MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES"

Transcripción

1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

2 Índice generl 6. CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN

3 7 ÍNDICE GENERAL

4 CAPÍTULO 6 CÁLCULO INTEGRAL En este cpítulo, definiremos el concepto de integrl de funciones de un vrible. Al igul que en el tem de derivds (cpítulo 5), prenderemos utilizr regls pr clculr de un form rápid y sencill integrles, tnto indefinids como definids. Además, veremos un plicción interesnte de l integrl definid pr hllr áres de regiones delimitds por funciones INTEGRAL INDEFINIDA. Sen dos funciones F : R R indefinid de f, y se denot por y f : R R, se dice que l función F es l integrl f(x)dx = F (x), si se verific que F = f. Recordemos que F es l derivd primer de l función F. Se denomin integrndo l función f. Debemos tener en cuent que un función f tiene infinits integrles, en el sentido de que ls funciones F (x) = x 5 y G(x) = x + 4, mbs son integrles de f(x) = x, y que si derivmos F y G (F (x) = x = f(x) y G (x) = x = f(x)) obtenemos l función f. Esto es 71

5 7 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL debido que F y G solmente difieren en un constnte c, que recibe el nombre de constnte de integrción. Por tnto, l integrl indefinid de f es el conjunto de tods ls funciones cuy expresión se obtiene sumndo F un constnte c, es decir, f(x)dx = F (x) + c. Ejemplo 1. Clculr l integrl indefinid de f(x) = x 3. Solución: f(x)dx = x 3 dx = 1 4 x4 + c. Luego, F (x) = 1 4 x4. Clculndo l primer derivd de F (x) podremos sber si l integrl es correct. F (x) = 1 4 4x3 = x 3 = f(x). Pr poder clculr l integrl indefinid de un función debemos prender lguns regls de integrción, como ls que se resumen en l siguiente tbl: Sum (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx Rest (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx Producto por un constnte k g(x)dx = k g(x)dx Aunque existen diferentes métodos pr hllr l integrl indefinid de un función, tles como, l integrción por prtes, el cmbio de vrible, l integrción de funciones rcionles y l integrción de funciones trigonométrics, quí nos ocupremos únicmente de ls integrles inmedits, ls cules se presentn en l siguiente tbl:

6 6.1. INTEGRAL INDEFINIDA. 73 Tipo Función Integrl Constnte f(x) = dx = x + c Identidd f(x) = x x dx = x + c Potencil f(x) = g(x) n g (x) g(x) n g (x) dx = g(x)n+1 n + 1 Exponencil f(x) = e g(x) g (x) e g(x) g (x)dx = e g(x) + c Logrítmic f(x) = g (x) g (x) dx = ln g(x) + c g(x) g(x) + c Es interesnte comprr est tbl con l correspondiente l de derivds del cpítulo 5. Ejemplo. - Tipo: Constnte Función f(x) = 5 Integrl 5 dx = 5x + c - Tipo: Potencil Función f(x) = x 3 f(x) = x (x 3) 5 f(x) = x (x 3 1) 3 Integrl x 3 dx = x = x4 4 + c x (x 3) 5 dx = 1 x (x 3) 5 dx = 1 (x 3) c = (x 3) 6 + c 1 x (x 3 1) 3 dx = x (x 3 1) 3 dx = 1 3x (x 3 1) 3 dx 3 = 1 (x 3 1) 3+1 = (x3 1) 1 = (x 3 1) + c - Tipo: Irrcionl Función f(x) = 3 x Integrl 3 xdx = x 1/3 dx = x1+1/ /3 = x4/3 4/3 = 3 3 x c

7 74 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL - Tipo: Exponencil Función f(x) = (x + 3) e x +3x 5 f(x) = x e x3 +4 Integrl (x + 3) e x +3x 5 dx = e x +3x 5 + c x e x3 +4 dx = 1 3x e x3 +4 dx = ex3 + c - Tipo: Logrítmic Función x3 f(x) = x x f(x) = 6x + Integrl x 3 x dx = 1 4x 3 4 x dx = ln ( x ) + c x 6x + dx = 1 1x 1 6x + dx = ln(6x + ) + c 6.. INTEGRAL DEFINIDA. L integrl definid difiere de l integrl indefinid en que l primer se clcul en un intervlo [, b] de mner que el límite inferior de l integrl es y el límite superior es b, es decir, b f(x)dx. Dich integrl represent el árel de l región del plno comprendid entre l gráfic de l función f(x), ls rects x =, x = b y el eje de bsciss.

