6.1 Sumas de Riemann e integral definida

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1 Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el cso en el que f es positiv). Un form sencill de proximr dich áre es dividir el intervlo [, b] en pequeños subintervlos y sumr ls áres de los rectángulos que tienen por bse los subintervlos y por ltur el vlor de l función f en un punto de dicho subintervlo (vése l figur 6.1). Cunto más pequeñ se l bse de los rectángulos mejor será l proximción. Figur 6.1: Aproximción de un áre por rectángulos Pr precisr un poco l ide que cbmos de exponer, vmos introducir lgunos conceptos. Definición Ddo un intervlo cerrdo [, b] de IR, se llm prtición de [, b] culquier conjunto finito P = {x,x 1,...,x n } de puntos de [, b] 1

2 2 TEMA 6. tl que = x <x 1 < <x n = b. Se denotrá porp[, b] l conjunto de tods ls prticiones de [, b]. Se dice entonces que [x k 1,x k ] es, pr k =1, 2,...,n,elsubintervlo k-ésimo de l prtición y llmmos mplitud del subintervlo x k = x k x k 1. Se llm diámetro de l prtición l myor de ls plitudes, es decir, P = mx{ x 1,..., x n }. Definición Sen P 1,P 2 P[, b]. Se dice que P 2 es más fin que P 1 si P 1 P 2 (es decir, P 2 tiene los puntos de P 1 y, posiblemente, más). Podemos dr hor un definición precis del áre sumd por los rectángulos. Definición Se f : [, b] IR IR un función cotd y se P = {x,x 1,...,x n } P[, b]. Se llm sum de Riemnn de l función f reltiv l prtición P, n S(P )= f(t k ) x k k=1 siendo t k un punto rbitrrio de [x k 1,x k ](k =1,...,n). Observción Pr un mism función f y un mism prtición P, podemos obtener distints sums de Riemnn, según l elección de los puntos t k [x k 1,x k ] que se hg. Figur 6.2: Interpretción geométric de l sum de Riemnn El problem inicil de clculr el áre bjo un curv positiv y = f(x) podemos resolverlo hor clculndo ls sums de Riemnn pr prticiones cd vez más fins. Si cundo el diámetro de l prtición tiende cero l sum de Riemnn tiende un número rel hbremos obtenido el áre bjo l curv (si ést es positiv) y diremos que l función es integrble.

3 Definición Un función f :[, b] IR IR cotd se dice integrble en el sentido de Riemnn o Riemnn-integrble en el intervlo [, b], si existe un número rel A verificndo que pr todo ε > existe P ε P[, b] tl que pr culquier P P[, b] más fin que P ε se tiene que S(P ) A <ε. En ese cso se dice que A es l integrl de Riemnn de f en [, b] y se represent por f(x) dx Al conjunto de tods ls funciones que son Riemnn integrbles en [, b] se le denot por R[, b]. Observción En l definición nterior, decir que A es l integrl de Riemnn de f en [, b] es equivlente decir que lim P S(P ) donde P P[, b], si este límite existe. Como no es fácil determinr priori si un función es Riemnn integrble o no teniendo sólo en cuent l definición vmos enuncir el siguiente resultdo en el que representmos el conjunto de ls funciones continus en [, b] por C[, b]. Teorem f C[, b] = f R[, b] Es decir, tods ls funciones continus en [, b] son Riemnn integrbles en [, b]. 6.2 Propieddes de l integrl definid A continución mencionremos lguns propieddes de l integrl definid que nos serán útiles en el cálculo de ls misms.

4 4 TEMA 6. Linelidd: Sen f,g R[, b] yα, β IR. Entonces (αf + βg) R[, b] y (αf(x)+βg(x))dx = α f(x) dx + β g(x) dx Aditividd: Sen f R[, b] yc (, b). Entonces f R[, c], f R[c, b] y f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Monotoní: Sen f,g R[, b], f(x) g(x) pr todo x [, b]. Entonces f(x) dx g(x) dx En prticulr, si f R[, b] yf(x) pr todo x [, b], entonces f(x) dx Vlor bsoluto de l integrl: Se f R[, b]. Entonces f R[, b] y se tiene que f(x) dx f(x) dx Otrs propieddes relcionds con los límites de integrción: Se f R[, b] (<b). Entonces f(x) dx =, b f(x) dx = f(x) dx 6.3 Teorem de l medi Cundo tenemos n vlores reles x 1,...,x n, result muy sencillo clculr su vlor medio (x x n )/n, que viene siendo el resultdo de reprtir por igul l sum de los n vlores entre todos. Qué podrímos entender por el vlor medio de un función f :[, b] IR IR en el intervlo [, b]? Pues, siguiendo l líne rgumentl nterior (por simplicidd pensemos en el cso

