Física Teórica 3 1er. cuatrimestre de 2012 Algunos problemas resueltos de la Guía 6

Transcripción

1 ísica Teórica 3 1er cuatrimestre de 1 Algunos problemas resueltos de la Guía 6 Problema 1 1 Problema 3 El paso de sumas a integrales 7 Problema 4 9 Problema 1 Considere un sistema formado por dos partículas que pueden estar en cualquiera de tres estados, con energías, ɛ y ɛ El sistema está en contacto con un foco térmico a temperatura T (a Escriba una expresión para la función de partición Z si: i las partículas obedecen a la estadística de Maxwell Boltzmann y son distinguibles ii las partículas obedecen a la estadística de Bose Einstein iii las partículas obedecen a la estadística de ermi Dirac (b Grafique la energía media en cada caso y compare Solución En cada caso los estados del sistema de dos partículas están representados en la siguiente figura: Llamando x = e βɛ, las funciones de partición son entonces: Z MB = 1! (1 + x + 3x + x 3 + x 4, Z BE = 1 + x + x + x 3 + x 4, Z D = x + x + x 3 La función de partición para la estadística de Maxwell Bolztmann incluye por definición un factor 1/! 1

2 Las energías medias son MB = x + 6x + 6x 3 + 4x x + 3x + x 3 + x 4 ɛ, BE = x + 4x + 3x 3 + 4x x + x + x 3 + x 4 ɛ, D = x + x + 3x 3 x + x + x 3 ɛ Problema 3 Para un gas ideal de electrones en un volumen V : (a Calcular la energía de ermi (b Calcular la energía total a T = (c Muestre que para cualquier temperatura se cumple = 3P V/ sando esta relación y lo hallado en (b, encuentre una expresión para la presión P a T = Solución A modo de repaso, deduciremos las ecuaciones fundamentales y luego resolveremos lo que pide el problema Todo empieza con la función de partición en el ensamble gran canónico para fermiones: 1 ( 1 + ze βɛ i Z = i n= z n e nβɛi = i La productoria es sobre todos los estados de un sola partícula En el caso de un gas ideal, esos estados estarán caracterizados por cierto valor del impulso y un dado número de variables asociadas a los grados de libertad internos, como el espín Supongamos para fijar ideas que hay un único grado de libertad interno, caracterizado por una variable discreta s que puede tomar g valores Entonces Z = [ ] 1 + ze βɛ s(p p,s Si la energía no depende de s, para cada valor de p habrá g factores idénticos, Z = p [ 1 + ze βɛ(p ] g

3 En el caso general el logaritmo de Z queda en términos de una suma log Z = g log [ 1 + ze βɛs(p] s=1 p Al hacer tender V a infinito, la suma sobre p puede reemplazarse por una integral Hay varias maneras de plantearlo, pero el resultado termina siendo el que se ha usado ya para gases ideales clásicos, d 3 p V h 3 p Al final del ejercicio agregaremos una breve nota sobre cómo formalizar este paso Entonces queda log Z = V g s=1 d 3 p log [ 1 + ze βɛs(p] Si la energía no depende de s, resulta log Z = gv d 3 p log [ 1 + ze βɛ(p] (1 El número de partículas y la energía se calculan a partir de las derivadas del logaritmo de Z, = z log Z z = V g s=1 d 3 p exp {β [ɛ s (p µ]}, = log Z β = V g s=1 d 3 p ɛ s (p 1 + exp {β [ɛ s (p µ]} Por otro lado, si en la Ec (1 se integra por partes, usando la relación [ ] d 3 p f(p = 1 d 3 p (fp p f, 3 y descartando el término de superficie, resulta log Z = βv 3 g s=1 d 3 p p ɛ s (p 1 + exp {β [ɛ s (p µ]} n conjunto de resultados interesantes se obtienen si ɛ s (p = α s p w Por ejemplo, log Z = βv 3 g s=1 Pero puesto que log Z = βp V, se obtiene d 3 p wɛ s (p 1 + exp {β [ɛ s (p µ]} = wβ 3 P V = w 3 3

