciones f y g que podrín hcer vrir el signo de l integrl nterior. Ejemplos 7. Clculemos el áre encerrd entre l función f(x x 3 8x + 9x y el eje x sobre el intervlo [0, 5]. Si representmos l función f(x en el intervlo indicdo obtenemos l gráfic El áre encerrd por l función será por tnto l región que prece sombred en l siguiente figur: Sbemos que el áre encerrd por un función en un intervlo se clcul relizndo l integrl definid de l función en ese intervlo. Sin embrgo, observmos en mbs gráfics que l función f(x present vrios cmbios de signo en el intervlo [0, 5] por lo que no podremos clculr el áre directmente relizndo l integrl 5 0 f(xdx. Debemos determinr en primer lugr en qué intervlos es positiv o negtiv l función. Si bien en este cso es posible observr simple vist en l representción gráfic de f(x los intervlos en los que es positiv o negtiv, no siempre dispondremos l gráfic de l función por lo que procederemos como si no contármos con ell. De este modo, debemos determinr cuándo f(x > 0 y f(x < 0. Pr ello comenzmos resolviendo l ecución f(x 0, es decir, x 3 8x + 9x 0. Si plicmos el método de Rufini es fácil comprobr que ls soluciones de est ecución son x, x 3 y x 4 que dividen l intervlo [0, 5] en cutro subintervlos 4

25 (0, (, 3 (3, 4 (4, 5 y sbemos, como consecuenci del Teorem de Bolzno (vése l págin??, que dentro de cd uno de esos intervlos l función f(x no puede cmbir de signo. Bst entonces comprobr el signo de l función en un punto de cd intervlo pr deducir que f(x < 0 en (0,. f(x > 0 en (, 3. f(x < 0 en (3, 4. f(x > 0 en (4, 5. Por tnto, en los intervlos (0, y (3, 4 l integrl definid proporcionrá el áre encerrd por l función f pero con signo negtivo. Pr clculr el áre correctmente debemos cmbir el signo l resultdo de l integrl definid sobre estos dos intervlos. De este modo obtendremos el vlor excto del áre encerrd por f(x sobre el intervlo [0, 5] como sigue áre 0 f(xdx + 3 f(xdx 4 3 f(xdx f(xdx. Puesto que l integrl indefinid de f(x es f(xdx (x 3 8x + 9x dx 4 x4 8 3 x3 + 9 x x + C, finlmente tenemos [ áre 4 x4 8 3 x3 + 9 x x ] 0 [ + 4 x4 8 3 x3 + 9 ] 3 [ x x 4 x4 8 3 x3 + 9 ] 4 x x 3 [ + 4 x4 8 3 x3 + 9 ] 5 x x Clculemos el áre comprendid entre ls funciones f (x x x + y f (x x + 4x sobre el intervlo [, 3]. Sbemos que el áre comprendid entre mbs funciones se obtiene medinte l integrl definid 3 (f (x f (xdx. Sin embrgo, nuevmente hemos de tener en cuent los posibles cmbios de signo que vendrán determindos por los cruces entre ls dos funciones. En este cso hemos de determinr si f (x f (x < 0 ó f (x f (x > 0 y pr ello comenzmos resolviendo l ecución f (x f (x 0, es decir, x x + ( x + 4x 0 x 6x Aplicndo l fórmul pr l ecución de segundo grdo comprobmos que ls soluciones de est ecución son { x x