5 de un función positiv f ), el áre bjo l curv sustituirí l sum de los n vlores y l longitud del intervlo l número de vlores, de modo que el vlor medio serí ( f(x)dx)/(b ), vlor constnte que tendrí bjo si el mismo áre que l función f (vése figur 6.3). Definición Se f R[, b]. Se llm vlor medio de f en [, b] l vlor 1 b f(x) dx b En relción l concepto de vlor medio se tiene el siguiente resultdo, conocido como teorem de l medi o tmbién como teorem del vlor medio del cálculo integrl. Teorem (de l medi) Se f : [, b] IR IR y sen m = inf{f(x)/x [, b]}, M = mx{f(x)/x [, b]}. 1. Si f R[, b], entonces existe η [m, M] tl que f(x) dx = η(b ) 2. Si f C[, b], entonces existe ξ [, b] tl que f(x) dx = f(ξ)(b ) Figur 6.3: Teorem de l medi Observción El teorem nterior signific que el áre bjo l curv (en el cso f ) es igul l que hy bjo el vlor medio (es decir, bjo l rect y = η) y demás, si l función es continu, el vlor medio es l imgen por f de un cierto vlor ξ [, b] (vése figur 6.3).

6 6 TEMA Teorem fundmentl del Cálculo Integrl. Regl de Brrow El siguiente teorem demuestr que existe un estrech relción entre l integrción y el cálulo de primitivs (y de hí que se hble de integrl indefinid l hor del clculr ls primitivs de un función y se utilice el mismo símbolo pr l integrl definid y l integrl indefinid, pese que se definen de form muy diferente). Teorem (Fundmentl del Cálculo Integrl) Se f R[, b]. Si definimos F :[, b] IR IR de modo que entonces se verific que 1. F C[, b] x [, b] F (x) = x f(s) ds 2. Si f es continu en x [, b] entonces F es derivble en x y se tiene F (x )=f(x ). Observción El teorem nterior nos dice que si f es continu en [, b], entonces F es un primitiv de f. Otro teorem muy importnte en el cálculo integrl es el siguiente, que nos permite clculr un integrl definid si conocemos un primitiv del integrndo. Teorem (Regl de Brrow) Se f R[, b] y supongmos que F es un primitiv de f en [, b]. Entonces f(x) dx = F (b) F () 1 dx Ejemplo Clculemos. Como rctn x es un primitiv de 1+x2 1/(1 + x 2 ), plicndo l regl de Brrow obtenemos que 1 dx 1+x 2 = rctn 1 rctn = π 4

7 Integrción por prtes y cmbio de vrible en integrles definids Los métodos de integrción por prtes y de cmbio de vrible que hbímos visto en el tem 5 (pr el cálculo de primitivs), son plicbles l cálculo de integrles definids sin más que plicr l regl de Brrow. Así tenemos los dos resultdos siguientes: Teorem Sen u, v :[, b] IR IR dos funciones continus con derivd continu en [, b]. Se verific que u(x)v (x) dx = u(b)v(b) u()v() u (x)v(x) dx Observción Si usmos l notción du = u (x)dx, dv = v (x)dx y [uv] b = u(b)v(b) u()v(), el resultdo nterior puede escribirse de l siguiente form más brevid udv=[uv] b vdu π/2 Ejemplo Clculemos x cos xdx. Si pr integrr por prtes, tommos u = x y dv = cos xdx, result que du = dx y v = sen x, por lo que π/2 π/2 x cos xdx=[xsen x] π/2 sen xdx= π [ cos x]π/2 = π Teorem Se f : [, b] IR IR un función continu y se φ :[c, d] [, b] continu y con derivd continu tl que [, b] =φ([c, d]), = φ(c), b = φ(d). Entonces se verific que f(x) dx = d c f(φ(t))φ (t) dt Observción Podemos utilizr l siguiente regl pr recordr el teorem nterior: si el cmbio de vrible es x = φ(t) entonces dx = φ (t)dt y, por tnto, f(x) =f(φ(t))φ (t)dt. Además, como tenemos que = φ(c) y b = φ(d), result que x = cundo t = c y x = b cundo t = d, y los límites de integrción deben de trnsformrse del mismo modo.

8 8 TEMA 6. π/2 cos x Ejemplo Clculemos 1 + sen 2 x dx. Si hcemos el cmbio de vrible sen x = t, obtenemos que cos xdx= dt y como x = t =,x = π/2 t = 1, result que π/2 cos xdx sen 2 x = dt 1+t = rctn 1 rctn = π Aplicciones de l integrl definid L plicción más inmedit de l integrl definid es, como y hemos comentdo en lgun sección nterior, el cálculo del áre bjo un curv. Así, el áre comprendid entre l curv y = f(x) (con f ), el eje Ox (y = ), y ls rects verticles x = y x = b, viene dd por l expresión f(x) dx Si l curv y = f(x) no está siempre sobre el eje Ox, hbrá que tener en cuent que en quellos trmos en los que f, el áre viene dd por l integrl cmbid de signo, es decir, si f(x) pr x [c, d], entonces el áre comprendid entre l curv y = f(x), y =,x = c y x = d viene dd por d f(x) dx c De ls considerciones nteriores se deduce que, en generl, si queremos clculr el áre entre un curv y = f(x) (que puede cmbir de signo en el intervlo [, b]), y =,x = y x = b, ést viene dd por l expresión f(x) dx pr cuyo cálculo será necesrio conocer previmente los puntos de corte de l curv y = f(x) con el eje y =, es decir, los puntos donde y = f(x) cmbi de signo. Ejemplo Clculemos el áre comprendid ente l curv y = x sen x, el eje Ox y ls rects x =yx = π. Puesto que tnto x como sen x son positivos entre y π, tenemos que el áre buscd viene dd por π x sen xdx

9 Integrndo por prtes y tomndo u = x, dv = sen x, obtenemos que du = dx y v = cos x, por lo que π [ xcos x] π + cos xdx= π cos π ++senπ sen = π Ejemplo Clculemos el áre comprendid entre l curv y = sen x, el eje Ox y ls rects x =yx =2π. Puesto que sen x entre x =yx = π, y sen x entre x = π y x =2π (es decir, y = sen x cmbi de signo en x = π), obtenemos que el áre buscd es 2π sen x dx = π sen xdx 2π π sen xdx = cos π + cos ( cos(2π) + cos π) =4 Obsérvese que Ox. 2π sen xdx= no nos d el áre entre l curv y el eje Si queremos clculr el áre comprendid entre dos curvs, hbrémos de tener en cuent los puntos de intersección de mbs. Por siturnos en un cso sencillo, supongmos que tenemos dos funciones f,g :[, b] IR IR tles que f() =g(), f(b) =g(b), f(x) g(x) pr todo x [, b] yf y g no tienen más puntos de intersección que x =, x = b (vése figur 6.4). En este cso, el áre comprendid entre y = f(x) ey = g(x) es [f(x) g(x)]dx Figur 6.4: Áre comprendid entre dos curvs

10 1 TEMA 6. En generl, si ls curvs tienen más de dos puntos de intersección, hbrá que considerr los subintervlos en los que un de ls curvs está sobre l otr y vicevers, teniendo en cuent los cmbios de signo. Esto se puede resumir diciendo que dds dos curvs y = f(x) ey = g(x), si su punto de intersección más l izquierd es x =, y su punto de intersección más l derech es x = b, entonces el áre comprendid entre mbs curvs viene dd por f(x) g(x) dx Ejemplo Clculemos el áre comprendid entre ls curvs y = x+2 e y = x En primer lugr clculmos los puntos de corte de mbs curvs. Pr ello resolvemos l ecución x +2=x 2 +2 x = x 2 x = x 4 x 4 x = x(x 3 1)= que tiene por soluciones x =yx =1. Así, los puntos de corte son el (, 2) y el (1, 3). Puesto que pr x [, 1] clrmente tenemos que x +2 x 2 +2 (compruébese, por ejemplo, pr x =1/2), el áre entre mbs curvs vendrá dd por 1 [ x +2 (x 2 +2) ] 1 dx = ( x x 2 )dx [ 2x 3/2 = 3 es decir, el áre buscd es 1/3. ] 1 x3 = =1 3 Ejemplo Clculemos el áre comprendid entre ls curvs y = f(x) = x 2 x +1ey = g(x) =x 3 3x 2 +2x +1. Pr clculr los puntos de corte de mbs curvs resolvemos l ecución f(x) =g(x) x 2 x +1=x 3 3x 2 +2x +1 x 3 4x 2 +3x = x(x 2 4x +3)= x(x 1)(x 3) = que tiene por soluciones x =,x =1yx = 3, por lo que los puntos de corte son (, 1), (1, 1) y (3, 7). Se comprueb fácilmente que g(x) f(x) pr

11 x [, 1] y f(x) g(x) pr x [1, 3], por lo que el áre buscd es 3 1 x 3 3x 2 +2x +1 (x 2 x +1) dx = 3 3 = (x 3 4x 2 +3x)dx (x 3 4x 2 +3x)dx 1 [ ] x 4 1 [ ] = 4 4x x2 x x x2 2 = [ x 3 4x 2 +3x dx ] = Hemos obtenido, por tnto, que el áre entre mbs curvs es 37/12 (ls uniddes vendrán especificds por ls de los dtos del problem). Además de ls fórmuls nteriores pr el cálculo de áres, se puede utilizr l integrl definid pr el cálculo de muchs otrs mgnitudes. Como ejemplo (y sin ánimo de ser exhustivos) señlremos quí ls siguientes: L longitud de un curv y = f(x) entre x = y x = b viene dd por L = 1+(f (x)) 2 dx El volumen de un sólido de revolución obtenido l hcer girr l curv y = f(x) (f ) entre x = y x = b lrededor del eje Ox viene ddo por V = π (f(x)) 2 dx L superficie lterl del sólido de revolución indicdo en el prrfo nterior viene dd por S =2π f(x) 1+(f (x)) 2 dx Tmbién se puede utilizr l integrl definid pr el cálculo de mgnitudes físics como el momento de inerci, el centro de mss, etc. El lumno puede completr informción sobre este punto en prticulr y sobre el tem, en generl, en culquier de los libros recomenddos en l bibliogrfí.

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