4 Así, por ejemplo, para un gas de partículas no relativistas ɛ s (p = p /(m y P V = 3 En cambio, para partículas ultrarrelativistas ɛ s (p = cp y P V = 3 Éstas son las mismas relaciones que valen para un gas de partículas clásicas Es inmediato generalizar a d dimensiones Para ɛ s (p = α s p w queda P V = w d, ( donde = V h d g s=1 d d p ɛ s (p 1 + exp {β [ɛ s (p µ]} Volviendo al problema de la guía Para hacerlo más interesante dejemos sin especificar la dimensión d del espacio La energía de ermi es el potencial químico a T = En general, el potencial químico se calcula en términos de /V y T a partir de la ecuación que da el número medio de partículas, = gv d d 1 p h d 1 + exp {β [ɛ(p µ]} Aquí hemos supuesto que la energía no depende de los grados de libertad internos, por eso aparece el factor g A temperatura igual a cero, el integrando toma la forma de un escalón, exp {β [ɛ(p µ]} Θ [ɛ ɛ(p] Si la energía depende sólo del módulo del impulso la integración puede hacerse en esféricas, integrando explícitamente sobre las variables angulares La integral sobre el módulo de p está acotada por la condición ɛ(p < ɛ Se define p como el impulso tal que ɛ(p = ɛ Con esto resulta V = gω d h d p dp p d 1 = gω d h d d pd (3 Supongamos en particular que ɛ(p = αp w, lo que incluye los casos clásico y ultrarrelativista La relación entre p y ɛ es simplemente ( ɛ 1/w p = α 4

5 Así podemos despejar ɛ a partir de la Ec (3: ( w/d d ɛ = αh w gω d V En el caso clásico α = (m 1 y w = ; entonces ( /d ɛ = h d m gω d V En particular, en y 3 dimensiones para partículas de espín 1/ (g = resulta ɛ (3D ( /3 = h 3, ɛ (D = h m 8πV m Si los fermiones son ultrarrelativistas es ɛ(p = cp, y resulta πv ɛ (3D De manera similar se calcula la energía a T =, ( 1/3 ( 1/ 3 = ch, ɛ (D = ch 8πV πv V = gω dv h d p dp p d 1 ɛ(p = gω d h d α p d+w (d + w Dividiendo esta ecuación por la Ec (3 se obtiene un resultado sencillo para la energía por partícula en términos de la energía de ermi, = dαpw d + w = d d + w ɛ En particular, en 3 dimensiones para el gas no relativista resulta = 3 5 ɛ En tanto que para el gas de fermiones ultrarrelativistas queda = 3 4 ɛ Mediante la Ec ( se puede calcular la presión a T = a partir de la energía, P V = w d + w ɛ Cuando la energía es función únicamente del módulo del impulso (y acaso de los grados de libertad internos es usual escribir las integrales anteriores cambiando la variable de integración p por ɛ En particular, cuando uno calcula las cosas en T =, esta sustitución deja todos los resultados ya expresados en términos de la energía de ermi Sin embargo no siempre resulta ventajoso hacer el cambio de variables, a veces es 5

6 menos trabajo seguir haciendo todo en términos del impulso no está interesado en calcular integrales de la forma I = gv h d d d p [ɛ(p], (4 donde depende de p a través de la energía En esta integral gv d d p/h d es igual al número de estados de una sola partícula en el elemento de volumen d d p Aquí estamos suponiendo que la energía no depende de los grados de libertad internos, de ahí que aparezca el factor g Puesto que depende sólo de la energía, el objetivo es transformar la integral anterior a algo de la forma I = dɛ D(ɛ (ɛ, donde ahora D(ɛdɛ representa el número de estados de una sola partícula contenidos en el intervalo de energías dɛ La integración angular en (4 se puede hacer de manera inmediata, I = gω dv h d Supongamos, como antes, que ɛ(p = αp w, entonces Luego, donde I = gω dv wα d w h d p d 1 dp = 1 d dpd = 1 Por ejemplo, en d = 3 y con ɛ = p /m, es dp p d 1 [ɛ(p] wα d w dɛ ɛ d w 1 (ɛ = ɛ d w 1 dɛ D(ɛ = gω dv wα d w h d ɛ d w 1 D(ɛ = gv π(m3/ ɛ 1/ dɛ D(ɛ (ɛ, Así, por ejemplo, uno puede calcular el número medio de partículas y la energía a T = como V = gπ(m3/ ɛ dɛ ɛ 1/ = 8 3 π(m3/ ɛ 3/, V = gπ(m3/ ɛ dɛ ɛ 3/ = 8 5 π(m3/ ɛ 5/ El cociente entre ambas densidades da, igual que antes, = 3 5 ɛ 6