26 De ests dos soluciones solmente l segund está en el intervlo [, 3] que nos interes dividiéndolo en dos subintervlos, (, 3+ 3 y ( 3+ 3, 3. Nuevmente es suficiente comprobr un punto de cd uno de estos intervlos pr deducir que { f (x f (x < 0 en (, f (x f (x > 0 en ( 3+ 3, 3. De modo que obtendremos l áre desed compensndo el signo negtivo de l integrl definid en el primer intervlo como sigue: áre (f (x f (xdx (f (x f (xdx [ ] 3+ 3 [ ] 3 x3 3x 3 + 3x + 3 x3 3x + 3x Si observmos l gráfic de mbs funciones en el intervlo [, 3] y l región que ells delimitn, podemos comprobr que efectivmente se cortn en el punto 3+ 3 del intervlo [, 3] con lo que es necesrio cmbir el signo de l integrl definid en el primer subintervlo tl y como prece en l gráfic. 5 f (x 5 f (x 4 3 f (x f (x < f (x f (x f (x > (f (x f (xdx f (x (f (x f (xdx 9.3. Aplicciones de l integrl definid Repsemos quí brevemente lguns plicciones de l integrl definid. De prtid, los resultdos de l sección nterior hcen posible el cálculo de áres trvés de l integrl definid lo cul de por sí constituye un importnte cmpo de plicciones. Vemos lguns otrs: Cálculo de l función de vlor totl prtir de l función de velocidd Y comentábmos l principio de este Cpítulo que en muchs ocsiones se dispone de l función que determin l velocidd de cierto fenómeno pero no de l función de vlor totl o cumuldo. En tles circunstncis el prtdo ii de l Propiedd 5 permite recuperr l función de vlor cumuldo si disponemos de lgún dto inicil. Supongmos que cierto fenómeno que evolucion lo lrgo del tiempo está determindo por un mgnitud, M(t, de l cul conocemos su velocidd de vrición, v(t, en cd instnte. Supongmos demás que sbemos que en el instnte t 0 dich mgnitud tomb un vlor M 0. Trtmos de determinr quién es l función M(t prtir de l siguiente informción: { M (t v(t, M(t 0 M 0. 6

27 Utilizndo el prtdo ii de l Definición 5 tenemos que t M (tdt M(t M(t 0 M(t M 0 v(tdt M(t M 0 + v(tdt. t 0 t 0 t 0 Est últim identidd nos proporcion el dto, en principio desconocido, del vlor M(t en culquier instnte. t t Ejemplo 8. Se reliz un estudio sobre ls bsurs que se genern en ciert ciudd durnte el primer mes del ño. Supongmos que l función B : [0, 30] R dd por B(t t3 00 t 4 + 3t + 30 proporcion l cntidd de bsurs producids en el dí t, medid en tonelds. Tenemos entonces que B(t expres en tonelds/dí l velocidd de producción de bsur que tuvimos el dí t. Puesto que l función B(t proporcion vlores diferentes pr los distintos dís, l velocidd de producción de bsurs hbrá ido cmbindo de un dí otro. Supongmos que inicilmente (t 0 0 l cntidd de bsurs cumulds en el vertedero público er de 300 tonelds. Pretendemos clculr hor l función M(t que proporcione l cntidd totl de tonelds cumulds en el vertedero hst el dí t. A ríz de los comentrios nteriores tenemos que t t ( [ ] x 3 M(t M 0 + B(xdx t x x 4 t + 3x + 30 dx x3 + 3x + 30x 0 ( t t3 + 3t + 30t 0 t4 800 t3 + 3t + 30t Por ejemplo, el dí t 5 l cntidd de bsurs cumulds en el vertedero será igul M( mientrs que en el dí t 30 tenemos M( Cálculo del vlor medio de un función Dd un función f : [, b] R, en principio positiv, sbemos que l integrl b f(xdx es el áre que encierr l función sobre el intervlo [, b]. Podemos preguntrnos si es posible encontrr un función constnte g(x k que encierre en el mismo intervlo l mism áre que l función f. Tenemos que el áre pr g es b g(xdx b kdx [kt] b k(b. Si queremos que encierre l mism áre que f debe cumplirse que k(b b b b f(xdx k b b f(xdx. Por tnto l función constnte g(x f(xdx, encierr l mism áre que f(x. Dich constnte es lo que suele llmrse vlor medio de l función f. Definición 9. Dd un función f : [, b] R, llmmos vlor medio de l función l cntidd b b f(xdx. 7

