INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS

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1 INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

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3 I) CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA DEF: f(x) dx = áre del recinto limitdo por l curv f(x), el eje x, y ls rects verticles x= y x= Gráficmente, coincide con el áre A del diujo : f(x) A Signo de l integrl definid: Hy posiiliddes: + _ + y=sen x π _ π Cundo l curv está por encim del eje x, el áre es positiv (lógico pues f(x)>0 en ese cso. Si está por dejo, entonces l integrl definid es negtiv (y que entonces f(x)<0) p.ej. π 0 senx dx = 0 Cómo se clcul?: Medinte l REGLA DE BARROW : se trt de hllr un primitiv F(x) medinte los procedimientos del tem nterior, y continución vlorrl entre los extremos y : f(x) dx = F(x) + C f(x) dx = F() F() Ejemplos justifictivos: ) f(x)= A A = dx = (Puede comprorse el resultdo gráficmente) L definición nterior puede entenderse intuitivmente si pensmos que f(x) dx representrí el áre de un rectángulo infinitesiml de ltur f(x) y nchur tn pequeñ como quermos dx, por lo que l integrl definid vendrí ser l sum de esos infinitos pequeños rectángulos. Pr un comprensión más riguros de este hecho puede uscrse l entrd Integrl de Riemnn en Internet. Isc Brrow (60-677), eminente mtemático inglés y profesor de Isc Newton en Cmridge. Puede encontrrse en Internet fácilmente l justificción de est regl, que se conoce como º Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

4 ) y=x A A = (x ) dx = Compruéese que el áre A del triángulo es efectivmente l clculd: c) A = ( x + 5 ) d x = Podemos compror que coincide con áre A del trpecio, l cul viene dd por: B + A = h = Nótese, por consiguiente, que l integrl definid tiene un utilísim plicción l cálculo de áres. Ejercicio: Compror por Brrow que π 0 senx dx = 0 Ejercicios PAEG: Teórico-prácticos: sept 008 A, jun 04 B Prácticos: jun 009 B, jun 04 A, jun 008 B Ejercicios finl tem: 0 II) PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA c ) Si c [,]: f = f + f Est propiedd nos será muy útil l hor de hllr el áre de un recinto c compuesto como sum de dos o más suáres. Su justificción es trivil, tnto gráficmente como plicndo l regl de Brrow. ) f = 0 Ovio y fácil de pror. ) f = f Puede demostrrse plicndo l regl de Brrow. 4) f ± g = f ± g Es un consecuenci inmedit de un propiedd nálog de l integrl indefinid. Un plicción de esto es el ejercicio 9 del finl del tem. Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

5 5) L interpretción gráfic es ovi: función impr = 0 - _ + Ls dos áres son igules pero de signo opuesto, por lo que su sum es cero. Por ejemplo, podemos concluir que hcer l integrl. π π x senx dx = 0 sin necesidd de III) ÁREA BAJO f En cd uno de los tres csos vistos en el prtdo I hrá que proceder de form distint: ) f es positiv: f(x) A A = f(x) dx (por l propi definición de l integrl definid) ) f es negtiv: A A = f(x) dx o ien: A = f(x) dx f(x) ) f es positiv y negtiv (se ltern): por l propiedd A x A x A T x x A = A + A + A = f + f + f x x NOTA: En generl hrá que hllr los puntos en que f(x) cort l eje x (x y x en el ejemplo nterior) pues no semos de ntemno si f(x) cmi de signo. Tmién, veces conviene representr f(x), pues puede formr con respecto l eje x dos o más suáres (ver p. ej. ejercicio 5 del finl del tem) Recordr que pr otener los puntos en que un función cort l eje x hy que resolver l ecución f(x)=0 Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

6 Ejemplo: Hllr el áre limitd por l práol y=x -4x y el eje x (Un esozo de l gráfic no es oligtorio, pero puede ser útil ) Nótese que en este ejemplo l integrl en sí result negtiv, pues l práol está por dejo del eje x, pero el vlor soluto l convierte en positiv, como dee ser por trtrse de un áre. NOTA: Si nos pidiern el áre respecto l eje y, entonces intercmirímos l x con l y (vése el ejercicio 8), pero no olvidemos que los límites de integrción estrán hor en el eje y! Todo esto puede comprorse gráficmente mirndo l trsluz l hoj en l que hemos diujdo el recinto. Ejercicios PAEG: B sept 004, A jun 004, B sept 008, B sept 009 Ejercicios finl tem: 8 IV) ÁREA LIMITADA POR DOS CURVAS Existen tres posiiliddes: ) Ams curvs son positivs 4 y no se cortn: A f(x) g(x) A = f g = (f g) ) Ams curvs son de distinto signo y no se cortn: A f(x) A T A = A + A = f g = (f g) g(x) 4 Nótese que llegrímos l mism fórmul si ms curvs fuern negtivs, es decir, situds jo el eje X Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

7 ) Ams curvs se cortn: f(x) A g(x) c A En este cso hy que hllr los puntos de corte y seprr en vris integrles; por ejemplo, en el cso de l figur: T c A = A + A = (f g) + (g f) c Como conclusión, en generl tendremos que resolver previmente el sistem formdo por ms funciones pr hllr el punto o los puntos donde se cortn. Además, conviene diujr el recinto pues veces hy que hllr el áre pedid como sum de vris suáres, por dos rzones: o ien porque se otienen dos o más recintos seprdos (p. ej. ejercicio 6 del finl tem), o ien porque se otiene un recinto único delimitdo superior e inferiormente por curvs distints (prolems 4 y ss. finl tem, o junio 97 A). Ejemplo: Prolem 4B sept 97 NOTA: En lgunos prolems, un vez diujdo el recinto, convendrá intercmir l x con l y pr hcer lo nterior con respecto l eje y (como en el prolem B junio 98). Otr solución puede ser sudividir el recinto en sectores. Ejercicios finl tem: 9 y ss. Ejercicios PAEG (por orden de complejidd): Áre de un recinto: jun 0 A, jun 00 A, jun 00 A, jun 99 B, sept 99 4B, sept 007 B, jun 007 B, sept 006 B, jun 006 B, jun 00 A, sept 0 B Hllr previmente l rect tngente: sept 98 A, jun 00 A Vlor soluto: sept 000 A, sept 00 4A Vrios recintos: sept 0 B, jun 0 B, jun 000 4A, Jun 97 A, jun 98 B (áre respecto l eje y), sept 98 A, sept 04 A Con prámetro: sept 0 B, jun 0 A (+ rect tngente) Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

8 45 EJERCICIOS de INTEGRAL DEFINIDA º BACH. Integrl definid:. Enuncir l regl de Brrow. Clculr:. Clculr:. (S) Clculr: x dx (Soluc: 4) + ( ) x + x dx Soluc : 0 x dx (Soluc: 5/) 0 4. Clculr: 5. Clculr: 6. Clculr: 7. Clculr: π x senx dx (Soluc: /) 0 x rctg x dx (Soluc:π/4-/) 0 x (x )e + dx 4 4e 0 dx 7 Soluc : - 0 (x + )(x + ) 4 Soluc : ln 8. Clculr: dx 0 x + π Soluc : ln Hllr el vlor de π x sen x dx sin necesidd de integrr, rzondmente. (Soluc: 0) π 0. Sen: π/ π/ = x sen x dx = x cos x dx 0 0 Clculr + y - y otener los vlores de y. (Soluc: =(π +4)/6; =(π -4)/6) Áre jo un curv:. Clculr el áre limitd por l curv y = x + 4, ls rects x=, x= y el eje x. (Soluc: π/4 u ). Hllr los vlores de, y c en el polinomio P(x)=x +x+c de form que P()=4, P'()=8 y P()+5P(0)=0 Representr l función y clculr el áre finit comprendid entre l curv y el eje x. (Soluc: P(x)=x +x-; /7 u ). Clculr el áre limitd por l curv y = ln x, ls rects x=, x=e y el eje x. (Soluc: e - u ) Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

9 4. Clculr el áre limitd por l curv y = x y ls rects y=0, x=0, x= /. (Soluc: (π+)/8 u ) 5. Clculr el áre comprendid entre l curv y =, el eje x y ls rects verticles que psn por los puntos de inflexión de dich curv. (Soluc: π / u + x ) x 6. Dd l función y =, clculr el áre encerrd por l curv, el eje x y ls rects perpendiculres l eje x + x que psn por el máximo y el mínimo de l función dd. (Soluc: Ln u ) x si x < 0 7. Considerr l función f(x) = x si 0 x <. Representrl y clculr ls siguientes integrles: 0 x si < x 4 ) f(x) dx ) 4 f(x) dx c) 4 f(x) dx 8. Considérese l función t si 0 t f(t) = si t x y se F(x) = f(t) dt x ) Hllr un expresión explícit pr F(x) (Soluc: F(x)=x-) ) Diujr F(x) Áre entre dos curvs: 9. Clculr el áre encerrd entre ls gráfics de ls línes y=x, y=x(6-x) (Soluc: 5/6 u ) 0. Hllr el áre de l región comprendid entre ls práols y=x, y=-x + (Soluc: 4 u ). Diujr l curv y=x -x-0, y clculr el áre del recinto limitdo por est curv y l rect y=x-4 (Soluc: 4/6 u ). Hllr el áre de l región limitd, pr x>0, por y=x y l rect y=8x (Soluc: 6 u ). Clcul el áre comprendid entre ls curvs f(x)=x 4 +5x -7x +x- y g(x)=x 4 +4x -8x +4x-, sin necesidd de representrls. (Soluc. 7/ u ) x 4. Sen f(x) = y g(x) = x. ) Diujr sus gráfics en los mismos ejes y hllr sus puntos de intersección. ) Determinr el áre del recinto encerrdo entre ms gráfics. (Soluc. /4 u ) 5. Clculr el áre de l región del semiplno y 0 limitd por l curv y=ln x, su tngente en x= y l rect x=. (Soluc: l tngente es y=x-; el áre es 4-Ln u ) 6. ) Clculr el áre de l región encerrd entre y=x e y = x (Soluc: / u ) Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

10 ) Clculr el áre de l región encerrd entre y=x e y = x (Soluc: u ) c) Clculr el áre de l región encerrd entre y=x e y = x (Soluc: 5/ u ) 7. Hllr el áre de l región cotd del plno limitd por ls práols y=x -x, y =x. (Soluc: u ) 8. Clculr el áre de l región situd entre l rect x= y ls curvs y=x e y=8/x (Soluc: 8Ln-7/ u ) 9. Hllr el áre del recinto cotdo por ls curvs y=x, y=6/x y l rect x= (Soluc: 6ln-5/4 u ) 0. Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y=e x y l cuerd de l curv que une el punto de scis x=0 con el de scis x= (Soluc: (e +5)/6 u ). Se >0. Hllr, en función de, el áre limitd por l práol y=x y l rect y=x (Soluc: /6 u ) x. Se consider l función y = 9 x ) Diujr su gráfic indicndo su dominio de definición. ) Clculr el áre de l región cotd limitd por l curv nterior y l rect y= (Soluc:6[ +ln(- )] u ) 5 5. Hllr el áre del recinto limitdo por y= e y = Soluc : 4 Ln 5 x 9 Vrios recintos (más elordos): 4. Hllr el áre de ls regiones comprendids entre l curv y=x y ls rects y=x, x=0, x= (Soluc: u ) 5. Clculr el áre de l región limitd por ls curvs y=x e y=x / entre x=- y x= (Soluc:/ u ) 6. Clculr el áre del recinto limitdo por ls rects y=x, y=x y l práol y=x (Soluc: 7/6 u ) 7. Clculr el áre limitd por l gráfic de l función f(x)=ln x, el eje x y l rect tngente dich gráfic en el punto x=e. (Soluc: (e-)/ u ) 8. Se consider l función y=x / ) Diujr l gráfic. ) Clculr l rect tngente en x= l gráfic diujd y clculr el áre limitd por dich gráfic, l tngente y el eje x. (Soluc: tngente: x-y-=0; áre=/5 u ) 9. Hllr el áre limitd por l curv x=6-y y el eje y (Soluc: 56/ u ) 40. Hllr el vlor de l constnte pr que l función f(x)=x -x +x teng por tngente en el origen l isectriz del primer cudrnte. Clculr entonces el áre de l región limitd por es tngente y l gráfic de f. (Soluc: =; 4/ u ) 4. Hllr el vlor del prámetro pr que el áre limitd por ls gráfics de ls funciones f (x) = x y f (x)=x / en el primer cudrnte se igul tres uniddes. (Soluc: =) Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

11 4. Siendo que el áre comprendid entre l curv y = x y l rect y=x es, clculr el vlor de. = (Soluc: ) 4. Clculr el vlor de siendo que el áre comprendid entre l práol y=x +x y l rect y+x=0 es 6 (Soluc: =5) Hllr el áre del recinto limitdo por f(x)= x Soluc : -4 y ) g(x)=4. Diujr dicho recinto. ) g(x)=x+. Ídem. c) g(x)=5. Ídem. 45. Diujr el recinto limitdo por ls gráfics de y=x, y=x / e y=-x+6 en el er cudrnte, y hllr su áre. (Soluc: 59/8 u ) Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

12 Volumen de revolución: 46. (S) Clculr el volumen del cuerpo que se otiene l girr l curv y = +x en torno l eje x, entre x=0 y x=. (Soluc: π /8 u ) 47. (S) Clculr el volumen del sólido de revolución otenido l girr lrededor del eje x el recinto limitdo por l gráfic de l función y= x senx, 0 x π, y el eje x. (Soluc: π /4 u ) Función integrl: 48. (S) Hllr el punto del intervlo [0,] en el que l función F(x) = x t dt lcnz su vlor mínimo. (Sol: x=) 0 + t 49. (S) Se x t F(x) = dt 0 e. Hllr el vlor de F'(0). (Soluc: F'(0)=) 50. (S) Se F(x) l función definid por (Soluc: x=0) x e -x- t e F(x) = dt. Hllr los puntos en que se nul l función F'(x). Texto jo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl siempre y cundo se respete l mención de su utorí, y se sin ánimo de lucro. En otros csos se requiere el permiso del utor

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