7 Para temperaturas distintas de cero quedan las siguientes integrales V = gπ(m3/ V = gπ(m3/ dɛ dɛ ɛ 1/ 1 + z 1 e βɛ, ɛ 3/ 1 + z 1 e βɛ Integrales similares aparecen con frecuencia, así que se definen de un modo convencional como f ν (z = 1 x ν 1 Γ(ν 1 + z 1 e (5 x Entonces, por ejemplo, En términos de la longitud de onda térmica y usando que Γ( 1 = π1/, resulta V = gπγ( 3 (mkt 3/ f 3/ (z, V = gπγ( 3 (mkt 3/ kt f 5/ (z ( h 1/ λ =, πmkt V = g λ 3 f 3/(z, V = 3 g λ 3 kt f 5/(z A partir de la relación = 3 P V, combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene El paso de sumas a integrales P V = kt f 5/(z f 3/ (z El asunto es ver cómo pasar de sumas a integrales p V d 3 p ormalmente uno debería escribir el h3 espectro discreto de energías y ver qué sucede al tomar V Para una partícula en una caja cúbica, el espectro depende de las condiciones de contorno La ecuación de onda es m ψ + Eψ = 7

8 Si las condiciones de borde son que la función de onda se anule en las paredes de la caja conviene hacer que un vértice de la caja coincida con el origen y que cada lado se extienda sobre uno de los ejes entre y L Entonces las soluciones son de la forma ( nx πx ψ nx,ny,n z (r sin sin L con ( ny πy L ( nz πz sin, L E nx,ny,n z = h ( n 8mL x + n y + n z, ni = 1,, Al calcular el log Z uno debería escribir una suma sobre estos estados cualquiera de la energía tendríamos que escribir algo de la forma S(f = n x,n y,n z=1 f(e nx,n y,n z En general, para una función A media que L aumenta, la diferencia entre dos energías consecutivas disminuye como 1/L Así, los n i pueden variar dentro de un rango cada vez más grande sin que la energía cambie apreciablemente no puede agrupar los n i como muestra la figura, considerar que en cada intervalo la energía toma un valor aproximadamente constante E nx, n y, n z, sumar todos juntos los n i en cada intervalo y simplemente incluir un factor = n x n y n z para tener en cuenta que hay ese número de términos en la suma original asociados a ese rango de valores de los n i, S(f n x, n y, n z f ( E nx, n y, n z 8

9 Ahora se define la variable en términos de la cual la energía es p = h L (n xˆx + n y ŷ + n z ẑ, Se ve entonces que E px,p y,p z = p m Luego S(f 8V = 8V p x p y p z p x, p y p z f ( E px, p y, p z px p y p z Aunque los n i varían a saltos de una unidad, cada variable p i toma valores que se agrupan de manera cada vez más densa a medida que aumenta L, de manera que llega un punto en que p i es tan pequeño que la suma puede aproximarse por una integral con tanta precisión como se desee En definitiva, cuando L, S(f = 8V dp x dp y dp z f(e Aquí los limites de integración son los que corresponden al intervalo original de variación de los n i, que incluía sólo los enteros mayores que cero Para dar a esta expresión su forma habitual, uno puede notar que las tres integrales pueden extenderse hasta menos infinito y que por paridad entonces debe incluirse un factor 1 por cada una de ellas inalmente, resulta: S(f = V d 3 p f(e n análisis similar puede hacerse si las condiciones en el borde de la caja se eligen periódicas en lugar de homogéneas El análisis es un poco más complicado, debido a que se tienen dos familias de soluciones, cosenos y senos, pero en esencia son los mismos pasos Esto muestra cómo pasar de una suma a una integral en el caso de partículas clásicas con energía p /m La regla puede extenderse a partículas relativistas y energías que dependen de la posición En general es d 3 qd 3 p Problema 4 estados Sea un gas de electrones en dos dimensiones sobre un área A (a Halle una expresión para P V/kT en función de la temperatura y el potencial químico 9

