LA INTEGRAL DEFINIDA IES MURILLO

Transcripción

1 LA INTEGRAL DEFINIDA IES MURILLO

2 Un poco de Historia El concepto de integral definida surge para resolver el problema del área de figuras limitadas por arcos de curva. Algunos matemáticos que trabajaron sobre este problema, fueron: Arquímedes, Newton y Leibniz.

3 ARQUÍMEDES (Siglo III a.c.) Arquímedes (298 a.c.-212 a.c.) fue el matemático más grande de los tiempos antiguos. Nativo de Siracusa, fue asesinado durante su captura por los Romanos en la Segunda Guerra Púnica. Arquímedes hizo muchas contribuciones originales a la GEOMETRIA en las áreas de figuras planas y las áreas y volúmenes de superficies curvas. Sus métodos anticipaban el CALCULO INTEGRAL años antes de ser "inventado" por NEWTON y LEIBNIZ.

4 ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS Partiendo del área del rectángulo se hallan las áreas de figuras poligonales sencillas: Triángulo, paralelogramo, trapecio, etc

5 ÁREA DE OTRAS FIGURAS Si las figuras están delimitadas por arcos de curva el problema se complica: Arquímedes calculó el área del circulo aproximándola por áreas de polígonos inscritos con un número elevado de lados.

6 Áreas limitadas por arcos de curva Arquímedes encontró una forma de hallar el área (A) de la región comprendida entre la recta x = b, el eje OX y la parábola y = x 2

7 CÁLCULO DEL ÁREA Es evidente que A1 A A2 Cuando el número de divisiones crece ambas áreas se aproximan cada vez más a A. Así encontró que el área bajo la curva es: A 3 b 3

8 ISAAC NEWTON Nacido en Woolsthorpe (Inglaterra) en 1642 y muerto en Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas, el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud. Newton hace también tablas de curvas clasificadas según diez órdenes y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada para cada una de las formas y el área de cada una de ellas (tabla de integrales)

9 GOTTFRIED W. LEIBNIZ Nacido en Leipzig (Alemania) en 1646 y muerto en Diplomático, filósofo, matemático, científico y erudito universal. Introduce el símbolo de la integral, como una S estilizada (en 1675).

10 EL PROBLEMA DEL ÁREA Veinte siglos después, cuando aparece el cálculo integral, vuelve a usarse el método de Arquímedes para el cálculo de áreas. Hacia 1690, Newton, Leibniz y los dos hermanos Bernoulli, eran las únicas personas capaces de manejar el cálculo diferencial e integral. Newton y Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal en el periodo comprendido entre 1666 y Parece demostrado que ambos descubrieron esta poderosa técnica con independencia uno del otro. Sin embargo, el método de Newton no se publicó hasta 1711, mientras que Leibniz publicó sus ideas en Acta Eruditorum en 1684.

11 LA INTEGRAL DEFINIDA Vamos a hallar el área de regiones planas limitadas por la gráfica de una función continua y = f(x), el eje OX y las rectas verticales x=a y x=b.

12 SUMAS INFERIORES En principio, supondremos que f(x)>0 en todo el intervalo. Para calcular el área, dividiremos el intervalo [a,b] en partes no necesariamente iguales. Llamaremos P a esta partición del intervalo [a,b]: x 0,x 1,..., x n

13 SUMAS SUPERIORES Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos interiores (gráfico anterior) o de los exteriores (gráfico de esta página). Evidentemente, el área que queremos hallar está comprendida entre las dos: La verde (inferiores) de antes, y la rosa (superiores) de ahora.

14 PARTICIÓN MÁS FINA Es evidente que si hacemos una partición más fina (con más divisiones), las áreas superior e inferior estarán más cercanas al área que queremos hallar.

15 PARTICIÓN MÁS FINA AÚN s n (P)<Área<S n (P), siendo S n (P) la suma de las áreas de los rectángulos exteriores y s n (P) la de los interiores.

16 ÁREA Por tanto, cuanto más fina es la partición la longitud de los intervalos de la partición se hará más pequeña y más nos aproximaremos al área buscada. Entonces, las sumas inferiores y las superiores tenderán al área, A, que queremos calcular, es decir:

17 INTEGRAL DEFINIDA Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b], llamamos integral entre a y b de f(x) al valor del área comprendida entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas verticales x = a y x = b Al número a se le llama límite inferior de integración y a b límite superior. Al intervalo [a,b], intervalo de integración.

18 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. a a f (x) dx 0 2. Si f(x)>0 y continua en [a,b], entonces: b a f (x) dx 0 Y si f(x)<0,entonces: b a f (x) dx 0

19 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3. Linealidad respecto al intervalo de integración Si a< b< c y f es continua en [a,c], entonces: b a c b f (x) dx f (x) dx c a f (x) dx

20 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Propiedades de linealidad respecto al integrando: 4. La integral de la suma es la suma de las integrales. b f (x) dx g(x) dx (f a b a b a g)(x) dx 5. La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. c b f (x) dx c.f (x) dx, c a b a

21 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 6. Si para cada x en [a,b] es f (x) g(x), entonces: b a f (x) dx b a g(x) dx

22 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA LA INTEGRAL Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un punto c en el intervalo (a,b) tal que:

23 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y consideramos la función integral: Entonces F es derivable en (a,b) y F (x)=f(x) para cualquier punto x en el intervalo (a,b). IMPORTANTE: relaciona la integral definida con la indefinida, hasta ahora la integral definida era el límite de una suma, ahora ya es una primitiva.

24 EJEMPLO: Sin hallar la integral, calcula la derivada de La función:

25 REGLA DE BARROW Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b], y F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

26 EJEMPLO: Calcula: 2 1 x 2 dx Área de la zona en verde: 7/3 u.a.