8 6.. INTEGRAL DEFINIDA. 75 Pr clculr l integrl definid de un función f(x) utilizremos l Regl de Brrow, de modo que si F (x) verific que F = f, entonces se cumple: b f(x)dx = F (b) F (). Tmbién debemos de tener en cuent ls regls de integrción, que coinciden con ls que vimos pr l integrl indefinid. Así: Sum Rest Producto por un constnte b b b (f(x) + g(x))dx = (f(x) g(x))dx = k g(x)dx = k b b b f(x)dx + f(x)dx g(x)dx b b g(x)dx g(x)dx Ejemplo 3. Clculr l integrl definid Solución: (x 3 4x + 8)dx. Primermente clculmos l integrl indefinid. (x 3 4x + 8)dx = x 3 4 xdx + = x4 4 x + 8x + c = F (x) + c. 8dx = x x x Por lo tnto, F (x) = x4 4 x + 8x. A continución, hllmos los vlores de F () y F (). F () = = 1 y F () = =. Luego, l integrl pedid será: (x 3 4x + 8)dx = F () F () = 1.

9 76 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Alguns propieddes importntes de ls integrles definids son ls siguientes: Signo de l integrl: Si f(x) > en el intervlo [, b], l integrl definid es positiv, es decir, Si f(x) < en el intervlo [, b], l integrl definid es negtiv, es decir, Si = b, entonces l integrl se nul: f(x)dx =. Si f(x) es continu en el intervlo [, b], entonces Si f(x) es continu en [, b], [, c] y [c, b], entonces b f(x)dx = c f(x)dx + b b c f(x)dx = f(x)dx. b b b f(x)dx. f(x)dx >. f(x)dx <. Ejemplo 4. Clculr l integrl definid Solución: 5 3 ( x + 3x + )dx. Primermente clculmos l integrl indefinid. ( x + 3x + )dx = x + 3 xdx + = x x + x + c = F (x) + c. dx = x x x Por lo tnto, F (x) = x x + x. A continución, hllmos los vlores de F (5) y F (3). F (5) = = 35 6 y F (3) = = 1.

10 6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES. 77 Luego, l integrl pedid será: 5 3 ( x + 3x + )dx = F (5) F (3) = = Como f(x) = x + 3x + <, entonces l integrl definid en el intervlo [3, 5] es negtiv APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES. Un plicción interesnte de ls integrles definids es que pueden utilizrse pr clculr el áre de un región delimitd por funciones. En relidd, es lgo implícito en l propi definición de l mism. Veremos dos csos, en el primero hllremos el áre delimitd por l gráfic de un función dd y el eje de bsciss, y en el segundo el áre delimitd por ls gráfics de dos funciones dds. El áre delimitd por l gráfic de un función dd y el eje de bsciss en el intervlo [, b] se define como: A = b f(x) dx. Pr clculr el áre delimitd por l gráfic de un función dd y el eje de bsciss lo más sencillo es seguir los siguientes psos: 1. Hllr los puntos de corte de l función dd f(x) y el eje de bsciss pr obtener el intervlo [, b].. Clculr l integrl indefinid de f(x). 3. Aplicr l regl de Brrow pr obtener el vlor del áre.

11 78 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Ejemplo 5. Clculr el áre que delimitd por l función f(x) = x 3 + 6x 8x y el eje de bsciss. Solución: En el siguiente gráfico podemos ver l representción de l función dd. Relizremos los psos indicdos nteriormente pr solucionr el problem. Primero hllmos los puntos de corte de l función dd f(x) y el eje de bsciss: f(x) = x 3 + 6x 8x = x(x 6x + 8) = x = y x 6x + 8 =. Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos que x 6x+8 = cundo x = y x = 4. Por lo tnto, los intervlos de integrción son: [, ] y [, 4]. El segundo pso consiste en clculr l integrl indefinid: ( x f(x)dx = 3 + 6x 8x ) dx = x 3 dx + 6 x dx 8 xdx = x x x1+1 = x4 4 + x3 4x + c. Por lo tnto, F (x) = x4 4 + x3 4x. Finlmente, plicmos l regl de Brrow pr clculr ls integrles definids en los dos intervlos de integrción. 4 f(x)dx = f(x)dx = 4 ( x 3 + 6x 8x ) dx = F () F () = 4 = 4, ( x 3 + 6x 8x ) dx = F (4) F () = ( 4) = 4.