10 (b Halle la energía de ermi en términos del número medio de partículas a temperatura cero (c Muestre que el potencial químico viene dado, como función de la temperatura, por: { µ(t = ɛ ln ( } 1 e βɛ βɛ (d Calcule el calor específico si el gas está altamente degenerado y muestre que es proporcional a T Solución (a Para el primer punto basta con calcular la función de partición, βp V = log Z = ga d p log [ 1 + ze βɛ(p] La energía es ɛ(p = p /(m Esto ya lo hemos calculado de manera general en el problema anterior Repetimos aquí los pasos fundamentales: primero se escribe la integral en polares y luego se integra por partes respecto del módulo del impulso, log Z = ga π dϕ dp p log [ 1 + ze βɛ(p] = πgaβ dp p3 m ze βɛ(p 1 + ze βɛ(p Es posible formar el diferencial de ɛ y cambiar a esa variable Reordenando un poco los términos queda log Z = πgamβ dɛ ɛ 1 + z 1 e βɛ Por último, definiendo x = βɛ, la dependencia en la temperatura puede hacerse más explícita log Z = πgam kt Con esto ya puede escribirse la respuesta al primer punto del problema: dx x 1 + z 1 e x (6 βp V = πgamkt Las funciones f ν quedaron definidas en la Ec (5 dx x 1 + z 1 e = πgamkt f x (z (b A temperatura cero A = πg p dp p = πgp = πgmɛ ɛ = h πgm A (c Para calcular el potencial químico se parte de la ecuación que da el número de partículas A = g d 1 p 1 + z 1 e βɛ(p 1

11 La integral puede hacerse de manera explícita en un par de pasos, A = πgm ( d p m 1 πgm = 1 + z 1 e βɛ(p dɛ 1 + z 1 e βɛ Entonces = kt z Aɛ 1 d(e βɛ kt = 1 + ze βɛ Aɛ log(1 + z ɛ = kt log ( 1 + e βµ Invirtiendo, µ = kt log ( e βɛ 1 (7 Puesto que interesa ver qué tanto se aparta µ de la energía de ermi conviene reescribir la ecuación anterior como µ = ɛ + kt log ( 1 e βɛ A temperaturas mucho menores que la energía de ermi, la exponencial dentro del logaritmo es un número muy pequeño, por lo tanto resulta µ ɛ kt e βɛ Es decir, a bajas temperaturas las correcciones al potencial químico respecto de la energía de ermi son exponencialmente pequeñas En contraste, en tres dimensiones las correcciones al potencial químico van como T (d Calcularemos el calor específico a área constante, ( C A = T La energía puede obtenerse a partir de Z, tal como quedó escrita en la Ec (6, A, Luego = log Z β De acuerdo a la Ec (7 = πgam (kt dx C A = T + x πgam (kt = f 1 + z 1 ex (z = ( z f (z f (z T A, (kt ɛ f (z (8 z = e βɛ 1, 11

12 y por lo tanto ( z T A, = ɛ e βɛ kt = 1 (1 + z log(1 + z T La energía de ermi es función de la densidad /A, de modo que no es necesario derivarla Por otro lado, no es difícil demostrar que f ν = z 1 f ν 1, y además Reuniendo todo resulta C A k = kt { (1 + z kt f 1 (z = } [log(1 + z] zf (z dx = log(1 + z 1 + z 1 ex = kt ɛ { f (z (1 + z kt } [log(1 + z] z = f (z (1 + z log(1 + z log(1 + z z Se trata de analizar ahora el comportamiento de esta función cuando T, es decir, cuando z Las funciones f ν (e ξ admiten un desarrollo asintótico para ξ, de la forma f ν (e ξ = ξ ν (ν 1 π + Γ(ν + 1 Γ(ν 6 ξν + O(ξ ν 4 Aplicando este resultado en la expresión para el calor específico y desarrollando el resto de las funciones que ahí aparecen queda C A k π kt 3 µ Al escribir esta ecuación se han despreciado varios términos de orden e βµ El propio potencial químico difiere de ɛ en una cantidad exponencialmente pequeña Por lo tanto C A k π kt 3 ɛ A este mismo resultado puede llegarse de manera más rápida a partir de la Ec (8, desarrollando la energía para T antes de hacer el cálculo del calor específico Así, uno encuentra k kt [ ] (βµ + π = ɛ ɛ 6 k + kt π 6ɛ Entonces resulta C A k π kt 3ɛ o es tremendamente complicado calcular las correcciones exponenciales Hasta orden e βɛ es ( C A k π kt e βɛ ɛ 3ɛ kt + + kt ( e βɛ ɛ ɛ kt kt ɛ 1

13 La figura muesta el resultado exacto (en rojo y las aproximaciones anteriores, con un número creciente de términos otar que para altas temperaturas el calor específico tiende a k, de acuerdo al principio de equipartición