28 Cálculo de l longitud de un rco de curv Consideremos el rco de curv de l función f(x en [, b], con f derivble y con derivd continu en dicho intervlo. Queremos clculr l longitud de ese rco de curv entre (, f( y (b, f(b. Llmémosle L. Si tommos P { t 0 < t <... < t n b} un prtición del intervlo [, b], y considermos l poligonl formd por l unión de rects entre puntos consecutivos A i (t i, f(t i y A i (t i, f(t i, l longitud del rco de curv se obtendrá como el límite cundo el tmño de l longitud de l prtición P tiende cero. Dicho límite, medinte el uso de l sum de Riemmn nos permite concluir que: L b + (f (x dx. Ejemplo 30. Hllr l longitud del rco de curv y x 3 entre los puntos x y x 4/3. Como y x 3 es derivble con derivd continu en [, 4 3 ], y demás y 3 x, l longitud de rco viene dd por: 4 3 L x dx u. 7 Cálculo del volumen y áre de un cuerpo de revolución L ide de utilizr ls sums de Riemmn en dimensión dos pr l obtención de áres plns se puede extrpolr dimensión tres pr clculr volúmenes y áres de ciertos cuerpos. En prticulr plicremos el cálculo integrl pr los sólidos llmdos cuerpos de revolución. Si considermos el rco de curv de l función y f(x con x b y f cotd en [, b], l girr ese rco de curv lrededor del eje OX se engendr un figur cuyo volumen y áre son ls que queremos clculr. 8

29 Al igul que el volumen de un cilindro puede verse como l sum de infinitos círculos todos del mismo rdio (el rdio del cilindro y centrdos todos ellos en su eje, el volumen de los cuerpos de revolución, que son un generlizción de los cilindros, puede obtenerse como sum de estos mismos infinitos círculos, si bien cd uno de ellos, en lugr de tener un rdio constnte tendrá como rdio en cd punto x [, b] el vlor de l función f en ese punto, esto es, f(x. Relizr est sum infinit es precismente el concepto de sum de Riemmn y por tnto el volumen de un cuerpo de revolución, V, viene ddo por l fórmul: V b πf(x dx. Por último, y de nuevo por nlogí con el cilindro, podemos clculr el áre de un cuerpo de revolución medinte un fórmul similr l empled en el cálculo del áre de un cilindro previ utilizción del cálculo integrl y teniendo en cuent l fórmul vist nteriormente reltiv l longitud de un curv. Así pues, el áre de un cuerpo de revolución, A, es: A π b f(x + (f (x dx. Ejemplo 3. Hll el volumen y el áre del cuerpo obtenido l rotr sobre el eje OX l región delimitd por l curv y x 3 y ls rects y, x 3 y el eje OX. Medinte el siguiente gráfico observmos que el rco que gir est compuesto por dos rcos de funciones distints, y x 3 e y, ls cules se cortn en el punto de bscis x. El volumen del sólido es: Y su áre: V V + V π A A + A π π 0 0 (x 3 dx + π 0 3 x 3 + 9x 4 dx + π dx π x 3 + (3x dx + π x 6 dx + π 3 dx 5π dx dx ( π 7 u. u 3. 9

30 9.4 Problems Not: Los problems mrcdos con (* fueron propuestos en exámenes de cursos psdos. Resuelve ls siguientes integrles: ( x + 4 x x + dx d g j* m* p* b cos x dx e x dx x x + dx h* k* + e x + 3 e x + 6 dx n* ex ( + x dx q cos (7x dx c e x dx 3 + 4ex f (x + x + x + x 3 log x dx i* x log x ( + x dx l* 5x + 0x + 6 x 3 + x + x dx o* x 3 dx r 4 x 5x 3 x + dx 4x x dx x 4 (x (x 4x + 8 dx x log x log(log x dx x + 3 x dx sen x + cos x dx (* Indicr rzondmente los términos de descomposición y l solución de l siguiente integrl: x x (x (x + b 3 dx, b R 3 Clculr el áre de l figur comprendid entre l prábol y x x y l rect y x. 4 Clculr el áre del recinto limitdo por ls curvs y x, y x e y x 4. 5 Clculr el áre encerrd por l curv y sen x y el eje OX, cundo x vrí entre 0 y π. 6 Se f : R R l función definid por f(x x x +. Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de bscis x 3. b Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, l rect tngente obtenid y el eje OY. 7 Clculr el áre de un elipse de semiejes y b. 8 Hllr l longitud del rco de curv y x 8 log x comprendido entre ls rects x y x 9 Clcúlese l longitud de l curv x /3 + y /3 /3. (Astroide. 30

31 0 Considérese l región limitd por l gráfic de f(x x x y el eje OX. Clcúlese el volumen del cuerpo engendrdo por un giro completo de dich región en torno l eje OX. Clcul el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv de ecución y 4x lrededor del eje de bsciss entre los puntos x 0 y x 4. Hll el volumen y el áre de l esfer de rdio R. 3