Tema 6: Semejanza en el Plano.

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Pablo Segura Plaza
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1 Tema 6: Semejanza en el Plano. 6.1 Semejanza de Polígonos. Definiión Cuatro segmentos a, b, y d son proporionales si se umple la siguiente igualdad: a =. A ese oiente omún se le llama razón de proporionalidad. b d Ejemplo: Tres segmentos de medidas a = 5 m, b = 7 m, = 10 m y d, de tamaño desonoido, son proporionales. Halla la razón de proporionalidad y el valor del segmento desonoido. Repite el álulo on las medidas: 5, 4 y 3. Soluión: Por ser proporionales debe de umplirse que a = b b = d = = 14m 7 d 5 A) Semejanza de polígonos: Definiión Dos polígonos son semejantes uando tienen sus ángulos iguales y sus lados orrespondientes proporionales; es deir, si los polígonos ABCDE y ABCDE son semejantes, se esribe ABCDE A B C D E, y se verifia que: 1.) A= A, B = B, C = C, D = D, E = E.) AB / A B = BC / B C = CD / C D = DE / D E = EA/ E A = r razón de semejanza Conseuenias: a) Si dos figuras son semejante y onoemos el valor de la razón de semejanza, podemos alular las medidas de una a partir de las de la otra b) Si r es la razón desemejanza, entones r es la razón entre sus áreas, y r 3, la razón entre sus volúmenes 6. Criterios de Semejanza de triángulos. Definiión.3.- Dos triángulos, ABC y A B C, son semejantes uando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporionales; es deir, si los triángulos ABC y A B C son semejantes, se esribe ABC~A B C, y se verifia: a) A= A, B = B, C = C b) AB BC CA = = = r razón de semejanza AB BC CA Criterios de semejanza: GEOMETRÍA:.- SEMEJANZA EN E PANO Pág. 1 de 1

2 PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respetivamente iguales. Es deir, el triángulo ABC es semejante al triángulo ABC si: A= A y B = B SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporionales. Es deir, el triángulo ABC es semejante al triángulo ABC si: a = b = a b TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporionales. Es deir, el triángulo ABC es semejante al triángulo b A= A y =. b 6.3 Teorema de Tales. ABC si: Teorema de Tales: Cuando dos retas paralelas ortan a dos retas seantes, determinan en éstas segmentos proporionales En la figura siguiente las paralelas BC y DE ortan a las seantes AB y AC. Además se han trazado las alturas DK y EH del triángulo ADE. Representamos on área(xyz) el área del triángulo XYZ, entones tenemos que: área(bde) = área(ced) pues ambos triángulos tienen la misma base DE y la misma altura (distania entre paralelas). área(ade) = (1/) AD HE = (1/) AE DK área(bde) = (1/) BD HE; área(ced) = (1/) CE DK área(ade) : área(bde) = área(ade) : área(ced) AD : BD = AE : CE Ejemplo: En la figura adjunta, MN es paralela a BC. Calula: 1 m 6 m 4,8 m 8,4 m AN y MN Soluión: Apliando el teorema de Tales, tenemos que: AM AN AM. NC 1 4,8 = AN = = = 9,6 m MB NC MB 6 os triángulos, AMN y ABC son semejantes. Por lo tanto, BC AB BC. AM 8,4 1 = MN = = = 5,6 m MN AM AB 18 Conseuenias del teorema de Tales a) Toda paralela a un lado de un triángulo que orta a los otros dos, determina sobre éstos segmentos proporionales. GEOMETRÍA:.- SEMEJANZA EN E PANO Pág. de

3 b) Si en un triángulo trazamos una paralela a uno de los lados, se obtienen dos triángulos semejantes. División de un segmento en un número de partes iguales : Para dividir el segmento AB en n partes iguales( en este aso n = 4), se b traza una reta que orte al segmento AB en uno de sus extremos, por ejemplo en e A, luego sobre diha semirreta se toman uatro segmentos que midan lo mismo, d A = d = de = eb. Se une b on B y luego se trazan paralelas a Bb por e, d y que ortan al segmento AB en C, D y F. Como onseuenia del A B teorema de Tales, los segmentos AC, CD, C D E DE y EB son todos iguales 6.4 Relaiones métrias en un triángulo retángulo Proyeión ortogonal de un punto sobre una reta: Si P es un punto y l es una reta, entones la proyeión del punto P sobre la reta l es el punto P en la base de la perpendiular trazada de P a l. P P Proyeión ortogonal de un vetor sobre una reta: Para proyetar un vetor PQ sobre una reta l se proyetan los puntos iniial P y final Q del vetor, el vetor PQ es la proyeión del vetor PQ sobre la reta l. l P Q P Q V a proyeión de un vetor sobre otro tiene múltiples apliaiones en matemátias y físia. Si seleionamos un punto O omo origen y si a y b son los vetores loalizados no nulos de A y B respetivamente, la proyeión (vetorial) de a sobre b es el vetor v= λb donde V es la proyeión del punto A sobre la línea GEOMETRÍA:.- SEMEJANZA EN E PANO Pág. 3 de 3

4 reta determinada por el origen O y el punto B, ( λ es un número real). w Desomposiión de un vetor dado omo suma de dos vetores ortogonales (perpendiulares).- Dados los vetores fijos a y b, no nulos, es posible proyetar el vetor a sobre el vetor b y sobre un vetor fijo perpendiular a b omo se india en la figura. Como se observa en la figura a = v+ w, donde v es la proyeión a a sobre b y w es la proyeión ortogonal de a sobre. Po r onsiguiente: v = a. sen( α ) y b w = a.os( α) v Teorema de Pitágoras.- En un triángulo retángulo, el uadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los uadrados de los atetos. Es C deir: a = b + a b A B Demostraión: T eorema de la altura.- En un triángulo retángulo, la altura es media proporional entre los segmentos en que divide la hipotenusa. Es deir: m / h = h / n h = m.n Demostraión: Si apliamos el Teorema de Pitágoras a los triángulos ABC,ACD y CDB, tenemos que: b = h + m, a = h + n y = a + b. Puesto que, además = ( m+ n) = m + n + mn ombinándolo todo, onluimos que: h = b m + a n = m n = mn GEOMETRÍA:.- SEMEJANZA EN E PANO Pág. 4 de 4

5 Teorema del ateto.- En un triángulo retángulo, un ateto es media proporional entre la hipotenusa y la proyeión de diho ateto sobre ella, es deir: /b = b/m b =.m Demostraión: Como onseuenia de los teoremas anteriores, se tiene que m = ( m + n) m = m + nm = b h + h = b Ejemplo: En un triángulo retángulo, las proyeiones de los atetos sobre la hipotenusa miden 8 m y 4,5 m respetivamente. Calula las medidas de los atetos y de la altura sobre la hipotenusa. Soluión: Apliando el teorema de la altura sabemos que h = mn.. En nuestro aso h = 8.4,5 h = 6 m Apliando el teorema de Pitágoras al triángulo DCB, a h n a = 6 + 4,5 = 7,5 m = + ( ) Apliando de nuevo el teorema de Pitágoras al triángulo DAC, b = h + m b= = 10 m A pliaiones del Teorema de Pitágoras I) Altura en un triángulo equilátero C D A h B a altura AD, es eje de simetría y, por lo tanto, el punto medio del lado BC es D. Si el lado del triángulo mide, entones DB = /. El triángulo ADB es retángulo, por lo tanto según el teorema de Pitágoras: ( AB) ( AD) ( DB) = + 3 h= = = 4 3 II) Diagonal de un uadrado d l Cuánto vale la diagonal, d, en un uadrado de lado l? Apliamos el teorema de Pitágoras: Diagonal del uadrado d = l + l = l Ejemplo: Calular la diagonal de un uadrado de lado 6 m. Soluión: Teniendo en uenta la expresión que nos da el valor de la diagonal, tenemos que: d = l = 6 m GEOMETRÍA:.- SEMEJANZA EN E PANO Pág. 5 de 5

6 III) Apotema de un hexágono regular O a lado = 6 m. Soluión: Como sabemos que a = Cuál es el valor de la apotema de un hexágono regular de lado? Como ada uno de los seis triángulos que se forma al trazar los radios son equiláteros, la apotema es la altura de un triangulo equilátero de lado, es deir a= = 3 Ejemplo: Determinar la longitud de la apotema de un hexágono de a = = 3 = 3 3 m = 5,0 m 3, en este aso IV) ongitud de la tangente desde un punto exterior R O T d P Cuál es la longitud de la tangente PT, sabiendo que la distania OP es d y el radio de la irunferenia es R? El triangulo PTO, es retángulo porque la tangente PT es perpendiular al radio OT. Apliando el teorema de Pitágoras tenemos que: ( ) ( ) PT = OP OT = d R Ejemplo: Calular la longitud de la tangente PT, sabiendo que la distania OP es de 0 m y el radio de la irunferenia es de 1 m. Soluión: Apliando el teorema de Pitágoras se tiene que: PT = ( OP) -( OT ) = ( 0) -( 1 ) = 56 = 16 m GEOMETRÍA:.- SEMEJANZA EN E PANO Pág. 6 de 6

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