12 6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES: ÁREAS DE FUNCIONES. 79 Luego, el áre pedid es: 4 f(x) dx = 4 x 3 + 6x 8x ( dx = x 3 6x + 8x ) dx 4 + ( x 3 + 6x 8x ) dx = = 8. El áre delimitd por l gráfic de dos funciones dds f y g en el intervlo [, b] se define como: A = b f(x) g(x) dx. Pr clculr el áre delimitd por l gráfic de dos funciones dds f y g relizremos los siguientes psos: 1. Hllr los puntos de corte de ls funciones dds f(x) y g(x) pr obtener el intervlo [, b].. Clculr l integrl indefinid de f(x) g(x). 3. Aplicr l regl de Brrow pr obtener el vlor del áre. Ejemplo 6. Clculr el áre de l región delimitd por ls gráfics de ls funciones f(x) = x 1 y g(x) = x + 1. Solución: Comenzmos clculndo los puntos de corte de ls dos funciones pr obtener los límites de integrción. f(x) = x 1 = x + 1 = g(x) x 1 x 1 = x x =.

13 8 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos que x x = cundo x = y x = 1. Por lo tnto, el intervlo de integrción es [ 1, ]. Ahor, hllremos l integrl indefinid de f(x) g(x). Como f(x) g(x) <, entonces f(x) g(x) = g(x) f(x). (g(x) f(x)) dx = ( x + x + ) dx = x3 3 + x + x + c = F (x) + c. Finlmente plicmos l regl de Brrow pr obtener el áre: 1 f(x) g(x) dx = F () F ( 1) = 1 3 ( 7 6 ) = 9. En el siguiente gráfico podemos ver l representción de ls funciones dds EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN. 1. (, opción A). Dd l función definid en los números reles slvo en x =, f(x) = 3 x x. Clculr el áre de l región pln cotd por l gráfic de f(x) y el semieje OX. Solución:

14 6.4. EJERCICIOS RESUELTOS DE EXAMEN. 81 Primero hllmos los puntos de corte de l función dd f(x) y el eje de bsciss: f(x) = 3 x x = 3x x x = 3x x = y x. Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos que 3x x = cundo x = y x = 1. Por lo tnto, el intervlo de integrción es [1, ]. El segundo pso consiste en clculr l integrl indefinid de f(x), como f(x) > en [1, ] entonces f(x) = f(x). Así: f(x) dx = ( 3 x ) dx = 3x x x ln x + c. Por lo tnto, F (x) = 3x x clculr el áre pedid: ln x. Finlmente, plicmos l regl de Brrow pr 1 f(x) dx = F () F (1) = 4 ln 5 = 3 ln.. (3, opción A). Se consider l función definid por: f(x) = xe x. Clculr el áre del recinto plno cotdo por l gráfic de dich función pr x, el eje OX y l rect x =.

15 8 CAPÍTULO 6. CÁLCULO INTEGRAL Solución: L representción gráfic del áre que debemos clculr es l siguiente: Como l función dd f(x) solmente cort l eje OX en x =, entonces el áre pedid está delimitd por f(x) en el intervlo [, ]. f(x)dx = xe x dx = 1 xe x dx = 1 ] ex = 1 ( e 4 1 ).

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

Definición de la función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Integración de Funciones

Integración de Funciones Cpítulo 9 Integrción de Funciones Hemos visto que l derivd represent l ts de vrición de un función. De hí que luego podmos interpretr l derivd de diferentes mner como l velocidd de vrición de cierto fenómeno

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS Mtemátics º de Bchillerto Ciencis y Tecnologí Profesor: Jorge Escribno Colegio Inmculd Niñ Grnd www.coleinmculdnin.org TEMA 7.- INTEGRALES

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

Teorema de la Función Inversa

Teorema de la Función Inversa Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe

Más detalles

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS

INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones

Más detalles

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

TEMA 3. Integración de funciones reales de variable real.

TEMA 3. Integración de funciones reales de variable real. TEMA 3 Integrción de funciones reles de vrible rel. Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

Determinantes de una matriz y matrices inversas

Determinantes de una matriz y matrices inversas Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice: 1. Derivd de un unción. 1.1. Derivd de un unción en un punto. 1.. Interpretción geométric 1.3. Derivds lterles. 1.4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción.

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción. MATEMÁTICAS ºACT TEMA. EL NÚMERO REAL. NÚMEROS RACIONALES. Números rcionles son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresr en form de frcción. Los números

Más detalles

Cálculo de primitivas

Cálculo de primitivas Cálculo de primitivs Cmbio de vrible Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos

Más detalles

2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto

2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto Tema 6 Integración Definida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral definida ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = x dx dv

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles